第12讲 任意角的三角函数（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第12讲 任意角的三角函数 【人教A版2019】 模块一 任意角和弧度制 1．角的概念的推广 (1)角：一条射线绕着端点(顶点)从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)所成的图形.其中顶点、始边、终边称为角的三要素. (2)角按其旋转方向可分为：正角(逆时针旋转),零角(没有旋转),负角(顺时针旋转). (3)在直角坐标系中讨论角： ①象限角：顶点在原点，始边在x轴正半轴上，终边在第几象限就是第几象限角. ②轴线角：顶点在原点，始边在x轴正半轴上，终边在坐标轴上，称之为轴线角. 2．终边相同的角 若角,终边相同，则它们的关系为：将角的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角. 一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 3．角度制、弧度制的概念 (1)角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角 度制. (2)弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. (3)弧度数 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么.其中，的正负由角的终边的旋 转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 4．角度与弧度的换算 (1)弧度与角度的换算公式 5．弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 【题型1 终边相同的角】 【例1.1】（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据终边相同的角的定义列式逐项检验即可. 【解答过程】与角终边相同的角为， 对于A，令，解得，错误； 对于B，令，解得，正确； 对于C，令，解得，错误； 对于D，令，解得，错误. 故选：B. 【例1.2】（23-24高一·上海·课堂例题）在下列各组的两个角中，终边不重合的一组是（    ） A．与677° B．900°与 C．与960° D．150°与630° 【解题思路】根据终边相同的角的知识求得正确答案. 【解答过程】A选项，由于，所以和终边相同； B选项，由于，所以和终边相同； C选项，由于，所以和终边相同； D选项，由于，所以和终边不相同. 故选：D. 【变式1.1】（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用终边相同角的定义即可求得与的终边相同的角. 【解答过程】与的终边相同的角为. 故选：B. 【变式1.2】（23-24高一下·安徽蚌埠·阶段练习）将角的终边绕坐标原点O逆时针旋转60°后与130°角的终边重合，则与角终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意设，解出即可； 【解答过程】设， 解得， 所以与角终边相同的角的集合为， 故选：B. 【题型2 象限角及其判定】 【例2.1】（23-24高一上·河北唐山·期末）已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【解题思路】，再根据终边相同的角的集合，判断是第几象限角，即可求出结果. 【解答过程】因为，又是第三象限角， 所以是第三象限角， 故选：C. 【例2.2】（23-24高一下·上海嘉定·期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据象限角的概念判断即可. 【解答过程】若是第一象限角，则， ，则是第四象限角，故D错误； ，则是第一象限角，故A错误； ，则是第二象限角，故B错误； ，则是第三象限角，故C错误. 故选：C. 【变式2.1】（23-24高一下·四川达州·阶段练习）已知为第二象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第一或第三象限 【解题思路】由象限角的定义可得出，求出的取值范围，对分奇数和偶数两种情况讨论，可得出的终边所在的象限. 【解答过程】因为为第二象限角，则， 所以，， ①当为奇数时，设，则， 即，此时为第三象限角； ②当为偶数时，设，则， 此时为第一象限角. 综上所述，为第一或第三象限角. 故选：D. 【变式2.2】（23-24高一下·江西·期中）设是第一象限角，且，则是第（    ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【解题思路】计算得到，，再根据得到答案. 【解答过程】∵是第一象限角，∴，， ∴，， ∴为第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴线角， ∵，∴，∴是第二象限角. 故选：B. 【题型3 弧长公式与扇形面积公式的应用】 【例3.1】（23-24高一上·山东德州·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积. 【解答过程】 可得：扇形面积， 三角形面积， 可得弓形面积， 故选：C. 【例3.2】（23-24高一上·黑龙江·期末）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设弧的长为，弧的长为，根据弧长公式结合已知可推得.结合已知条件得出方程组，求解即可得出答案. 【解答过程】 如图，设弧的长为，弧的长为. 因为该扇形的圆心角的弧度数为2.5， 所以，， 即，. 因为，所以. 又因为， 联立可得， 解得，所以该扇环的内弧长为. 故选：A. 【变式3.1】（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知扇形的半径，周长为， (1)求扇形的面积； (2)在区间上求出与此扇形的圆心角终边相同的角. 【解题思路】（1）根据扇形周长可求出弧长，利用面积公式即可求解； （2）利用弧长公式求出圆心角，由终边相同的角即可求. 【解答过程】（1）设扇形的弧长为，因为， 由题意，扇形的周长为， 所以， 所以扇形的面积为. （2）由（1）可知，圆心角， 故与终边相同的角的集合为， 中适合的元素有 ，， 故在区间[0,4π]上与此扇形的圆心角终边相同的角为和. 【变式3.2】（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.    (1)若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度； (2)若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值. 【解题思路】（1）由题可得弧与弧的长度关系，结合条件可解； （2）利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积，利用基本不等式求最值. 【解答过程】（1）设弧的长度为厘米，弧的长度为厘米. 因为，所以，所以. 因为厘米，所以厘米. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以， 所以，解得，即弧的长度为160厘米. （2）因为，所以，所以， 则扇形的面积，扇形的面积， 故该扇形玉雕壁画的扇面面积. 因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以 所以， 则，从而，当且仅当时，等号成立， 故，即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6400平方厘米. 【题型4 扇形中的最值问题】 【例4.1】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【解题思路】设扇形圆心角为，扇形半径为r，由题可得间关系，后用r表示S，即可得答案. 【解答过程】设扇形圆心角为，，扇形半径为，， 由题有， 则，当时取等号. 故选：D. 【例4.2】（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【解题思路】设扇形的弧长为，半径为，由题意可知，再利用基本不等式，即可求出扇形的周长最小值. 【解答过程】设扇形的弧长为，半径为， 所以扇形的面积为，所以， 又扇形的周长为，所以，当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 【变式4.1】（23-24高一上·河北张家口·期末）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值. 【解题思路】（1）利用扇形弧长公式直接求解即可； （2）根据扇形周长可得，代入扇形面积公式，由二次函数最值可确定结果. 【解答过程】（1），扇形的弧长； （2）扇形的周长，， 扇形面积， 则当，， 即当时，扇形面积最大值. 【变式4.2】（23-24高一下·湖北宜昌·期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 【解题思路】(1)根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式； (2)根据面积公式求出关于的函数表达式，根据二次函数性质可得的最大值． 【解答过程】（1）根据题意，弧的长度为米，弧的长度米， ， ． （2）依据题意，可知， 化简得：，， 当，． ∴当时，y的值最大，且最大值为． 模块二 三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意角，∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即y=； ②把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即x=； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即= (x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离 为r.则=，=，=. 2．三角函数的定义域和函数值的符号 (1)三角函数的定义域 三角函数 定义域 (2)三角函数值在各象限的符号 由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 因此，正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示. 【题型5 求三角函数值】 【例5.1】（23-24高一上·福建莆田·期末）对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数的图象特点确定的图象所过定点坐标，结合正切函数的定义，即可求得答案. 【解答过程】对于函数，令， 故的图象过定点， 由于点在角的终边上，则， 故选：B. 【例5.2】（23-24高一上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求解，利用三角函数的定义求解. 【解答过程】因为角终边经过点，所以， 故. 故选：C. 【变式5.1】（23-24高一下·辽宁·阶段练习）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三角函数的定义求出，，再代入计算可得. 【解答过程】因为角的终边经过点， 所以，， 所以 . 故选：D. 【变式5.2】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点，则（    ） A． B． C．0 D．1 【解题思路】根据三角函数的定义，求得，代入即可求解. 【解答过程】由终边经过点，根据三角函数的定义，可得， 所以，则 故选：B. 【题型6 由三角函数值求终边上的点或参数】 【例6.1】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用三角函数的定义列式计算即得. 【解答过程】依题意，，（为坐标原点）， 则，所以. 故选：A. 【例6.2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若，且角的终边经过点，则点的纵坐标是（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】由三角函数定义，先表示出，再化简运算即可求出. 【解答过程】由，又点在的终边上，故角为第四象限角， 故 ，即，解得或(舍去)． 故选：D. 【变式6.1】（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知，，则的终边与以原点为圆心，为半径的圆的交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设交点为，根据三角函数的定义得到方程组，解得即可. 【解答过程】设交点为，则，解得， 所以交点坐标为. 故选：D. 【变式6.2】（2024·福建福州·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，为其终边上一点，则（   ） A． B．4 C． D．1 【解题思路】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解． 【解答过程】始边与轴非负半轴重合，，为其终边上一点， 则，且，解得． 故选：D． 【题型7 三角函数值在各象限的符号】 【例7.1】（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）若为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据角的范围可取特殊值验证选项ABD错误，再由第二象限正弦、余弦值的符号可得C正确. 【解答过程】若为第二象限角，当时，可得在第四象限，此时，，即A错误，B错误； 当时，可得，即D错误； 由为第二象限角可得，所以，即C正确. 故选：C. 【例7.2】（24-25高一上·上海·单元测试）若，且，则角是第（    ）象限的角. A．一 B．三 C．一或三 D．二或四 【解题思路】先判断角所在的象限，再判断角所在的象限. 【解答过程】由条件知与异号，则为第二或第三象限的角.又与异号，则为第三或第四象限的角， 所以为第三象限的角，即，， ∴，， ∴为第二或第四象限的角. 故选：D. 【变式7.1】（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断角属于第几象限： (1)且； (2)且． 【解题思路】根据题意，利用三角函数在各象的正负情况，逐一判断即可. 【解答过程】（1）由，得角是第三、四象限角，由，得角是第二、三象限角， 所以角是第三象限角. （2）由，得角是第三、四象限角，或角的终边为轴非正半轴， 由，得角是第一、三象限角， 所以角是第三象限角. 【变式7.2】（23-24高一·全国·随堂练习）确定下列各式的符号： (1)； (2)． 【解题思路】利用三角函数在各象的正负情况即可得解. 【解答过程】（1）因为，所以是第二象限角， 所以，故. （2）因为，所以是第二象限角，则， 因为，所以是第三象限角，则， 因为，所以是第四象限角，则， 故. 一、单选题 1．（2024高三·北京·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．第二象限角都是钝角 B．第二象限角大于第一象限角 C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合 D．若角α与角β的终边在一条直线上，则 【解题思路】根据终边相同的角判断A，B，C，再根据终边在一条直线上列式判断D. 【解答过程】A错，是第二象限角，但不是钝角； B错，是第二象限角，是第一象限角，但； C错，，则，但二者终边重合； D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍， 故. 故选：D. 2．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用终边相同角的概念公式求解即可. 【解答过程】解：， 与角终边相同的角是． 故选：B. 3．（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）若角的终边经过点，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知得出为第二象限角，求出满足条件的一个的值，即可得出答案. 【解答过程】由点位于第二象限可得，角为第二象限角. 又， 则当时，有. 所以，与终边相同的角的集合为. 因为满足，不满足，不满足，不满足. 故选：A. 4．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据的范围求得是第一､三象限角，分类讨论，根据三角函数符号即可判断. 【解答过程】因为在第一象限，所以，， 所以，，所以是第一､三象限角， 当是第一象限角时，，，，； 当是第三象限角时，，，，； 综上，一定成立. 故选：C. 5．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【解题思路】用终相同的角写出角的表示，计算，让整数取相邻的整数代入确认． 【解答过程】由与210°角的终边关于x轴对称，可得， ∴， 取可确定终边在第一或第三象限角. 故选：B． 6．（23-24高一上·天津河西·期末）已知是第一象限角，那么不可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【解题思路】由题意可得，由此得，讨论k的取值，即分、、进行讨论，即可确定答案. 【解答过程】由题意是第一象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第二象限角； 当时，，是第三象限角； 故不可能是第四象限角， 故选：D. 7．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】画图设外接圆半径，利用正三角形性质可得圆弧长，再由弧度制定义可得. 【解答过程】不妨设正的外接圆半径，圆心为， 取的中点为，连接，易知在上，且，；如下图所示： 在中，，所以； 依题意可知该圆弧长， 所以圆心角. 故选：C. 8．（23-24高一下·河南南阳·期中）圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据扇形面积公式计算即可得解. 【解答过程】由扇形面积公式（其中为扇形弧长，为扇形圆心角，为扇形半径）可得，扇环面积. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高一上·江西宜春·期末）下列说法正确的是（    ） A．与的终边相同 B．若为第二象限角，则为第一象限角 C．终边经过点的角的集合是 D．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为 【解题思路】利用终边相同的角的概念可判断A；利用特殊值法可判断B；由终边相同角的定义可判断C；利用扇形的面积公式可判断D. 【解答过程】对于A，因为，所以与的终边相同，正确； 对于B，取，则为第二象限角，但为第三象限角，错误； 对于C，终边经过点的角的集合是，正确； 对于D，设扇形的半径为，则，可得， 因此，该扇形的面积为，正确. 故选：ACD. 10．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）的值可能为（    ） A．1 B．3 C． D． 【解题思路】根据角所在的象限分类讨论即可. 【解答过程】因为， 所以且， 若在第一象限，则，故原式， 若在第二象限，则，原式， 若在第三象限，则，原式， 若在第四象限，则，原式 故选：AD. 11．（23-24高一上·吉林长春·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（    ） A． B．若，扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为 【解题思路】对于A,利用扇形面积计算公式进行计算即可；对于B，根据条件求得的值，利用公式计算即可；对于C，利用条件建立方程，解出即可；对于D，根据条件求得的值，利用公式计算即可. 【解答过程】对于A,所在的扇形的圆心角分别为, 所以，故A正确； 对于B，若，则，又， 则，故B错误； 对于C，若， 所以，故C正确； 对于D,若，，又， 所以， 故D正确， 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）在平面直角坐标系中， 角的终边终边过点，则 . 【解题思路】根据条件，利用三角函数的定义，即可求解. 【解答过程】因为角的终边终边过点， 所以，， 得到， 故答案为：. 13．（2024高三·全国·专题练习）已知角的终边在第四象限，则角的终边所在 第二､第三或第四 象限. 【解题思路】利用的范围计算的范围，分类讨论计算即可. 【解答过程】因为为第四象限角，所以， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第三象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二､第三或第四象限. 故答案为：第二、第三或第四. 14．（24-25高三上·河南·阶段练习）若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为 2 ． 【解题思路】设扇形AOB的半径、弧长分别为r，l，进而根据扇形的面积公式可得，再结合基本不等式求解扇形AOB的周长最小时圆心角的弧度数. 【解答过程】设扇形AOB的半径、弧长分别为r，l， 则，即， 所以周长， 当且仅当时取等号， 所以当扇形AOB的周长最小时，圆心角的弧度数为. 故答案为：2. 四、解答题 15．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列弧度化为角度： (1) (2) (3)（结果精确到0.01°）． 【解题思路】利用即可得出答案. 【解答过程】（1）=. （2）=. （3）=. 16．（23-24高一·上海·课堂例题）在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角： (1)； (2)905.3°； (3)； (4)530° 【解题思路】根据终边相同的角的公式，写出即可. 【解答过程】（1） 是第一象限的角, 是第一象限的角; （2） 是第三象限的角, 是第三象限的角; （3） 是第四象限的角, 是第四象限的角; （4） 是第二象限的角, 是第二象限的角. 17．（23-24高一·上海·课堂例题）根据角所属的象限，判断下列各式的符号： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）判断出所在象限，再利用三角函数在各个象的符号，即可求解； （2）判断出所在象限，再利用三角函数在各个象的符号，即可求解； （3）判断出所在象限，再利用三角函数在各个象的符号，即可求解； 【解答过程】（1）因为，所以是第三象限角，得到， 又,所以是第一象限角，得到， 所以. （2）因为是第二象限角，所以，又是第四象限角，所以， 故. （3）因为是第二象限角，所以，又是第四象角，所以， 又是第二象限角，所以，故. 18．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且有意义． (1)试判断角α的终边所在的象限； (2)若角α的终边上一点M的坐标为，且（O为坐标原点），求m的值及的值． 【解题思路】（1）根据三角正弦值及余弦值正负判断象限； （2）根据任意角的三角函数值求参，再根据正弦定义计算即可. 【解答过程】（1）由，可知， 由有意义，可知， ∴角α的终边在第四象限． （2）∵，∴，解得． 又α是第四象限角，故，即． 由正弦函数的定义可知． 19．（23-24高一上·全国·期末）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R. (1)若，，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值. 【解题思路】（1）利用弧度制转化角度，根据扇形面积公式，可得答案； （2）根据扇形周长以及面积计算公式，建立方程组，可得答案； （3）根据扇形周长的计算公式表示出半径与角度之间的关系，写出扇形面积的表达式，利用基本不等式，可得答案. 【解答过程】（1）由，则. （2）由，解得或18，因为，所以. （3）由，得， 则， 由，则，当且仅当时，等号成立， 当时，扇形面积有最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 任意角的三角函数 【人教A版2019】 模块一 任意角和弧度制 1．角的概念的推广 (1)角：一条射线绕着端点(顶点)从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)所成的图形.其中顶点、始边、终边称为角的三要素. (2)角按其旋转方向可分为：正角(逆时针旋转),零角(没有旋转),负角(顺时针旋转). (3)在直角坐标系中讨论角： ①象限角：顶点在原点，始边在x轴正半轴上，终边在第几象限就是第几象限角. ②轴线角：顶点在原点，始边在x轴正半轴上，终边在坐标轴上，称之为轴线角. 2．终边相同的角 若角,终边相同，则它们的关系为：将角的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角. 一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 3．角度制、弧度制的概念 (1)角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角 度制. (2)弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. (3)弧度数 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么.其中，的正负由角的终边的旋 转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 4．角度与弧度的换算 (1)弧度与角度的换算公式 5．弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 【题型1 终边相同的角】 【例1.1】（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高一·上海·课堂例题）在下列各组的两个角中，终边不重合的一组是（    ） A．与677° B．900°与 C．与960° D．150°与630° 【变式1.1】（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高一下·安徽蚌埠·阶段练习）将角的终边绕坐标原点O逆时针旋转60°后与130°角的终边重合，则与角终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【题型2 象限角及其判定】 【例2.1】（23-24高一上·河北唐山·期末）已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【例2.2】（23-24高一下·上海嘉定·期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一下·四川达州·阶段练习）已知为第二象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第一或第三象限 【变式2.2】（23-24高一下·江西·期中）设是第一象限角，且，则是第（    ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【题型3 弧长公式与扇形面积公式的应用】 【例3.1】（23-24高一上·山东德州·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高一上·黑龙江·期末）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知扇形的半径，周长为， (1)求扇形的面积； (2)在区间上求出与此扇形的圆心角终边相同的角. 【变式3.2】（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.    (1)若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度； (2)若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值. 【题型4 扇形中的最值问题】 【例4.1】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【例4.2】（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式4.1】（23-24高一上·河北张家口·期末）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值. 【变式4.2】（23-24高一下·湖北宜昌·期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 模块二 三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意角，∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即y=； ②把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即x=； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即= (x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离 为r.则=，=，=. 2．三角函数的定义域和函数值的符号 (1)三角函数的定义域 三角函数 定义域 (2)三角函数值在各象限的符号 由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 因此，正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示. 【题型5 求三角函数值】 【例5.1】（23-24高一上·福建莆田·期末）对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高一上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高一下·辽宁·阶段练习）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点，则（    ） A． B． C．0 D．1 【题型6 由三角函数值求终边上的点或参数】 【例6.1】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若，且角的终边经过点，则点的纵坐标是（    ） A．1 B． C． D． 【变式6.1】（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知，，则的终边与以原点为圆心，为半径的圆的交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（2024·福建福州·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，为其终边上一点，则（   ） A． B．4 C． D．1 【题型7 三角函数值在各象限的符号】 【例7.1】（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）若为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【例7.2】（24-25高一上·上海·单元测试）若，且，则角是第（    ）象限的角. A．一 B．三 C．一或三 D．二或四 【变式7.1】（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断角属于第几象限： (1)且； (2)且． 【变式7.2】（23-24高一·全国·随堂练习）确定下列各式的符号： (1)； (2)． 一、单选题 1．（2024高三·北京·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．第二象限角都是钝角 B．第二象限角大于第一象限角 C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合 D．若角α与角β的终边在一条直线上，则 2．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）若角的终边经过点，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 6．（23-24高一上·天津河西·期末）已知是第一象限角，那么不可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 7．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D．2 8．（23-24高一下·河南南阳·期中）圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·江西宜春·期末）下列说法正确的是（    ） A．与的终边相同 B．若为第二象限角，则为第一象限角 C．终边经过点的角的集合是 D．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为 10．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）的值可能为（    ） A．1 B．3 C． D． 11．（23-24高一上·吉林长春·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（    ） A． B．若，扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为 三、填空题 12．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）在平面直角坐标系中， 角的终边终边过点，则 . 13．（2024高三·全国·专题练习）已知角的终边在第四象限，则角的终边所在 象限. 14．（24-25高三上·河南·阶段练习）若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为 ． 四、解答题 15．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列弧度化为角度： (1) (2) (3)（结果精确到0.01°）． 16．（23-24高一·上海·课堂例题）在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角： (1)； (2)905.3°； (3)； (4)530° 17．（23-24高一·上海·课堂例题）根据角所属的象限，判断下列各式的符号： (1)； (2)； (3)． 18．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且有意义． (1)试判断角α的终边所在的象限； (2)若角α的终边上一点M的坐标为，且（O为坐标原点），求m的值及的值． 19．（23-24高一上·全国·期末）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R. (1)若，，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$