考点2 勾股定理之最短路径问题-北师大版八年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 专项 2 勾股定理之最短路径问题 答案解析 1．10cm 【分析】将圆柱的侧面展开，然后利用勾股定理�2 + �2 = �2即可求得最短路线． 【详解】展开之后如图，此时 AB 的长度即为最短路线长， 此时�� = 1 2 × 2� × 6 � = 6 ,BC=8， ∴�� = ��2 + ��2 = 62 + 82 = 10�� ， 故答案为：10cm． 【点睛】本题主要考查圆柱的侧面展开图和勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 2．A 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在 求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为 2AC 的长度． ∵圆柱底面的周长为 4dm，圆柱高为 2dm， ∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2dm， ∴AC2＝22+22＝4+4＝8， ∴AC＝2 2dm， ∴这圈金属丝的周长最小为 2AC＝4 2dm． 故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等 于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”， 用勾股定理解决． 3．(1)方案 2爬行距离更近 (2)方案 1爬行距离更近 (3) 4 5 R h ，两种方式的爬行距离同样远 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理即可得到结论； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）方案 1：爬行距离= �� + �� = 4 + 2 = 6，方案 2：爬行距离=�� = 42 + 32 = 5， ∴方案 2爬行距离更近； （2）方案 1：爬行距离= �� + �� = 1 + 2 = 3，方案 2：爬行距离 AB  12 + 32 = 10 > 3， ∴方案 1爬行距离更近； （3）根据题意得，ℎ+ 2� = ℎ2 + 3� 2 解得： 4 5 R h ∴ 4 5 R h ，两种方式的爬行距离同样远． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4.【答案】D 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两 点之间线段最短进行解答 ． 【详解】解：如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 台阶平面展开图为长方形， 60cmAC  ，  15 15 25 25 80 cmBC      ， 则蚂蚁沿台阶面爬行到 B点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：  2 260 80 100 cmAB    ， 故选：D． 5.【答案】25 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，根据题意可得， 15mAD  ， 20mDE CD CE   ， 线段 AE 即为滑行的最短路线长．在Rt ADE 中，根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长． 【详解】解：将半圆面展开可得： 1 2π =15m 2415 4 20m 2 π AD DE CD CE       ， ， 在Rt ADE 中， 2 2 2 215 20 25mAE DE AD     ， 即滑行的最短路线长为 25m， 故答案为：25． 6.【答案】C 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，常用“化曲面为平面”的思想，将圆柱体的侧面展 开，利用勾股定理计算斜边长度． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3圈到 B 的最短路线 是 AD DE EB  ； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分为 3个小长方形，A 沿着 3个长方形的对角线 运动到 B 的最短路线： AD DE EB  ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 圆柱体地面半径为 4  cm， 42 8AC       cm 圆柱体的高 18h  cm， 1 6 3 CD h   cm 在 Rt ACD△ 中， 2 2 2 26 8 10cmAD AC CD     AD DE EB   3 30cmAD DE EB AD    ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理在计算最短路径中的应用，要求学生具有一定空间想象能力， 利用化曲面为平面的思想，准确画出侧面展开图并结合勾股定理进行计算是本题的解题关键． 7.【答案】30 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两 点之间线段最短解答． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3圈到 B 的运动最短 路线是： AC →CD→DB； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成 3个小长方形，A 沿着 3个长方形的对角线 运动到 B 的路线最短； ∵圆柱底面半径为 cm， ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长： 42 8    （cm）； 又∵圆柱高为 18cm， ∴小长方形的一条边长是8 3 6  （cm）； 根据勾股定理求得 2 26 8 10AC CD DB     （cm）； ∴ 30AC CD DB   cm； 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开﹣﹣路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个 长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面 展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 专项 2 勾股定理之最短路径问题 1.如图，一只蚂蚁从点 A沿圆柱表面爬到点 B，圆柱高为 8cm，底面半径为 6 � cm，那么最短的路 线长是 ． 2．如图，已知圆柱底面的周长为 4dm，圆柱高为 2dm，过点�和点�嵌有一圈金属丝，则这圈 金属丝的周长最小为（ ） A．4 2 B．2 2 C．5 5 D．4 5 3．如图 1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点 A爬到上底面的点 B处，求它爬行的最短距离. 已 知圆柱底面半径为 R，高度为 h.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方 案 1：沿 A→C→B 爬行；方案 2：沿圆柱侧面展开图的线段 AB 爬行，如图 2.（�取 3） (1)当 1R  ，ℎ = 4时，哪种方式的爬行距离更近？ (2)当 1R  ，ℎ = 1时，哪种方式的爬行距离更近？ (3)当 R 与ℎ满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？ 4．一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，长60cm．一只蚂蚁从A点爬到 B点最短路程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 是（ ） A．60cm B．80cm C．90cm D．100cm 5．如图，某滑雪场U 型池的场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截 面图中半圆的半径为 15 m π ，其边线 24m AB CD ，点 E 在CD上， 4mCE ，一名滑雪爱好者从 点A滑到点 E ，他滑行的最短路线长为 m． 6．如图，圆柱底面半径为 4 cm  ，高为 18cm，点 A、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且点 B 在点 A 的正上方，用一根棉线从 A 点顺着圆柱侧面绕 3圈到 B 点，则这根棉线的长度最短为 （ ） A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm 7．如图，圆柱底面半径为 4  cm，高为 18cm，点 A，B 分别是圆柱两底面圆周上的点．且 A、 B 在同一母线上，用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3圈到 B，则棉线最短为 cm．