24.2.2.2 切线的判定课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 24.2.2.2 切线的判定 Date:2024.10.28 学习目标 1. 会判定一条直线是否是圆的切线，并会过圆上一点 作圆的切线； 2. 理解并掌握圆的切线的判定定理；(重点) 3. 能运用圆的切线的判定定理解决问题. （难点） 知识回顾 图形 公共点个数 直线与圆的 位置关系 公共点名称 直线名称 2 个 交点 割线 1 个 切点 切线 0 个 相离 相切 相交 位置关系 公共点个数 导入新课 情境引入 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的. 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白. A B C 问题：已知圆 O 上一点 A，怎样根据圆的切线定义过点 A 作圆 O 的切线？ 观察： （1） 圆心 O 到直线 AB 的距离和圆的 半径有什么数量关系? （2）二者位置有什么关系？为什么？ 切线的判定定理 一 O 讲授新课 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. OA 为⊙O 的半径 BC⊥OA 于A BC 为⊙O 的切线 A B C 切线的判定定理 应用格式 O 要点归纳 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ (1) 不是，因为没有垂直. (2) (3) 不是，因为没有经过半径的外端点 A. 判一判 注意 O. A O. A B A O (1) (2) (3) 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； 2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r)时，直线与圆相切； 3. 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 要点归纳 O O 【例1】(教材P98.T1)如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.求证：AT是⊙O的切线． 证明：∵∠ABT＝45°，AT＝AB，　 ∴∠ATB＝∠ABT＝45°.　 ∴∠BAT＝90°.　 ∴AT是⊙O的切线．　 分析：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证 OA 垂直于 AC 即可. 【变式1】如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠B＝30°.求证：BD是⊙O的切线． 证明：连接OD.　 ∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，　 ∴∠A＝∠ADO＝30°.　 ∴∠DOB＝∠A＋∠ADO＝60°.　 ∴∠ODB＝180°－∠DOB－∠B＝90°.　 ∵OD是半径，　 ∴BD是⊙O的切线．　 当已知直线过圆上的一点时，连接圆心和该点得到圆的半径，然后证明直线与这条半径垂直，即可得出已知直线为圆的切线. 方法总结 例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB， CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线. O B A C 证明：连接 OC. ∵ OA ＝ OB，CA ＝ CB， ∴ OC 是等腰△OAB 底边 AB 上的中线.　 ∴ OC⊥AB. ∵ OC 是 ⊙O 的半径， ∴ AB 是 ⊙O 的切线. 分析：由于 AB 过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要 证明 AB⊥OC 即可. 【变式2】．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E．求证：DE是⊙O的切线． 证明：如图，连接OD． ∵OA＝OD， ∴∠1＝∠2． ∵AD平分∠CAM， ∴∠2＝∠3． ∴∠1＝∠3． ∴MN∥OD． ∵DE⊥MN， ∴DE⊥OD． ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线． 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D． 求证：AC 是⊙O 的切线． B C D A E 证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E. ∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB. 又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC， ∴ DE = DB = r. ∴ AC 是⊙O 的切线. 当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线. 方法总结 【变式3】如图，△ABC为等腰三角形，点O是底边BC的中点，过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作⊙O.求证：AC是⊙O的切线． 证明：如图，连接OA， 作OF⊥AC于点F.　 ∵△ABC为等腰三角形， 点O是底边BC的中点，　 ∴AO⊥BC， AO平分∠BAC.　 ∵OD⊥AB，OF⊥AC，　 ∴OF＝OD.　 ∴OF为⊙O的半径．　 ∴AC是⊙O的切线．　 (1) 有交点，连半径，证垂直； 证切线时辅助线的添加方法 要点归纳 (2) 无交点，作垂直，证半径. 例3 例2 课堂小结 这节课，你学到了什么？   切线的判定(1) 切线的判定(2) 文字描述 若圆心到直线的距离(d)________半径(r)，则这条直线是圆的切线． 经过半径的________并且________这条半径的直线是圆的切线． 图形 OA＝OB＝5， AB＝8， ⊙O的半径为3. 几何语言 ∵________________， ∴AB是⊙O的切线． ∵_______________________， ∴AB是⊙O的切线． 口诀 无切点，作垂直(d)，证半径(d＝r)． 有切点，连半径，证垂直． 等于　 外端　 垂直　 OC＝3　 OA是⊙O的半径，OA⊥l　 1．如图，OA是⊙O的半径，∠B＝25°，∠AOB＝65°．求证：AB是⊙O的切线． 证明：∵∠B＝25°，∠AOB＝65°， ∴∠OAB＝90°． ∴OA⊥AB． ∵OA是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线． 课堂检测 2．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线． 证明：如图，连接OC． ∵OA＝OB，CA＝CB， ∴OC⊥AB． 又∵OC是⊙O的半径， ∴直线AB是⊙O的切线． 3．如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过点D作DE⊥OB于点E，以DE为半径作⊙D．求证：OA是⊙D的切线． 证明：如图，过点D作DF⊥OA于点F． ∵点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB， ∴DF＝DE，即D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE． ∴⊙D与OA相切． 即OA是⊙O的切线． 4．如图，AB是⊙O的一条弦，点E是劣弧AB的中点，直线CD经过点E且与直线AB平行．求证：直线CD是⊙O的切线． 证明：如图，连接OE交AB于点F.　 ∵点E是劣弧AB的中点，　 ∴OE⊥AB.　 ∵AB∥CD，　 ∴CD⊥OE.　 ∵OE是⊙O的半径，　 ∴直线CD是⊙O的切线．　 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD长为半径作⊙D交AB于点E． (1)求证：⊙D与AC相切； 解：(1)证明：如图，过点D作DF⊥AC于点F． ∵∠B＝90°， ∴AB⊥BC． ∵CD平分∠ACB交AB于点D， ∴BD＝DF． ∴⊙D与AC相切． 6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD长为半径作⊙D交AB于点E． (2)若AC＝5，BC＝3，试求AE的长． 解：(2)设圆的半径为r． ∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5， ∴AB＝＝4． ∵DB＝DF，CD＝CD， ∴Rt△CDF≌Rt△CDB． ∴BC＝FC＝3． ∴AF＝AC－CF＝2． ∵AB＝4， ∴AD＝AB－BD＝4－r． 在Rt△AFD中， (4－r)2＝r2＋22，解得r＝． ∴AE＝4－3＝1． 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E是AC的中点，判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由． 解：直线DE与⊙O相切．理由如下：　 如图，连接OD，AD． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． ∴△ADC为直角三角形． ∵点E是AC的中点， ∴ED＝EA． ∴∠EAD＝∠EDA． ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA． ∴∠EAD＋∠OAD＝∠EDA＋∠ODA． ∴∠EDO＝∠EAO＝90°． ∴ED⊥OD． ∴DE为⊙O的切线． 作业布置 课堂练习 PS.希望大家认真细致完成作业！ $$