考点12 添加辅助线证明线段关系-人教版八年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 12 添加辅助线证明线段关系 1． ABC 中， 45ABC  ，D是 ABC 外一点，DC AC ，连接 BD． (1)如图 1，当 45DBC  时，求证：DC AC ； (2)如图 2，当DC AC 时，写出 BD与 AB的位置关系，并证明． 2．如图，在四边形 ABDC中， 90ACB  ， BD BC ，DB AC∥ ， E为DB延长线上一点，过点 B作 BF AB 交CD于点 F． (1)如图 1，若 40BAC = ， 70CFE  ，求证： BF BE ； (2)如图 2，若DE AC ，连接FE，求证： AB BF EF  ． 3．已知：平面直角坐标系中，点  A a b， 的坐标满足  2| | 4 0a b b    ． (1)如图 1，求证：OA是第一象限的角平分线； (2)如图 2，过A作OA的垂线，交 x轴正半轴于点 B，点M N、 分别从O A、 两点同时出发，在线 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 段OA上以相同的速度相向运动(不包括点O和点A )，过A作 AE BM 交 x轴于点 E，连BM NE、 ， 猜想 ONE 与 NEA 之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图 3， F是 y轴正半轴上一个动点，连接 FA，过点A作 AE AF 交 x轴正半轴于点 E，连 接 EF，过点 F点作 OFE 的角平分线交OA于点H，过点H作HK x 轴于点K，求 2HK EF 的 值． 4．在平面直角坐标系中，A为 x轴负半轴上的点，B为 y轴负半轴上的点． (1)如图 1，以 A为顶点作等腰直角 ABC 时， 90BAC AC AB   ， ，若 2 4OA OB ， ，CD垂直 于 x轴，垂足为 D，则 D点的坐标为 ；C点的坐标为 ； (2)如图 2，以 B为顶点作等腰直角 ABD△ ， 90ABD AB BD   ， ，若 4OA m OB ， ，求点 D的 坐标； (3)如图 3，若OA OB OF AB ， 于点 F，以OB为边作等边 OBM ，连接 AM 交OF于点 N，点 E 在 AM 上且 EM ON ，连接 BE，求线段 AM BE ON、 、 的数量关系． 5．在Rt ABC△ 中， 90ACB  ， AC BC ．点D为 ABCV 内部一点，连接��，��，��． (1)如图 1，若 AD AC ， 8CD  ，求点 B到直线��的距离； (2)如图 2，以��为直角边作等腰直角 CDE ，DE DC ，线段EC，��交于点 F，若 DCB ABD  ， 求证： AF DF ； (3)如图 3，点Q在��边上，且 AQ AC ，点M 为直线 AC上的一个动点，连接MQ，过点Q作 NQ MQ ，且满足 NQ MQ ，连接BN，当BN最短时，请直接写出 CMQ 的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 6．如图， ABC 中， 90AB AC BAC BD AC    ， ， 垂足为D，点 E在 AD上， BE平分 ABD ， 点 F在 BD延长线上，BF CE ，延长FE交 BC于点 H． (1)求证： 45CBE  ； (2)写出线段 BH 和 EH 的位置关系和数量关系，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 12 添加辅助线证明线段关系 参考答案 1．(1)见解析 (2)BD AB ，证明见解析 【难度】0.65 【分析】（1）如图，过点C作CE BC 交BA延长线于点 E．证明 E ABC DBC   ．BC EC ， CBCD E A  ．再证明 (ASA)BCD ECA ≌ 即可． （2）如图，过点C作CE BC 交BA延长线于点 E．仿照（1）的思路证明 BCD ECA ≌ ．可得 45CBD E   ．从而可得结论 BD AB ． 【详解】（1）证明：如图，过点C作CE BC 交BA延长线于点 E． 90ECB  ． Rt BCE 中， 45ABC  ， ∴ 90 90 45 45E ABC       ． E ABC DBC   ． BC EC  ． DC AC ， 90ACD  ． ACD ECB  ． ACD ACB ECB ACB    ． 即 CBCD E A  ． 在 BCD△ 和 ACE△ 中， DBC E BC EC BCD ACE       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 (ASA)BCD ECA ≌ ． DC AC  ． （2） BD AB ． 证明：如图，过点C作CE BC 交BA延长线于点 E． 90ECB  ． Rt BCE 中， 45ABC  ， ∴ 90 90 45 45E ABC         ． E ABC  ． BC EC  ． DC AC ， 90ACD  ． ACD ECB  ． ACD ACB ECB ACB    ． 即 CBCD E A  ． 在 BCD△ 和 ACE△ 中， DC AC BCD ACE BC EC       ， ， ， BCD ECA ≌ ． 45CBD E   ． 45 45 90ABD ABC CBD       ． BD AB  ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，作出合适的辅助线构建 全等三角形是解本题的关键． 2．(1)见解析 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 (2)见解析 【难度】0.65 【分析】（1）由平行线的性质可得 40ABE  ，再由三角形内角和定理可得 50FBD  ，由等 腰直角三角形的性质可得 45D BCD   ，再利用三角形外角的性质求解即可； （2）在 AB上截取BG BF ，连接GC，根据全等三角形的判定和性质即可得出结论． 【详解】（1）解： DE AC∥ ， 40ABE A     ， 90CBD ACB   ， BF AB ， 90ABF  ， 130EBF  ， 180 50FBD EBF     ， BD BC ， 90CBD  ， 45D BCD    ， 70CFE   ， 70 45 25E CFE D        ， 50 25 25BFE DBF E        ， E BFE   ， BF BE  ； （2）证明： 90ACB   ，DB AC∥ ， 90ACBCBD   ， BD BC ， 45BCD D    ， 如图，在 AB上截取BG BF ，连接GC， BF AB ， 90ABF  ， CBD ABF   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 CBD CBF ABF CBF     ，即 GBC FBD  ， 在GBC和 FBD 中， BG BF GBC FBD BC BD      ，  SASGBC FBD ≌ ， 45BCG D     ，GC DF ， 45ACG D     ， 在 AGC 和 EFD 中， GC DF ACG D AC DE       ，  SASAGC EFD ≌ ， AG EF  ， AB AG BG EF BF     ， AB BF EF   ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，三角 形外角的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 3．(1)见解析； (2)2 90ONE NEA   ，证明见解析； (3)8． 【难度】0.4 【分析】（1）根据非负性得出 4a b  ，过点A分别作 x轴， y轴的垂线，垂足分别为M N、 ，进 而利用角平分线的性质解答即可； （2）过A作 AH平分 OAB ，交��于点H，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （3）过H作HM OF ，HN EF 于M N、 ，根据全等三角形的判定和性质解答． 【详解】（1）解：∵  2| | 4 0a b b    ∴ 2 0| 4| 0a b b   ，（ ） ∴ 2 0| 4| 0a b b  ，（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴ 4a b  如图 1，过点A分别作 x轴， y轴的垂线，垂足分别为M N、 ，则 AN AM ∴OA平分 MON 即OA是第一象限的角平分线． （2）解：如图 2，过A作 AH平分 OAB ，交��于点H ∴ 45OAH HAB    ∵ BM AE ∴ ABH OAE  在 AOE 与 BAH 中 OAE ABH OA AB AOE BAH         ∴  AOE BAH ASA ≌ ∴ AH OE 在 ONE 和 AMH 中 OE AH NOE MAH ON AM       ∴  ONE AMH SAS ≌ ∴ AMH ONE  设��与NE交于K ∴ 180 2 90MKN ONE NEA      ∴ 2 90ONE NEA    （3）如图 3，过H作HM OF ，HN EF 于M N、 ，连接HE ∵点FHS是 OFE 的角平分线， ∴ OFH EFH  ， HNF HMF NFH MFH FH FH          FMH FNH AAS ≌ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∴FM FN ∵ 45AOQ  ， ∴MH HK HN  ， 在Rt EKH 和Rt ENH 中， HK HN HE HE    ∴NE EK ∴ 2OE OF EF HK   过A作 AP y 轴于 P AQ x， 轴于Q， ∵OA为角平分线， ∴ AP AQ ， ∵ FAP PAE EAQ PAE     ∴ FAP EAQ   ， AF AE FAP EAQ AP AQ       ，  APF AQE SAS ≌ ∴ PF EQ ∴ 2 8OE OF OP   ∴ 2 8HK EF OE OF    【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，解本 题的关键是全等三角形性质和判定的运用． 4．(1)    6 0 6 2  ，， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 (2)  4 4D m ， (3) 2AM BE ON  【难度】0.4 【分析】（1）由已知可证 ADC BOA≌  ，由全等三角形的对应边相等可得 4AD BO  ， 2CD AO  ，所以 2 4 6OD AO AD     ，即可求得点D和点C的坐标； （2）作DP OB 于点 P，可证 AOB BPD△ △≌ ，由全等三角形的对应边相等可得 , 4AO BP m OB PD    ，所以 4OP OB BP m    ,即可求得点D的坐标； （3）根据等腰直角三角形的性质可得 45OAB OBA AOF      ，根据等边三角形的性质可得 60BOM OBM OMB OB OM BM        ， ，进而可得 90 60 150AOM OA OM      ， ，可求 15OAM OMA    ，所以 45 15 30 60 15 45BAM OAB OAM BME OMB OMA                 ， ，结合已知可证 AON BME≌  ，根据全等三角形的性质可得 15MBE OAN    ，所以 45 60 15 90ABE ABM MBE          ，根据直角三角形中，30所对直角边等于斜边的一半， 可得 2AE BE ，所以 2AM AE ME BE ON    ． 【详解】（1）解：∵CD垂直于 x轴， ∴ 90CDA AOB   ， ∴ 90ACD CAD   ， ∵ 90BAC  ， ∴ 90BAO CAD   ， ∴ ACD BAO   ， 又∵ AC AB ， ∴  AASADC BOA≌  ， ∴ 4 2AD BO CD AO   ， ， ∴ 2 4 6OD AO AD     ， ∴    6 0 6 2D C  ，， ， ， 故答案为：    6 0 6 2  ，， ， ； （2）解：如图 2：作DP OB 于点 P， ∴ 90AOB BPD    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∴ 90DBP BDP   ， ∵ 90ABDÐ = °， ∴ 90DBP ABO   ， ∴ ABO BDP  ， 又∵ AB BD ， ∴  AASAOB BPD≌  ， ∴ 4AO BP m OB PD   ， ， ∴ 4OP OB BP m    ， ∴  4 4D m ， ； （3）解：∵ 90OA OB AOB   ， ， ∴ 45OAB OBA    ， ∵OF AB ， ∴ 45OAB AON    ， ∵ OBM 是等边三角形， ∴ 60BOM OBM OMB OB OM BM        ， ， ∵OA OB ， ∴OA OM BM  ， ∵ 90 60 150AOM OA OM      ， ， ∴ 180 150 15 2 OAM OMA       ， ∴ 60 15 45BME OMB OMA        ， ∴ AON BME   ， 又∵ON EM ， ∴  SASAON BME≌  ， ∴ 15MBE OAN    ， ∴ 45 60 15 90ABE ABM MBE          ， ∵ 45 15 30BAM OAB OAM        ， ∴ 2AE BE ， ∴ 2AM AE ME BE ON    ，即 2AM BE ON  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直 角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，利用辅助线构造全等三角形是解题的关 键． 5．(1)4 (2)见解析 (3)67.5 【难度】0.4 【分析】（1）过点A作 AH CD 于H，过点 B作BG CD 于G，可证得  AASACH CBG ≌ ，得 出BG CH ，再由等腰三角形性质可得 1 4 2 CH CD  ； （2）延长��交��于点 L，过点A作 AS CE 于点S，可证得  AASACS CBL ≌ ，进而可证  AASAFS DFL ≌ ，即可证得结论； （3）作点C关于��的对称点 P，连接 AP、CP，CP交��于点O，过点Q作QW AB 交 AC的 延长线于点W，连接 AN，可证得  SASQWM QAN ≌ ，得出 45QAN W   ，即点N在直线 AP 上运动，当且仅当BN AP 时，BN最短，即点N与点 P重合，作点C关于��的对称点 P，连接 CQ，则QP QC ，即QN QC ，再利用等腰三角形性质即可求得答案． 【详解】（1）解：过点A作 AH CD 于 H，过点 B作BG CD 于G，如图1， 则 90AHC CGB   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 90ACH CAH    ， 90ACH BCG ACB      ， CAH BCG   ， 在 ACH 和 CBG 中， AHC CGB CAH BCG AC BC         ，  AASACH CBG ≌ ， BG CH  ， AD AC ， AH CD ， 1 4 2 CH DH CD    ， 4BG  ， 即点 B到直线��的距离为 4； （2）证明：延长��交��于点 L，过点A作 AS CE 于点S， 则 90ASC  ， CDE 是等腰直角三角形，DE DC ， 45DCE DEC    ， 45ABD CBD ABC      ， DCB ABD  ， 45DCB CBD    ， 90DCB CBD DCE      ， 180 90 90BLC     ， ASC BLC   ， 90ACS CAS    ， 90ACS BCL ACB      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 CAS BCL   ， 在 ACS 和 CBL 中， ASC BLC CAS BCL AC BC       ，  AASACS CBL ≌ ， AS CL  ， 45DCE   ， 90CLD  ， 90 45 45CDL DCE        ， CL DL  ， AS DL  ， 在 AFS 和 DFL 中， 90ASF DLF AFS DFL AS DL          ，  AASAFS DFL ≌ ， AF DF  ； （3）解：如图3，作点C关于��的对称点 P，连接 AP、CP，CP交��于点O，过点Q作QW AB 交 AC的延长线于点W，连接 AN， 则 90AQW  ， BAP BAC  ， 90ACB   ， AC BC ， 45BAC  ， 90 45 45W BAC        ， QA QW  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 NQ MQ ，且满足 NQ MQ ， 90AQM MQW AQM NQA        ， MQW NQA   ， 在 QWM 和 QAN 中， QW QA MQW NQA QM QN      ，  SASQWM QAN ≌ ， 45QAN W    ， 即点N在直线 AP上运动， 当且仅当BN AP 时，BN最短，即点N与点 P重合， 如图 4，连接CQ， 则QP QC ，即QN QC ， QM QN ， QC QM  ， AQ AC ，  1 180 45 67.5 2 ACQ AQC       ， QM QC ， 67.5CMQ ACQ    ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离垂线 段最短，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线构造全 等三角形． 6．(1)见解析 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 (2)BH EH ， BH EH ，证明见解析 【难度】0.65 【分析】（1）由 BE是 ABD 的角平分线，可得 ABE DBE   ．设 DBE x  ，则 2ABD ABE DBE x   ．由BD AC ，可得 90BDA  ．利用三角形内角和可得出： 90 2DAB x   ．由 AB AC ，可得出： C ABC  ．可得： 2DAB ABC   ，即可得出： 2 90 2ABC x   ， 45ABC x   ．即可得出： 45EBC  ． （2）如图，延长BA至M ，使 AM AE ，连接 FM ．由SAS可证得： BEF BEM≌△ △ ， F M   ， 由 AM AE ， AB AC 可得出 M MEA   ， C ABC  ．即可得出 M C  ，故 F C  ．由三 角形内角和即可得出： 90BHF  ，可得出 BH EH ，再由三角形内角和可得出 BEH EBC  ， 故 BH EH ． 【详解】（1）证明： BE 是 ABD 的角平分线， ABE DBE   ． 设 DBE x  ，则 2ABD ABE DBE x   ． BD AC 垂足为D， 90BDA  ． DAB 中， 180 180 90 2 90 2DAB BDA ABD x x         ． AB AC ， C ABC   ． 2DAB C ABC ABC     ， 2 90 2ABC x    ． 45ABC x   ． 45 45EBC ABC ABE x x        ． （2） BH EH ， BH EH ．证明如下： 如图，延长BA至M ，使 AM AE ，连接 FM． AB AC ， AB AM AC AE   ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 即 BM CE ． BF CE ． BF BM  ． 在 BEF△ 和 BEM△ 中， BF BM ABE DBE BE BE       (SAS)BEF BEM ≌△ △ ． F M   ． AM AE ， M MEA   ． AB AC ， C ABC   ． M MEA MAC C ABC     ． 即 2 2M C   ． M C   ． F C  ． BHF 中， 180 180 90BHF F DBC C DBC BDC           ． BH EH  ． 180 180 90 45 45BEH BHF EBC         ． BEH EBC  ． BH EH  ． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的 判定和性质是解题的关键．