考点2 高线、中线、角平分线、垂直平分线综合-人教版八年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 2 高线、中线、角平分线、垂直平分线综合 1．如图，AE 平分∠BAC，DE∥AB，若 AD=5，则 DE 等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在 ABC 中，ED BC∥ ， ABC 和 ACB 的角平分线分别交 ED于点G ，F ，若 4BE  ， 6CD  ， 3FG  ．则 ED的长为 ． 3．如图， ABC 中， 120AB BC B   ， ，��的垂直平分线��交 AC 于 D，交��于点 E， 4AD  ， 求DC 的长． 4．如图所示， 4cmAB AC  ， 3cmBC  ，直线 a垂直平分线段��，交 AC 于点D，则 BDC 的 周长为 cm． 5．如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，且分别交 BC，AC 于点 D和 E，∠B＝60°，∠ C＝25°，则∠BAD 为（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．50° B．70° C．75° D．80° 6．如图， AD是 ABC 边上的中线，CE是 AB 边上的高， 6 6ADCAB S ， ，CE （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，在 ABC 中， AD是高， AE 平分 BAC ， 50 80B C     ， ，则 DAE  ． 8．如图，AD为 ABC 的高，AC 的垂直平分线 FG 与 BC 、AC 分别交于点F G、 ，AE 平分 BAC ．若 AB AF ，则以下结论：① AB FC ；② AF 平分 EAC ；③ 2AC DE EC  ；④ 1 2 DAE C   ．其 中结论正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在△ABC 中，∠B＞∠C，AD⊥BC，垂足为 D，AE 平分∠BAC． （1）已知∠B=60°，∠C=30°，求∠DAE 的度数； （2）已知∠B=3∠C，求证：∠DAE=∠C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 2 高线、中线、角平分线、垂直平分线综合 参考答案 1．D 【难度】0.65 【分析】由角平分线的定义和平行线的性质易得 DE=5. 【详解】∵AE 平分∠BAC， ∴∠EAC=∠EAB， ∵DE∥AB， ∴∠DEA=∠BAE， ∴∠DEA=∠DAE， ∴DE=AD=5. 故选 D. 【点睛】本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定，用到的知识点 为：两直线平行，内错角相等；等角对等边. 2．7 【难度】0.85 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线 的性质可证 EBG 和 DFC 是等腰三角形，从而可得 4EB EG  ， 6DC DF  ，然后利用线段的 和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解： BG 平分 ABC ，��平分 ACB ， ABG CBG  ， ACF BCF  ，  ED BC∥ ， EGB CBG  ， DFC BCF  ， ABG EGB  ， ACF DFC  ， 4EB EG   ， 6DC DF  ， 3FG  ， 4 6 3 7DE EG DF FG        ， 故答案为：7． 3．8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【难度】0.65 【分析】本题考查了含30角的直角三角形性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线性质 等知识点的运用，连接 BD，求出 A C 、 的度数，根据DE是 AB的垂直平分线，求出 4 30 90BD DBA CBD      ， ， ，根据含30角的直角三角形求出DC的长即可, 能综合运用性 质进行推理是解此题的关键． 【详解】连接 BD, ∵ , 120AB BC ABC    ∴ 30A C     ∵DE是 AB的垂直平分线 ∴ 4AD BD  ∴ 30BAD ABD    ∴ 90DBC ABC ABD     在Rt DBC△ 中， 30C   ∴ 2 8DC BD  4．7 【难度】0.85 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到DA DB ， 利用三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：直线 a是��的垂直平分线， DA DB  ， BDC 的周长 BD BC CD   DA CD BC    7 cmAC BC   ， 故答案为：7． 5．B 【难度】0.85 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根 据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可． 【详解】∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴∠DAC=∠C=25°， ∵∠B=60°，∠C=25°， ∴∠BAC=95°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°， 故选 B． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上 的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 6．B 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形面积，根据三角形中线平分三角形面积得 到 2 12ABC ADCS S △ △ ，再根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵ AD是 ABCV 边上的中线， 6ADCS △ ， ∴ 2 2 6 12ABC ADCS S   △ △ ， ∵CE是 AB边上的高， 6AB  ， ∴ 1 12 2ABC S AB CE   ， ∴ 4CE  ， 故选：B． 7．15 【难度】0.65 【分析】本题考查三角形内角和，根据题意和图形，可以求得 CAE 和 CAD 的度数，从而可 以求得 DAE 的度数． 【详解】∵在 ABC 中， 50 80B C     ， ， ∴ 180 50BAC B C      ， ∵ AD是高， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∴ 90ADC  ， ∴ 90 10CAD C    ， ∵ AE平分 BAC ， ∴ 1 25 2 CAE BAC    ， ∴ 15DAE CAE CAD     ， 故答案为：15． 8．C 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了角平分线，垂直平分线，三角形的内角和，熟练掌握相关性质定理， 正确作出辅助线，是解题的关键．①根据垂直平分线的性质得出 AF FC ，即可判断；②设 C x  ， 得出 2B AFB x    ，推出 590 2 EAF x   ， CAF x  ，即可判断；③在 BD上截取DH DE ， 则 AH AE ，推出 190 2 AHE AEH C CAE x        ， 1180 90 2 HAC C AHE x      ，即 可判断；④先求出 HAE HAC CAE x     ，则 1 1 2 2 DAE HAE x    ，即可判断． 【详解】解：①∵ FG垂直平分 AC， ∴ AF FC ， ∵ AB AF ， ∴ AB FC ，故①正确，符合题意； ②设 C x  ， ∵ AF FC ， ∴ FAC C x    ， ∴ 2AFB x  ， ∵ AB AF ， ∴ 2B AFB x    ， ∴ 180 180 3BAC C B x      ， ∵ AE平分 BAC ， ∴ 1 390 2 2 BAE CAE BAC x       ， ∴ 590 2 EAF CAE FAC x      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∵ 590 2 EAF x   ， CAF x  ， ∴ EAF 与 CAF 不一定相等，故②不正确，不符合题意； ③在 BD上截取DH DE ， ∵ AD BC ， ∴ AH AE ， ∴ 190 2 AHE AEH C CAE x        ， ∴ 1180 90 2 HAC C AHE x      ， ∴ AHE HAC   ， ∴ 2AC CH HE CE DE CE     ，故③正确，符合题意； ④∵ 190 2 HAC x   ， 390 2 CAE x   ， ∴ HAE HAC CAE x     ， ∵ AD BC ，DH DE ， ∴ 1 1 2 2 DAE HAE x    ， ∴ 1 2 DAE C   ，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①③④，共 3个， 故选：C． 9．(1) 15°; (2)证明见解析. 【难度】0.65 【详解】试题分析：（1）在△ABC 中，由 60B  ， 30C  得出∠BAC=90°，由 AE 平分∠BAC 得出∠BAE＝45°， 再则 AD⊥BC 得出∠BAD=90°-∠B，由∠DAE=∠BAE-∠BAD 得出角的度数； （2）类似（1）中方法用含∠C的式子求出∠DAE 的度数即可； 试题解析： （1）在△ABC 中，∠BAC=180°-∠B-∠C=90° ∵AE 平分∠BAC 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∴∠BAE= 1 2 ∠BAC=45° ∵AD⊥BC ∴∠BAD=90°-∠B=30° ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=15° （2）证明：在△ABC 中， ∵∠B=3∠C ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-4∠C ∵AE 平分∠BAC ∴∠BAE= 1 2 ∠BAC=90°-2∠C ∵AD⊥BC ∴∠BAD=90°-∠B=90°-3∠C ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=（90°-2∠C）-（90°-3∠C）=∠C 即∠DAE=∠C．