考点3 三角形-双角平分线模型-人教版八年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 3 三角形-双角平分线模型 1．如图，在 ABC 中， 110BDC  ，点 D是 ABC 和 ACB 角平分线的交点，则 A （ ） A．40 B．50 C．60 D．70 2．如图在 ABC 中，BO CO， 分别平分 ABC ACB ， ，交于 O，CE为外角 ACD 的平分线，交BO 的延长线于点 E，记 1BAC   ， 2BEC  ，则以下结论① 1 2 2   ；② 3 2BOC   ；③ 90 1BOC   ；④ 90 2BOC   ，正确的是 ．（把所有正确的结论的序号写在横线上） 3．如图，已知 ABC 的两条高 BD、CE交于点 F， ABC 的平分线与 ABC 外角 ACM 的平分线 交于点G，若 8BFC G   ，则 A  ． 4．如图， 1BA和 1CA分别是 ABC 的内角平分线和外角平分线， 2BA 是 1A BD 的平分线， 2CA 是 1ACD 的平分线， 3BA 是 2A BD 的平分线， 3CA 是 2A CD 的平分线，……以此类推，若 A   ， 则 2020A  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 5．在 ABC 中， BD CE， 分别是 ABC ACB ， 平分线，BD CE， 相交于点 P． (1)如图 1，如果 60 90A ACB    ， ，则 BPC  ； (2)如图 2，如果 60A  ， ACB 不是直角，求 BPC 的度数． 6．如图①，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 P． (1)如果∠A＝70°，求∠BPC 的度数； (2)如图②，作△ABC 外角∠MBC，∠NCB 的角平分线交于点 Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关 系． (3)如图③，延长线段 BP，QC 交于点 E，在△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的 3倍， 求∠A的度数． 7．直线MN与直线 PQ垂直相交于O，点A在直线 PQ上运动，点 B在直线MN上运动． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 (1)如图 1，已知 AE BE、 分别是 BAO 和 ABO 角的平分线，点 A B、 在运动的过程中， AEB 的 大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出 AEB 的大小． (2)如图 2，已知 AB不平行CD AD BC， 、 分别是 BAP 和 ABM 的角平分线，又DE CE、 分别是 ADC 和 BCD 的角平分线，点 A B、 在运动的过程中， CED 的大小是否会发生变化？若发生 变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图 3，延长BA至G，已知 BAO OAG 、 的角平分线与 BOQ 的角平分线及延长线相交于 E F、 ，在 AEF△ 中，如果有一个角是另一个角的 3倍，试求 ABO 的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 3 三角形-双角平分线模型 参考答案 1．A 【难度】0.85 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到 70DBC DCB   ，根 据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可．掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 【详解】解：∵ 110BDC  ， ∴ 180 110 70DBC DCB      ， ∵点 D是 ABC 和 ACB 角平分线的交点， ∴ 2ABC DBC   ， 2ACB DCB   ， ∴  2 2 140ABC ACB DBC DCB        ， ∴ 180 140 40A      ， 故选：A． 2．①④/④① 【难度】0.65 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质，解题关键是理解并能灵活运用相关 概念得到角之间的关系．先利用角平分线的定义得到 2ABC EBC   ， 2ACD ECD   ， 2ACB ACO  ∠ ，再利用三角形的外角的性质转化各角之间的关系即可求解． 【详解】解：∵BO平分 ABC ， CE为外角 ACD 的平分线， ∴ 2ABC EBC   ， 2ACD ECD   ， ∴  1 2 2 2ACD ABC ECD EBC    ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ，故①正确； ∵CO平分 ACB ， ∴ 2ACB ACO  ∠ ， ∴  1 1 180 902 2OCE ACE ACO ACD ACB        ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ， ∴ 2 90BOC    ，故④正确； ∵ 2 不一定是 45，故②不正确； 由于 1 2 2   ， ∴ 1 1 90 2 BOC     ，故③不正确； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 故答案为：①④． 3．36 【难度】0.85 【分析】首先根据三角形的外交性质求出 2A G   ，结合三角形的高的知识得到 G 和 A 之 间的关系，进而可得结果； 【详解】由图知： ACM A ABC   ， ∵CG是 ACM 的角平分线， ∴ 2ACM GCM   ， ∴ 2A ABC GCM    ， ∵ BG是 ABC 的角平分线， ∴ 1 2 GBC ABC   ， ∴ GBC G GCM   ， 即 1 2 ABC G GCM    ， ∴ 2 2ABC G GCM     ， ∴ 2ABC G A ABC     ， ∴ 2A G   ， ∵ ABCV 的两条高 BD、CE交于点 F， ∴CE AB ， BD AC ， ∴ 90AEF ADF   ， ∴在四边形 AEFD中有： 180A DFE   ， ∵ DFE BFC   ， ∴ 180A BFC   ， ∵ 18 8 4 2 BFC G A A        ， ∴ 4 5 180A BFC A A A        ， ∴ 180 5 36A     ． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题 的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 4． 20202  【难度】0.65 【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC= 1 2 ∠ABC，∠A1CD= 1 2 ∠ACD，再根据三角形的一个外 角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解 1 1 2 A A   ，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的 1 2 ，根据此规律即可得解． 【详解】∵A1B 是∠ABC 的平分线，A1C 是∠ACD 的平分线， ∴∠A1BC= 1 2 ∠ABC，∠A1CD= 1 2 ∠ACD， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1， ∴ 1 2 （∠A+∠ABC）= 1 2 ∠ABC+∠A1， ∴∠A1= 1 2 ∠A， ∵∠A=α． ∠A1= 1 2 ∠A= 1 2 α，同理可得∠A2= 1 2 ∠A1= 2 1 2 α， 根据规律推导， ∴ 2020A  20202  ， 故答案为 20202  ． 【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键． 5．(1)120 (2)120 【难度】0.85 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理是解题的 关键． （1）根据三角形的内角和定理求出 ABC 的度数，然后利用角平分线的定义得到 1 2 PCB ACB  ， 1 2 PBC ABC  ，然后再利用三角形的内角和定理解题即可； （2）根据三角形的内角和定理求出 ABC 的度数，然后利用角平分线的定义得到 2 2ACB PCB ABC PBC    ， ，，然后再利用三角形的内角和定理解题即可； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【详解】（1）∵ 60 90A ACB    ， ， ∴ 180 180 60 90 30ABC A ACB         ， ∵BD CE， 分别是 ABC ACB ， 平分线， ∴ 1 145 15 2 2 PCB ACB PBC ABC        ， ， 在 PBC 中， 180 180 45 15 120BPC PCB PBC         ， 故答案为：120； （2）∵BD CE， 分别是 ABC ACB ， 平分线， ∴ 2 2ACB PCB ABC PBC    ， ， ∵ 60A  ， 在 ABC 中， 180A ABC ACB    ， ∴ 180 120ABC ACB A     ， ∴ 2 2 120PCB PBC   ， ∴ 60PCB PBC   ， 在 PBC 中， 180BPC PCB PBC     ， ∴  180 180 60 120BPC PCB PBC         ． 6．(1)125 (2) 190 2 Q A    (3)∠A 的度数是 45或60或120或135 【难度】0.65 【分析】（1）在△ABC 中，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的 定义得出∠PBC＝ 1 2 ABC，∠PCB＝ 1 2 ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC 中，根据三角 形内角和定理求出即可； （2）根据三角形外角性质得出∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB＝∠ ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，根据角平分线的定义得出 QBC＝ 1 2 MBC，∠QCB＝ 1 2 NCB， 求出∠QBC+∠QCB＝90°+ 1 2 A，根据三角形内角和定理求出即可； （3）根据角平分线的定义得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E＝3∠Q，再求出答案即可 【详解】（1）∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°， ∵点 P是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点， ∴∠PBC＝ 1 2 ABC，∠PCB＝ 1 2 ACB， ∴∠PBC+∠PCB＝55°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°； （2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A， ∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A， ∵点 Q是∠MBC 和∠NCB 的角平分线的交点， ∴∠QBC＝ 1 2 MBC，∠QCB＝ 1 2 NCB， ∴∠QBC+∠QCB＝ 1 2 （∠MBC+∠NCB）＝ 1 2 （180°+∠A）＝90°+ 1 2 A， ∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+ 1 2 A）＝90°﹣ 1 2 A； （3）∵CQ 为△ABC 的外角∠NCB 的角平分线， ∴CE 是△ABC 的外角∠ACF 的平分线， ∴∠ACF＝2∠BCF， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ECF＝∠EBC+∠E， ∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E， 即∠ACF＝∠BC+2∠E， ∵∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠E， 即∠E＝ 1 2 A， ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ ＝ 1 2 ∠ABC+ 1 2 MBC ＝ 1 2 （∠ABC+∠A+∠ACB） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ＝90°， 如果△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的 3倍，那么分为四种情况： ①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°； ②∠EBQ＝3∠Q，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°； ③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°； ④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°， 综合上述，∠A的度数是 45°或 60°或 120°或 135°． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练 掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键． 7．(1) 135AEB   (2) 67.5E   (3)60或 45 【难度】0.4 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解 题时注意：三角形内和为180；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．解题时注意分 类思想的灵活运用． （1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算，即可得到 AEB 的大小不变； （2）根据延长 AD、BC交于点 F．根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，可得 45F  ， 再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到 67.5E  ； （3）先根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，得到  1 1 2 2 E EOQ EAO BOQ BAO ABO         ，再根据 AE AF、 分别是 BAO 和 OAG 的角平分 线，可得 90EAF  ．最后根据 AEF△ 中，有一个角是另一个角的 3倍，分四种情况进行讨论， 即可得到 ABO 的度数． 【详解】（1） AEB 的大小不变． ∵直线MN与直线 PQ垂直相交于O， 90 ,AOB   90 ,OAB OBA    ∵ AE、 BE分别是 BAO 和 ABO 角的平分线， 1 , 2 BAE OAB   1 , 2 ABE ABO   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 BAE ABE  1 ( ) 45 2 OAB ABO     135 ;AEB   （2）如图 2，延长 AD、 BC交于点 F． ∵直线MN与直线 PQ垂直相交于O， 90 ,AOB   90 ,OAB OBA    270 ,PAB MBA    ∵ AD、 BC分别是 BAP 和 ABM 的角平分线， 1 , 2 BAD BAP   1 , 2 ABC ABM   BAD ABC  1 ( ) 135 2 PAB ABM     ∴ 45F  ， ∴ 135FDC FCD   ， ∴ 225CDA DCB   ， ∵DE、CE分别是 ADC 和 BCD 的角平分线， 112.5 ,CDE DCE    ∴ 67.5E  ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 （3）∵ BAO 与 BOQ 的角平分线相交于 E， 1 , 2 EAO BAO EOQ    1 , 2 BOQ  E EOQ EAO   1 1( ) 2 2 BOQ BAO ABO     ∵ AE、 AF 分别是 BAO 和 OAG 的角平分线， 90 .EAF   在 AEF△ 中，有一个角是另一个角的 3倍，故有： ① 3 , 30 ,EAF E E      60 ;ABO   ② 3 , 60 ,EAF F E      120ABO  （舍去） ③ 3 , 22.5 ,F E E      45 ;ABO   ④ 3 , 67.5 ,E F E      135  ABO （舍去） 60ABO  或 45．