第13讲 同角基本关系与诱导公式（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第13讲 同角基本关系与诱导公式 【人教A版2019】 模块一 同角基本关系式 1．同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. (2)基本关系式的变形公式 2．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧 (1)利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化. (2)形如等类型可进行弦化切. 【题型1 同角基本关系式的应用】 【例1.1】（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知是第四象限角，若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】通过同角三角函数关系，求出，再求. 【解答过程】∵，， ∴， 是第四象限角，，则， ∴. 故选：D. 【例1.2】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据各象限三角函数的符号和同角三角函数的基本关系进行求值. 【解答过程】因为是第二象限角，所以. 又，，所以. 所以. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将两边平方，求出，即可得到且，最后根据计算可得. 【解答过程】因为，所以， 即，所以，即， 又是三角形的内角，所以，则， 所以. 故选：A. 【变式1.2】（23-24高一下·山东潍坊·期末）已知，则（    ） A．4 B． C． D．3 【解题思路】首先求出，再将弦化切，最后代入计算可得. 【解答过程】因为，所以， 所以. 故选：C. 【题型2 弦切互化】 【例2.1】（23-24高一下·上海·期中）已知是第三象限角，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由是第三象限角和商数关系结合即可求解. 【解答过程】因为，所以即， 又因为，所以，解得， 因为是第三象限角，所以. 故选：D. 【例2.2】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】将弦化切后计算即可得. 【解答过程】由，故， 则有. 故选：C. 【变式2.1】（23-24高一下·江西上饶·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接利用同角三角函数的关系式的变换求出结果． 【解答过程】因为， 平方得，又 故， 则． 故选：B. 【变式2.2】（23-24高一下·山西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先由得出，再将弦化切即可求解. 【解答过程】由得， 所以， 故选：B. 【题型3 三角函数式的化简、求值】 【例3.1】（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）（1）已知，求的值. （2）若，求的值. 【解题思路】（1）齐次化得到，代入求解即可； （2）两边平方，结合同角三角函数平方关系得到. 【解答过程】（1），故. （2）因为，两边同时平方得到， 整理得到，所以. 【例3.2】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【解题思路】（1）利用根式的化简与同角三角函数基本关系进行求解即可； （2）利用完全平方公式和同角三角函数的基本关系进行化简即可得解. 【解答过程】（1）原式=． （2）原式 ． 【变式3.1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求： (1)； (2). 【解题思路】（1）运用平方关系结合化弦为切即可求解； （2）结合（1）的结论化弦为切即可求解. 【解答过程】（1） ， 则， 即， 解得或. （2）原式. 当时，原式； 当时，原式. 【变式3.2】（23-24高一下·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 【解题思路】（1）根据同角三角函数的关系求解即可； （2）根据结合同角三角函数的关系求解即可. 【解答过程】（1）显然，故则，解得. （2） . 【题型4 三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系】 【例4.1】（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)． 【解题思路】（1）由左边，利用同角间正弦、余弦的关系，化简变形即可的证； （2）由右边，展开，利用同角间正弦、余弦的关系，化简后分解因式，即可得到左边，恒等式的证. 【解答过程】（1）左边 右边. 则恒等式成立. （2）右边 左边. 则恒等式成立. 【例4.2】（23-24高一下·全国·课后作业）求证： (1)； (2)已知，求证：. 【解题思路】利用同角三角函数的基本关系进行证明即可. 【解答过程】（1）左边 =右边. （2） ，成立. 【变式4.1】（23-24高一·江苏·课后作业）求证： （1）； （2）； （3）. 【解题思路】（1）利用同角三角函数的平方关系、商的关系即可证明. （2）利用平方关系即可证明. （3）利用同角三角函数的商的关系即可证明. 【解答过程】（1），即证. （2），即证. （3）右边 左边，即证. 【变式4.2】（23-24高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）利用平方差公式及证明. （2）利用提取公因式及证明. （3）利用通分，因式分解等式的运算结合证明. 【解答过程】（1）. 故成立. （2） 故成立. （3） . 故成立. 模块二 诱导公式 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 【题型5 三角函数的化简、求值——诱导公式】 【例5.1】（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式计算即得. 【解答过程】依题意，. 故选：A. 【例5.2】（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出角的终边经过某点的的三角函数值，再化简即可. 【解答过程】因为角的终边经过点 所以， 所以， 故选：B. 【变式5.1】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【解题思路】（1）利用诱导公式和同角关系式中的商数关系化简即可； （2）利用诱导公式化简即可. 【解答过程】（1）原式． （2）原式 ． 【变式5.2】（23-24高一上·山东淄博·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 【解题思路】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果； （2）利用诱导公式对原式进行化简，代入，的值，即可求出结果. 【解答过程】（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义知 ， ， （2）由诱导公式，得 . 【题型6 三角函数恒等式的证明——诱导公式】 【例6.1】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 【解题思路】利用诱导公式化简即可. 【解答过程】左边右边， 所以． 【例6.2】（24-25高一·全国·课后作业）求证：． 【解题思路】利用诱导公式化简即可证明； 【解答过程】证明：左边 =右边，所以原式成立． 【变式6.1】（24-25高一·全国·课后作业）求证:. 【解题思路】利用诱导公式对等式的左、右两边分别化简到，从而证明等式成立. 【解答过程】左边 , 右边左边. 故原等式成立. 【变式6.2】（23-24高一上·全国·课后作业）（1）求证：； （2）设，求证. 【解题思路】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论. 【解答过程】（1）左边=   =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 【题型7 同角关系式和诱导公式的综合应用】 【例7.1】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】同过诱导公式和同角三家函数间的基本关系，即可求解. 【解答过程】因为，， 所以， 故选：C. 【例7.2】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用诱导公式化简，结合三角函数定义可解. 【解答过程】 . 根据三角函数定义. ． 故选：D. 【变式7.1】（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求的坐标. 【解题思路】（1）根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式和同角三角函数关系化简求解即可； （2）由可得，，利用诱导公式化简结合三角函数的定义即可求解. 【解答过程】（1）因为点在单位圆上且，所以且，解得， 即， 由三角函数定义知，， 故原式. （2）由题意， 故. 【变式7.2】（23-24高一下·江西萍乡·期中）在①，②两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答. 已知角，且________. (1)求的值； (2)求的值. 【解题思路】（1）若选①，根据同角三角函数关系结合齐次化方法，可得，解方程求， 若选②，根据同角关系由求，再求； （2）根据诱导公式化简求值. 【解答过程】（1）若选①，因为，所以， 则，解得：或， 因为角，所以； 若选②，因为，角， 所以， 所以； （2）由（1）可知，， 所以 一、单选题 1．（23-24高一下·北京延庆·期末）若，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】应用同角三角函数关系结合三角函数的正负计算即可. 【解答过程】因为所以 又因为，所以, 因为，所以，所以. 故选：C. 2．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）求值：（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用三角函数的诱导公式化简求值即可. 【解答过程】 ， 故选：A. 3．（2024高三·北京·专题练习）若是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用同角三角函数的关系求出，结合诱导公式得到结果. 【解答过程】∵是第二象限角， ∴. ∵, ∴, ∴. 故选：D. 4．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】先利用同角三角函数的基本关系转化为一元二次方程，进而因式分解解方程并结合可得的值. 【解答过程】由题意可得，即，即， 又，故. 故选：B. 5．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先应用任意角三角函数的定义求出正切，再应用同角三角函数把弦化切得出等式的值. 【解答过程】因为为角终边上一点，所以， 所以. 故选：B. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且为第二象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件及诱导公式求解，再利用诱导公式和商数关系化简即可． 【解答过程】∵， ∴， ∴ ∵α为第二象限角， ∴， ∴ ． 故选：A. 7．（2024高三·北京·专题练习）已知角以为始边，它的终边与单位圆相交于点 ，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三角函数定义，结合诱导公式化简计算即可. 【解答过程】角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，点的纵坐标为，所以， 所以. 故选：C． 8．（2024高二下·浙江·学业考试）《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 【解题思路】利用图形以及“弦”和“矢”的定义，由平方关系可求得角的三角函数值，即可计算得出结果. 【解答过程】根据题意可设半径长， 可得， 由同角三角函数值之间的基本关系可得， 解得； 即可得,； 所以. 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知角和的终边关于x轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，然后根据诱导公式逐项判断即可. 【解答过程】因为角和的终边关于x轴对称，可得. 对于A，由，A正确； 对于B，由，B错误； 对于C，由，C正确； 对于D，由，D错误. 故选：AC. 10．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列计算或化简结果正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若α为第一象限角，则 【解题思路】由同角三角函数的商数关系可判断A、D，由同角三角函数的商数关系结合平方关系可判断B，由三角函数的符号可判断C. 【解答过程】对于A， ，A正确，,； 对于B，，B不正确，； 对于C，∵的范围不确定，∴的符号不确定，故C不正确． 对于D，∵α为第一象限角， ∴原式，D正确． 故选：AD. 11．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由条件平方后，可得，再求出后可得. 【解答过程】， ， ，故A正确B错误； 由，所以，， 又， 所以，故C错误D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（23-24高一上·安徽·期末）已知，则 . 【解题思路】由,然后用齐次化的方法求解即可. 【解答过程】 . 故答案为：. 13．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）若，则 2 . 【解题思路】借助诱导公式化简求值即可得. 【解答过程】原式. 故答案为：. 14．（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 . 【解题思路】由三角函数的定义求出，然后利用诱导公式化简式子计算即可. 【解答过程】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点， 所以由三角函数的定义可得：， . 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·辽宁沈阳·开学考试）计算 (1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）（3）利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即得. 【解答过程】（1） （2）. （3）. 16．（23-24高一下·山西忻州·开学考试）（1）角的终边上有一点，求的值； （2）若，求的值． 【解题思路】（1）利用三角函数的定义直接计算即得. （2）利用齐次式法计算即得. 【解答过程】（1）角的终边上有一点，则点到原点的距离， 所以，. （2）由，得. 17．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 【解题思路】（1）利用同角三角函数的基本关系化简求值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简证明. 【解答过程】（1）原式 . （2）左边 右边. 所以原等式成立. 18．（23-24高一上·上海·期末）已知，. (1)求的值； (2)求值：. 【解题思路】（1）将两边平方得到，进而求得，与联立求出、，即可得解； （2）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【解答过程】（1）因为， 所以，即， 即，所以， 又，则，所以，所以， 所以， 则 ， 所以，， 则． （2）因为， 所以 . 19．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 【解题思路】（1）由诱导公式化简即可； （2）由已知及诱导公式得，，根据同角三角函数的平方关系得出，即可求解． 【解答过程】（1） ． （2）因为，所以， ， ， 因为，所以， 故， 因此． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 同角基本关系与诱导公式 【人教A版2019】 模块一 同角基本关系式 1．同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. (2)基本关系式的变形公式 2．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧 (1)利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化. (2)形如等类型可进行弦化切. 【题型1 同角基本关系式的应用】 【例1.1】（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知是第四象限角，若，则（   ） A． B． C． D． 【例1.2】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高一下·山东潍坊·期末）已知，则（    ） A．4 B． C． D．3 【题型2 弦切互化】 【例2.1】（23-24高一下·上海·期中）已知是第三象限角，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．2 【变式2.1】（23-24高一下·江西上饶·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高一下·山西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 三角函数式的化简、求值】 【例3.1】（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）（1）已知，求的值. （2）若，求的值. 【例3.2】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【变式3.1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求： (1)； (2). 【变式3.2】（23-24高一下·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 【题型4 三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系】 【例4.1】（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)； (2)． 【例4.2】（23-24高一下·全国·课后作业）求证： (1)； (2)已知，求证：. 【变式4.1】（23-24高一·江苏·课后作业）求证： （1）； （2）； （3）. 【变式4.2】（23-24高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)． 模块二 诱导公式 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 【题型5 三角函数的化简、求值——诱导公式】 【例5.1】（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D．1 【例5.2】（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点则（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【变式5.2】（23-24高一上·山东淄博·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 【题型6 三角函数恒等式的证明——诱导公式】 【例6.1】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 【例6.2】（24-25高一·全国·课后作业）求证：． 【变式6.1】（24-25高一·全国·课后作业）求证:. 【变式6.2】（23-24高一上·全国·课后作业）（1）求证：； （2）设，求证. 【题型7 同角关系式和诱导公式的综合应用】 【例7.1】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例7.2】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求的坐标. 【变式7.2】（23-24高一下·江西萍乡·期中）在①，②两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答. 已知角，且________. (1)求的值； (2)求的值. 一、单选题 1．（23-24高一下·北京延庆·期末）若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）求值：（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·北京·专题练习）若是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 5．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且为第二象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三·北京·专题练习）已知角以为始边，它的终边与单位圆相交于点 ，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．（2024高二下·浙江·学业考试）《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知角和的终边关于x轴对称，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列计算或化简结果正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若α为第一象限角，则 11．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高一上·安徽·期末）已知，则 . 13．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）若，则 . 14．（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 . 四、解答题 15．（24-25高二上·辽宁沈阳·开学考试）计算 (1) (2) (3) 16．（23-24高一下·山西忻州·开学考试）（1）角的终边上有一点，求的值； （2）若，求的值． 17．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 18．（23-24高一上·上海·期末）已知，. (1)求的值； (2)求值：. 19．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$