第十五章 分式（A卷提升卷单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第十五章 分式（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）在代数式中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（本题3分）将数用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知分式的值等于零，则x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．3 D．±3 5．（本题3分）如果将分式中x，y都扩大到原来的2倍，则分式的值（    ） A．扩大到原来的2倍 B．不变 C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的． 6．（本题3分）下面是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如果，那么的值为（    ） A． B．1 C． D．2 8．（本题3分）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运40千克，A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等．设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 9．（本题3分）若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 10．（本题3分）若数a使关于x的分式方程的解为正数,且使关于y的不等式组的解集为,则符合条件的所有整数a的和为( ) A．10 B．12 C．14 D．16 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分） 12．（本题3分）分式，，的最简公分母是 ． 13．（本题3分）若分式的值为零，则 ． 14．（本题3分）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得 ． 15．（本题3分）若关于x的方程＝2+有增根，那么m＝ 16．（本题3分）已知a、b是有理数，x是无理数，如果是有理数，则等于 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）计算： 18．（本题4分）解方程：． 19．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 20．（本题6分）已知A＝÷． （1）化简A； （2）若＝3，求A的值． 21．（本题8分）下面是小明同学在作业中计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业 ………………第一步 …………第二步 …………………第三步 …………………………第四步 (1)小明的作业是从第______步开始出现错误的，错误的原因是______； (2)已知，求的值． 22．（本题10分）水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用元购进若干千克，并以每千克元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了，用元所购买的水果比第一次多千克，以每千克元售出千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价售完剩余的水果． （1）第一次水果的进价是每千克多少元？ （2）该水果店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 23．（本题10分）【新考向】 为落实“美丽乡村”的工作部署，市政府计划对乡村道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米．求甲队每天修路的长度． (1)填表（在表格中横线处填写相应的代数式）： 方法一：设甲队每天修路的长度为x米，完成表格： 工作效率（米/天） 工作总量（米） 工作时间（天） 甲队 x 400 █ 乙队 ______ 600 ______ 方法二：设甲队修路400米需要用y天，完成表格： 工作效率（米/天） 工作总量（米） 工作时间（天） 甲队 ______ 400 y 乙队 ______ 600 █ (2)请选择一种方法，写出完整的解答过程． 24．（本题12分）阅读材料，并完成下列问题： 已知分式方程：①＝3，②x+＝5，③x+＝7． 其中，方程①的解有2个：x＝1或x＝2；方程②的解有2个：x＝2或x＝3；方程③的解有2个：x＝3或x＝4． （1）观察上述方程的特点，再观察方程的2个解与方程左边分式的分子、右边常数的关系，猜想方程x+＝11的解是 　 　． （2）关于x的方程x+＝101+有2个解，它们是x＝101或x＝，根据所猜想的规律，求m的值． 25．（本题12分）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 分式（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）在代数式中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分式的定义进行分析判断即可． 【详解】由分式的定义可知，在代数式：中，属于分式的有： ，共计2个． 故选B． 【点睛】本题考查分式，熟记“分式的定义：形如（其中A、B都为整式，且B中含有字母）的式子叫做分式”是解答本题的关键． 2．（本题3分）将数用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解： 故选C． 3．（本题3分）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可． 【详解】解：A、的分子分母中不含有公因式，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 4．（本题3分）已知分式的值等于零，则x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．3 D．±3 【答案】D 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出的值．分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0． 【详解】解：且 且． 故选． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分子为0，分母不为0，则分式的值为0． 5．（本题3分）如果将分式中x，y都扩大到原来的2倍，则分式的值（    ） A．扩大到原来的2倍 B．不变 C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的． 【答案】A 【分析】x，y都扩大成原来的2倍就是变成2x和2y．用2x和2y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系． 【详解】解：用2x和2y代替式子中的x和y得： 则分式的值扩大为原来的2倍． 故选：A． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，解题的关键是把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 6．（本题3分）下面是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】去分母根据的是等式的性质2，方程的两边乘以最简公分母，即可将分式方程转化为整式方程． 【详解】解：方程的两边同乘（x−1），得 2−x＝x−1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等式的性质和解分式方程，注意：去分母时，不要漏乘不含分母的项． 7．（本题3分）如果，那么的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】方法一：将变形为，再代入原式化简即可得出答案； 方法二：根据，分式的分子、分母同时除以再化简即可得出答案． 【详解】解：方法一（条件变形） ， ∴， ∴． 方法二（所求变形） 由题意得，分式的分子、分母同时除以，得． 答案：C． 【点睛】在给定的条件下求分式的值时，有时难以直接代入求值，需要根据题目的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解． 8．（本题3分）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运40千克，A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等．设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，则A型机器人每小时搬运化工原料（x+40）千克，由A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等，可得方程=．故选A． 考点：由实际问题抽象出分式方程． 9．（本题3分）若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵解为正数， ∴， ∴， ∵分母不能为0， ∴， ∴，解得， 综上所述：且， 故选：B． 【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键． 10．（本题3分）若数a使关于x的分式方程的解为正数,且使关于y的不等式组的解集为,则符合条件的所有整数a的和为( ) A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a＜6且a≠2，根据不等式组的解集为y＜-2，即可得出a≥-2，找出-2≤a＜6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论． 【详解】解：分式方程的解为x=且x≠1， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴＞0且≠1，即a<6且a≠2 解不等式①得：y＜-2； 解不等式②得：y≤a． ∵关于y的不等式组的解集为, ∴a≥-2． ∴-2≤a＜6且a≠2． ∵a为整数， ∴a=-2、-1、0、1、3、4、5， （-2）+（-1）+0+1+3+4+5=10． 故符合条件的所有整数a的和是10． 故选A. 【点睛】本题考查分式方程的解以及解一元一次不等式、一元一次不等式组，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为y＜-2，找出-2≤a＜6且a≠2是解题的关键． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分） 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，两个分式相乘，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并把分子、分母分解因式约分，把结果化成最简分式或整式．据此计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（本题3分）分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】直接根据最简公分母的求法即可得到答案. 【详解】解：a2-b2=(a+b)(a-b)， 故最简公分母为：， 故答案为． 【点睛】本题考查的知识点是最简公分母及平方差公式，解题的关键是熟练的掌握最简公分母的定义． 13．（本题3分）若分式的值为零，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件分子等于零，分母不等于零得出，，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，， 解得：， 故答案为：． 14．（本题3分）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 15．（本题3分）若关于x的方程＝2+有增根，那么m＝ 【答案】-4 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x−1＝0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：方程两边都乘以x−1，得：x＋2＝2（x−1）−m−1， ∵方程有增根， ∴x＝1， 将x＝1代入x＋2＝2（x−1）−m−1得： m＝−4， 故答案为：−4． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 16．（本题3分）已知a、b是有理数，x是无理数，如果是有理数，则等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简、及无理数、有理数的相关知识等知识点，掌握有理数除以无理数若等于有理数，则该有理数一定为0是解题的关键． 先对分式进行化简，由于分式的结果是有理数，设分式的结果为m，得到关于m的方程，由m、a、b是有理数，x是无理数，确定m的系数和结果均为0，求出m和的值即可． 【详解】解： ∵x是无理数， ∴， ∴原式， ∵是有理数， ∴设，则， ∵m、a、b是有理数，x是无理数， ∴，解得，． 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 分别计算零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值和二次根式，再进行相加减即可． 【详解】解： ． 18．（本题4分）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据分式方程的运算法则求解即可． 【详解】 解：变形为： 所有项同乘可得： 移项合并同类项可得： 系数化为可得：； 检验：把代入可得：； ∴经检验是原方程的解． 19．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解： ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 20．（本题6分）已知A＝÷． （1）化简A； （2）若＝3，求A的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将分式的分子、分母分解因式，除法化为乘法，再约分即可； （2）由＝3，得x=3y，代入A计算即可． 【详解】解：（1）A＝÷ = =； （2）∵＝3， ∴x=3y， ∴． 【点睛】此题考查分式的化简计算，分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 21．（本题8分）下面是小明同学在作业中计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业 ………………第一步 …………第二步 …………………第三步 …………………………第四步 (1)小明的作业是从第______步开始出现错误的，错误的原因是______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)二；漏掉了分母 (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确运算是关键； （1）仔细观察解答过程，即可发现计算错误所在； （2）由已知得，把分式化简，把直接代入即可． 【详解】（1）解：由解答过程知，小明从第二步开始出现错误，原因是漏掉了分母； 故答案为：二；漏掉了分母； （2）解：∵， ∴； ∴ ． 22．（本题10分）水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用元购进若干千克，并以每千克元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了，用元所购买的水果比第一次多千克，以每千克元售出千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价售完剩余的水果． （1）第一次水果的进价是每千克多少元？ （2）该水果店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 【答案】（1）第一次水果进价是每千克元；（2）该水果店在这两次销售中，总体上是盈利，且盈利元 【分析】（1）设第一次水果的进价是每千克x元，则第二次水果的进价是每千克1.2x元，根据数量=总价÷单价结合第二次比第一次多购进20千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用数量=总价÷单价可求出第一次购进水果数量，由总利润=每千克利润×销售数量可求出第一次购进水果的销售利润，同理可求出第二次购进水果的销售利润，将二者相加即可得出结论． 【详解】解：（1）设第一次水果进价为每千克元，则第二次水果进价为每千克元． 依题意列方程得， 解得， 经检验，是方程的根，且符合题意． 第一次水果进价是每千克元． （2）第一次售完水果盈利为：（元） 第二次售完水果盈利为：（元） （元） 该水果店在这两次销售中，总体上是盈利，且盈利元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量关系，列式计算． 23．（本题10分）【新考向】 为落实“美丽乡村”的工作部署，市政府计划对乡村道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米．求甲队每天修路的长度． (1)填表（在表格中横线处填写相应的代数式）： 方法一：设甲队每天修路的长度为x米，完成表格： 工作效率（米/天） 工作总量（米） 工作时间（天） 甲队 x 400 █ 乙队 ______ 600 ______ 方法二：设甲队修路400米需要用y天，完成表格： 工作效率（米/天） 工作总量（米） 工作时间（天） 甲队 ______ 400 y 乙队 ______ 600 █ (2)请选择一种方法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)方法一：，；方法二：， (2)甲队每天修路的长度为40米 【分析】本题考查了列代数式、分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）方法一：设甲队每天修路的长度为x米，则乙队每天修路的长度为米，乙队工作时间为天；方法二：设甲队修路400米需要用y天，则甲队工作效率为，乙队工作效率为； （2）根据题意列出分式方程，求解即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得： 方法一：设甲队每天修路的长度为x米，完成表格： 工作效率（米/天） 工作总量（米） 工作时间（天） 甲队 x 400 █ 乙队 600 方法二：设甲队修路400米需要用y天，完成表格： 工作效率（米/天） 工作总量（米） 工作时间（天） 甲队 400 y 乙队 600 █ （2）解：方法一：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； ∴， 故甲队每天修路的长度为米； 方法二：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； ∴， 故甲队每天修路的长度为米． 24．（本题12分）阅读材料，并完成下列问题： 已知分式方程：①＝3，②x+＝5，③x+＝7． 其中，方程①的解有2个：x＝1或x＝2；方程②的解有2个：x＝2或x＝3；方程③的解有2个：x＝3或x＝4． （1）观察上述方程的特点，再观察方程的2个解与方程左边分式的分子、右边常数的关系，猜想方程x+＝11的解是 　 　． （2）关于x的方程x+＝101+有2个解，它们是x＝101或x＝，根据所猜想的规律，求m的值． 【答案】（1）x＝5或x＝6；（2）5 【分析】（1）观察阅读材料中求方程解的方法得出所求即可； （2）根据得出的规律列出方程，求出解即可得到m的值． 【详解】解：（1）∵①，②，③，其中，方程①的解有2个：x＝1或x＝2；方程②的解有2个：x＝2或x＝3；方程③的解有2个：x＝3或x＝4． ∴可得的解有2个：或， ∴即的解为x＝5或x＝6； 故答案为：x＝5或x＝6； （2）∵方程的解是x＝101或； 根据规律的解有2个：或， ∴可得， 解这个方程，得m＝5， 经检验，m＝5是所列方程的根． ∴m的值为5． 【点睛】本题主要考查了分式相关的规律性问题，解分式方程，解题的关键在于能够根据题意找到规律进行求解． 25．（本题12分）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或 (3)的值为 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； （3）解：， ，且， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$