内容正文:
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
专项 11 动点问题
1.如图,已知在平面直角坐标系中,△ ���的面积为 18,�� = ��,�� = 14,点 P的坐标
是 �,8 .
(1)求顶点 A的坐标___________;
(2)若点 P在第二象限,若△ ���的面积等于△ ���的面积,求出点 P的坐标.
(3)在 x 轴上找一点 D,使得△ ���为等腰三角形,直接写出点 D 的坐标.
(4)求出当�� + ��的值最小时点 P的坐标.
2.综合探究
如图,在长方形����中,�� = 8cm,�� = 10cm,在边��上取一点 E,将△���折叠后点 D
恰好落在��边上的点 F,点 P是线段��上的一个动点.
(1)求��的长;
(2)当△ ���是直角三角形时,求��的长;
(3)连接 PF ,设�� = �,�� = �,求 y关于 x的函数解析式.
3.已知:如图,在 Rt△ ���中,∠� = 90°,�� = 5cm,�� = 3cm,动点 P从点 B出发沿射
线��以 1cm/�的速度移动,设运动的时间为 t秒.
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
(1)求��边的长;
(2)当△ ���为直角三角形时,求 t的值;
(3)当△ ���为等腰三角形时,求 t的值.
4.如图,平面直角坐标系中,已知点� −3,2 ,点� 3,5 .
(1)连接线段��、��、��,△ ���是直角三角形吗?请说明理由;
(2)点�是�轴上的一点,当△ ���的面积是 12,求点�的坐标:
(3)点 , 0R x 是�轴上一动点且 7x ,用�表示 ABR△ 的面积,直接写出�关于�的函数表达式.
5.一次函数� = �� + �的图象经过点 (0,9)A ,并与直线� = 5
3
�相交于点 B,与 x轴相交于点 C,
其中点 B的横坐标为 3.
(1)求点 B的坐标和 k,b的值;
(2)点 Q 为直线� = �� + �上一动点,当点�运动到何位置时,△���的面积等于27
4
,请求出点
Q的坐标;
(3)在 y 轴上是否存在点 P,△ ���使是等腰三角形?若存在,请直接写出点 P的坐标;若不
存在,请说明理由.
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
6.如图,直线 y=kx+6 与 x 轴、y轴分别相交于点 E,F,点 E的坐标为(8,0),点 A的坐标
为(6,0),点 P(x,y)是第一象限内直线上的一个动点(点 P不与点 E,F重合).
(1)求 k 的值;
(2)在点 P运动的过程中,求出△OPA 的面积 S与 x的函数关系式;
(3)若△OPA 的面积为
27
8
,求此时点 P的坐标.
7.如图 1,在平面直角坐标系中,已知�(0, �), �(�, 0),其中 a是 21的整数部分,在数轴上,
b表示的数在原点的左侧,离原点的距离是 2个单位长度.
(1)填空:� =________,� =________;
(2)在(1)条件下,如果在第三象限内有一点 ( 1, )P m ,请用含 m的式子表示四边形����的面
积;
(3)如图 2,点 A的坐标为( − 1,0),点 B的坐标为(5,0),点 M的坐标为( − 2, − 2),动点 P从
原点 O出发以每秒 4个单位长度的速度沿 y轴负方向移动,同时点 B以每秒 1个单位长度的速
度沿 x轴正方向移动,连接��、��,设运动时间为�(� > 0)秒.是否存在这样的 t,使����� =
�����?若存在,请求出 t的值;若不存在,请说明理由.
8.如图,在平面直角坐标系中,点�、�的坐标分别为 1,4 和 3,0 ,点�是�轴上的一个动点,
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
且�、�、�三点不在同一条直线上.
(1)求出��的长.
(2)若�� = ��时,求点�的坐标.
(3)求出△ ���的周长的最小值?
9.如图,点�、�、�的坐标分别是� −1,3 、� −5,1 、� 0,1 .
(1)判断△ ���的形状,并说明理由;
(2)点�是�轴上的一动点,求出使得�� + ��的值最小时点�的坐标.
10.如图,在平面直角坐标系中,一次函数� = 2
3
� + 2的图象与正比例函数 4
3
y x 的图象交点
为�.求:
(1)在�正半轴上求一点�使△ ���为等䁏三角形,请求出符合条件的点�的坐标.
(2)若�点是平面直角坐标系任意一点,△���是以��为直角边的等腰直角三角形,请直接写
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
出�点的坐标.
11.如图,直线�: � = 3
4
� + 6交 x、y轴分别为�、�两点,点�与点�关于 y轴对称.动点�、�
分别在线段��、��上(点�不与点�、�重合),满足∠��� = ∠���.
(1)点�坐标是_______,�� =______.
(2)当点�在什么位置时,△ ��� ≌△ ���,说明理由.
(3)当△ ���为等腰三角形时,求点�的坐标.
12.如图 1,直线� =−�� + 4� � > 1 交 x轴于点 A,交 y轴于点 B,点 C在��上,且∠��� =
45°.
(1)直接写出点 C的坐标为___________;
(2)P 为 x 轴负半轴上一点,且�� = 2��,连接��,设△ ���的面积为 S,直接写出 S与 m的
函数关系式;
(3)在(2)的条件下,过点 B作�� ⊥ ��,交 x轴于点 D,若�� + �� = ��,求点 D的坐标.
13.如图,在平面直角坐标系中,函数� =− � + 2 的图象与 x轴,y轴分别交于点 A,B,与函
数� = 1
3
� + �的图象交于点�( − 2,�).
(1)求 m和 b的值;
(2)函数� = 1
3
� + �的图象与 x轴交于点 D,点 E从点 D出发沿 DA 方向,以每秒 2个单位长
度匀速运动到点 A(到 A停止运动).设点 E的运动时间为 t秒.
①当△ ���的面积为 12 时,求 t的值;
②在点 E运动过程中,是否存在 t的值,使△���为直角三角形?若存在,请求出 t的值;若
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
不存在,请说明理由.
14.如图,直线 l上� =− 4
3
� + 3与 x轴、y轴分别交于 A、B两点,�� ⊥ ��于点 M,点 P为
直线 l上不与点 A、B重合的一个动点.
(1)点 A坐标为( );点 B坐标为( );线段��的长为________.
(2)当△ ���的面积是 6时,求点 P的坐标;
(3)在 y轴上是否存在点 Q,使得以 O、P、Q为顶点的三角形与△���全等,若存在,请直
接写出所有符合条件的点 P的坐标,否则,说明理由
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
专项 11 动点问题
答案解析
1.(1) 0,6
(2) −12,8
(3) 18,0 或 −2,0 或 −8,0 或 74 , 0
(4)� − 6
5
,8
【分析】(1)根据△ ���的面积求得�� = 6,即可得到点 A的坐标;
(2)作�� ⊥ �轴于 H,根据�△��� = �梯形���� − �△��� − �△��� = �△��� = 42,即可求得 a的
值,得到点 P的坐标;
(3)先求出�� = 10,根据△ ���为等腰三角形分当�� = ��、DA AC 和�� = ��三种情况讨
论即可;
(4)作点 A关于直线 8y 的对称点�' 0,10 ,求得直线�'�解析式,直线�'�与 8y 的交点为点
P的坐标.
【详解】(1)解:∵�△��� =
1
2
�� ⋅ ��,
∵�� = ��,
∴
1
2
��2 = 18,解得�� = 6,
∴� 0,6 ,
故答案为: 0,6 ;
(2)解:由(1)得�� = 6,点� −6,0 ,
作�� ⊥ �轴于 H,如图 3,
�△��� = �梯形���� − �△��� − �△��� =
1
2
(6 − �) × 8 − 1
2
× (8 − 6) × ( − �) − 18 =− 3� + 6;
∵�△��� =
1
2
�� × �� = 1
2
× 14 × 6 = 42,
则−3� + 6 = 42,
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
解得� =− 12.
此时 P点坐标为 −12,8 .
(3)解:�� = �� − �� = 14 − 6 = 8,
∴�� = 62 + 82 = 10,
当�� = ��时,�� = 10,则 D 18,0 或 −2,0 ,
当DA AC 时,�� = ��,则� −8,0 ,
当�� = ��时,如图,设�� = �,则�� = �� = 8 − �,
由勾股定理得: 2 2 2AD OD OA ,即 2 2 2(8 ) 6x x ,
解得� = 7
4
,� 7
4
, 0
∴点 D的坐标 18,0 或 −2,0 或 −8,0 或 74 , 0
(4)解: 如图,作点 A关于直线 8y 的对称点�' 0,10 ,
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
设直线��'解析式为� = �� + �,
代入�' 0,10 和� −6,0
10 = �
0 =− 6� + �,
解得:
� = 5
3
� = 10
,
∴直线��'解析式为� = 53 � + 10,
当 8y 时,� =− 6
5
,则� − 6
5
,8 .
【点睛】此题考查的是一次函数综合问题,平面直角坐标系与图形的面积类问题,掌握点的坐
标与线段长的关系和各个图形的面积公式是解决此题的关键.
2.(1)3cm
(2)4 5cm 或 5 5cm
(3)� = �2 − 8 5� + 100
【分析】(1)由题意得∠��� = ∠� = ∠� = 90°,�� = �� = �� = 10cm,根据勾股定理求出
BF,得到��的长度,设��长为�cm,则��为 8 − � cm,在 Rt△ ���中利用勾股定理,得��2 +
��2 = ��2,求出 x即可;
(2)分两种情况:①当∠��� = 90°时, ②当∠��� = 90°时,即�� ⊥ ��,根据勾股定理及
面积法分别求解即可;
(3)作�� ⊥ ��交��于点 M,得到�� = 2 5cm, �� = 4 5cm,�� = 5cm,分两种情况:①
当 0 ≤ � ≤ 4 5时,②当 4 5 < � ≤ 5 5时,利用勾股定理计算.
【详解】(1)解:由题意得∠��� = ∠� = ∠� = 90°,�� = �� = �� = 10cm
在 Rt△ ���中,�� = ��2 − ��2 = 6cm
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
∴�� = �� − �� = 4cm
设��长为�cm,则��为 8 − � cm
∴�� = �� = 8 − � cm
在 Rt△ ���中,��2 + ��2 = ��2
即�2 + 42 = (8 − �)2
∴ � = 3��,即�� = 3cm;
(2)①当∠��� = 90°时,即 P与 E重合,
∵�� = 3cm,∴�� = 5cm,
∴ AP AE 102 + 52 = 5 5��;
②当∠��� = 90°时,即�� ⊥ ��,
∵�△��� =
1
2
⋅ �� ⋅ �� = 1
2
⋅ �� ⋅ ��
∴ �� =
�� ⋅ ��
��
= 2 5cm
在 Rt△ ���中,�� = ��2 − ��2 = 4 5cm;
综上所述,��长为 4 5��或 5 5��;
(3)作�� ⊥ ��交��于点 M
∴�� = 2 5cm, �� = 4 5cm,�� = 5cm
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
①当 0 ≤ � ≤ 4 5时,�� = �� − �� = 4 5 − � cm,
∴� = ��2 + ��2 = �2 − 8 5� + 100;
②当 4 5 < � ≤ 5 5时,
∴�� = �� − �� = � − 4 5 cm,
∴� = ��2 + ��2 = �2 − 8 5� + 100
综上所述:� = �2 − 8 5� + 100.
【点睛】此题考查了折叠的性质,勾股定理,矩形的性质,正确理解折叠的性质分类解答是解
题的关键.
3.(1)4cm
(2)当△ ���为直角三角形时,� = 4 或� = 25
4
(3)当△ ���为等腰三角形时,� = 5 或� = 8或� = 25
8
【分析】(1)直接根据勾股定理求出��的长度;
(2)当△ ���为直角三角形时,分两种情况:①当∠���为直角时,②当∠���为直角时,分
别求出此时的�值即可;
(3)当△ ���为等腰三角形时,分三种情况:①当�� = ��时;②当�� = ��时;③当�� = ��
时,分别求出��的长度,继而可求得�值.
【详解】(1)解:在 Rt△ ���中,��2 = ��2 − ��2 = 52 − 32 = 16,
∴ �� = 4cm;
(2)解:由题意知�� = �cm,
①当∠���为直角时,点�与点�重合,�� = �� = 4cm,即� = 4;
②当∠���为直角时,�� = �cm,�� = (� − 4)cm,�� = 3cm,
在 Rt△ ���中,
��2 = 32 + (� − 4)2,
在 Rt△ ���中, 2 2 2AB AP BP ,
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
即: 2 2 2 25 [3 ( 4) ]t t ,
解得:� = 25
4
,
故当△ ���为直角三角形时,� = 4 或� = 25
4
;
(3)解:①当�� = ��时,� = 5;
②当�� = ��时,�� = 2�� = 8cm,� = 8;
③当�� = ��时,�� = �� = �cm,�� = (4 − �)cm,�� = 3cm,
在 Rt△ ���中,��2 = ��2 + ��2,
所以 2 2 23 (4 )t t ,
解得:� = 25
8
,
综上所述:当△ ���为等腰三角形时,� = 5 或� = 8或� = 25
8
.
【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识,解答本题的关键是掌握勾股定理的应用,
以及分情况讨论,注意不要漏解.
4.(1)△ ���不是直角三角形
(2) 0, 15
2
或 0, − 1
2
(3)� = 3
2
� + 21
2
【分析】本题考查勾股定理的逆定理,一次函数与几何综合问题,三角形的面积求法,利用割
补法求三角形的面积是解题的关键.
(1)利用点 A、B的坐标,求出△ ���的三条标,再用勾股定理的逆定理验证较小两边的平方
和是否等于最长边的平方即可得解;
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
(2)先求出直线��的解析式,再用求出它与 y轴的交点,再用面积和差的方法表示出△ ���
的面积,从而建立方程求解;
(3)先利用直线��的解析式求出它与 x轴的交点,再用面积和差的方法表示出 ABR△ 的面积,
从而得解;
【详解】(1)解:连接��、��、��,
∵点� −3,2 ,点� 3,5 ,
∴�� = −3 2 + 22 = 13、�� = 32 + 52 = 34、�� = −3 − 3 2 + 2 − 5 2 = 3 5
∴�� < �� < ��
又∵��2 + ��2 = 13
2
+ 34
2
= 47 ≠ 45 = ��2,
∴△ ���不是直角三角形;
(2)设直线��的解析式为:� = �� + �,
将点 A,点 B的坐标代入得:
−3� + � = 2
3� + � = 5 ,
解得:
� = 1
2
� = 7
2
,
∴直线��的解析式为:� = 1
2
� + 7
2
,
令直线��与 y 轴交于点 M,设� 0, �
令� = 0得:� = 1
2
� + 7
2
= 7
2
,
∴� 0, 7
2
,
∴�� = � − 7
2
,
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
∴�△��� = �△��� + �△��� =
1
2
�� × �� − �� =
1
2
� − 7
2
× 3 − −3 = 3 � − 7
2
= 12,
∴ � − 7
2
= 4,
解得:� = 15
2
或− 1
2
,
即点 P的坐标是 0, 15
2
或 0, − 1
2
(3)令直线��与 x轴交于点 N, , 0R x
令� = 1
2
� + 7
2
= 0得: 7x ,
∴� −7,0 ,
∴�� = � + 7,
∴� = �△��� =+ �△��� − �△��� =
1
2
�� × �� − �� =
1
2
� + 7 × 5 − 2 = 3
2
� + 21
2
,
∴�关于�的函数表达式是:� = 3
2
� + 21
2
.
5.(1)� 3,5 ,� =− 4
3
,� = 9
(2) (4.5,3)Q 或 (1.5,7)
(3)存在,(0,4)或(0,14)或 0,1 或 47(0, )
8
【分析】(1)一次函数� = �� + �的图象与� = 5
3
�相交于点�,则求出点 (3,5)B ,将点�、�的
坐标代入一次函数表达式,即可求解;
(2)△���的面积 1 1 27| | 9 | 3 |2 2 4OA xQ xB m ,即可求解;
(3)分�� = ��、�� = ��、�� = ��三种情况,分别求解即可.
【详解】(1)解:一次函数� = �� + �的图象与� = 5
3
�相交于点 B,点 B的横坐标为 3.
则点 B的纵坐标为:
5 3 5
3
,
即点 B的坐标为:(3,5),
将点 (0,9)A 、 (3,5)B 的坐标代入一次函数表达式� = �� + �中,
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
得:
5 = 3� + �
� = 9 ,解得:
4 , 9
3
k b ;
(2)设点
4( , 9)
3
Q m m ,
则△���的面积 1 1 27| | 9 | 3 |2 2 4OA xQ xB m ,
解得:� = 4.5或 1.5,
故点 (4.5,3)Q 或 (1.5,7);
(3)设点�(0,�),而点�、�的坐标分别为: (0,9)、(3,5),
则��2 = 25, 2 2( 9)AP m , 2 29 ( 5)BP m ,
当�� = ��时, 225 ( 9)m ,解得:� = 14或 4;
当�� = ��时,同理可得:� = 9(舍去)或 1;
当�� = ��时,同理可得: 478m ;
综上点�的坐标为:(0,4)或(0,14)或(0,1)或 47(0, )
8
.
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用、等腰三角形的性质、坐标与图形,正确理解一次函
数的含义是解题关键.
6.(1) y=-
3
4
x+6.(2)S=-
9
4
x+18(0<x<8)(3) P(
13
2
, 9
8
).
【详解】(1)直接把点 E的坐标代入直线 y=kx+6 求出 k的值即可;
(2)过点 P作 PD⊥OA 于点 D,用 x表示出 PD 的长,根据三角形的面积公式即可得出结论;
(3)把△OPA 的面积为
27
8
代入(2)中关系式,求出 x的值,把 x的值代入直线 y=-
3
4
x+6 即可
得出结论.
解:(1)由题意,得 8k+6=0,
解得 k=-
3
4
.
∴y=-
3
4
x+6.
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
(2)过点 P作 PD⊥OA 于点 D.
∵点 P(x,y)是第一象限内直线上的一个动点,
∴PD=-
3
4
x+6(0<x<8).
∵点 A的坐标为(6,0),
∴S=
1
2
×6×(-
3
4
x+6)=-
9
4
x+18(0<x<8).
(3)∵△OPA 的面积为
27
8
,
∴-
9
4
x+18=
27
8
,解得 x=
13
2
.
将 x=
13
2
代入 y=-
3
4
x+6,得 y=
9
8
,
∴P(
13
2
,
9
8
).
7.(1)4, − 2;
(2)4 − �;
(3)存在,5.
【分析】(1)根据无理数 21的范围即可求出它的整数部分�;根据数轴上的点表示的数即可
求出�;
(2)将四边形����的面积分解成两个三角形 AOB 与����的面积和即可求出;
(3)先用�表示点�(0, − 4�), �(5 + �, 0),然后用�表示 ABM 与����的面积,然后根据题意列
式即可求出答案.
【详解】(1)解:∵ 4 < 21 < 5,且 a是 21的整数部分,
∴ � = 4,
∵在数轴上,b表示的数在原点的左侧,离原点的距离是 2个单位长度,
∴ � =− 2;
故答案为:4, − 2;
(2)解:∵在第三象限内有一点 ( 1, )P m ,
∴ � < 0,
�四边形���� = ����� + �����
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
=
1
2
�� ⋅ �� +
1
2
�� ⋅ |�|
=
1
2
× 2 × 4 −
1
2
× 2 × �
4 m ;
∴用含 m的式子表示四边形����的面积为:(4 − �);
(3)解:如图 2,连接��,
∵动点 P从原点 O出发以每秒 4个单位长度的速度沿 y轴负方向
移动,同时点 B以每秒 1个单位长度的速度沿 x轴正方向移动,运动时间为�(� > 0)秒,
∴ �(0, − 4�), �(5 + �, 0),
∴ �� = 5 + � − ( − 1) = � + 6,�� = 4�,�� = 1,
∴ ����� =
1
2
× �� × 2 = 1
2
(� + 6) × 2 = � + 6,
∴ ����� = ����� + ����� − �����
=
1
2
× 1 × 2 +
1
2
× 4� × 2 −
1
2
× 1 × 4�
= 1 + 4� − 2�
= 2� + 1
当 2� + 1 = � + 6时,����� = �����,
解得� = 5,
∴存在这样的 t,当� = 5时,����� = �����.
【点睛】此题考查了平面直角坐标系下点的坐标与三角形、四边形的面积,熟练掌握用“割补
法”求图形的面积、利用参数构建方程解决问题是解答此题的关键.
8.(1) 2 5
(2) 0,1
(3)2 5 + 4 2
【分析】(1)过�作�� ⊥ ��于�,则∠��� = 90°,�� = 1,�� = 4,�� = 3,得出 2BD ,
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
由勾股定理求出��即可;
(2)设�(0,�),用含�的代数式表示��2和��2,再根据△ ���是以��为底的等腰三角形,列
方程解得�的值即可;
(3)由题意可知这是动点最值问题-将军饮马问题,作�关于�轴的对称点�',连接��'交�轴于
点�,点�即为使�� + ��最小的点,作�'� ⊥ �轴于�,由勾股定理求出�'�,即可求解.
【详解】(1)解:过�作�� ⊥ ��于�,如图所示:
∴ ∠��� = 90°,
∵点�、�的坐标分别为 (1, 4)和(3,0),
∴ �� = 1,�� = 4,�� = 3,
∴ �� = 3 − 1 = 2,
2 2 2 24 2 52AB AD BD ;
(2)解:设�(0,�),
∵ �� = ��,
∴ ��2 = ��2,
∵ ��2 = 12 + (4 − �)2 = �2 − 8�+ 17,��2 = 32 +�2 = �2 + 9,
∴ �2 − 8� + 17 = �2 + 9,解得:� = 1,
∴点�的坐标为 0,1 ;
(3)解:这是动点最值问题的-将军饮马问题,要使△���的周长最小,��长度一定,则�� + ��
最小,作�关于�轴的对称点�',连接��'交�轴于点�,如图所示:
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
点�即为使�� + ��最小的点,
过�'作�'� ⊥ �轴于�,
由对称的性质得:�� = �'�,则�� + �� = �'�,�'� = 4, 1OE ,
∴ �� = �� + �� = 4,
在��△�'��中,由勾股定理得:�'� = 42 + 42 = 4 2,
ABC 的周长的最小值为 2 5 + 4 2.
【点睛】本题属于三角形综合题,考查了坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理、对
称的性质、轴对称确定最短路线问题;本题综合性强,掌握最短距离的确定方法-将军饮马是
解题的关键.
9.(1)直角三角形,理由见解析;(2)点 P的坐标为(-4,0)
【分析】(1)用长方形 DEOF 将△ABC 框住,利用勾股定理即可求出 AC
2
、AB
2
和 BC
2
,根据勾股
定理的逆定理即可求出结论;
(2)作点 B关于 x轴的对称点�',连接��'交 x轴于点 P,根据轴对称的性质和两点之间线段
最短可得此时�� + ��最小,然后利用待定系数法求出直线��'的解析式,将 y=0 代入求出 x,
即可求出此时点 P的坐标.
【详解】解:(1)直角三角形,理由如下
如下图所示,用长方形 DEOF 将△ABC 框住,
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
∵� −1,3 、� −5,1 、� 0,1
∴AF=1,DE=OF=3,DF=OE=BC=5,BE=1,OC=1
∴AD=DF-AF=4,DB=DE-BE=2,FC=OF-OC=2
∴AB
2
= AD
2
+DB
2
=20,AC
2
= AF
2
+FC
2
=5,BC
2
=25
∴AB
2
+AC
2
= BC
2
∴△ABC 为直角三角形;
(2)作点 B关于 x轴的对称点�',连接��'交 x轴于点 P,如下图所示
由轴对称性质可得,BP=�'�,点�'的坐标为(-5,-1)
∴此时�� + �� =�� + �'� =��',根据两点之间线段最短,此时�� + ��最小
设直线��'的解析式为 y=kx+b
将点 A和点�'的坐标分别代入,得
− 1 =− 5� + �
3 =− � + �
解得:
� = 1
� = 4
∴直线��'的解析式为 y=x+4
将 y=0 代入 y=x+4 中,得
x+4=0
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
解得:x=-4
∴点 P的坐标为(-4,0).
【点睛】此题考查的是勾股定理及逆定理、轴对称应用和求一次函数解析式,掌握勾股定理及
逆定理、轴对称性质和利用待定系数法求一次函数解析式是解题关键.
10.(1) 6,0 或 5,0 或 25
6
, 0 ;
(2) −2,5 或 −5,3 或 2, − 1 或 −1, − 3 .
【分析】(1)求出点�的坐标,分三种情况即可求解;
(2)画出图形,点�有四个位置,分别解答即可求解;
本题考查了一次函数的图象,勾股定理,等腰三角形的性质,三角形全等的判定和性质,线段
垂直平分线的性质等,运用分类讨论解答是解题的关键.
【详解】(1)解:由
� = 2
3
� + 2
� = 4
3
�
得,
� = 3
� = 4,
∴点�的坐标为 3,4 ,
①当CO CP ,过点�作�� ⊥ �轴于点�,如图,
则�� = �� = 3,
∴�� = 6,
∴点�的坐标为 6,0 ;
②当�� = ��,过点�作�� ⊥ �轴于点�,如图,
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
由勾股定理得,�� = ��2 + ��2 = 32 + 42 = 5,
∴�� = 5,
∴点�的坐标为 5,0 ;
③当��为底边,作��的垂直平分线交�轴于点�,过点�作�� ⊥ �轴于点�,如图,
设点�的坐标为 �, 0 ,则�� = �� = �,
∵�� = 3,
∴�� = � − 3,
在 Rt△ ���中,��2 + ��2 = ��2,
∴42 + � − 3 2 = �2,
解得� = 25
6
,
∴点�的坐标为 25
6
, 0 ;
∴点�的坐标为 6,0 或 5,0 或 25
6
, 0 ;
(2)解:如图,点�有四个位置,
过点�1作�1 ⊥ �轴于点�,则∠���1 = 90°,
∴∠���1 +∠��1� = 90°,
∵△���是以��为直角边的等腰直角三角形,
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
∴�� = ��1,∠���1 = 90°,
∴∠���1 +∠��� = 90°,
∴∠��� = ∠��1�,
∵
∠��� = ∠���1 = 90°
∠��� = ∠��1�
�� = ��1
,
∴∠��� ≌ ∠���1 AAS ,
∴ 1OB D M ,�� = ��,
∵一次函数� = 2
3
� + 2,
∴� −3,0 � 0,2 ,
∴�� = 3,�� = 2,
∴�1� = 2,�� = 3 + 2 = 5,
∴�1 −2,5 ,
同理可得,�2 −5,3 ,�3 2, − 1 ,�4 −1, − 3 ,
∴点�的坐标为 −2,5 或 −5,3 或 2, − 1 或 −1, − 3 .
11.(1) −8,0 ;10
(2)当�的坐标是 2,0 时,△��� ≌△ ���,理由见解析
(3) 2,0 或 − 7
4
, 0
【分析】(1)把� = 0和� = 0 分别代入一次函数的解析式,求出�、�两点坐标,根据已知条
件,求出�点坐标,最后运用勾股定理求出��即可;
(2)求出∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,根据点的坐标求出�� = ��,根据全等三角形的
判定推出即可;
(3)分三种情况进行讨论:①�� = ��,②�� = ��,③�� = ��,根据(2)即可推出①,
根据三角形外角性质可判断②,设�的坐标是 �, 0 ,根据勾股定理得出方程,即可求出③.
【详解】(1)解:∵直线�: � = 3
4
� + 6交 x、y轴分别为�、�两点,
∴当� = 0时,� =− 8,
即�点坐标是 −8,0 ,
同理,当� = 0时,� = 6,
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
∴�点坐标是 0,6 ,
∵点�与点�关于 y轴对称,
∴�点坐标是 8,0 ,
∴�� = 6,�� = 8,
由勾股定理可得,�� = 62 + 82 = 10,
故答案是: −8,0 ,10;
(2)解:当�的坐标是 2,0 时,△��� ≌△ ���,
理由如下:∵�� = 8,� 2,0 ,
∴�� = 8 + 2 = 10 = ��,
∵∠��� = ∠���,
180BAO AQP APQ ,
180APQ BPQ BPC ,
∴∠��� = ∠���,
∵点�与点�关于 y轴对称,
∴∠��� = ∠���,
在△ ���和△ ���中,
∵
∠��� = ∠���
∠��� = ∠���
�� = ��
,
∴△ ��� ≌△ ��� AAS ,
∴当�的坐标是 2,0 时,△��� ≌△ ���.
(3)解:分三种情况进行讨论:
①当�� = ��时,
由(2)知△ ��� ≌△ ���,
∴�� = ��,
此时�的坐标是 2,0 ;
②当�� = ��时,则∠��� = ∠���,
∵∠��� = ∠���,
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
∴∠��� = ∠���,
而根据三角形的外角性质得:
∠��� > ∠���,
∴此种情况不存在;
③当�� = ��时,
则 BPQ QBP BAO ,
即�� = ��,
设此时�的坐标是 �, 0 ,
∵在�� △ ���中,由勾股定理得:
2 2 2BP OP OB ,
∴ � + 8 2 = �2 + 62,
解得:� =− 7
4
,
即此时�的坐标是 − 7
4
, 0 ;
∴当△ ���为等腰三角形时,点�的坐标是 2,0 或 − 7
4
, 0 .
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,勾股定理,等腰三角形的性质,全等三角
形的性质及判定的应用,题目综合性比较强,难度偏大.
12.(1) 0,4
(2) 216 8S m m
(3) (9,0)
【分析】(1)求出�点坐标,再由�� = ��,即可求�点坐标;
(2)求出�点坐标,再由 12S AP BO 即可求解;
(3)由(2)可知:�� = 8� − 8, �� = 4, �� = 4�,则�� = 8� − 4,设�� = �,则有�� = 8�−
4 − �,�� = 4 + �,然后根据勾股定理可求解.
【详解】(1)解:令� = 0,则� = 4,
∴ �(4,0),
∴ �� = 4,
∵ ∠��� = 45°,
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
∴ �� = 4,
∴ � 0,4 ;
故答案为 0,4 ;
(2)解:令� = 0,则� = 4�,
(0,4 )B m ,
4 4BC m ,
2OP BC ,
8 8OP m ,
(8 8 ,0)P m ,
21 (4 8 8 ) 4 16 8
2
S m m m m ;
(3)解:由(2)可知:�� = 8� − 8, �� = 4, �� = 4�,
∴�� = 8� − 4,
设�� = �,
BD AD PA ,
∴�� = �� − �� = 8�− 4 − �,�� = 4 + �,
在Rt BOD 中,由勾股定理得:16�2 + 4+ � 2 = 8� − 4 − � 2,
解得:� = 3� − 4,
∴�� = 3�, �� = 5�,
∴�� = 11� − 8,
在Rt BOP△ 中,由勾股定理得:��2 = 16�2 + 8� − 8 2,
BD PB ,
∴ ∠��� = 90°,
∴ ��2 + ��2 = ��2,
即 25�2 + 16�2 + 8�− 8 2 = 11� − 8 2,
整理得:3� = �2,
∵� > 1,
∴� = 3,
∴ �� = 9,
∴ �(9,0).
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
【点睛】本题主要考查一次函数的综合运用及勾股定理,熟练掌握一次函数的图象与性质及勾
股定理是解题的关键.
13.(1)m的值是 4,b的值是
14
3
;(2)①5;②存在,4或 6
【分析】(1)根据点�( − 2,�)在直线� =− � + 2上,可以求得 m的值,从而可以得到点 C的
坐标,再根据点 C在函数� = 1
3
� + �的图象上,可以得到 b的值;
(2)①根据(1)中的结果可以求得点 A、点 B、点 C、点 D的坐标,然后用含 t的代数式表
示出 AE 的长度,然后根据△ ���的面积为 12,即可得到 t的值;②先写出使得△ ���为直角
三角形时 t的值,然后利用分类讨论的方法分别求得当∠��� = 90°和∠��� = 90°对应的 t的
值即可解答本题.
【详解】解:(1)∵点�( − 2,�)在直线� =− � + 2上,
∴� =− ( − 2) + 2 = 4,
∴点�( − 2,4),
∵函数� = 1
3
� + �的图象过点�( − 2,4),
∴4 = 1
3
× ( − 2) + �,
解得� = 14
3
,
即 m的值是 4,b的值是
14
3
;
(2)①∵函数� =− � + 2的图象与 x轴,y轴分别交于点 A,B,
∴点�(2,0),点 (0, 2)B ,
∵函数� = 1
3
� + 14
3
的图象与 x轴交于点 D,
∴点 D的坐标为( − 14,0),
∴�� = 16,
∵△ ���的面积为 12,
∴
(16−2�)×4
2
= 12,
解得,� = 5.
即当△ ���的面积为 12 时,t的值是 5;
②存在,当 t=4或 t=6时,△ ���是直角三角形,理由如下:
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
第一种情况:当∠��� = 90°时,
∵ 4 2AC ,∠��� = 45°,
∴�� = 4,
∵�� = 16 − 2�,
即 4 = 16 − 2�,
解得,� = 6;
第二种情况:当∠��� = 90°时,�� ⊥ ��,
∵点�(2,0),点 (0, 2)B ,点�( − 2,4),点�( − 14,0),
∴�� = ��, 4 2AC ,
∴∠��� = 45°,
∴∠��� = 45°,
∴∠��� = 45°,
∴�� = �� = 4 2,
∴�� = 8,
∵�� = 16 − 2�,
即 8 = 16 − 2�,
解得:� = 4;
综上所述,当� = 4或� = 6 时,△���是直角三角形
【点睛】本题考查了一次函数的综合题,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,
利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答.
14.(1)
9
4
, 0 , 0,3 ,9
5
;(2) −4, 25
3
或 4, − 7
3
;(3)存在,点 P的坐标为:
9
10
, 9
5
或
18
5
, − 9
5
或
9
5
, 3
5
或 − 9
5
, 27
5
【分析】(1)根据一次函数图像的性质,通过列一元一次方程并求解,即可得到点 A和点 B
坐标;通过勾股定理的性质计算,得��,结合三角形面积公式的性质计算,即可得到答案;
(2)点 P的坐标为 �, − 4
3
� + 3 ,通过列方程并求解,再结合一次函数的性质计算,即可得
到答案;
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
(3)设点 P的坐标为 �, − 4
3
� + 3 ,结合题意,分∠��� = 90°,∠��� = 90°,∠��� = 90°
三种情况分析;根据全等三角形、一元一次方程、直角坐标系的性质计算,即可得到答案.
【详解】(1)当� = 0时,− 4
3
� + 3 = 0
∴� = 9
4
∴点 A坐标为:
9
4
, 0 ,�� = 9
4
;
当� = 0时, 3y
∴点 B坐标为: 0,3 ,�� = 3;
∴�� = ��2 + ��2 = 15
4
∵
1
2
�� × �� = 1
2
�� × ��
∴�� = ��×��
��
= 9
5
故答案为:
9
4
, 0 , 0,3 ,9
5
;
(2)设点 P的坐标为 �, − 4
3
� + 3
∵△ ���的面积是 6时
∴�△��� =
1
2
�� × � = 3
2
� = 6
∴� =± 4
∴点 P的坐标为 −4, 25
3
或 4, − 7
3
;
(3)设点 P的坐标为 �, − 4
3
� + 3
∵以 O、P、Q为顶点的三角形与△���全等,且�� ⊥ ��
∴分∠��� = 90°,∠��� = 90°,∠��� = 90°三种情况分析;
∵点 Q在 y轴上,点 P为直线 l上不与点 A、B重合的一个动点
∴∠��� = 90°不成立;
当∠��� = 90°时,如下图:
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
∵∠��� = ∠��� = 90°,�� = ��,
∴当△��� ≌△���成立时,得:�� = ��或�� = ��
当�� = �� = 9
5
时,得;− 4
3
� + 3 =± 9
5
∴� = 9
10
或
18
5
∴点 P的坐标为
9
10
, 9
5
或
18
5
, − 9
5
当�� = �� = 9
5
时,得� =± 9
5
∴点 P的坐标为
9
5
, 3
5
或 − 9
5
, 27
5
;
当∠��� = 90°时,如下图:
原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
∵△���的直角边�� =△ ���的斜边��
∵�� > ��,即和△��� ≌△ ���矛盾
∴∠��� = 90°不成立;
∴在 y轴上存在点 Q,使得以 O、P、Q为顶点的三角形与△���全等,点 P的坐标为: 9
10
, 9
5
或
18
5
, − 9
5
或
9
5
, 3
5
或 − 9
5
, 27
5
.
【点睛】本题考查了一次函数、一元一次方程、勾股定理、绝对值、全等三角形、直角坐标系
的知识;解题的关键是熟练掌握一次函数、勾股定理、全等三角形、直角坐标系的性质,从而
完成求解出直角三角形。