期中提升检测金卷（范围：第21～24章）-2024～2025学年九年级数学上学期模拟测试卷【广东专版 配人教版】

2024~2025学年度第一学期数学期中模拟卷（广东专用） 九年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·广东中山·期中）如图，在中，点、、在上，且，则（    ）    A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·四川宜宾·阶段练习）一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·河南洛阳·期末）把抛物线向左平移2个单位，再向上移3个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·广东东莞·期中）若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，的直径为26，弦的长为24，且，垂足为M，则的长为（     ） A．25 B．8 C．5 D．13 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·广东湛江·期中）如图，，可以看做是由绕点O顺时针旋转α角度得到的，若点在上，则旋转角α的大小是（  ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图为二次函数的图象，在下列说法中：①；②方程的根是，；③；④当时，y随x的增大而减小；⑤；⑥．下列结论一定成立的是（    ）    A．①②④⑥ B．①②③⑥ C．②③④⑤⑥ D．①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 15．二次函数y=+2的顶点坐标为 ． 12．若方程的一个根是m，则代数式 ． 13．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，将等边绕点A旋转至，连接，当时，若， ． 14．（23-24九年级上·广东中山·期中）如图中的四个圆的半径都是2cm，四边形四个顶点恰好为四个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 ． 15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2021的坐标为 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．（福建省泉州市惠安县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）解方程：． 17．（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知二次函数． （1）写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）求出这个抛物线与轴的交点坐标． 18．（23-24九年级上·河南漯河·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点都在边长均为1个单位长度的正方形网格的格点上． （1）画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标； （3）写出经过怎样的旋转可直接得到． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． （1）连接，求证：； （2）若，，求的半径． 20．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根， （1）若，求m的值； （2）已知的斜边长为，而且，恰好是另外两条直角边的长，求这个的周长． 21．某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于70%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示 （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图1．四边形是边长为4的正方形，点在线段上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转45°得到，过点作． 【探索发现】（1）爱思考的小强发现：一定等于，请说明理由； 【结论运用】（2）当点落在上时，求的长； 【深入理解】（3）若点在直线上运动，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求的长． 23．如图，抛物线与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且.    （1）求抛物线的函数关系式； （2）若P是抛物线上且位于直线上方的一动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在线段上是否存在一点M，使的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期数学期中模拟卷（广东专用） 九年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；故A正确； B、是轴对称图形，不是中心对称图形；故B错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形；故C错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形；故D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用一元二次方程的定义一次进行判断即可． 【详解】解：、是代数式，所以选项错误，不符合题意； 、是一元二次方程，所以选项正确，符合题意； 、为一元一次方程，所以选项错误，不符合题意； 、含两个未知数，所以选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：解题的关键是掌握含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程． 3．（23-24九年级上·广东中山·期中）如图，在中，点、、在上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”是解本题关键． 【详解】解：由题意得为优弧所对的圆周角， ， 优弧所对的圆心角， 和优弧所对的圆心角的和是周角，是所对的圆心角， ， 故选：D． 4．（22-23九年级上·四川宜宾·阶段练习）一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】每个人送礼物除了不送给自己其他人都有一件，故礼物总数为：人数×（人数1）即可得出对应方程． 【详解】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物， 由题意列方程得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了列方程（一元二次方程）问题，关键在于发现礼物总数等于人数乘以每人送出（或收到）礼物数的积． 5．（22-23九年级上·河南洛阳·期末）把抛物线向左平移2个单位，再向上移3个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到函数解析式是：． 故选：C． 【点睛】此题考查了抛物线的平移规律：左加右减，上加下减．解题的关键是掌握抛物线的平移规律． 6．（23-24九年级上·广东东莞·期中）若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．同时考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的解的定义，把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程求得的值；注意二次项系数不为0． 【详解】∵一元二次方程的一个解为0， ∴且， 解得． 故选：C． 7．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，的直径为26，弦的长为24，且，垂足为M，则的长为（     ） A．25 B．8 C．5 D．13 【答案】B 【分析】连接，根据垂径定理，得到的长度，在中，应用勾股定理，求出的长度，即可求解， 本题考查了，垂径定理，勾股定理，解题的关键是：连接辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：连接， ∵的直径为26， ∴，， ∵，弦的长为24， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线的对称轴，求出关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的增减性，即可求出答案． 【详解】解：， 二次函数的开口向上，对称轴是直线， 在对称轴的右侧随的增大而增大， 点关于直线的对称点是， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质． 9．（23-24九年级上·广东湛江·期中）如图，，可以看做是由绕点O顺时针旋转α角度得到的，若点在上，则旋转角α的大小是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据点在上，得到是等腰三角形，利用三角形内角和定理求出，进而得到，由，即可求出α． 【详解】解：是由绕点O顺时针旋转α角度得到， ，， 点在上， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 10．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图为二次函数的图象，在下列说法中：①；②方程的根是，；③；④当时，y随x的增大而减小；⑤；⑥．下列结论一定成立的是（    ）    A．①②④⑥ B．①②③⑥ C．②③④⑤⑥ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据函数图象和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：①由图象可得，， ，故①正确， ②与轴的交点是， ∴方程的根是，故②正确， ③当时，，故③正确， ④∵该抛物线的对称轴是直线 ∴当时，y随x的增大而增大，故④错误， ⑤则,那么，故⑤错误， ⑥∵抛物线与x轴两个交点， ∴，故⑥正确， 正确的为. ①②③⑥ 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 15．二次函数y=+2的顶点坐标为 ． 【答案】（1，2）. 【详解】试题分析：由二次函数的解析式可求得答案．∵y=（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2）. 故答案为（1，2）． 考点：二次函数的性质． 12．若方程的一个根是m，则代数式 ． 【答案】6 【分析】由方程的一个根是m可得，进而可求出的值． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∴代数式． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键． 13．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，将等边绕点A旋转至，连接，当时，若， ． 【答案】 【分析】等边三角形和旋转的性质，得到平分，，进而得到为等腰直角三角形，勾股定理求出的长，即可． 【详解】解：∵等边绕点A旋转至， ∴为等边三角形，， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是得到为等腰直角三角形． 14．（23-24九年级上·广东中山·期中）如图中的四个圆的半径都是2cm，四边形四个顶点恰好为四个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是扇形的面积的计算．由于四边形内角和，因此图中阴影部分的面积刚好为一个完整的圆的面积． 【详解】解：∵四边形内角和， ∴图中阴影部分的面积刚好为一个完整的圆的面积， ∴． 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2021的坐标为 ． 【答案】（-1011，10112） 【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y=x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2021的坐标． 【详解】解：∵A点坐标为（1，1）， ∴直线OA为y=x，A1（-1，1）， ∵A1A2∥OA， ∴直线A1A2为y=x+2， 解 得或， ∴A2（2，4）， ∴A3（-2，4）， ∵A3A4∥OA， ∴直线A3A4为y=x+6， 解， 得或， ∴A4（3，9）， ∴A5（-3，9） …， ∴A2021（-1011，10112）， 故答案为（-1011，10112）． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．（福建省泉州市惠安县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 17．（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知二次函数． （1）写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）求出这个抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1)开口方向向下，对称轴，顶点坐标是 (2)抛物线与轴的交点坐标是 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，利用解析式求坐标轴的交点的方法以及顶点坐标公式是本题的关键． （1）根据二次项系数确定开口方向，根据顶点坐标公式确定顶点坐标和对称轴． （2）当时，，解方程可求得与轴的交点为，． 【详解】（1）， 开口方向向下，对称轴，顶点坐标是； （2）当时，，解得， 抛物线与轴的交点坐标是． 18．（23-24九年级上·河南漯河·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点都在边长均为1个单位长度的正方形网格的格点上． （1）画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标； （3）写出经过怎样的旋转可直接得到． 【答案】(1)作图见解析，点的坐标 (2)作图见解析，点的坐标 (3)见解析 【分析】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）根据对称的性质即可画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； （2）根据旋转的性质即可画出绕点O逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标； （3）根据旋转的性质即可写出绕点O顺时针旋转后可得到． 【详解】（1）解：（1）如图，即为所求；点的坐标； （2）（2）如图，即为所求；点的坐标； （3）（3）绕点O顺时针旋转后得到． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． （1）连接，求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆的相关性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）连接，由圆的性质可得，根据，可得，由垂径定理可得，然后借助角关系转化可得结论； （2）在由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， 为的下半圆弧的中点， ， ， ， ； （2）在中，， ， （不合题意舍去）或， 的半径为． 20．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根， （1）若，求m的值； （2）已知的斜边长为，而且，恰好是另外两条直角边的长，求这个的周长． 【答案】(1)9 (2) 【分析】此题考查了根与系数的关系，勾股定理，以及三角形三边关系，熟练掌握各自的性质是解本题的关键； （1）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，已知等式变形后，代入计算即可求出m的值; （2）根据题意得到，依此得到关于m的方程求出m的值，进而代入原方程求出解，进而求出周长即可, 【详解】（1），是关于x的一元二次方程的两个实数根， ，即 ，， ， 整理得：， 代入得：，即， ， 解得：，， ， 不符合题意，舍去， m的值为9； （2）的斜边长为，而且，恰好是另外两条直角边的长， ， ，，且， ， 整理得：， 解得：或， ， 不符合题意，舍去， 此时已知方程为即 解得：，， ， 故这个的周长为． 21．某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于70%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示 （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）y=-2x+260（）；（2）80元；（3）销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润是3150元 【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解； （3）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案． 【详解】解：（1）设y=kx+b（k≠0，b为常数） 将点（60，140），（70，120）代入得： ，解得， ∴y与x的函数关系式为：y=-2x+260， 解不等式组， 得：且x为整数； （2）由题意得：， 化简得：x2-180x+8000=0， 解得：x1=80，x2=100， ∵=85， ∴x2=100＞85（不符合题意，舍去） 答：销售单价为80元； （3）设每天获得的利润为w元，由题意得， ， =-2x2+360x-13000 =-2(x-90)2+3200 ∵a=-2＜0，抛物线开口向下， ∴w有最大值， ∵， ∴当x=85时，w最大值=3150， 答：销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润是3150元. 【点睛】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，难度中等略大，熟练掌握相关知识是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图1．四边形是边长为4的正方形，点在线段上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转45°得到，过点作． 【探索发现】（1）爱思考的小强发现：一定等于，请说明理由； 【结论运用】（2）当点落在上时，求的长； 【深入理解】（3）若点在直线上运动，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求的长． 【答案】（1）证明如下（2）（3） 【分析】（1）由角角边可证，可得出最终结论； （2）由正方形的性质可得，由等腰直角三角形的性质即可求解； （3）由等腰直角三角形的性质可求，由平行四边形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）结论正确，理由如下： 将线段绕点顺时针旋转45°得到， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图 ∵四边形是正方形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为： ． （3）如图，设交于点， ， ， 四边形是平行是四边形， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题为四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23．如图，抛物线与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且.    （1）求抛物线的函数关系式； （2）若P是抛物线上且位于直线上方的一动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在线段上是否存在一点M，使的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）的面积的最大值为，此时；（3）当时，的最小值为. 【分析】（1）根据求出B点坐标，设交点式，用待定系数法即可求出函数关系式； （2）作PD⊥x轴，与线段AC相交于D，根据表示的面积，利用二次函数的性质即可求出的面积的最大值及此事P点坐标； （3）构造CM为斜边的等腰三角形，它的直角顶点为第一象限内的N，可得出=最小值即为BN.设可表示N点坐标，继而可表示，利用二次函数的性质即可求的最小值，以及此时M点坐标. 【详解】解：（1）∵， ∴OA=3，OB=1 ∴ ∴设抛物线的交点式为， 将代入得，解得 ∴， 即该抛物线的函数关系式为. （2）作PD⊥x轴，与线段AC相交于D. 设直线AC：y=kx+d 将,分别代入 得，解得， 所以y=-x+3. 设，则， 设△DCP以PD为底时高为h1，△DAP以PD为底时高为h2，则因为，所以时取得最大值为.. 故的面积的最大值为，此时. （3）存在，如下图，作以CM为斜边的等腰三角形，它的直角顶点为第一象限内的N点， ∵△MCN为等腰直角三角形， ∴MN=,即要使最短，只需要最短为BN即可， 设则， ∴ 当时，取得最小值为8，即. 当时，的最小值为. 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与图形问题.（1）中能选择交点式，可以使求解析式的过程更加简单；（2）中能正确表示的面积是解题关键；（3）中能构造等腰直角△CMN，将最短问题转化为最短是解题关键. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$