2024年辽宁省鞍山市中考模拟考试数学试卷-【中考风向标】2025年中考必备辽宁中考真题汇编数学

- 33 - - 34 - 2024 年辽宁省鞍山市中考模拟考试 数学试卷 (满分:120 分　 考试时间:120 分钟) 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 下列图形中,是轴对称图形的是 ( 　 ) A B C D 2. 2024 年 5 月 3 日,嫦娥六号探测器由长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射,嫦娥六号 探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅,月球距离地球的平均距离为 384 000 千米,数据 384 000 用科学记数法表示为 ( 　 ) A. 384×103 B. 3. 84×105 C. 38. 4×104 D. 0. 384×106 3. 下列运算正确的是 ( 　 ) A. x2·x3 = x6 B. 5x-2x= 3 C. ( -2x2) 3 = -6x6 D. x6 ÷x2 = x4 4. 如图,直线 a∥b,在 Rt△BCD 中,∠DCB= 90°,若∠1 = 118°,则∠2 的度数为 ( 　 ) A. 28° B. 38° C. 26° D. 30° 第 4 题图 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 5. 若关于 x 的一元二次方程 x2 -3x+m= 0 没有实数根,则实数 m 的值可以为 ( 　 ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 如图,在△ABC 中,D,E 分别为 AB,AC 上两点,若 AD ∶ DB= 1 ∶ 2,DE∥BC,则△ADE 与△ABC 的周长 之比是 ( 　 ) A. 1 ∶ 16 B. 1 ∶ 9 C. 1 ∶ 4 D. 1 ∶ 3 7. 小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的 3×3 的正方形飞镖盘,则飞镖落在阴影区域的概率为 ( 　 ) A. 1 3 B. 4 9 C. 5 9 D. 2 3 8. 如图,AB 是☉O 的直径,弦 CD 交 AB 于点 E,∠ACD= 70°,∠ADC= 40°,则∠AED 的度数为 ( 　 ) A. 110° B. 115° C. 120° D. 105° 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 9. 如图,在△ABC 中,∠BAC= 117°,将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到△AB′C′. 若点 B′刚好落在 边 CB 上,且 AB′=CB′,则∠C 的度数为 ( 　 ) A. 19° B. 20° C. 21° D. 22° 10. “夜骑自行车”慢慢成为上班族释放压力的时尚活动. 某“夜骑”爱好者匀速骑行的过程中,骑行的 距离 h(km)与时间 t(min)这两个变量之间的关系用图象大致可以表示为 ( 　 ) A B C D 二、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 11. 因式分解:xy2 +2xy+x= 　 　 　 　 　 　 　 . 12. “端午食粽”是节日习俗之一. 甲、乙两人每小时共包 35 个粽子,甲包 40 个粽子所用的时间与乙包 30 个粽子所用的时间相等. 若设甲每小时包 x 个粽子,则可列方程为 　 . 13. 如图,在菱形 ABCD 中,分别以 C,D 为圆心,大于 1 2 CD 的长为半径作弧,两弧分别交于 E,F 两点,作 直线 EF,直线 EF 恰好经过点 A,与边 CD 交于点M,连接 BM,若菱形 ABCD 的周长为 16,则线段 BM 的长是　 　 　 　 　 . 第 13 题图 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 14. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,△OAB 的顶点 A,B 都在第一象限,反比例函数 y = k x (x>0)的图象 经过 A,B 两点,AC⊥x 轴交于点 C,AC 与 OB 交于点 D,若AD CD = 5 4 ,△ABD 的面积为 1,则 k 的值 为　 　 　 　 　 　 . 15. 如图,在平行四边形 ABCD 中,AE 平分∠BAD,且 AE 与 BC 边交于点 E,BF⊥CD,垂足为 F,连接 EF,∠AEF= 45°,BH 平分∠EBF,BH 与 AE 交于点 H,若 EF= 7 2 ,BH= 8 2 ,则平行四边形 ABCD 的 面积为　 　 　 　 　 . - 35 - - 36 - 三、解答题(本题共 8 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. (10 分)计算: (1) -32 -(5-7) ×3+ 3 27 ÷2; (2)x2 -5x+3 = 0. 17. (8 分)一种商品有大小盒两种包装,3 大盒、4 小盒共装 108 瓶;2 大盒、3 小盒共装 76 瓶. 大盒与小 盒每盒各装多少瓶? 18. (8 分)快递业为商品走进千家万户提供了极大便利,网店店主小张打算从甲、乙两家快递公司中选 择一家合作,为此,小张收集了 10 家网店店主对两家快递公司关于配送速度、服务质量的相关评 价,并整理、描述、分析如下: 配送速度得分(满分 10 分)如下. 甲:7,6,9,6,7,10,8,8,9,9; 乙:8,8,6,7,9,7,9,8,8,9. 配送速度和服务质量得分统计表: 快递公司 统计量 配送速度得分 平均数 中位数 众数 服务质量得分 平均数 方差 甲 7. 9 8 n 7 s2甲 乙 7. 9 8 8 7 s2乙 根据以上信息,回答下列问题: (1)n= 　 　 　 　 ,比较大小:s2甲 　 　 　 　 s2乙(填“ >”“ = ”或“ <”); (2)综合上表中的统计数据,你认为小张应选择哪家快递公司作为合作伙伴? 请说明理由(写出两 条理由即可) . - 37 - - 38 - 19. (8 分)通过物理学知识知道:光从水射入空气时会产生折射现象,使得眼睛看到的水中物体的像比 该物体的实际位置浅. 小睿同学站在池塘边,看到池塘底有一块鹅卵石,他想知道鹅卵石的实际位 置要比他看到的像深多少? 小睿同学通过查阅相关资料及仪器测量数据来解决问题,并形成了具 体研究方案如下: 问题 鹅卵石的像到其实际位置的距离 工具 纸、笔、计算器、测角仪等 图形 说明 如图,鹅卵石在池底点 C 处,其像在点 C 正上方点 G 处,MN⊥NC 于点 N,MN⊥BH 于点 B,CH⊥ BH 于点 H,点 G 在 CH 上,A,B,G 三点共线,通过查阅资料获得sin∠ABM sin∠CBN = 1. 33 数据 BH= 2 m,∠ABM= 53° 请你根据上述信息解决以下问题: 求鹅卵石的像点 G 到其实际位置点 C 之间的距离(结果精确到 0. 1 m;参考数据:sin 53°≈0. 798, cos 53°≈0. 602,tan 53°≈1. 33) . 20. (8 分)某学习小组同学在数学活动课上研究函数 y= mx+b(x>0), nx+b(x≤0){ (m+n= 0,b 为常数且 b≠0)的图 象性质及应用,请你解答同学们在活动中提出的以下问题: (1)若 n-m= 2,b= 2,判断点( -1,1)是否在函数 y= mx+b(x>0), nx+b(x≤0){ 图象上,并说明理由; (2)函数 y= mx+b(x>0), nx+b(x≤0){ 图象有最低点,请直接写出 m 与 n 的大小关系; (3)在(2)的条件下,函数 y= mx+b(x>0), nx+b(x≤0){ 图象与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,若△ABC 为 等边三角形,且△ABC 的面积为 3 ,求 m,n,b 的值. 21. (8 分)如图,☉O 是△ABC 的外接圆,BE 为☉O 的直径,BE 与 AC 交于点 F,D 为 BE 延长线上一点, 连接 CD,CE,AE,∠BAC+∠BCD= 180°. (1)求证:∠DCE= ∠CBD; (2)若 AB=BC,tan D= 4 3 ,☉O 半径为 4,求 BC 的长. - 39 - - 40 - 22. (12 分)【基本图形】(1)如图 1,在△ACE 中,∠ACE = 90°,CE = AC,∠CBA = ∠CDE = 90°,且 B,C,D 三点在同一直线上,求证:△ABC≌△CDE; 【图形初探】 (2)如图 2,在△ABC 中,∠ABC = 90°,AB =BC,点 D 为△ABC 内部一点,连接 AD,BD, CD,若 AD= 2BD,∠ADB= 135°,求证:CD= 2BD; 【拓展探究】(3)如图 3,在△ABC 中,∠ABC= 90°,AB=BC,点 D 为△ABC 外部一点,且∠CDB = 90°, 连接 AD,以 AB,BD 为邻边作平行四边形 ABDE,DE 边分别与 AC,BC 交于 F,H 两点,连接 BE,BE 与 AC 交于点 G,若 AD= 65 ,tan ∠ADC= 7 4 ,求△EFG 的面积. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 23. (13 分)如图,二次函数 y=ax2 +bx+c(a<0)图象与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 左侧),顶点为 P, PQ⊥x 轴,垂足为 Q,点 C 为 PQ 中点,则直线 AC 叫作二次函数 y=ax2 +bx+c(a<0)的“截中线” . 已知二次函数 y=ax2 +bx+c(a<0)的“截中线”AC 与二次函数 y=ax2 +bx+c(a<0)图象的另一个交点 为 D,连接 PD,且顶点 P 在第一象限,b= -2a. (1)当 c= -3a 时, ①若直线 AC 的表达式为 y= x+1,求二次函数的表达式; ②求证:△PCD 是等腰三角形; (2)当 c≠-3a 时,连接 AP,若△APD 为直角三角形,且 c≠a,求 c 与 a 之间的数量关系. 　 　 　 备用图 - 109 - - 110 - ∴ 4x= 8 3 m-12 , 解得 x= 2 3 m-3 , ∴ EQ= 6 5 x= 4 5 m- 18 5 . 设直线 AB 的解析式为 y= kx+b, ∴ mk+b= - 4 9 m2 + 8 3 m, (9-m)m+b= - 4 9 m2 + 16 3 m-12, ì î í ï ï ï ï 解得 k= - 4 3 , b= - 4 9 m2 +4m, ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 AB 的解析式为 y= - 4 3 x- 4 9 m2 +4m, ∴ E - 1 3 m2 +3m,0( ) , ∴ EQ= - 1 3 m2 +3m-m = - 1 3 m2 +2m , ∴ - 1 3 m2 +2m = 4 5 m- 18 5 , 解得 m= 21±3 19 5 或 m= 9±3 39 5 (不符合题意,舍去) . 故 m 的值为 21±3 19 5 . 2024 年辽宁省鞍山市中考模拟考试 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A A D B C C A 一、选择题 1. C　 解析:A,B,D 均为中心对称图形,C 既是轴对称图形 又是中心对称图形. 故选 C. 2. B　 解析:用科学记数法把一个数表示为 N = a×10n 的形 式,其中 1≤ | a | <10,n 为整数,当 |N | ≥10 时,n 为正整数 且等于原数整数位数减 1,故 384 000 = 3. 84×105 . 故选 B. 3. D　 解析:A. x2·x3 = x2+3 = x5,故 A 错误;B. 5x-2x = 3x,故 B 错误;C. (-2x2) 3 = (-2) 3(x2) 3 = -8x6,故 C 错误;D. x6 ÷ x2 = x6-2 = x4,故 D 正确,故选 D. 4. A 　 解析:∵ a∥b,∴ ∠2 + ∠DCB = ∠1,∴ ∠2 = ∠1 - ∠DCB= 118°-90° = 28°. 故选 A. 5. A　 解析:∵ 一元二次方程 x2 -3x+m = 0 没有实数根,∴ Δ = b2 -4ac<0,即(-3) 2 -4m<0,∴ m> 9 4 . 故选 A. 6. D　 解析:∵ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC,又∵ AD DB = 1 2 ,∴ AD AB = 1 3 ,∴ △ADE 与△ABC 的周长之比为 1 ∶ 3. 故选 D. 7. B　 解析:由图形可知阴影部分面积等于 4 个小正方形的 面积,故飞镖落在阴影区域的概率为 P= 4 9 . 故选 B. 8. C　 解析:如图,连接 BC. ∵ AB 为直 径,∴ ∠ACB= 90°, ∴ ∠ECB = ∠ACB - ∠ACD = 20°. ∵ ∠B= ∠ADC= 40°, ∴ ∠BEC= 180°-∠B-∠ECB = 180°- 40°-20° = 120°,∴ ∠AED= ∠BEC= 120°. 故选 C. 9. C　 解析:∵ AB=AB′, ∴ ∠B= ∠AB′B. ∵ AB′=CB′, ∴ ∠C= ∠CAB′. ∵ ∠AB′B 是△AB′C 的一个外角, ∴ ∠AB′B= ∠C+∠CAB′= 2∠C, ∴ ∠B= 2∠C. ∵ ∠BAC= 117°, ∴ ∠B+∠C= 180°-∠BAC= 63°, ∴ 3∠C= 63°,∴ ∠C= 21°. 故选 C. 10. A　 解析:因为“夜骑”爱好者匀速骑行,由 h= vt 知 h 为 t 的一次函数. 故选 A. 二、填空题 11. x(y+1) 2 　 解析:xy2 +2xy+x= x(y2 +2y+1)= x(y+1) 2 . 12. 40 x = 30 35-x 　 解析:由甲每小时包 x 个粽子,得乙每小时包 (35-x)个粽子,由甲包 40 个粽子所用时间与乙包 30 个 粽子所用时间相等,得 40 x = 30 35-x . 13. 2 7 　 解析:由作图知 EF 是 CD 的垂直平分线. ∵ 菱形 ABCD 的周长为 16, ∴ AD=AB=CD=BC= 4. ∵ EF 垂直平分 CD, ∴ DM= 1 2 CD= 2,∠AMD= 90°. 在 Rt△AMD 中,AM= AD2 -DM2 = 2 3 . ∵ AB∥CD, ∴ ∠BAM= 90°. 在 Rt△ABM 中,BM= AB2 +AM2 = 2 7 . 14. 36 5 　 解析:设点 A m, k m( ) (m>0) . ∵ AC⊥x 轴于点 C, AD CD = 5 4 ,则 CD AC = 4 9 , AD AC = 5 9 , ∴ C(m,0),D m, 4k 9m( ) ,AD= 5k 9m . 设直线 OD 的表达式为 y= ax,则 4k 9m = am,解得 a= 4k 9m2 , ∴ 直线 OD 的表达式为 y= 4k 9m2 x, 联立 y= 4k 9m2 x, y= k x , ì î í ï ï ï ï 解得 x= 3 2 m, y= 2k 3m , ì î í ï ï ï ï (负值舍去) ∴ B 3 2 m, 2k 3m( ) , ∴ S△ABD = 1 2 AD·(xB-xD)= 1 2 × 5k 9m × 3 2 m-m( ) = 5k36 = 1, ∴ k= 36 5 . 15. 289　 解析:如图,延长 BH 交 EF 于点 G. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,∠DAB= ∠C, ∴ ∠DAC= ∠AEB. ∵ AE 平分∠DAB, ∴ ∠DAE= ∠EAB, ∴ ∠EAB= ∠AEB, ∴ ∠C= ∠DAB= 2∠AEB,AB=BE. ∵ BH 平分∠EBF, ∴ ∠EBF= 2∠GBE= 2∠FBG. ∵ BF⊥CD, ∴ ∠BFC= 90°, ∴ 2∠GBE+2∠AEB= 90°, ∴ ∠GHE= ∠GBE+∠AEB= 45°. ∵ ∠AEF= 45°, ∴ ∠HGE= 180°-45°-45° = 90°, ∴ BG⊥EF. ∵ BH 平分∠FBE, ∴ EG=FG= 1 2 EF= 7 2 2 . ∵ BH= 8 2 , ∴ BG=BH+GH=BH+GE= 8 2 + 7 2 2 = 23 2 2 , ∴ BE= BG2+GE2 = 23 2 2( ) 2 + 7 2 2( ) 2 =17, ∴ AB= 17,BF= 17, ∴ 平行四边形 ABCD 的面积= 17×17 = 289. 三、解答题 16.解:(1)原式= -9+6+ 3 2 = - 3 2 . (2)∵ Δ= b2 -4ac= ( -5) 2 -4×3 = 13>0, ∴ 方程有两个不相等的实数根, ∴ x1 = 5+ 13 2 ,x2 = 5- 13 2 . 17.解:设大盒装 x 瓶,小盒装 y 瓶. 由题意,得 3x+4y= 108, 2x+3y= 76,{ 解得 x= 20, y= 12.{ 答:大盒装 20 瓶,小盒装 12 瓶. 18.解:(1)9;<. (2)选择甲快递公司,理由如下. 从配送速度得分看,在平均数、中位数相同的前提下,甲 的众数高于乙; 从服务质量得分看,在平均数相同的前提下,甲的方差更 小,更稳定. 19.解:∵ MN⊥BH,CH⊥BH,MN⊥NC, ∴ ∠HBN= ∠CHB= ∠BNC= 90°, ∴ BN∥CH,四边形 BNCH 为矩形, ∴ ∠BGH= ∠ABM= 53°,BN=CH,CN=BH= 2 m. 在 Rt△BGH 中,BH= 2 m, tan∠BGH= BH GH , GH= BH tan 53° ≈ 2 1. 33 ≈1. 50(m) . ∵ sin∠ABM sin∠CBN = 1. 33, ∴ sin∠CBN= sin∠ABM 1. 33 ≈ 0. 798 1. 33 = 0. 6. 在 Rt△CBN 中,CN= 2 m, sin∠CBN= CN CB = 3 5 . 设 CN= 3x m,CB= 5x m,则 BN= CB2 -CN2 = (5x) 2 -(3x) 2 = 4x(m) . ∵ CN= 2 m,∴ 3x= 2, ∴ x= 2 3 , ∴ BN= 4× 2 3 = 8 3 (m), ∴ BN=CH= 8 3 m, ∴ CG=CH-GH= 8 3 -1. 50≈1. 2(m) . 答:鹅卵石的像点 G 到其实际位置点 C 之间的距离约为 1. 2 m. 20.解:(1)点( -1,1)在函数 y = mx+b(x>0), nx+b(x≤0){ 的图象上,理 由如下. ∵ m+n= 0,n-m= 2, ∴ m= -1,n= 1. 又∵ b= 2, ∴ y= -x+2(x>0), x+2(x≤0) .{ - 111 - - 112 - 当 x= -1 时,y= -1+2 = 1, ∴ 点( -1,1)在函数 y= mx+b(x>0), nx+b(x≤0){ 的图象上. (2)m>n. (3)当 y= 0 时, x>0 时,x= - b m , x≤0 时,x= - b n , ∴ A - b n ,0( ) ,B - bm ,0( ) . ∵ m,n 互为相反数, ∴ - b m = - b n , ∴ OA=OB, ∴ AB= 2OA. ∵ △ABC 为等边三角形, ∴ ∠CAB= 60°. 在 Rt△CAB 中, tan∠CAB= OC OA = 3 , ∴ OC= 3OA, ∴ S△ABC = 1 2 ·AB·OC= 3 , 即 1 2 ·2OA· 3OA= 3 , ∴ OA= 1, ∴ OA=OB= 1,OC= 3OA= 3 , ∴ A( -1,0),B(1,0),C(0,- 3 ), ∴ -n+b= 0, b= - 3 ,{ 　 m+b= 0, b= - 3 ,{ ∴ m= 3 ,n= - 3 ,b= - 3 . 21. (1)证明:∵ 四边形 ABCE 为圆内接四边形, ∴ ∠BAE+∠BCE= 180°, ∴ ∠BAC+∠CAE+∠BCE= 180°. ∵ ∠BAC+∠BCD= 180°, ∴ ∠BAC+∠BCE+∠DCE= 180°, ∴ ∠CAE= ∠DCE. ∵ CE ( =CE ( , ∴ ∠CAE= ∠CBD, ∴ ∠DCE= ∠CBD. (2)解:如图,连接 OA,OC. ∵ BE 为☉O 的直径, ∴ ∠BCE= 90°, ∴ ∠CBE+∠CEB= 90°. ∵ OC=OE, ∴ ∠OEC= ∠OCE. ∵ ∠DCE= ∠CBD, ∴ ∠OCE+∠DCE= 90°, ∴ ∠OCD= 90°, ∴ 在 Rt△OCD 中,OC= 4, ∴ tan D= OC CD , CD= 4÷ 4 3 = 3, ∴ OD= OC2 +CD2 = 42 +32 = 5. ∵ AB=BC,OA=OC, ∴ BD 垂直平分 AC, ∴ CF⊥BD, ∴ S△OCD = 1 2 ·OD·CF= 1 2 ·OC·CD, ∴ 5CF= 3×4 = 12, 即 CF= 12 5 . 在 Rt△CFD 中, ∴ tan D= CF DF , ∴ DF= 12 5 ÷ 4 3 = 9 5 , ∴ OF=OD-DF= 5- 9 5 = 16 5 , ∴ BF=OB+OF= 4+ 16 5 = 36 5 . 在 Rt△CFB 中, BC= CF2 +BF2 = 12 5( ) 2 + 36 5( ) 2 = 12 5 10 . 22. (1)证明:∵ ∠ACE= 90°, ∴ ∠ACB+∠DCE= 90°. ∵ ∠CBA= ∠CDE= 90°, ∴ ∠ACB+∠BAC= 90°, ∴ ∠BAC= ∠DCE. ∵ CE=AC, ∴ △ABC≌△CDE(AAS) . (2)证明:如图,过点 A 作 AN⊥BD 交 BD 延长线于点 N. ∵ AN⊥BD,∠ABC= 90°, ∴ ∠ANB= ∠ABC= 90°. ∵ ∠ABD+∠CBD= 90°, ∠ABD+∠BAN= 90°, ∴ ∠CBD= ∠BAN, ∴ ∠ADB= 135°, ∴ ∠ADN= 180°-∠ADB= 45°, ∴ ∠DAN= 90°-∠ADN= 45°, ∴ ∠ADN= ∠DAN= 45°, ∴ AN=DN. ∵ 在 Rt△ADN 中, sin∠ADN= AN AD = 2 2 , ∴ AD= 2AN. ∵ AD= 2BD, ∴ AN=BD, ∴ BN=BD+DN= 2AN. ∵ AB=BC, ∴ △ABN≌△BCD(SAS), ∴ BD=AN,CD=BN, ∴ CD= 2BD. (3)解:如图,过点 G 作 GQ⊥EF 于点 Q,过点 A 作 AM⊥ DB 交 DB 延长线于点 M. ∵ ∠CDB+∠AMB= 180°, ∴ CD∥AM, ∴ ∠ADC= ∠DAM. 在 Rt△ADM 中, tan∠DAM= tan∠ADC= DM AM = 7 4 . 设 AM= 4x,DM= 7x, ∴ DM2 +AM2 =AD2, 65x2 = 65, 即 x= 1(舍去负值), ∴ AM= 4,DM= 7. ∵ ∠ABC= 90°, ∴ ∠CBD+∠ABM= 90°. ∵ ∠CBA= ∠CDB= 90°, ∠CBD+∠BCD= 90°, ∴ ∠ABM= ∠BCD. ∵ AM⊥DB, ∴ ∠AMB= ∠CDB= 90°. ∵ AB=BC, ∴ △ABM≌△BCD(AAS), ∴ AM=BD= 4,BM=CD, ∴ BM=DM-BD= 3, ∴ CD=BM= 3. 在 Rt△CDB 中, BC=AB= CD2 +BD2 = 5. ∵ 四边形 ABDE 是平行四边形, ∴ AB∥DE,AB=DE= 5, ∴ ∠ABC= ∠DHB= 90°, ∴ S△CDB = 1 2 CD·BD= 1 2 BC·DH, 解得 DH= 12 5 , ∴ EH=DE-DH= 13 5 . 在 Rt△CDH 中, CH= CD2 -DH2 = 9 5 , ∴ BH=BC-CH= 16 5 . ∵ ∠ABC= 90°,AB=BC, ∴ ∠ACB= ∠CAB= 180°-∠ABC 2 = 45°. ∵ ∠FHC= 90°, ∴ ∠CFH= 180°-∠FHC-∠FCH= 45°, ∴ ∠CFH= ∠FCH= 45°, ∴ CH=FH= 9 5 , ∴ DF=DH+FH= 21 5 , ∴ EF=DE-DF= 4 5 . 在 Rt△EHB 中, tan ∠BEH= BH EH = 16 13 . 在 Rt△EGQ 中, tan ∠GEQ= QG EQ = 16 13 . 设 QG= 16n,EQ= 13n. ∵ ∠CFH= ∠GFQ= 45°,GQ⊥EF, ∴ ∠GFQ=∠FGQ=180°-∠GFQ-∠GQF=45°, ∴ QG=QF= 16n, ∴ EF=EQ+FQ= 29n= 4 5 , 得 n= 4 145 , ∴ QG= 16n= 64 145 , ∴ S△EGF = 1 2 EF·QG= 1 2 × 4 5 × 64 145 = 128 725 . 23. (1)解:①由题意得 y= ax2 -2ax-3a, ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 1, ∴ 当 x= 1 时,y= 1+1 = 2, ∴ C(1,2), ∴ CQ= 2. ∵ C 为 PQ 的中点, ∴ PQ= 2CQ= 4, ∴ P(1,4) . ∵ 点 P 在 y= ax2 -2ax-3a 的图象上, ∴ a-2a-3a= 4, 解得 a= -1, - 113 - - 114 - ∴ y= -x2 +2x+3. ②证明:如图 1,过点 D 作 DH⊥PQ 于 点 H. 当 x= 1 时, y= a-2a-3a= -4a, ∴ P(1,-4a), ∴ PQ= -4a. ∵ C 为 PQ 的中点, ∴ PC=CQ= 1 2 PQ= -2a, ∴ C(1,-2a) . 当 y= 0 时, ax2 -2ax-3a= 0, x2 -2x-3 = 0, 解得 x1 = -1,x2 = 3, ∴ A( -1,0) . 设直线 AC 的表达式为 y= kx+b, -k+b= 0, k+b= -2a,{ 解得 k= -a, b= -a,{ ∴ y= -ax-a. 联立 y= -ax-a, y= ax2 -2ax-3a,{ ∴ ax2 -ax-2a= 0, x2 -x-2 = 0, 解得 x1 = -1,x2 = 2. 当 x= 2 时,y= 4a-4a-3a= -3a, ∴ QH= -3a, ∴ PH=PQ-QH= -a, CH=QH-QC= -a, ∴ PH=CH. ∵ DH⊥PQ, ∴ DP=DC, ∴ △PCD 是等腰三角形. (2)解:设 A( -m,0),B(2+m,0), ∴ 二次函数的表达式为 y= a(x+m)(x-2-m) . 当 x= 1 时, y= -a(1+m) 2, ∴ P(1,-a(1+m) 2) . 当 x= 1 时, y= c-a, ∴ P(1,c-a), ∴ c-a= -a(1+m) 2 . ∵ c≠a,∴ 1+m≠0. 如图 2,在直线 AC 上取点 E,使得 PE=CE,过点 E 作 EF ⊥PQ 于点 F. ∵ PE=CE,EF⊥PQ, ∴ PF=CF= 1 2 PC. ∵ PC=CQ= 1 2 PQ, ∴ QF= 3 4 PQ= - 3 4 a(1+m) 2,CF= 1 2 CQ. ∵ OQ= 1,∴ OA=OQ+OA= 1+m. ∵ EF⊥PQ,PQ⊥x 轴, ∴ ∠DFC= ∠CQA= 90°, ∴ EF∥AQ. 在 Rt△EFC 和 Rt△CQA 中, tan∠FEC= CF BF ,tan∠CAQ= CQ AQ , ∴ CF EF =CQ AQ , ∴ EF= 1 2 AQ= 1 2 (1+m), ∴ E 3 2 + 1 2 m,- 3 4 a(1+m) 2é ë êê ù û úú , 将 x= 3 2 + 1 2 m 代入 y= a(x+m)(x-2-m), 得 y= - 3 4 a(1+m) 2, ∴ 点 E 在二次函数图象上, ∴ 点 E 与点 D 重合. 当∠APD= 90°时, ∴ ∠APD= ∠DPF+∠APQ= 90°. ∵ ∠APQ+∠PAQ= 90°, ∴ ∠DPF= ∠PAQ. 在 Rt△APQ 和 Rt△DPF 中, tan ∠PAQ= -a(1+m) 2 1+m , tan ∠DPF= DF PF = 1 2 (1+m) - 1 4 a(1+m) 2 , ∴ -a(1+m) 2 1+m = 1 2 (1+m) - 1 4 a(1+m) 2 , -a(1+m) 2 = - 2 a , ∴ c-a= - 2 a . 当∠ADP= 90°时, ∴ ∠ADP= ∠PDF+ ∠CDF= 90°. ∵ PD=CD,DF⊥PC, ∴ ∠PDF= ∠CDF= 1 2 ∠ADP= 45°. 在 Rt△PDF 中, tan ∠PDF= PF DF = - 1 4 a(1+m) 2 1 2 (1+m) = 1, ∴ a(1+m)= -2, ∴ a2(1+m) 2 = 4, 即-a(1+m) 2 = - 4 a , ∴ c-a= - 4 a . 2024 年辽宁省本溪市中考模拟考试 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B B A D B C A 一、选择题 1. C　 解析:用科学记数法把一个数表示成 N = a×10n 的形 式,其中 1≤ | a | <10,n 为整数,当 | N | ≥10 时,n 为正整 数,且 n 等 于 原 数 整 数 位 数 减 1,故 51 270 000 000 = 5. 127×1010 . 故选 C. 2. C　 解析:俯视图是视线由上向下观察物体所得到的视 图,看到的线用实线,看不到的线用虚线. 故选 C. 3. D　 解析:用 A,B,C,D 分别表示《论语》 《孟子》 《大学》 《中庸》,画树状图如下: 共有 12 种等可能情况,其中两本恰好是《大学》 和《孟 子》的有 2 种,概率为 2 12 = 1 6 . 故选 D. 4. B　 解析:A. (-2a) 3·a2 = -8a3·a2 = -8a5,故 A 错误;B. a3 ÷a2 = a3-2 = a,故 B 正确;C. 2a3 -a3 = a3,故 C 错误;D. (a -b)(-a+b)= -(a-b)(a-b)= -(a2 -2ab+b2)= -a2 +2ab- b2,故 D 错误. 故选 B. 5. B　 解析:A. 是轴对称图形,但不是中心对称图形;B. 既 是轴对称图形又是中心对称图形;C. 是中心对称图形,但 不是轴对称图形;D. 既不是轴对称图形,也不是中心对称 图形. 故选 B. 6. A　 解析:A. “等角的补角相等”是真命题;B. 若 x2 = x, 则 x≥0,故 B 为假命题;C. 角平分线上的点到角两边的 距离相等,不是到角两边上的点,故 C 为假命题;D. 若 | x | = | y | ,则 x= y 或 x= -y,故 D 为假命题. 故选 A. 7. D　 解析:如图,连接 AO,A′O,作 AC ⊥x 轴于点 C,A′D⊥x 轴于点 D,易 证△ACO≌△ODA′,所以 OD = AC = 4,A′D=OC= 1,∴ A′(4,1) . 故选 D. 8. B　 解析:设 点 A 的 坐 标 为 a, 3 a( ) ,则 点 B 的 坐 标 为 a, k a( ) ,则 AM= 3 a ,BM= - k a . ∵ AM ∶ MB = 2 ∶ 3,∴ 3 a ∶ - k a( ) = 2 ∶ 3,得 k = -4. 5. 故 选 B. 9. C　 解析:如图,作 AF⊥BC 于点 F,交 l2 于点 G. ∵ l1∥l2∥l3, ∴ AG⊥DE. ∵ d1 = d2 = 3, ∴ AG=GF= 3,AF= 6, ∴ S△ADE = 1 2 DE·AG= 1 2 ×6×3 = 9. ∵ DE∥BC, ∴ △ADE∽△ABC, ∴ S△ADE S△ABC = AG AF( ) 2 = 3 6( ) 2 = 1 4 , ∴ S△ABC = 4S△ADE = 4×9 = 36. 故选 C. 10. A　 解析:∵ 四边形 ABCD 为菱形, ∴ AB = BC = CD = DA = 2 cm,∠B = ∠D= 60°, ∴ △ABC,△ACD 都是等边三角形, ∴ ∠CAB= ∠ACB= ∠ACD= 60°. 如图 1 所示,当 0≤x≤1 时,AQ= 2x,AP= x, 作 PE⊥AB 于点 E, ∴ PE= sin ∠PAE·AP= 3 2 x, ∴ y= 1 2 AQ·PE= 1 2 ×2x× 3 2 x= 3 2 x2, 故 D 错误. 如图 2,当 1<x≤2 时,AP= x,CQ= 4- 2x, 作 QF⊥AC 于点 F, ∴ QF= sin ∠ACB·CQ= 3 2 (4-2x), ∴ y= 1 2 AP·QF = 1 2 x× 3 2 (4 - 2x) = - 3 2 x2 + 3 x,故 B 错误. 如图 3,当 2<x≤3 时,CQ= 2x-4,CP = x-2, ∴ PQ=CQ-CP= 2x-4-x+2 = x-2. 作 AG⊥DC 于点 G,