专题01 全等三角形（考点串讲）-2024-2025学年八年级数学上学期考点大串讲（青岛版）

八年级青岛版数学上册期中考点大串讲 串讲01 全等三角形 01 02 03 目 录 易错讲练 题型剖析 考点梳理 六大常考点：思维导图指引+知识梳理 十四大题型典例剖析（精讲）+变式训练 5道期中易错真题讲练 04 真题拔高 精选5道期中真题对应考点练 导图指引 考点梳理 知识点01：全等图形 （一）全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形. （二）特征：（1）形状相同。（2）大小相等。（3）对应边相等、对应角相等。 知识点02：全等三角形及其性质 （一）全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 点拨：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. （二）表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 点拨：（1）书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 （2）找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法： ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。 ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。 ③有公共边的，公共边是对应边。 ④有公共角的，公共角是对应角。 ⑤有对顶角的，对顶角是对应角。 ⑥两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。 ⑦由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若△ABC≌△DEF，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F分别是对应角。 知识梳理 知识点03：全等变换（拓展） （一）全等变换定义： 一个图形与另一个图形的形状一样，大小相等，只是位置不同，我们称这个图形是另一个图形的全等变换。（二）三种基本全等变换： （1）旋转 (2）翻转 （3）平移 知识点04：全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 知识点05：全等三角形的判定 （一）判定定理 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 知识梳理 点拨： 注意： （1）“SSA”“AAA'’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等； 非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 （2）“HL”与“SSA” 一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理。 （二）证题的思路 知识点06：尺规作图 （一）尺规作图的概念：在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。最基本、最常用的尺规作图通常称作基本作图。 （二）基本作图 1.　作一条线段与已知线段相等已知：线段a（如图所示）。 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL） 知识梳理 求作：一条线段长度等于a。作法：①任何一条射线OA；②在射线OA上截取OB=a（以O为圆心，以a的长为半径画弧，交OA于点B），则OB即为所求作的线段。 （三）运用基本作图作三角形 在作三角形时，一般先画出草图，分析作图步骤以及相应的字母表示，选择正确的作图程序，再按分析后编写的字母写出已知，求作，按步骤一边画图一边写好作法。 作法中不需要重述基本作图的过程。 知识梳理 题型剖析 【考点题型一】全等三角形的概念和性质 【精讲题】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，点C为∠MON的平分线上一点，且不与点O重合，在角的两边分别截取AO=BO，连接AC、BC；如图②，在图①的射线OC上取异于点O、OC的点D，连AD、BD；如图③，在图②的射线OC上取异于点O、C、D的点E，连接AE、BE；……，在每个图形中，在OC同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线OC上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 题型剖析 【考点题型二】用SSS证明三角形全等 【精讲题】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（    ） 题型剖析 【考点题型三】全等的性质和SSS的综合 【精讲题】（22-23八年级上·河南南阳·期中）如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨BD=CD，AB=AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，为了说明这一制作方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，点A、B、C、D在同一平面内，D在AP上，BD=CD，___________． 求证：___________ ． 题型剖析 【考点题型四】用SAS证明三角形全等 【精讲题】 题型剖析 【考点题型五】全等的性质与SAS的综合 【精讲题】 题型剖析 【考点题型六】全等的性质与ASA（AAS）综合 【精讲题】 题型剖析 【考点题型七】全等的性质与HL综合 【精讲题】 题型剖析 【考点题型八】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【精讲题】 题型剖析 【考点题型九】结合尺规作图的全等问题 【精讲题】 解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即ASA．故选C． 题型剖析 【考点题型十】连接两点作辅助线证全等（全等三角形的辅助线问题） 【精讲题】23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 故选：C． 题型剖析 【考点题型十一】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【精讲题】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD．回答下列问题： (1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形． (2)取BD的中点P，连接OP，试说明AC=2OP．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造△BPE，并证明BE=OD． ②求证：AC=2OP． 题型剖析 【考点题型十二】旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【精讲题】（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，ABCD是正方形∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论． 题型剖析 【考点题型十三】垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【精讲题】 题型剖析 【考点题型十四】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【精讲题】 易错讲练 【易错题型一】灵活运用判定方法证明全等（全等三角形的判定综合） 【精讲题】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，A、B两点分别为雕像底座的两端（其中A、B两点均在地面上）．因为A、B两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO=AO，DO=BO，连接DC，测出DC的长即可． 乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC=DA，交直线AB于点C，最后测量BA的长即可． (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______． 易错讲练 【易错题型二】手拉手模型—旋转型全等 【精讲题】 A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 易错讲练 【易错题型三】平行线+线段中点构造全等模型 【精讲题】如图，已知点A，B为直线MN外两点，且在MN异侧，连接AB，分别过点A作AC⊥AM于点C，过点B作BD⊥MN于点D，点F是线段BD上一点，连接CF交AB于点E． （1）下列条件： ①点F是DB的中点； ②点E是AB的中点； ③点E是CF的中点． 请从中选择一个能证明AC=BF的条件，并写出证明过程； （2）若AC=BF，且AC=5，BD=13，CE=6，求CD的长． 易错讲练 【易错题型四】角平分线+垂直构造全等模型 【精讲题】如图，△ABC的面积为9cm²，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△BPC的面积为( ) A．3cm² B．4cm² C．4.5cm² D．5cm² 易错讲练 【易错题型五 】结合尺规作图的全等问题 【精讲题】（22-23八年级上·吉林长春·期中）做一做：如图13.2.7，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形. 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? 如图， ，请你用圆规在 ∠A的另一边找到点 C，使CB=2.5CM，这样的点C有______个，说明符合条件的三角形有______种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形________全等． 【拓展思考】如图，已知 △DEF，若 且 MN=DE，NP=EF，那么 △MNP一定是______三角形（从“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”三个答案选择）． 真题拔高 【真题讲练1】 真题拔高 【真题讲练2】（2023秋•永泰县期中）如图，已知AB=AC，当添加条件 时，可由“角边角”判定 ． 真题拔高 【真题讲练3】（2023秋•兴宾区期中）如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF=∠FAE，BE=4,EF=1.6，则CF的长为 　 ． 真题拔高 【真题讲练4】（2022秋•西华县期中）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF=ED，连接CF． （1）求证：CF∥AB； （2）若∠ABC=50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数． 真题拔高 【真题讲练5】（2022秋•和平区校级期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证：① ； ②DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 结束 $$