考点4 全等判定与性质综合及实际应用-人教版八年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 4 全等判定与性质综合及实际应用 参考答案 1．D 【难度】0.85 【分析】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，利用全等三角形判定定理 SSS SAS AAS ASA HL， ， ， ， 对 MOC△ 和 NOC 进行分析，即可作出正确选择． 【详解】解：∵OM ON CM CN OC OC  ， ， ， ∴  SSSMOC NOC ≌ ， ∴ COM CON  ． 故选：D． 2．D 【难度】0.85 【分析】由 E，F分别是 AB， AC的中点， AB AC ，得出 AE AF ；根据三边对应相等，证明 AED AFD≌  ． 【详解】∵E，F分别是 AB， AC的中点， AB AC ∴ AE AF 在 AED△ 与 AFD△ 中 AE AF ED DF AD AD      ∴  SSSAED AFD ≌ 故选：D 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 3．③ 【难度】0.65 【分析】根据全等三角形的性质可以得出 AB DE 、 BC AE 、 AC AD 、 BAC EDA   、 C DAE  ，根据以上结论，结合直角三角形的性质，可以推导出 AB AD 、 C DEC   、 90BAD  ， BC CE DE  ，即可求解． 【详解】解： Rt RtABC DEA△ ≌ △ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 AB DE  ， 在Rt DEA 中，DE AD ， AB AD  ，故①错误； 90ABC AED DEC       ， C ABC   ， C DEC   ，即内错角不相等， BC 和DE不平行，故②错误； Rt RtABC DEA  ≌ ， BAC EDA   ， C DAE  ， 90ABC   ， 90BAC C   ， 90BAD BAC DAE      ，故③正确； Rt RtABC DEA  ≌ ， BC AE  ， AC AD ， AC AE CE BC CE AD      ， DE AD ， BC CE DE   ，故④错误． 综上所述，只有③正确． 故答案为：③． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、平行线的判定、直角三角形斜边大于直角边等知 识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 4．B 【难度】0.94 【分析】本题考查了线段中点的定义，全等三角形的判定，根据题意找出全等条件，选择恰当 的判定方法是解题的关键． 【详解】解：点 E，F分别为 AB， AC中点， 1 2 AE AB  ， 1 2 AF AC ，  AB AC ， AE AF  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 在 AED△ 和 AFD△ 中 AE AF AD AD ED FD      ，  AED AFD≌  （SSS）， 故答案：B． 5．(1)见解析； (2)见解析． 【难度】0.85 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质，证明三角形全等 是解题的关键． （1）利用HL证明Rt RtABN ACM ≌ 即可； （2）由Rt RtABN ACM ≌ 得出 MAC NAB  ，证出 MAE NAD  ，再证明 AME AND ≌ ，即可 得出 EM DN ． 【详解】（1）证明： MA CE AN BD  ， ， 90AME AMC AND ANB     ， 在Rt ACM 和Rt ABN△ 中， =   = AC AB AM AN    ， ∴Rt RtABN ACM ≌ ； （2）∵Rt RtABN ACM ≌ ， ∴ MAC NAB  ， ∴ MAE NAD  ， 在 AME△ 和 AND△ 中， =   = = AME AND AM AN MAE NAD       ， ∴ AME AND ≌ ， ∴ EM DN ． 6． BM BN ，理由见解析 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【难度】0.65 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，先证明  Rt Rt HLABE DBC ≌ ，进而证明 MAB NDB   ，证明  ASAAMB DNB ≌ 即可得证． 【详解】解： BM BN ， 证明：∵点 B在线段 AC上， ABD DBC   ， ∴ 90ABE DBC   ， 在Rt ,RtABE DBC  中， AE DC EB BC    ∴  Rt Rt HLABE DBC ≌ ∴ AB DB ， EAB CDB  又∵ 90MBN   ∴ 90ABM MBE DBN    又 EAB CDB  ，即 MAB NDB  在 ,AMB DNB  中， ABM DBN AB DB MAB NDB        ∴  ASAAMB DNB ≌ ， ∴ BM BN ． 7．(1) BPD CQP ≌ ，理由见解析 (2)3 厘米/秒 【难度】0.85 【分析】（1）根据点 D为 AB的中点求出 BD，根据等边对等角得出 AABC CB ∠ ，再得出经 过 1秒后， , ,PB PC CQ的长，根据SAS可证得 BPD CQP ≌ ； （2）根据点 Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，可得 BP CQ ，从而得到要使 BPD△ 与 CQP 全等，只能 1 4 2 BP CP BC   厘米，进而得到点 P的运动时间，即可求解． 【详解】（1）解： BPD CQP ≌ ，理由如下： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∵点 D为 AB的中点， 12AB AC  厘米， ∴ 6BD  厘米， AABC CB ∠ ， 经过 1秒后， 2PB  厘米， 8 2 6PC    厘米， 2CQ  厘米， ∴ PB CQ ， BD PC ， 在 BPD△ 和 CQP 中， BD PC ABC ACB BP CQ       ，  SASBPD CQP ≌ ； （2）∵点 Q的运动速度与点 P的运动速度不相等， ∴ BP CQ ， 又∵ AABC CB ∠ ， 要使 BPD△ 与 CQP 全等，只能 1 4 2 BP CP BC   厘米， ∵ BPD CPQ△ △≌ ， ∴ 6CQ BD  ． ∴点 P的运动时间： 2 2 2 4BPt    秒， 此时点Q的运动速度 6 3 2  厘米/秒， 故若点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为 3厘米/秒时，能够使 BPD△ 与 CQP 全等． 【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三 角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角 形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 8．（1） EF BE FD  ；（2）仍然成立，理由见解析；（3）此时两舰艇之间的距离是 210 海 里 【难度】0.4 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等； 问题背景：延长 FD到点G，使DG BE ，连接 AG，证明 ABE ADG△ ≌△ ，在证明 AEF AGF ≌ ， 得出EF FG ，得到答案； 探索延伸：连接 EF，延长 ,AE BF 相交于点C，利用全等三角形的性质证明 EF AE FB  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 实际应用：如图 3，连接 EF，延长 ,AE BF 相交于点C，首先证明， 1 2 FOE AOB   ，利用结论 EF AE BF  求解即可． 【详解】解：（1）由题意： 90 , ,B ADG DG BE AB AD      Q ∴ ABE ADG△ ≌△ ， ∴ ,BAE DAG AG AE    ， BE DG ， ∵ 120BAD  ， 120BAD BAE EAD      ∴ 120EAG EAD DAG      ， ∴ 60EAF  ， ∵ 60 , ,GAF EAF AG AE AF AF       ， ∴ AEF AGF ≌ ， EF GF  ， EF FG DF DG BE FD      ， 故答案为： EF BE FD  ． （2）仍然成立． 理由：如图 1，延长 FD到点 G，使DG BE ，连接 AG． ∵ 180B ADC   ， 180ADC ADG   ， ∴ B ADG  ． 在 ABE 和 ADG△ 中， BE DG B ADG AB AD      ， ∴ (SAS)ABE ADG△ ≌△ ， ∴ AE AG ， BAE DAG  ． ∵ 1 2 EAF BAD   ， ∴ GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF        ． 在 AEF△ 和 AGF 中， AE AG EAF GAF AF AF      ， ∴ (SAS)AEF AGF ≌ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∴ EF GF ． ∵GF DG FD BE FD    ， ∴ EF BE FD  ． 图 1 （3）如图 2，连接 EF，延长 AE， BF相交于点 C． ∵  30 90 90 70 140AOB       ， 70EOF  ， ∴ 1 2 EOF AOB   ． ∵OA OB ，    90 30 70 50 180A B         ， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF AE BF  成立， 即 1.5 (60 80) 210EF     （海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是 210 海里． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 4 全等判定与性质综合及实际应用 1．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图， AOB 是一个任意角，在边OA OB， 上分别取OM ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M，N重合．过角尺顶点 C的射 线OC即是 AOB 的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等 的依据是（ ） A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS 2．2022 年 10 月 12 日某中学八年级（4）班的同学在听了“天宫课堂”第三课，即我国航天 员在中国空间站进行的太空授课后，组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的 小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得 AB AC ， E，F分别是 AB， AC的中点， ED DF ，那么 AED AFD≌  的依据是（ ） A．SAS B．ASA C．HL D．SSS 3．如图，点 E是 AC上的一点，若Rt RtABC DEA△ ≌ △ ，给出以下结论：① AB AD ；② BC DE∥ ； ③ 90BAD  ；④BC CE DE  ．其中正确的是 ．（填序号） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 4．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行离度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆 AB AC ， 点 E，F分别为 AB，AC中点，ED，FD是连接立杆和支撑杆的支架，且 ED FD ．立杆在伸缩 过程中，总有 AED AFD≌  ，其判定依据是（ ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 5．已知，如图， ABC 中，AB AC ，D、E分别是 AC AB、 上的点，M、N分别是CE BD， 上的点， 若MA CE AN BD ， ， AM AN ． 求证： (1)Rt RtABN ACM ≌ ； (2) EM DN ． 6．如图，点 B在线段 AC上，点 E在线段��上， ABD DBC  ，EB BC ，AE DC ，点M ，N 分别在线段 AE，��边上，且满足 90MBN  ，猜测��与 BN的数量关系并说明理由． 7．如图，已知 ABC 中， 12AB AC  厘米， B C  ， 8BC  厘米，点 D为 AB的中点，如果点 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 P 在线段 BC上以 2厘米/秒的速度由 B点向 C点运动，同时，点 Q在线段CA上由 C点向 A点运 动． (1)若点 Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1秒后， BPD△ 与 CQP 是否全等？为什么？ (2)若点 Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能使 BPD△ 与 CQP 全等？ 8．问题背景： 如图 1，在四边形 ABCD中， AB AD ， 120BAD  ， 90B ADC    ，E，F分别是 BC，CD上 的点，且 60EAF  ．探究图中线段 BE， EF， FD之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法：延长 FD到点 G，使DG BE ，连接 AG．先证明 ABE ADG△ ≌△ ， 再证明 AEF AGF ≌ ，可得出结论，他的结论应是________． 探索延伸： （2）如图 2，在四边形 ABCD中， AB AD ， 180B D   ，E，F分别是 BC，CD上的点，且 1 2 EAF BAD   ，判断上述结论是否仍然成立，并说明理由． 实际应用： （3）如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 30°的 A处，舰艇乙在指 挥中心南偏东70的 B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正 东方向以 60海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50的方向以 80海里/时的速度前进，1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F处，且两舰艇之间的夹角 EOF 为70．试 求此时两舰艇之间的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4