专题3.4 函数的单调性与最值（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第一册）

专题3.4 函数的单调性与最值 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高一上·江苏苏州·期中）设偶函数在上是增函数,则使得成立的的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由偶函数在上是增函数，则可化为，从而求解. 【详解】偶函数在上是增函数， 且， ， ， 解得：. 故选：. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用，考查偶函数的性质，考查学生的分析问题解决问题的能力，属于中档题. 2．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知幂函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性解不等式，同时注意定义域的取值范围，即可得解. 【详解】由的定义域为， 且在定义域上为在增函数， 所以若要， 则要， 解得， 故选：C. 3．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数f(x)=，若1时>0恒成立，则实数a的取值范围是 A．(-∞,4) B．（4,+∞) C．(-∞,5) D．（5,+∞) 【答案】A 【分析】先求出=在1时的取值范围，然后求出结果 【详解】由题意可知 当时， 解得 故选 【点睛】本题考查了函数单调性的运用，为满足恒成立，只需要最小值满足题意即可，较为基础． 4．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）在实数的原有运算中，我们定义新运算“”为：当时，；当时，．设函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数解析式，再根据二次函数的性质计算可得. 【详解】解：依题意，， 函数，在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以函数的值域为； 故选：D． 5．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）函数的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：设，得，又函数在定义域上显然是增函数，所以当时，取最大值，选C. 考点：函数的单调性和最值. 6．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论，，三种情况，列式求的取值范围. 【详解】当时，，函数的值域是，满足条件， 当时，，解得：， 当，不满足条件， 综上可知，. 故选：A 7．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数满足对任意，且，都有成立，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，判断出的单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】由得，上，为增函数，得 ，解得. 故选：B 8．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得函数的单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】由，可得当，则， 所以函数在上单调递减， 又， 可得， 解得. 所以实数a的取值范围为 故选：A. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高一上·广东佛山·期中）下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A：由反比例函数的图象即可判断；B：由一次函数的图象即可判断；C：开由二次函数的图象即可判断；D：利用单调性的定义进行判断. 【详解】A：由反比例函数的图象可知在区间和上单调递减，故A错误； B：由一次函数的图象可知在区间上单调递减，故B正确； C: 开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，在单调递减，故C正确； D：设，令，，即，由函数单调性得概念可知在上单调递增，故D正确 故选：BCD. 10．（24-25高一·全国·课后作业）如果函数在上是增函数，那么对于任意的，下列结论中不正确的是 A． B． C．若，则 D． E． 【答案】CD 【分析】根据单调性的定义与的符号相同，逐个判断即可. 【详解】因为在上是增函数，所以对于任意的，与的符号相同，故A，B正确，D不正确； C中，若，则，所以C不正确，E正确. 故选CD 【点睛】本题考查对单调性定义的理解，是基础题. 11．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数的定义域为，满足对任意，都有，且时，．则下列说法正确的是（    ） A．或2 B．当时， C．在是减函数 D．存在实数使得函数在是减函数 【答案】BD 【分析】利用赋值法，令，求出，再令进行检验，即可判断A； 当时，则，故，令，得出与关系，进而得出的范围，即可判断B； 利用函数单调性的定义，由，结合已知条件可得，从而得出函数的单调性，即可判断C； 因为函数在上为增函数，若在上递减，则时，，则，由此可求得，即可判断D． 【详解】令，则，即，解得或， 当时，令，则，解得，与时，矛盾，所以，故A错误； 当时，则，故， 令，则， 整理得，则， ∵，∴，，∴，故B正确； 设，则， ， ∵，，∴， ∴，∴， 所以函数在上单调递增，故C错误； 因为函数在上为增函数，所以在上也为增函数， 若在上递减，则时，， 则时，，即， 又因为当时，，所以，故D正确． 故选：BD． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024高三·全国·专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】先求得的单调递增区间为，根据题意得到，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的单调递增区间为， 因为在上单调递增，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（23-24高一上·山东青岛·期中）设函数，若函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析在同一坐标系中的图象知只能为R上的单调递增， 由的单调区间知，分别就从图象上观察的单调性，确定的取值范围. 【详解】因为当时，均为增函数，故只能为R上的单调递增函数， 在上为增函数，在上为减函数，故， 当时，，观察图象知为R上的单调递增函数； 当时，，均为增函数，且在处，的函数值比的函数值小，观察图象知为R上的单调递增函数； 当时，当时，，从图象上看，图象比图象高，故为R上不再单调，所以不合题意； 综上：. 故答案为：. 14．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据是R上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案. 【详解】因为函数满足对上的任意实数，恒有成立， 所以函数在R上递减， 所以，即，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（23-24高一上·山东济南·期末）已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据二次函数转化为不含参数的一元二次不等式直接求解即可； （2）利用二次函数的单调性分类讨论即可求得实数a的取值范围. 【详解】（1）解：当时， 此时不等式，即，解得：或 所以不等式的解集为或； （2）解：若在区间上单调递减 因为的对称轴为， 当时，开口向下，且 此时在区间上单调递减. 所以； 当时，开口向上，且 故.所以； 综上所述，实数a的取值范围为或. 16．（23-24高一上·广西钦州·期中）已知函数. (1)若函数的最小值为0，求实数的值； (2)是否存在实数，使得当时，的取值范围是？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1); (2)存在，. 【分析】（1）利用配方法可得函数的最小值为，从而可求实数的值； （2）分、与讨论求得的值域，根据的取值范围是即可求实数的值. 【详解】（1）， 当时，函数取得最小值，由，解得. （2）函数的图象的对称轴为，开口向上， ①若，即， 当时，y随x的增大而增大， 则 ,解得； ②若，即， 则当时，取得最小值， 令，解得，都与矛盾； ③若，即， 当时，y随x的增大而减小， 则，整理得，不成立． 综上所述，. 17．（23-24高一上·安徽合肥·期中）若函数,且. （1）求的值,写出的表达式; （2）用定义证明在上是增函数. 【答案】（1）,,.（2）答案见解析. 【分析】（1）根据待定系数法求出的值,即可求出的表达式; （2）根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可. 【详解】（1） 则 解得:, （2）在上任取且则 因为 则 故 故 综上所述,在上是增函数. 【点睛】本题考查了用定义法证明函数单调性,在用定义法证明函数单调时要注意在所给定义内要任取两个自变量,化简表达式,时单调递增, 时单调递减. 18．（23-24高一上·四川南充·期中）设是定义在上的单调递增函数，满足. （1）求； （2）解不等式. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据可令，从而可求出的值；（2）根据条件可求出，原不等式可化为，再根据是定义在上的单调递增函数列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）∵，令， ∴， ∴. （2）∵，， ∴，， ∴由得， 且是定义在上的单调递增函数， ∴，解得， 故原不等式的解集是． 【点睛】本题主要考查了增函数的定义，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于中档题． 19．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知函数. （1）分别指出函数在与上单调性（不需要证明）； （2）若对，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）若，使得不等式成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）在和是增函数；（2）；（3）. 【解析】（1）根据函数解析式即可判断的单调性即可. （2）[等价转化法] 使恒成立等价于在上求a的范围；[分离变量法]由原不等式得，恒成立，即求a的范围； （3）[等价转化法] 使能成立等价于在上求a的范围；[分离变量法]由原不等式得，能成立，即求a的范围； 【详解】（1）在上是增函数；在也是增函数. （2）解法1：等价转化法 ∵函数在上是增函数，有. 而对不等式恒成立等价于，解得：， ∴实数的取值范围为； 解法2：分离变量法 对，不等式恒成立等价于，即对，，令， ∴即可，在上是增函数，所以， ∴实数的取值范围为； （3）解法1：等价转化法 ∵函数在上是增函数，有. 而使得不等式成立等价于，解得：， ∴实数的取值范围为. 解法2：分离变量法 若，使得不等式成立等价于，即，，令，等价于， ∵在上是增函数，则， ∴，即实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：对于不等式恒或能成立问题，可转化为对应区间上函数最值的不等关系， 1、上恒成立，即上. 2、上恒成立，即上. 3、上能成立，即上. 4、上能成立，即上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 函数的单调性与最值 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高一上·江苏苏州·期中）设偶函数在上是增函数,则使得成立的的取值范围是 A． B． C． D． 2．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知幂函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数f(x)=，若1时>0恒成立，则实数a的取值范围是 A．(-∞,4) B．（4,+∞) C．(-∞,5) D．（5,+∞) 4．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）在实数的原有运算中，我们定义新运算“”为：当时，；当时，．设函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）函数的最大值为 A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数满足对任意，且，都有成立，则的范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高一上·广东佛山·期中）下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 10．（24-25高一·全国·课后作业）如果函数在上是增函数，那么对于任意的，下列结论中不正确的是 A． B． C．若，则 D． E． 11．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数的定义域为，满足对任意，都有，且时，．则下列说法正确的是（    ） A．或2 B．当时， C．在是减函数 D．存在实数使得函数在是减函数 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024高三·全国·专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 13．（23-24高一上·山东青岛·期中）设函数，若函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是 ． 14．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（23-24高一上·山东济南·期末）已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围. 16．（23-24高一上·广西钦州·期中）已知函数. (1)若函数的最小值为0，求实数的值； (2)是否存在实数，使得当时，的取值范围是？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由． 17．（23-24高一上·安徽合肥·期中）若函数,且. （1）求的值,写出的表达式; （2）用定义证明在上是增函数. 18．（23-24高一上·四川南充·期中）设是定义在上的单调递增函数，满足. （1）求； （2）解不等式. 19．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知函数. （1）分别指出函数在与上单调性（不需要证明）； （2）若对，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）若，使得不等式成立，求实数a的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$