考点1 勾股定理求边长-北师大版八年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 专项 1 勾股定理求边长 1．一个长方形的相邻两边的比是 5: 3，它的对角线长为 68，则这个长方形的较长边长 为 ． 2．在 Rt△���中，∠� = 90°，�� = 25cm，�� = 15cm，�� ⊥ ��，垂足为 H，CH  ． 3．在等腰直角△ABC 中，AC＝BC＝6，∠C＝90°，点 P为斜边 AB 中点，点 D为射线 AC 上一 点，连接 PD，若 CD＝1，则 PD＝ ． 4．如图，�� ⊥ ��于点 B，�� ⊥ ��于点 A，点 E是��中点，若 5BC  ，�� = 12，�� = 12.5， 则��的长是 ． 5．如图，在四边形����中，∠��� = ∠��� = 90°，�� = ��． (1)当�� = 7， 5CD  时，求��的长； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ (2)当�� = 13，�� = 2时，则��的长为______． 6．将一副直角三角板如图放置，已知∠� = ∠��� = 90°，∠� = 30°，∠� = 45°，点 D在线 段��的延长线上，点 F在��边上，�� ⊥ ��于点 D，若直角边�� = 4 2，则��的长为（ ） A．4 B．4 − 4 3 3 C．2 2 − 4 3 3 D．4 2 2 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 专项 1 勾股定理求边长 答案解析 1．5 2 【分析】设长方形的两邻边长分别为 5�、3�，根据勾股定理列方程求解 x值即可解答． 【详解】解：根据题意，设长方形的两邻边长分别为 5�、3�， ∵它的对角线长为 68，两邻边的夹角为 90°， ∴ 5� 2 + 3� 2 = 68 2 ， ∴34�2 = 68，解得 2x  （负值舍去）， 则这个长方形的较长边长为 5 2， 故答案为：5 2． 【点睛】本题主要考查勾股定理、算术平方根，利用勾股定理建立方程求解是解答的关键． 2．12cm 【分析】利用勾股定理得出��的长，再利用三角形面积求法得出HC 的长． 【详解】解：在 Rt△���中，∠� = 90°， 根据勾股定理可得：�� = ��2 − ��2 = 252 − 152cm=20cm ∵Rt△���的面积= 1 2 × �� × �� = 1 2 × �� × �� ∴20 × 15 = 25 × ��， 解得�� = 12cm 故答案为：12cm 【点睛】本题考查的是勾股定理以及三角形的等面积法，如果直角三角形的两条直角边长分别 是 a，b，斜边长为 c，那么�2 + �2 = �2． 3． 13或 5/5 或 13 【分析】过点 P作 PE⊥AC 于 E，分点 D在 AC 上、点 D在 AC 的延长线上两种情况，根据勾股 定理计算即可． 【详解】解：如下图，过点 P作 PE⊥AC 于 E，则 PE∥BC， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ∵点 P为斜边 AB 中点， ∴点 E为斜边 AC 中点，PE＝ 1 2 BC＝3， ∴AE＝EC＝3， 当点 D在 AC 上，CD＝1 时，ED＝EC﹣CD＝2， 则 PD＝ 32 + 22＝ 13， 当点 D′在 AC 的延长线上，CD′＝1时，ED′＝EC+CD′＝4， 则 PD＝ 32 + 42＝5， 综上所述，PD＝ 13或 5， 故答案为： 13或 5． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、勾股定理，三角形的中位线，解题的关键是灵活运用分 情况讨论思想． 4．24 【分析】延长 BE 交��于 F，证明△ ��� ≌△ ��� ASA 得到�� = 5，�� = 2�� = 25，然后利 用勾股定理求解即可． 【详解】解：延长 BE 交��于 F， ∵�� ⊥ ��，�� ⊥ ��， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ∴�� ∥ ��， ∴∠� = ∠�， ∵点 E是��中点， ∴�� = ��，又∠��� = ∠���， ∴△ ��� ≌△ ��� ASA ， ∴�� = ��，�� = ��， ∵ 5BC  ，�� = 12.5， ∴�� = 5，�� = 2�� = 25， 在 Rt△ ���中，�� = �� − �� = 7， ∴�� = ��2 − ��2 = 252 − 72 = 24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，添加辅助线构 造全等三角形是解答的关键． 5．(1)2 3 (2) 17 【分析】（1）由勾股定理得��的值，再根据的等腰直角三角形的性质即可解答． （2）延长��，过点 B作�� ⊥ ��于点 E，由勾股定理得�� ，��的值，再证得△ ���是等腰 直角三角形，可得 BE 的值，即可解答． 【详解】（1）∵∠���=90°，�� = 7， 5CD  ， ∴�� = 72 − 55 = 2 6， ∵∠��� = 90°，�� = ��． ∴��2 + ��2 = ��2， ∴�� = �� = 2 2 × 2 6 = 2 3． （2）延长��，过点 B作�� ⊥ ��于点 E， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ∵∠��� = 90°，�� = �� = 2， ∴�� = 2， ∵∠���=90°，�� = 13，�� = 2， ∴�� = 13 2 − 22 = 3， ∵�� ⊥ ��，�� ⊥ ��， ∴�� ∥ ��， ∴ 45ACB CBE    ， ∴△ ���是等腰直角三角形， ∴��2 + ��2 = ��2 ∴�� = �� = 2 2 × 2 = 1， ∴�� = 3 + 1 = 4， 1BE  ， ∴�� = 12 + 42 = 17． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判断与性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 6．B 【分析】过点 F作�� ⊥ ��于点 H，根据三角形内角和定理可得∠��� = 60°，∠��� = 45°， 进一步可知△���是等腰直角三角形，根据勾股定理，求出�� = �� = 4，设�� = �，在 Rt△ ���中，根据勾股定理，求出HC 的长，进一步可得��的长． 【详解】解：过点 F作�� ⊥ ��于点 H，如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ∵∠� = ∠��� = 90°，∠� = 30°，∠� = 45°， ∴∠��� = 60°，∠��� = 45°， ∵�� ⊥ ��， ∴∠��� = 90°， ∴∠��� = 45°， ∴∠��� = 45°， ∴�� = ��， ∴△���是等腰直角三角形， ∵�� = 4 2， 根据勾股定理，��2 + ��2 = ��2 = 4 2 2 ， ∴�� = �� = 4， 设�� = �， ∵∠��� = 90° − 60° = 30°， ∴�� = 2�， 在 Rt△ ���中，根据勾股定理，得��2 + ��2 = ��2， 即�2 + 42 = 2� 2， 解得� = 4 3 3，负值舍去， ∴�� = �� − �� = 4 − 4 3 3，故 B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定 理，解题的关键是作出辅助线，根据勾股定理求出�� = �� = 4，�� = 4 3 3．