考点3 勾股定理与折叠-北师大版八年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 专项 3 勾股定理与折叠 答案解析 1．A 【分析】首先利用勾股定理计算出 AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设 ED=x，则 D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程 22+x2=（4﹣x）2，再解方程 即可 【详解】∵AB=3，AD=4，∴DC=3 ∴根据勾股定理得 AC=5 根据折叠可得：△DEC≌△D′EC， ∴D′C=DC=3，DE=D′E 设 ED=x，则 D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x， 在 Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即 22+x2=（4﹣x）2， 解得：x= 3 2 故选 A. 2．(1)6cm (2)3cm 【分析】（1）根据矩形的折叠和勾股定理求出 BF的长即可； （2）先求出CF的长，设 cmEF x ，则 cmDE EF x  ， (8 )cmEC x  ，再利用勾股定理计算即 可． 【详解】（1）解：∵四边形 ABCD为长方形， ∴ 10cmAD BC  ， 8cmCD AB  ， 90C D B      ， 根据折叠可知， 10cmAF AD  ， 在Rt ABF 中，根据勾股定理可得：  2 2 2 210 8 6 cmBF AF AB     ． （2）解：∵ 10 6 4(cm)FC BC BF     ； 设 cmEF x ，则 cmDE EF x  ， (8 )cmEC x  ， 在Rt EFC 中，由勾股定理得 2 2 2FC EC EF  ， 即 2 2 24 (8 )x x   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 解得： 5x  ，  8 5 3 cmEC    ． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握准确计算是解 题的关键． 3．D 【分析】过 C作 CD⊥AB于 D，先求出 A，B的坐标，分别为 A（8，0），B（0，6），得到 AB的长，再根据折叠的性质得到 AC平分∠OAB，得到 CD=CO=n，DA=OA=8，则 DB=10-8=2， BC=6-n，在 Rt△BCD中，利用勾股定理得到 n的方程，解方程求出 n即可． 【详解】过 C作 CD⊥AB于 D，如图， 对于直线 y=- 3 4 x+6， 当 x=0，得 y=6；当 y=0，x=8， ∴A（8，0），B（0，6），即 OA=8，OB=6， ∴AB=10， 又∵坐标平面沿直线 AC折叠，使点 B刚好落在 x轴上， ∴AC平分∠OAB， ∴CD=CO=n，则 BC=6-n， ∴DA=OA=8， ∴DB=10-8=2， 在 Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2， ∴n2+22=（6-n）2，解得 n= 83， ∴点 C的坐标为（0， 83）． 故选 D． 【点睛】本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令 x=0或 y=0，求对应的 y或 x 的值；也考查了折叠的性质和勾股定理． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4． 26cm 【分析】本题考查了翻折变换、三角形的面积、长方形的性质，解决本题的关键是利用翻折的 性质．根据翻折变换可得 3BG DC  ， 90G C    ，即可利用勾股定理求得GF 的长，进而求 出 BGF 的面积． 【详解】解：长方形 ABCD中， 3AB CD  ， 9AD BC  ， 90DÐ = °， 根据翻折可知： 90G C    ， 3BG DC  ，GF CF ， 设 BF x ，则 9GF CF x   ， 在Rt BGF 中，根据勾股定理，得  22 23 9  x x ， 解得 5x  ， ∴ 9 5 4GF    ， ∴ 1 1 3 4 6 2 2BGF S BG GF      ， 故答案为： 26cm ． 5．(1) 4 5 (2) 5 【分析】（1）根据勾股定理即可求出 BC的长； （2）根据折叠的性质得 CD=BD，BE=CE= 1 2 BC=2 5，DE⊥BC，然后根据勾股定理即可解决 问题． 【详解】（1）解：在 RtACB中，∠A＝90°， ∵AC＝8，AB＝4． ∴BC＝ 2 2AC AB ＝ 2 28 4 ＝4 5 ． （2）解：根据折叠的性质知，CD＝BD，BE＝CE＝ 1 2 BC＝2 5 ，DE⊥BC， 在 RtADB中，AD＝AC-CD＝8-BD， 由勾股定理得， 2 2 2AB AD BD  ， ∴ 2 2 24 (8 )BD BD   ， 解得 BD＝5， 在 RtEDB中，由勾股定理得， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 2 2EB DE BD  ， ∴ 2 2 2(2 5) 5DE  ， ∴ 5DE  ． 【点睛】本题考查了折叠的性质和勾股定理，解题的关键是能够从图中找出直角三角形． 6． 2 65 【分析】作EG BC 于点G，连接 BQ交 EF于点H，由折叠知 BQ EF ，可证明  ASAEGF BCQ ≌ ， 则 8GF CQ  ， 10 8 2AE BG BF GF      ，在直角三角形 PEQ中由勾股定理可求 EQ． 【详解】解：在正方形 ABCD中，对角线 BD长为16 2， 16 2 16 2 AB BC CD AD      ， ∵点Q为CD中点， ∴ 1 8 2 CQ CD  ， 设CF x ，由折叠可知 16QF BF x   ，在直角三角形CFQ中，由勾股定理可得： 2 2 2(16 ) 8x x   ，解得： 6x  ． 故 6CF  ， ∴ 10BF BC CF   ， 作EG BC 于点G，连接 BQ交 EF于点 H， 由折叠可知 AE PE ， BQ EF ， 90BFE FBQ   ， 又 90BFE GEF   ， FBQ GEF   ， 在 EGF△ 和 BCQ△ 中， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 90 GEF CBQ EG BC EGF BCQ           ， ∴  ASAEGF BCQ ≌ ， 8GF CQ   ， 10 8 2AE BG BF GF       ， 由折叠可得 2PE AE  ， 16PQ AB  ， 90P  ， 由勾股定理有 2 2 24 16 2 65EQ PE PQ     ； 故答案为： 2 65． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟悉 折叠的性质、掌握以上定理并利用勾股定理建立关于 x的方程是解题的关键． 7．15 7 【分析】过点D作DH AC 于H，DF BC 于 F，由折叠的性质可得 3AC CE  ， 45ACD BCD   ，由勾股定理可求 5AB  ，由面积法可求DF的长，由勾股定理可求DE的长． 【详解】解：如图，过点D作DH AC 于H，DF BC 于 F， 将 ADC 沿直线CD翻折， 3AC CE   ， 45ACD BCD   ， 4BC  ， DH AC ，DF BC ， 45ACD BCD   ， DF DH  ， 45DCF FDC    ， DF CF  ， 2 2 2 9 16 25AB AC BC     ， 5AB  ， 1 1 1 2 2 2ABC S AC BC AC DH BC DF          ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 7DF  ， 12 7 DF  ， 12 7 DF CF   ， 9 7 EF  ， 2 2 144 81 15 49 49 7 DE DF EF      ， 故答案为： 15 7 ． 【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，求出 DF的长是本题的关键． 8． 457 5 / 1 457 5 【分析】当 A P AB  时，过点C作CD AB 于D，可知 12 5 CD  ， 9 5 AD  ，得出 PDC△ 为等腰直 角三角形，得到PD CD ，求出 PA和 BP的长，利用勾股定理即可求出 BA的长． 【详解】过点C作CD AB 于D， 在Rt ADC 中， 90ACB  ， 3AC  ， 4BC  ， ∴ 2 2 5AB AC BC   ∵ 1 1 2 2 AC BC AB CD   ， 12 5 CD  ， 在Rt ADC 中， 3AC  ∴ 2 2 9 5 AD AC CD   ， 当 A P AB  时，如图 由折叠性质可知 1 2   ，PA PA ， 又 1 2 90A PA      原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 45    ∴ ， 又 2 3 90     ， 3 45  ， 2 3  ， 12 5 PD CD   ， 又 PA PD AD  ， 12 9 21 5 5 5 PA    ， 又 PA PA  ， 21 5 PA  ， 又 BP AB PA  ， 21 45 5 5 BP    ， 在Rt BPA△ 中， 90BPA  ， 2 2 2BP PA BA   ， 2 2 2 4 21 457 5 5 25 BA               ， 457 5 BA  ， 故答案为： 457 5 ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 专项 3 勾股定理与折叠 1．如图，将长方形纸片 ABCD折叠，使边 DC落在对角线 AC上，折痕为 CE，且 D点落在 对角线 D′处．若 AB=3，AD=4，则 ED的长为 A． 3 2 B．3 C．1 D． 4 3 2．如图，折叠长方形的一边 AD，使点 D落在 BC边上的点 F处， 10cmBC  ， 8cmAB  ． (1)求 BF的长； (2)求 EC的长． 3．在平面直角坐标系中，已知一次函数 y＝﹣ 3 4 x+6与 x，y轴分别交于 A，B两点，点 C（0， n）是线段 BO上一点，将△AOB沿直线 AC折叠，点 B刚好落在 x轴负半轴上，则点 C的坐 标是（ ） A．（0，3） B．（0， 4 3 ） C．（0， 7 3 ） D．（0， 83） 4．已知：如图长方形 ABCD中， 3cmAB  ， 9cmAD  ，将此长方形折叠，使点 B与点 D重合， 折痕为 EF，则 BGF 的面积为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5．已知，如图，RtACB，∠A＝90°，AC＝8，AB＝4． (1)求出 CB边的长度． (2)若点 D、E分别是 AC、CB边上的点，沿直线 DE将∠C折叠，使得点 C与点 B重合，直接 写出 DE的长度． 6．如图，将对角线 BD长为16 2的正方形 ABCD折叠，使点 B落在DC边的中点Q处，点A落 在 P处，折痕为 EF．连接 EQ，则 EQ的长为 ． 7．在 Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点 D在边 AB上，连接 CD，将△ADC沿直线 CD翻折，点 A恰好落在 BC边上的点 E处，若 AC＝3，BE＝1，则 DE的长是 ． 8．如图，在 ABCV 中， 90ACB  ， 3AC  ， 4BC  ，P为斜边��上的一动点（不包含A，B两 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 端点），以CP为对称轴将 ACP△ 翻折得到 A CP ，连结 BA．当 A P AB  时， BA的长 为 ．