考点11 动点问题-北师大版八年级上册期中专项(初中数学)

2024-10-24
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资源信息

学段 初中
学科 数学
教材版本 初中数学北师大版(2012)八年级上册
年级 八年级
章节 第一章 勾股定理,第四章 一次函数
类型 题集-专项训练
知识点 -
使用场景 同步教学-期中
学年 2024-2025
地区(省份) 全国
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 ZIP
文件大小 2.76 MB
发布时间 2024-10-24
更新时间 2024-11-15
作者 邵俊成
品牌系列 其它·其它
审核时间 2024-10-24
下载链接 https://m.zxxk.com/soft/48169902.html
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来源 学科网

内容正文:

原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 专项 11 动点问题 1.如图,已知在平面直角坐标系中,△ ���的面积为 18,�� = ��,�� = 14,点 P的坐标 是 �,8 . (1)求顶点 A的坐标___________; (2)若点 P在第二象限,若△ ���的面积等于△ ���的面积,求出点 P的坐标. (3)在 x 轴上找一点 D,使得△ ���为等腰三角形,直接写出点 D 的坐标. (4)求出当�� + ��的值最小时点 P的坐标. 2.综合探究 如图,在长方形����中,�� = 8cm,�� = 10cm,在边��上取一点 E,将△���折叠后点 D 恰好落在��边上的点 F,点 P是线段��上的一个动点. (1)求��的长; (2)当△ ���是直角三角形时,求��的长; (3)连接 PF ,设�� = �,�� = �,求 y关于 x的函数解析式. 3.已知:如图,在 Rt△ ���中,∠� = 90°,�� = 5cm,�� = 3cm,动点 P从点 B出发沿射 线��以 1cm/�的速度移动,设运动的时间为 t秒. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! (1)求��边的长; (2)当△ ���为直角三角形时,求 t的值; (3)当△ ���为等腰三角形时,求 t的值. 4.如图,平面直角坐标系中,已知点� −3,2 ,点� 3,5 . (1)连接线段��、��、��,△ ���是直角三角形吗?请说明理由; (2)点�是�轴上的一点,当△ ���的面积是 12,求点�的坐标: (3)点  , 0R x 是�轴上一动点且 7x   ,用�表示 ABR△ 的面积,直接写出�关于�的函数表达式. 5.一次函数� = �� + �的图象经过点 (0,9)A ,并与直线� = 5 3 �相交于点 B,与 x轴相交于点 C, 其中点 B的横坐标为 3. (1)求点 B的坐标和 k,b的值; (2)点 Q 为直线� = �� + �上一动点,当点�运动到何位置时,△���的面积等于27 4 ,请求出点 Q的坐标; (3)在 y 轴上是否存在点 P,△ ���使是等腰三角形?若存在,请直接写出点 P的坐标;若不 存在,请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 6.如图,直线 y=kx+6 与 x 轴、y轴分别相交于点 E,F,点 E的坐标为(8,0),点 A的坐标 为(6,0),点 P(x,y)是第一象限内直线上的一个动点(点 P不与点 E,F重合). (1)求 k 的值; (2)在点 P运动的过程中,求出△OPA 的面积 S与 x的函数关系式; (3)若△OPA 的面积为 27 8 ,求此时点 P的坐标. 7.如图 1,在平面直角坐标系中,已知�(0, �), �(�, 0),其中 a是 21的整数部分,在数轴上, b表示的数在原点的左侧,离原点的距离是 2个单位长度. (1)填空:� =________,� =________; (2)在(1)条件下,如果在第三象限内有一点 ( 1, )P m ,请用含 m的式子表示四边形����的面 积; (3)如图 2,点 A的坐标为( − 1,0),点 B的坐标为(5,0),点 M的坐标为( − 2, − 2),动点 P从 原点 O出发以每秒 4个单位长度的速度沿 y轴负方向移动,同时点 B以每秒 1个单位长度的速 度沿 x轴正方向移动,连接��、��,设运动时间为�(� > 0)秒.是否存在这样的 t,使����� = �����?若存在,请求出 t的值;若不存在,请说明理由. 8.如图,在平面直角坐标系中,点�、�的坐标分别为 1,4 和 3,0 ,点�是�轴上的一个动点, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 且�、�、�三点不在同一条直线上. (1)求出��的长. (2)若�� = ��时,求点�的坐标. (3)求出△ ���的周长的最小值? 9.如图,点�、�、�的坐标分别是� −1,3 、� −5,1 、� 0,1 . (1)判断△ ���的形状,并说明理由; (2)点�是�轴上的一动点,求出使得�� + ��的值最小时点�的坐标. 10.如图,在平面直角坐标系中,一次函数� = 2 3 � + 2的图象与正比例函数 4 3 y x 的图象交点 为�.求: (1)在�正半轴上求一点�使△ ���为等䁏三角形,请求出符合条件的点�的坐标. (2)若�点是平面直角坐标系任意一点,△���是以��为直角边的等腰直角三角形,请直接写 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 出�点的坐标. 11.如图,直线�: � = 3 4 � + 6交 x、y轴分别为�、�两点,点�与点�关于 y轴对称.动点�、� 分别在线段��、��上(点�不与点�、�重合),满足∠��� = ∠���. (1)点�坐标是_______,�� =______. (2)当点�在什么位置时,△ ��� ≌△ ���,说明理由. (3)当△ ���为等腰三角形时,求点�的坐标. 12.如图 1,直线� =−�� + 4� � > 1 交 x轴于点 A,交 y轴于点 B,点 C在��上,且∠��� = 45°. (1)直接写出点 C的坐标为___________; (2)P 为 x 轴负半轴上一点,且�� = 2��,连接��,设△ ���的面积为 S,直接写出 S与 m的 函数关系式; (3)在(2)的条件下,过点 B作�� ⊥ ��,交 x轴于点 D,若�� + �� = ��,求点 D的坐标. 13.如图,在平面直角坐标系中,函数� =− � + 2 的图象与 x轴,y轴分别交于点 A,B,与函 数� = 1 3 � + �的图象交于点�( − 2,�). (1)求 m和 b的值; (2)函数� = 1 3 � + �的图象与 x轴交于点 D,点 E从点 D出发沿 DA 方向,以每秒 2个单位长 度匀速运动到点 A(到 A停止运动).设点 E的运动时间为 t秒. ①当△ ���的面积为 12 时,求 t的值; ②在点 E运动过程中,是否存在 t的值,使△���为直角三角形?若存在,请求出 t的值;若 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 不存在,请说明理由. 14.如图,直线 l上� =− 4 3 � + 3与 x轴、y轴分别交于 A、B两点,�� ⊥ ��于点 M,点 P为 直线 l上不与点 A、B重合的一个动点. (1)点 A坐标为( );点 B坐标为( );线段��的长为________. (2)当△ ���的面积是 6时,求点 P的坐标; (3)在 y轴上是否存在点 Q,使得以 O、P、Q为顶点的三角形与△���全等,若存在,请直 接写出所有符合条件的点 P的坐标,否则,说明理由 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 专项 11 动点问题 答案解析 1.(1) 0,6 (2) −12,8 (3) 18,0 或 −2,0 或 −8,0 或 74 , 0 (4)� − 6 5 ,8 【分析】(1)根据△ ���的面积求得�� = 6,即可得到点 A的坐标; (2)作�� ⊥ �轴于 H,根据�△��� = �梯形���� − �△��� − �△��� = �△��� = 42,即可求得 a的 值,得到点 P的坐标; (3)先求出�� = 10,根据△ ���为等腰三角形分当�� = ��、DA AC 和�� = ��三种情况讨 论即可; (4)作点 A关于直线 8y  的对称点�' 0,10 ,求得直线�'�解析式,直线�'�与 8y  的交点为点 P的坐标. 【详解】(1)解:∵�△��� = 1 2 �� ⋅ ��, ∵�� = ��, ∴ 1 2 ��2 = 18,解得�� = 6, ∴� 0,6 , 故答案为: 0,6 ; (2)解:由(1)得�� = 6,点� −6,0 , 作�� ⊥ �轴于 H,如图 3, �△��� = �梯形���� − �△��� − �△��� = 1 2 (6 − �) × 8 − 1 2 × (8 − 6) × ( − �) − 18 =− 3� + 6; ∵�△��� = 1 2 �� × �� = 1 2 × 14 × 6 = 42, 则−3� + 6 = 42, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 解得� =− 12. 此时 P点坐标为 −12,8 . (3)解:�� = �� − �� = 14 − 6 = 8, ∴�� = 62 + 82 = 10, 当�� = ��时,�� = 10,则 D 18,0 或 −2,0 , 当DA AC 时,�� = ��,则� −8,0 , 当�� = ��时,如图,设�� = �,则�� = �� = 8 − �, 由勾股定理得: 2 2 2AD OD OA  ,即 2 2 2(8 ) 6x x   , 解得� = 7 4 ,� 7 4 , 0 ∴点 D的坐标 18,0 或 −2,0 或 −8,0 或 74 , 0 (4)解: 如图,作点 A关于直线 8y  的对称点�' 0,10 , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 设直线��'解析式为� = �� + �, 代入�' 0,10 和� −6,0 10 = � 0 =− 6� + �, 解得: � = 5 3 � = 10 , ∴直线��'解析式为� = 53 � + 10, 当 8y  时,� =− 6 5 ,则� − 6 5 ,8 . 【点睛】此题考查的是一次函数综合问题,平面直角坐标系与图形的面积类问题,掌握点的坐 标与线段长的关系和各个图形的面积公式是解决此题的关键. 2.(1)3cm (2)4 5cm 或 5 5cm (3)� = �2 − 8 5� + 100 【分析】(1)由题意得∠��� = ∠� = ∠� = 90°,�� = �� = �� = 10cm,根据勾股定理求出 BF,得到��的长度,设��长为�cm,则��为 8 − � cm,在 Rt△ ���中利用勾股定理,得��2 + ��2 = ��2,求出 x即可; (2)分两种情况:①当∠��� = 90°时, ②当∠��� = 90°时,即�� ⊥ ��,根据勾股定理及 面积法分别求解即可; (3)作�� ⊥ ��交��于点 M,得到�� = 2 5cm, �� = 4 5cm,�� = 5cm,分两种情况:① 当 0 ≤ � ≤ 4 5时,②当 4 5 < � ≤ 5 5时,利用勾股定理计算. 【详解】(1)解:由题意得∠��� = ∠� = ∠� = 90°,�� = �� = �� = 10cm 在 Rt△ ���中,�� = ��2 − ��2 = 6cm 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! ∴�� = �� − �� = 4cm 设��长为�cm,则��为 8 − � cm ∴�� = �� = 8 − � cm 在 Rt△ ���中,��2 + ��2 = ��2 即�2 + 42 = (8 − �)2 ∴ � = 3��,即�� = 3cm; (2)①当∠��� = 90°时,即 P与 E重合, ∵�� = 3cm,∴�� = 5cm, ∴ AP AE  102 + 52 = 5 5��; ②当∠��� = 90°时,即�� ⊥ ��, ∵�△��� = 1 2 ⋅ �� ⋅ �� = 1 2 ⋅ �� ⋅ �� ∴ �� = �� ⋅ �� �� = 2 5cm 在 Rt△ ���中,�� = ��2 − ��2 = 4 5cm; 综上所述,��长为 4 5��或 5 5��; (3)作�� ⊥ ��交��于点 M ∴�� = 2 5cm, �� = 4 5cm,�� = 5cm 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! ①当 0 ≤ � ≤ 4 5时,�� = �� − �� = 4 5 − � cm, ∴� = ��2 + ��2 = �2 − 8 5� + 100; ②当 4 5 < � ≤ 5 5时, ∴�� = �� − �� = � − 4 5 cm, ∴� = ��2 + ��2 = �2 − 8 5� + 100 综上所述:� = �2 − 8 5� + 100. 【点睛】此题考查了折叠的性质,勾股定理,矩形的性质,正确理解折叠的性质分类解答是解 题的关键. 3.(1)4cm (2)当△ ���为直角三角形时,� = 4 或� = 25 4 (3)当△ ���为等腰三角形时,� = 5 或� = 8或� = 25 8 【分析】(1)直接根据勾股定理求出��的长度; (2)当△ ���为直角三角形时,分两种情况:①当∠���为直角时,②当∠���为直角时,分 别求出此时的�值即可; (3)当△ ���为等腰三角形时,分三种情况:①当�� = ��时;②当�� = ��时;③当�� = �� 时,分别求出��的长度,继而可求得�值. 【详解】(1)解:在 Rt△ ���中,��2 = ��2 − ��2 = 52 − 32 = 16, ∴ �� = 4cm; (2)解:由题意知�� = �cm, ①当∠���为直角时,点�与点�重合,�� = �� = 4cm,即� = 4; ②当∠���为直角时,�� = �cm,�� = (� − 4)cm,�� = 3cm, 在 Rt△ ���中, ��2 = 32 + (� − 4)2, 在 Rt△ ���中, 2 2 2AB AP BP  , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 即: 2 2 2 25 [3 ( 4) ]t t    , 解得:� = 25 4 , 故当△ ���为直角三角形时,� = 4 或� = 25 4 ; (3)解:①当�� = ��时,� = 5; ②当�� = ��时,�� = 2�� = 8cm,� = 8; ③当�� = ��时,�� = �� = �cm,�� = (4 − �)cm,�� = 3cm, 在 Rt△ ���中,��2 = ��2 + ��2, 所以 2 2 23 (4 )t t   , 解得:� = 25 8 , 综上所述:当△ ���为等腰三角形时,� = 5 或� = 8或� = 25 8 . 【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识,解答本题的关键是掌握勾股定理的应用, 以及分情况讨论,注意不要漏解. 4.(1)△ ���不是直角三角形 (2) 0, 15 2 或 0, − 1 2 (3)� = 3 2 � + 21 2 【分析】本题考查勾股定理的逆定理,一次函数与几何综合问题,三角形的面积求法,利用割 补法求三角形的面积是解题的关键. (1)利用点 A、B的坐标,求出△ ���的三条标,再用勾股定理的逆定理验证较小两边的平方 和是否等于最长边的平方即可得解; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! (2)先求出直线��的解析式,再用求出它与 y轴的交点,再用面积和差的方法表示出△ ��� 的面积,从而建立方程求解; (3)先利用直线��的解析式求出它与 x轴的交点,再用面积和差的方法表示出 ABR△ 的面积, 从而得解; 【详解】(1)解:连接��、��、��, ∵点� −3,2 ,点� 3,5 , ∴�� = −3 2 + 22 = 13、�� = 32 + 52 = 34、�� = −3 − 3 2 + 2 − 5 2 = 3 5 ∴�� < �� < �� 又∵��2 + ��2 = 13 2 + 34 2 = 47 ≠ 45 = ��2, ∴△ ���不是直角三角形; (2)设直线��的解析式为:� = �� + �, 将点 A,点 B的坐标代入得: −3� + � = 2 3� + � = 5 , 解得: � = 1 2 � = 7 2 , ∴直线��的解析式为:� = 1 2 � + 7 2 , 令直线��与 y 轴交于点 M,设� 0, � 令� = 0得:� = 1 2 � + 7 2 = 7 2 , ∴� 0, 7 2 , ∴�� = � − 7 2 , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! ∴�△��� = �△��� + �△��� = 1 2 �� × �� − �� = 1 2 � − 7 2 × 3 − −3 = 3 � − 7 2 = 12, ∴ � − 7 2 = 4, 解得:� = 15 2 或− 1 2 , 即点 P的坐标是 0, 15 2 或 0, − 1 2 (3)令直线��与 x轴交于点 N,  , 0R x 令� = 1 2 � + 7 2 = 0得: 7x   , ∴� −7,0 , ∴�� = � + 7, ∴� = �△��� =+ �△��� − �△��� = 1 2 �� × �� − �� = 1 2 � + 7 × 5 − 2 = 3 2 � + 21 2 , ∴�关于�的函数表达式是:� = 3 2 � + 21 2 . 5.(1)� 3,5 ,� =− 4 3 ,� = 9 (2) (4.5,3)Q 或 (1.5,7) (3)存在,(0,4)或(0,14)或 0,1 或 47(0, ) 8 【分析】(1)一次函数� = �� + �的图象与� = 5 3 �相交于点�,则求出点 (3,5)B ,将点�、�的 坐标代入一次函数表达式,即可求解; (2)△���的面积 1 1 27| | 9 | 3 |2 2 4OA xQ xB m         ,即可求解; (3)分�� = ��、�� = ��、�� = ��三种情况,分别求解即可. 【详解】(1)解:一次函数� = �� + �的图象与� = 5 3 �相交于点 B,点 B的横坐标为 3. 则点 B的纵坐标为: 5 3 5 3   , 即点 B的坐标为:(3,5), 将点 (0,9)A 、 (3,5)B 的坐标代入一次函数表达式� = �� + �中, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 得: 5 = 3� + � � = 9 ,解得: 4 , 9 3 k b   ; (2)设点 4( , 9) 3 Q m m  , 则△���的面积 1 1 27| | 9 | 3 |2 2 4OA xQ xB m         , 解得:� = 4.5或 1.5, 故点 (4.5,3)Q 或 (1.5,7); (3)设点�(0,�),而点�、�的坐标分别为: (0,9)、(3,5), 则��2 = 25, 2 2( 9)AP m  , 2 29 ( 5)BP m   , 当�� = ��时, 225 ( 9)m  ,解得:� = 14或 4; 当�� = ��时,同理可得:� = 9(舍去)或 1; 当�� = ��时,同理可得: 478m  ; 综上点�的坐标为:(0,4)或(0,14)或(0,1)或 47(0, ) 8 . 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用、等腰三角形的性质、坐标与图形,正确理解一次函 数的含义是解题关键. 6.(1) y=- 3 4 x+6.(2)S=- 9 4 x+18(0<x<8)(3) P( 13 2 , 9 8 ). 【详解】(1)直接把点 E的坐标代入直线 y=kx+6 求出 k的值即可; (2)过点 P作 PD⊥OA 于点 D,用 x表示出 PD 的长,根据三角形的面积公式即可得出结论; (3)把△OPA 的面积为 27 8 代入(2)中关系式,求出 x的值,把 x的值代入直线 y=- 3 4 x+6 即可 得出结论. 解:(1)由题意,得 8k+6=0, 解得 k=- 3 4 . ∴y=- 3 4 x+6. 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! (2)过点 P作 PD⊥OA 于点 D. ∵点 P(x,y)是第一象限内直线上的一个动点, ∴PD=- 3 4 x+6(0<x<8). ∵点 A的坐标为(6,0), ∴S= 1 2 ×6×(- 3 4 x+6)=- 9 4 x+18(0<x<8). (3)∵△OPA 的面积为 27 8 , ∴- 9 4 x+18= 27 8 ,解得 x= 13 2 . 将 x= 13 2 代入 y=- 3 4 x+6,得 y= 9 8 , ∴P( 13 2 , 9 8 ). 7.(1)4,    − 2; (2)4 − �; (3)存在,5. 【分析】(1)根据无理数 21的范围即可求出它的整数部分�;根据数轴上的点表示的数即可 求出�; (2)将四边形����的面积分解成两个三角形 AOB 与����的面积和即可求出; (3)先用�表示点�(0, − 4�), �(5 + �, 0),然后用�表示 ABM 与����的面积,然后根据题意列 式即可求出答案. 【详解】(1)解:∵ 4 < 21 < 5,且 a是 21的整数部分, ∴ � = 4, ∵在数轴上,b表示的数在原点的左侧,离原点的距离是 2个单位长度, ∴ � =− 2; 故答案为:4,    − 2; (2)解:∵在第三象限内有一点 ( 1, )P m , ∴ � < 0, �四边形���� = ����� + ����� 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! = 1 2 �� ⋅ �� + 1 2 �� ⋅ |�| = 1 2 × 2 × 4 − 1 2 × 2 × � 4 m  ; ∴用含 m的式子表示四边形����的面积为:(4 − �); (3)解:如图 2,连接��, ∵动点 P从原点 O出发以每秒 4个单位长度的速度沿 y轴负方向 移动,同时点 B以每秒 1个单位长度的速度沿 x轴正方向移动,运动时间为�(� > 0)秒, ∴ �(0, − 4�), �(5 + �, 0), ∴ �� = 5 + � − ( − 1) = � + 6,�� = 4�,�� = 1, ∴ ����� = 1 2 × �� × 2 = 1 2 (� + 6) × 2 = � + 6, ∴ ����� = ����� + ����� − ����� = 1 2 × 1 × 2 + 1 2 × 4� × 2 − 1 2 × 1 × 4� = 1 + 4� − 2� = 2� + 1 当 2� + 1 = � + 6时,����� = �����, 解得� = 5, ∴存在这样的 t,当� = 5时,����� = �����. 【点睛】此题考查了平面直角坐标系下点的坐标与三角形、四边形的面积,熟练掌握用“割补 法”求图形的面积、利用参数构建方程解决问题是解答此题的关键. 8.(1) 2 5 (2) 0,1 (3)2 5 + 4 2 【分析】(1)过�作�� ⊥ ��于�,则∠��� = 90°,�� = 1,�� = 4,�� = 3,得出 2BD  , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 由勾股定理求出��即可; (2)设�(0,�),用含�的代数式表示��2和��2,再根据△ ���是以��为底的等腰三角形,列 方程解得�的值即可; (3)由题意可知这是动点最值问题-将军饮马问题,作�关于�轴的对称点�',连接��'交�轴于 点�,点�即为使�� + ��最小的点,作�'� ⊥ �轴于�,由勾股定理求出�'�,即可求解. 【详解】(1)解:过�作�� ⊥ ��于�,如图所示: ∴ ∠��� = 90°, ∵点�、�的坐标分别为 (1, 4)和(3,0), ∴ �� = 1,�� = 4,�� = 3, ∴ �� = 3 − 1 = 2, 2 2 2 24 2 52AB AD BD     ; (2)解:设�(0,�), ∵ �� = ��, ∴ ��2 = ��2, ∵ ��2 = 12 + (4 − �)2 = �2 − 8�+ 17,��2 = 32 +�2 = �2 + 9, ∴ �2 − 8� + 17 = �2 + 9,解得:� = 1, ∴点�的坐标为 0,1 ; (3)解:这是动点最值问题的-将军饮马问题,要使△���的周长最小,��长度一定,则�� + �� 最小,作�关于�轴的对称点�',连接��'交�轴于点�,如图所示: 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 点�即为使�� + ��最小的点, 过�'作�'� ⊥ �轴于�, 由对称的性质得:�� = �'�,则�� + �� = �'�,�'� = 4, 1OE  , ∴ �� = �� + �� = 4, 在��△�'��中,由勾股定理得:�'� = 42 + 42 = 4 2, ABC 的周长的最小值为 2 5 + 4 2. 【点睛】本题属于三角形综合题,考查了坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理、对 称的性质、轴对称确定最短路线问题;本题综合性强,掌握最短距离的确定方法-将军饮马是 解题的关键. 9.(1)直角三角形,理由见解析;(2)点 P的坐标为(-4,0) 【分析】(1)用长方形 DEOF 将△ABC 框住,利用勾股定理即可求出 AC 2 、AB 2 和 BC 2 ,根据勾股 定理的逆定理即可求出结论; (2)作点 B关于 x轴的对称点�',连接��'交 x轴于点 P,根据轴对称的性质和两点之间线段 最短可得此时�� + ��最小,然后利用待定系数法求出直线��'的解析式,将 y=0 代入求出 x, 即可求出此时点 P的坐标. 【详解】解:(1)直角三角形,理由如下 如下图所示,用长方形 DEOF 将△ABC 框住, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! ∵� −1,3 、� −5,1 、� 0,1 ∴AF=1,DE=OF=3,DF=OE=BC=5,BE=1,OC=1 ∴AD=DF-AF=4,DB=DE-BE=2,FC=OF-OC=2 ∴AB 2 = AD 2 +DB 2 =20,AC 2 = AF 2 +FC 2 =5,BC 2 =25 ∴AB 2 +AC 2 = BC 2 ∴△ABC 为直角三角形; (2)作点 B关于 x轴的对称点�',连接��'交 x轴于点 P,如下图所示 由轴对称性质可得,BP=�'�,点�'的坐标为(-5,-1) ∴此时�� + �� =�� + �'� =��',根据两点之间线段最短,此时�� + ��最小 设直线��'的解析式为 y=kx+b 将点 A和点�'的坐标分别代入,得 − 1 =− 5� + � 3 =− � + � 解得: � = 1 � = 4 ∴直线��'的解析式为 y=x+4 将 y=0 代入 y=x+4 中,得 x+4=0 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 解得:x=-4 ∴点 P的坐标为(-4,0). 【点睛】此题考查的是勾股定理及逆定理、轴对称应用和求一次函数解析式,掌握勾股定理及 逆定理、轴对称性质和利用待定系数法求一次函数解析式是解题关键. 10.(1) 6,0 或 5,0 或 25 6 , 0 ; (2) −2,5 或 −5,3 或 2, − 1 或 −1, − 3 . 【分析】(1)求出点�的坐标,分三种情况即可求解; (2)画出图形,点�有四个位置,分别解答即可求解; 本题考查了一次函数的图象,勾股定理,等腰三角形的性质,三角形全等的判定和性质,线段 垂直平分线的性质等,运用分类讨论解答是解题的关键. 【详解】(1)解:由 � = 2 3 � + 2 � = 4 3 � 得, � = 3 � = 4, ∴点�的坐标为 3,4 , ①当CO CP ,过点�作�� ⊥ �轴于点�,如图, 则�� = �� = 3, ∴�� = 6, ∴点�的坐标为 6,0 ; ②当�� = ��,过点�作�� ⊥ �轴于点�,如图, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 由勾股定理得,�� = ��2 + ��2 = 32 + 42 = 5, ∴�� = 5, ∴点�的坐标为 5,0 ; ③当��为底边,作��的垂直平分线交�轴于点�,过点�作�� ⊥ �轴于点�,如图, 设点�的坐标为 �, 0 ,则�� = �� = �, ∵�� = 3, ∴�� = � − 3, 在 Rt△ ���中,��2 + ��2 = ��2, ∴42 + � − 3 2 = �2, 解得� = 25 6 , ∴点�的坐标为 25 6 , 0 ; ∴点�的坐标为 6,0 或 5,0 或 25 6 , 0 ; (2)解:如图,点�有四个位置, 过点�1作�1 ⊥ �轴于点�,则∠���1 = 90°, ∴∠���1 +∠��1� = 90°, ∵△���是以��为直角边的等腰直角三角形, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! ∴�� = ��1,∠���1 = 90°, ∴∠���1 +∠��� = 90°, ∴∠��� = ∠��1�, ∵ ∠��� = ∠���1 = 90° ∠��� = ∠��1� �� = ��1 , ∴∠��� ≌ ∠���1 AAS , ∴ 1OB D M ,�� = ��, ∵一次函数� = 2 3 � + 2, ∴� −3,0 � 0,2 , ∴�� = 3,�� = 2, ∴�1� = 2,�� = 3 + 2 = 5, ∴�1 −2,5 , 同理可得,�2 −5,3 ,�3 2, − 1 ,�4 −1, − 3 , ∴点�的坐标为 −2,5 或 −5,3 或 2, − 1 或 −1, − 3 . 11.(1) −8,0 ;10 (2)当�的坐标是 2,0 时,△��� ≌△ ���,理由见解析 (3) 2,0 或 − 7 4 , 0 【分析】(1)把� = 0和� = 0 分别代入一次函数的解析式,求出�、�两点坐标,根据已知条 件,求出�点坐标,最后运用勾股定理求出��即可; (2)求出∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,根据点的坐标求出�� = ��,根据全等三角形的 判定推出即可; (3)分三种情况进行讨论:①�� = ��,②�� = ��,③�� = ��,根据(2)即可推出①, 根据三角形外角性质可判断②,设�的坐标是 �, 0 ,根据勾股定理得出方程,即可求出③. 【详解】(1)解:∵直线�: � = 3 4 � + 6交 x、y轴分别为�、�两点, ∴当� = 0时,� =− 8, 即�点坐标是 −8,0 , 同理,当� = 0时,� = 6, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! ∴�点坐标是 0,6 , ∵点�与点�关于 y轴对称, ∴�点坐标是 8,0 , ∴�� = 6,�� = 8, 由勾股定理可得,�� = 62 + 82 = 10, 故答案是: −8,0 ,10; (2)解:当�的坐标是 2,0 时,△��� ≌△ ���, 理由如下:∵�� = 8,� 2,0 , ∴�� = 8 + 2 = 10 = ��, ∵∠��� = ∠���, 180BAO AQP APQ    , 180APQ BPQ BPC     , ∴∠��� = ∠���, ∵点�与点�关于 y轴对称, ∴∠��� = ∠���, 在△ ���和△ ���中, ∵ ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� �� = �� , ∴△ ��� ≌△ ��� AAS , ∴当�的坐标是 2,0 时,△��� ≌△ ���. (3)解:分三种情况进行讨论: ①当�� = ��时, 由(2)知△ ��� ≌△ ���, ∴�� = ��, 此时�的坐标是 2,0 ; ②当�� = ��时,则∠��� = ∠���, ∵∠��� = ∠���, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! ∴∠��� = ∠���, 而根据三角形的外角性质得: ∠��� > ∠���, ∴此种情况不存在; ③当�� = ��时, 则 BPQ QBP BAO     , 即�� = ��, 设此时�的坐标是 �, 0 , ∵在�� △ ���中,由勾股定理得: 2 2 2BP OP OB  , ∴ � + 8 2 = �2 + 62, 解得:� =− 7 4 , 即此时�的坐标是 − 7 4 , 0 ; ∴当△ ���为等腰三角形时,点�的坐标是 2,0 或 − 7 4 , 0 . 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,勾股定理,等腰三角形的性质,全等三角 形的性质及判定的应用,题目综合性比较强,难度偏大. 12.(1) 0,4 (2) 216 8S m m  (3) (9,0) 【分析】(1)求出�点坐标,再由�� = ��,即可求�点坐标; (2)求出�点坐标,再由 12S AP BO   即可求解; (3)由(2)可知:�� = 8� − 8, �� = 4, �� = 4�,则�� = 8� − 4,设�� = �,则有�� = 8�− 4 − �,�� = 4 + �,然后根据勾股定理可求解. 【详解】(1)解:令� = 0,则� = 4, ∴ �(4,0), ∴ �� = 4, ∵ ∠��� = 45°, 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! ∴ �� = 4, ∴ � 0,4 ; 故答案为 0,4 ; (2)解:令� = 0,则� = 4�, (0,4 )B m , 4 4BC m   , 2OP BC , 8 8OP m   , (8 8 ,0)P m  , 21 (4 8 8 ) 4 16 8 2 S m m m m        ; (3)解:由(2)可知:�� = 8� − 8, �� = 4, �� = 4�, ∴�� = 8� − 4, 设�� = �, BD AD PA  , ∴�� = �� − �� = 8�− 4 − �,�� = 4 + �, 在Rt BOD 中,由勾股定理得:16�2 + 4+ � 2 = 8� − 4 − � 2, 解得:� = 3� − 4, ∴�� = 3�, �� = 5�, ∴�� = 11� − 8, 在Rt BOP△ 中,由勾股定理得:��2 = 16�2 + 8� − 8 2, BD PB , ∴ ∠��� = 90°, ∴ ��2 + ��2 = ��2, 即 25�2 + 16�2 + 8�− 8 2 = 11� − 8 2, 整理得:3� = �2, ∵� > 1, ∴� = 3, ∴ �� = 9, ∴ �(9,0). 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 【点睛】本题主要考查一次函数的综合运用及勾股定理,熟练掌握一次函数的图象与性质及勾 股定理是解题的关键. 13.(1)m的值是 4,b的值是 14 3 ;(2)①5;②存在,4或 6 【分析】(1)根据点�( − 2,�)在直线� =− � + 2上,可以求得 m的值,从而可以得到点 C的 坐标,再根据点 C在函数� = 1 3 � + �的图象上,可以得到 b的值; (2)①根据(1)中的结果可以求得点 A、点 B、点 C、点 D的坐标,然后用含 t的代数式表 示出 AE 的长度,然后根据△ ���的面积为 12,即可得到 t的值;②先写出使得△ ���为直角 三角形时 t的值,然后利用分类讨论的方法分别求得当∠��� = 90°和∠��� = 90°对应的 t的 值即可解答本题. 【详解】解:(1)∵点�( − 2,�)在直线� =− � + 2上, ∴� =− ( − 2) + 2 = 4, ∴点�( − 2,4), ∵函数� = 1 3 � + �的图象过点�( − 2,4), ∴4 = 1 3 × ( − 2) + �, 解得� = 14 3 , 即 m的值是 4,b的值是 14 3 ; (2)①∵函数� =− � + 2的图象与 x轴,y轴分别交于点 A,B, ∴点�(2,0),点 (0, 2)B , ∵函数� = 1 3 � + 14 3 的图象与 x轴交于点 D, ∴点 D的坐标为( − 14,0), ∴�� = 16, ∵△ ���的面积为 12, ∴ (16−2�)×4 2 = 12, 解得,� = 5. 即当△ ���的面积为 12 时,t的值是 5; ②存在,当 t=4或 t=6时,△ ���是直角三角形,理由如下: 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 第一种情况:当∠��� = 90°时, ∵ 4 2AC  ,∠��� = 45°, ∴�� = 4, ∵�� = 16 − 2�, 即 4 = 16 − 2�, 解得,� = 6; 第二种情况:当∠��� = 90°时,�� ⊥ ��, ∵点�(2,0),点 (0, 2)B ,点�( − 2,4),点�( − 14,0), ∴�� = ��, 4 2AC  , ∴∠��� = 45°, ∴∠��� = 45°, ∴∠��� = 45°, ∴�� = �� = 4 2, ∴�� = 8, ∵�� = 16 − 2�, 即 8 = 16 − 2�, 解得:� = 4; 综上所述,当� = 4或� = 6 时,△���是直角三角形 【点睛】本题考查了一次函数的综合题,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件, 利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答. 14.(1) 9 4 , 0 , 0,3 ,9 5 ;(2) −4, 25 3 或 4, − 7 3 ;(3)存在,点 P的坐标为: 9 10 , 9 5 或 18 5 , − 9 5 或 9 5 , 3 5 或 − 9 5 , 27 5 【分析】(1)根据一次函数图像的性质,通过列一元一次方程并求解,即可得到点 A和点 B 坐标;通过勾股定理的性质计算,得��,结合三角形面积公式的性质计算,即可得到答案; (2)点 P的坐标为 �, − 4 3 � + 3 ,通过列方程并求解,再结合一次函数的性质计算,即可得 到答案; 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! (3)设点 P的坐标为 �, − 4 3 � + 3 ,结合题意,分∠��� = 90°,∠��� = 90°,∠��� = 90° 三种情况分析;根据全等三角形、一元一次方程、直角坐标系的性质计算,即可得到答案. 【详解】(1)当� = 0时,− 4 3 � + 3 = 0 ∴� = 9 4 ∴点 A坐标为: 9 4 , 0 ,�� = 9 4 ; 当� = 0时, 3y  ∴点 B坐标为: 0,3 ,�� = 3; ∴�� = ��2 + ��2 = 15 4 ∵ 1 2 �� × �� = 1 2 �� × �� ∴�� = ��×�� �� = 9 5 故答案为: 9 4 , 0 , 0,3 ,9 5 ; (2)设点 P的坐标为 �, − 4 3 � + 3 ∵△ ���的面积是 6时 ∴�△��� = 1 2 �� × � = 3 2 � = 6 ∴� =± 4 ∴点 P的坐标为 −4, 25 3 或 4, − 7 3 ; (3)设点 P的坐标为 �, − 4 3 � + 3 ∵以 O、P、Q为顶点的三角形与△���全等,且�� ⊥ �� ∴分∠��� = 90°,∠��� = 90°,∠��� = 90°三种情况分析; ∵点 Q在 y轴上,点 P为直线 l上不与点 A、B重合的一个动点 ∴∠��� = 90°不成立; 当∠��� = 90°时,如下图: 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! ∵∠��� = ∠��� = 90°,�� = ��, ∴当△��� ≌△���成立时,得:�� = ��或�� = �� 当�� = �� = 9 5 时,得;− 4 3 � + 3 =± 9 5 ∴� = 9 10 或 18 5 ∴点 P的坐标为 9 10 , 9 5 或 18 5 , − 9 5 当�� = �� = 9 5 时,得� =± 9 5 ∴点 P的坐标为 9 5 , 3 5 或 − 9 5 , 27 5 ; 当∠��� = 90°时,如下图: 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! ∵△���的直角边�� =△ ���的斜边�� ∵�� > ��,即和△��� ≌△ ���矛盾 ∴∠��� = 90°不成立; ∴在 y轴上存在点 Q,使得以 O、P、Q为顶点的三角形与△���全等,点 P的坐标为: 9 10 , 9 5 或 18 5 , − 9 5 或 9 5 , 3 5 或 − 9 5 , 27 5 . 【点睛】本题考查了一次函数、一元一次方程、勾股定理、绝对值、全等三角形、直角坐标系 的知识;解题的关键是熟练掌握一次函数、勾股定理、全等三角形、直角坐标系的性质,从而 完成求解出直角三角形。

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考点11 动点问题-北师大版八年级上册期中专项(初中数学)
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