第十五章 分式（B卷培优卷单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第十五章 分式（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）网络正朝着网络多元化、宽带化、综合化、智能化的方向发展，2019 年被称为中国的元年，如果运用技术，下载一个的短视频大约只需要秒，将数字用科学记数法表示应为（　　） A． B． C． D． 2．（本题3分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（本题3分）如果分式的值为零，那么等于(  ) A． B． C． D． 4．（本题3分）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）若分式方程－＝有增根x＝－1，则k的值为(　　) A．1 B．3 C．6 D．9 6．（本题3分）已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 7．（本题3分）若关于x的方程无解，则m的值为（    ） A．0 B．4或6 C．6 D．0或4 8．（本题3分）已知：，，，，……，若（a、b为正整数）符合前面式子的规律，则a+b的值是（    ）． A．109 B．218 C．326 D．436 9．（本题3分）某校八年级学生乘车前往某研学基地开展社会实践活动，现有两条线路如右图可选择：线路1全程，线路2全程；若走线路1平均车速是走线路2的倍，所花时间比走线路2多用，求走线路1、线路2的平均车速分别是多少？设线路2的平均车速为，依题意列方程正确的是（       ） A． B． C． D． 10．（本题3分）有一组数据：．记，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）分式方程的解为x= ． 12．（本题3分）已知与互为相反数,则式子的值等于 . 13．（本题3分）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 14．（本题3分）一件工作,甲独做a h完成,乙独做b h完成,则甲、乙两人共同工作需要 h完成. 15．（本题3分）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是 ． 先化简，再求值：，其中解：原式 16．（本题3分）阅读下面的材料，并解答问题： 分式（）的最大值是多少？ 解：， 因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是，所以的最大值是4，即（x≥0）的最大值是4．根据上述方法，试求分式的最大值是 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）计算． 18．（本题4分）解分式方程：． 19．（本题6分）化简代数式，并判断当x满足不等式组时该代数式的符号． 20．（本题6分）已知代数式． （1）化简； （2）当时，　　． 21．（本题8分）已知关于的分式方程 (1)若分式方程的根是，求的值 (2)若分式方程有增根，求的值 (3)若分式方程有无解，求的值 22．（本题10分）春节期间，某水果商从批发市场分别用10000元和6000元购进了重量相同的大樱桃和小樱桃，且大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元． (1)求大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？ (2)在运输和销售过程中，大樱桃损耗了15%，若大樱桃的售价为每千克80元，要使此次销售获利不少于6700元，则小樱桃的售价最少应该为每千克多少元？ 23．（本题10分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用 24．（本题12分）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 25．（本题12分）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． 由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含a、b、m的式子表示） 请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 分式（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）网络正朝着网络多元化、宽带化、综合化、智能化的方向发展，2019 年被称为中国的元年，如果运用技术，下载一个的短视频大约只需要秒，将数字用科学记数法表示应为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 2．（本题3分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式有意义的条件：分母不等于零，据此列出不等式，通过解该不等式求得的取值范围． 【详解】解：依题意得：， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 3．（本题3分）如果分式的值为零，那么等于(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式值为零的条件（分母不等于零，分子等于零）计算即可. 【详解】解： 故选A 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，当分式满足分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0，分母不等于0这一条件是保证分式有意义的前提在计算时经常被忽视. 4．（本题3分）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质及约分逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、的分子分母没有公因式，不能约分，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、的分子分母没有公因式，不能约分，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了约分以及分式的基本性质，约分的关键是找出分子分母的公因式，若分子分母出现多项式，应先将多项式分解后再找公因式，然后根据分式的基本性质将分子分母同时除以公因式，化为最简分式，此过程称为约分． 5．（本题3分）若分式方程－＝有增根x＝－1，则k的值为(　　) A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】先将原分式方程去分母化为整式方程，再将代入所得整式方程，即可求得对应的k的值. 【详解】解：在方程两边同时乘以得： ， ∵原方程有增根：， ∴， 解得：. 故选D. 【点睛】知道“分式方程的增根是分式方程去分母后所得整式方程的根”是解答本题的关键. 6．（本题3分）已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】将，进行变形得到：，，，利用整体思想，将变形为：，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； ∵，当时，，方程不成立， ∴， ∴方程两边同除以得：， ∴， ∴，即：； 故选B． 【点睛】本题考查分式求值．将已知条件进行变形，利用整体思想代入求值，是解题的关键． 7．（本题3分）若关于x的方程无解，则m的值为（    ） A．0 B．4或6 C．6 D．0或4 【答案】D 【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可． 【详解】方程两边同乘，得， 整理得， 原方程无解， 当时，； 当时，或，此时，， 解得或， 当时，无解； 当时，，解得； 综上，m的值为0或4； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键． 8．（本题3分）已知：，，，，……，若（a、b为正整数）符合前面式子的规律，则a+b的值是（    ）． A．109 B．218 C．326 D．436 【答案】A 【分析】通过观察已知式子可得分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，即可求解． 【详解】解：由，，，，……，可知分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1， ∴在中，b＝10，a＝102－1＝99， ∴a＋b＝109， 故选：A． 【点睛】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键． 9．（本题3分）某校八年级学生乘车前往某研学基地开展社会实践活动，现有两条线路如右图可选择：线路1全程，线路2全程；若走线路1平均车速是走线路2的倍，所花时间比走线路2多用，求走线路1、线路2的平均车速分别是多少？设线路2的平均车速为，依题意列方程正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得线路1平均车速为，进而列出方程即可． 【详解】解：由题意得，线路2的平均车速为，则线路1平均车速为， ∴根据题意可列， 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键． 10．（本题3分）有一组数据：．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，，计算求解即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的运算．解题的关键在于探究分式的规律． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）分式方程的解为x= ． 【答案】3 【详解】解：去分母得：2x﹣2=x+1， 解得：x=3， 经检验：x=3是分式方程的解， 故答案是：3． 12．（本题3分）已知与互为相反数,则式子的值等于 . 【答案】 【分析】根据非负数的性质求得x，y的值，然后代入所求式子求解即可. 【详解】∵与互为相反数， ∴+=0，即（x﹣2）2+=0， ∴x=2，y=1， 则原式===. 故答案为. 【点睛】本题考查非负数的性质，分式的化简求值，解此题的关键在于根据非负数的性质正确求得x，y的值. 13．（本题3分）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 【答案】4 【分析】由条件变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值． 【详解】由得：xy+y=x，即x-y=xy ∴ 故答案为：4 【点睛】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件，变形为x-y=xy，然后整体代入． 14．（本题3分）一件工作,甲独做a h完成,乙独做b h完成,则甲、乙两人共同工作需要 h完成. 【答案】 【分析】根据题意列出算式：1÷（+），进一步计算出结果即可． 【详解】根据题意知俩人合作完成此项工作的时间为： 1÷（+）=1÷（）=. 故答案为． 【点睛】考查了分式的实际应用，解决本题的重点是根据工作量、工作效率、工作时间之间的关系列出算式，同时这也是解决本题的关键，两人合作的工效等于工效的和． 15．（本题3分）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是 ． 先化简，再求值：，其中解：原式 【答案】5 【分析】根据题意得到方程，解方程即可求解． 【详解】解：依题意得：，即， 去分母得：3-x+2(x-4)=0， 去括号得：3-x+2x-8=0， 解得：x=5， 经检验，x=5是方程的解， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． 16．（本题3分）阅读下面的材料，并解答问题： 分式（）的最大值是多少？ 解：， 因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是，所以的最大值是4，即（x≥0）的最大值是4． 根据上述方法，试求分式的最大值是 ． 【答案】5 【分析】根据题意：有结合的最小值是从而可得答案． 【详解】解： 所以：的最小值是 的最大值是 的最大值是 的最大值是 故答案为： 【点睛】本题考查的是分式加减运算的逆运算，即 同时考查分式的值，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）计算． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和平方根，再计算绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 18．（本题4分）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，找到最贱公分母，合理去分母是解题的关键，通过观察最简公分母是，最后注意分式方程必须检验． 【详解】解：； 去分母，等式两边同时乘以得： ； 整理得：； ； 解得：； 检验：把带入中，； 所以是分式方程的解． 19．（本题6分）化简代数式，并判断当x满足不等式组时该代数式的符号． 【答案】负号． 【详解】试题分析： 做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分化简为；再分别求出一元一次不等式组中两个不等式的解，从而得到一元一次不等式组的解集，依此分别确定x+1＜0，x+2＞0，从而求解． 试题解析： = =， 不等式组， 解不等式①，得x＜-1． 解不等式②，得x＞-2． ∴不等式组的解集是-2＜x＜-1． ∴当-2＜x＜-1时，x+1＜0，x+2＞0， ∴＜0，即该代数式的符号为负号． 考点：1.分式的化简求值；2.解一元一次不等式组． 20．（本题6分）已知代数式． （1）化简； （2）当时，　　． 【答案】（1）；（2）5或． 【分析】（1）先算小括号里面的，然后再算括号外面的进行化简； （2）利用平方根的概念解方程求． 【详解】解：（1） ； （2）当时，， ， 解得：或， 故答案为：5或． 【点睛】本题考查分式的混合运算，平方根的概念，理解平方根的定义，掌握分式混合运算的计算法则是解题关键． 21．（本题8分）已知关于的分式方程 (1)若分式方程的根是，求的值 (2)若分式方程有增根，求的值 (3)若分式方程有无解，求的值 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把方程的解代入方程，解之即可得到答案； （2）原方程整理得，由分式有增根，则，得到或，分两种情况分别求解即可； （3）由（2）可知，，分和两种情况分别求解即可. 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得； （2）， 两边都乘以得， ， 整理得，， 由分式有增根，则， ∴或， 把代入，a的值不存在， 把代入，解得， 综上可知，； （3）由（2）可知，， 当时，方程无解，即， 当时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知， 综上可知，或． 【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 22．（本题10分）春节期间，某水果商从批发市场分别用10000元和6000元购进了重量相同的大樱桃和小樱桃，且大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元． (1)求大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？ (2)在运输和销售过程中，大樱桃损耗了15%，若大樱桃的售价为每千克80元，要使此次销售获利不少于6700元，则小樱桃的售价最少应该为每千克多少元？ 【答案】(1)大樱桃的进价是每千克50元，小樱桃的进价是每千克30元 (2)小樱桃的售价最少应该为每千克45.5元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出分式方程及一元一次不等式． （1）设大樱桃的进价是元千克，小樱桃的进价是元千克，根据“分别用10000元和6000元购进了重量相同的大樱桃和小樱桃，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元”，即可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）先求出购进了大樱桃和小樱桃的重量，设小樱桃的售价为元千克，利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合总利润不少于6700元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）设大樱桃的进价是元千克，小樱桃的进价是元千克， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ． 答：大樱桃的进价是50元千克，小樱桃的进价是30元千克． （2）由（1）得购进了重量相同大樱桃和小樱桃。都为（千克）， 设小樱桃的售价为元千克， 依题意得：， 解得：， 的最小值为45.5． 答：小樱桃的售价最少应为45.5元千克． 23．（本题10分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用 【答案】(1)新能源车的每千米行驶费用为元， (2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得， 新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 即新能源车的每千米行驶费用为元； （2）解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 设每年行驶里程为， 由题意得：， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 24．（本题12分）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 【答案】(1)，； (2)这的水不能倒完，理由见解析； (3)经过次操作之后能达到． 【分析】（1）模仿阅读材料可得答案； （2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断； （3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：∵ ， ∴这的水不能倒完； （3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为 ， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴经过次操作之后能达到． 【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式． 25．（本题12分）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． 由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含a、b、m的式子表示） 请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】（1），；（2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：；（3）当甲、乙两船返航时为逆流航行时，，，甲船先返回A港，当甲、乙两船返航时为顺流航行时，，乙船先返回A港． 【分析】（1）用糖水中糖与糖水的比表示即可；再利用作差法比较与的大小即可； （2）利用作差法比较与的大小即可； （3）分甲、乙两船返航时为逆流航行和甲、乙两船返航时为逆流航行两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为， ∴再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴由此我们可以得到一个不等式， 故答案为：，； （2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：，理由如下： ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴； （3）当甲、乙两船返航时为逆流航行时， ∵， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵，， ∴，甲船先返回A港， 当甲、乙两船返航时为顺流航行时， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵，， ∴，乙船先返回A港， 综上，当甲、乙两船返航时为逆流航行时，，甲船先返回A港，当甲、乙两船返航时为顺流航行时，，乙船先返回A港． 【点睛】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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