考点4 勾股定理的实际应用-北师大版八年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 专项 4 勾股定理的实际应用 1．如图所示，甲渔船以 8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以 6海里/时的速 度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距（ ）海 里 A．8 B．10 C．12 D．13 2．如图，一架梯子 AB 长为 5米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙底端 C 的距离 是 3米，梯子下滑后停在 DE 的位置上，这时测得 BE 为 1米，则梯子顶端 A 下滑了（ ） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 3．如图，将长为2.5米长的梯子 AB 斜靠在墙上， BE 的长度为0.7米． (1)求梯子上端到墙底端 E 的距离； (2)如果梯子顶端 A 沿墙下滑 0.4米，（即 0.4AC  米）则梯脚 B 往外移多少米？ 4．如图，甲轮船以 16海里/小时的速度离开港口 O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达 B、A两点，且知 AB=30海里，问乙轮 船每小时航行多少海里？ 5．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的 破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向��由A向 B移动，已知点C 为一海港，且点C 与直 线��上的两点A、 B的距离分别为 600kmAC  ， 800kmBC  ，又 1000kmAB  ，以台风中心为圆 心，周围500km以内为受影响区域． (1)求 ACB 的度数； (2)经过查阅资料，小周同学发现若C 到��的距离大于500km，则海港C 不受台风影响；若C 到 ��的距离小于或等于500km，则海港C 会受台风影响，请你帮助小周同学计算C 到��的距离， 判断海港C 是否受台风影响？ 6．如图，有一辆环卫车沿公路 AB 由点 A 向点 B 行驶，已知点 C 为一所学校，且点 C 与直线 AB 上两点 A，B 的距离分别为 200m和 150m， 250mAB  ，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域. (1)学校 C 会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有 2min，求环卫车的行驶速度为多少？ 7．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气 候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点 B与监测点 A所在的直线 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 由东向西移动，已知点 C为一海港，且点 C与 A， B两点的距离分别为 300km、 400km，且 ∠ACB=90°，过点 C作 CE⊥AB于点 E，以台风中心为圆心，半径为 260km的圆形区域内为 受影响区域． （1）求监测点 A与监测点 B之间的距离； （2）请判断海港 C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为 25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 专项 4 勾股定理的实际应用 答案解析 1．B 【分析】根据题意可知∠AOB=90°，然后求出出发一个小时后，OA=8×1=8海里，OB=6×1=6 海里，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵甲渔船离开港口 O向东北方向航行，乙渔船离开港口 O向西北方向航行， ∴∠AOB=90°， ∴出发一个小时后，OA=8×1=8海里，OB=6×1=6海里， ∴AB= 2 2OA OB = 2 28 6 =10海里， 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 2．A 【分析】在Rt ABC△ 中，根据勾股定理可得 4AC  米，由于梯子的长度不变，在Rt DCEV 中， 根据勾股定理可得 3DC  米，进而可得答案． 【详解】在Rt ABC△ 中， 5AB  米， 3BC  米， 根据勾股定理可得 2 2 2 25 3 4AC AB BC     （米）， 在Rt DCEV 中， 5DE AB  米， 4CE  米， 根据勾股定理可得 2 2 2 25 4 3DC DE CE     （米）， 1AD AC DC    米， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．(1)梯子上端到墙底端 E的距离为 2.4米； (2)梯脚 B将外移0.8米． 【分析】（1）直接利用勾股定理即可求出 AE的长； （2）利用勾股定理求得DE的长，再利用 BD DE BE  ，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 2.5AB  米， 0.7BE  米， ∵在Rt ABE△ 中， 90AEB  ， 2 2 2AE AB BE  ， ∴ 2 22.5 0.7 2.4AE    （米）； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 答：梯子上端到墙底端 E的距离为 2.4米； （2）解：由题意得： 2.4 0.4 2EC    （米）， ∵在Rt CDE△ 中， 90CED  ， 2 2 2DE CD CE  ， ∴ 2 22.5 2 1.5DE    （米）， ∴ 1.5 0.7 0.8BD DE BE     （米）， 答：梯脚 B将外移0.8米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意，正确应用勾股定理是解题的关键． 4．12. 【分析】根据题目提供的方位角判定 AO⊥BO，然后根据甲轮船的速度和行驶时间求得 OB的 长，利用勾股定理求得 OA的长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度． 【详解】解： ∵OB=16×1.5=24，AB=30，∠AOB=90°， ∴ 2 230 24 18OA    ∴18÷1.5=12（海里／时）， 答：乙船每小时航行 12 海里. 5．(1)见解析 (2)海港C受台风影响，理由见解析 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得出 ABCV 是直角三角形，从而可求得 90ACB  ． （2）利用三角形面积得出CD长，即可得出结论． 【详解】（1） 600AC km ， 800BC km ， 1000AB km 2 2 2AC BC AB   ， ABC 是直角三角形， 90ACB  ． （2）海港C受台风影响，理由如下： 过点C作CD AB 于点D， ABC 是直角三角形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 1 2 2 AC BC CD AB    ，  600 800 480 1000 AC BCCD km AB       ， 480 500km km ， 海港C会受台风影响． 【点睛】本题考查三角形面积，勾股定理应用，勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理 和勾股逆定理是解题的关键． 6．(1)学校C会受噪声影响，理由见解析 (2)50m / min 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出 ABC 是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的 长，即可得出结论； （2）利用勾股定理得出 ED以及 EF的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：学校C会受噪声影响，理由如下： 如图，过点C作CD AB 于D， 200mAC  ， 150mBC  ， 250mAB  ， 2 2 2AC BC AB   ． ABC 是直角三角形， 90ACB  ． 1 1 2 2ABC S AC BC CD AB     ， AC BC CD AB    ， 即 200 150 250 CD   ， 200×150= =120m 250 CD ， 环卫车周围130m以内为受噪声影响区域， 学校C会受噪声影响． （2）解：如图，当 130mEC  ， 130mFC  时，正好影响C学校， 2 2 2 2130 120 50(m)ED EC CD     ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 100(m)EF ED   ， 环卫车噪声影响该学校持续的时间有 2min， 环卫车的行驶速度为：100 2 50(m / min)  ， 答：环卫车的行驶速度为50m / min． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面 积等知识，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 7．（1）监测点 A与监测点 B之间的距离是 500 km；（2）海港C会受到此次台风的影响，见 解析；（3）台风影响该海港 8小时 【分析】（1）利用勾股定理直接求解； （2）利用等面积法得出 CE的长，进而得出海港 C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出受影响的界点 P与 Q离点 E的距离，进而得出台风影响该海港持续的 时间． 【详解】解：在Rt ABC 中， 90ACB  ， 由勾股定理得 2 2 2 2300 400 500AB AC BC      km 答：监测点 A与监测点 B之间的距离是 500 km． （2）海港 C会受到此次台风的影响，理由如下： ∵ 1 1 2 2ABC S AB CE AC BC    ， ∴ 1 1500 300 400 2 2 CE     解得： 240CE  ． ∵240 260 ∴海港C会受到此次台风的影响． （3）如图，海港 C在台风中心从 Q点移动到 P点这段时间内受影响． ∵ 260CP CQ km  ∴在Rt CEP 中， 2 2 2CE PE CP  ，即 2 2 2240 260PE  解得：PE=100 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 同理得： 100QE km ∵台风的速度为 25km/h ∴台风影响该海港的时长为：    100 100 25 8 h  