24.2.2.1直线和圆的位置关系 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 24.2.2.1 直线和圆的位置关系 Date:2024.10.25 1. 了解直线和圆的位置关系； 2. 了解直线与圆的不同位置关系时的有关概念； 3. 理解直线和圆的三种位置关系时圆心到直线的距 离 d 和圆的半径 r 之间的数量关系；(重点） 4. 会运用直线和圆的三种位置关系的性质与判定进 行有关计算．(难点） 学习目标 点和圆的位置关系有几种？ d < r d = r d > r 用数量关系如何来判断呢？ (设 OP = d ) 导入新课 知识回顾 (1) 点在圆内 (2) 点在圆上 (3) 点在圆外 r d r r P P P O O O d d 3 观赏视频 视频来源：优酷 点击视频开始播放 4 问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？ 讲授新课 用定义判断直线与圆的位置关系 一 5 问题2 请同学在纸上画一条直线 l，把圆块的边缘看作圆，在纸上移动圆块，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？ l 0 2 ● ● ● 6 图形 公共点个数 直线与圆的 位置关系 公共点名称 直线名称 2 个 交点 割线 1 个 切点 切线 0 个 相离 相切 相交 位置关系 公共点个数 填一填 7 直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图中的直线 l），这个唯一的公共点叫做切点（如图中的点 A）. A l O 知识要点 8 .O . O .O .O .O 看图判断直线 l 与☉O 的位置关系： 相离 相交 相切 相交 ? 相交 l l l l l 练一练 9 直线与圆最多有两个公共点. （ ） ② 若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上. （ ） ③ 若 A 是☉O 上一点，则直线 AB 与☉O 相切. （ ） ④ 若 C 为☉O 外一点，则过点 C 的直线与☉O 相交或相离. （ ） ⑤ 直线 a 和☉O 有公共点，则直线 a 与☉O 相交.（ ） √ × × × × 判一判 10 问题1 刚才同学们用圆块移近直线的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？ 相关知识： 点到直线的距离是指从直线外一点 (A) 到直线 (l ) 的垂线段 (OA) 的长度. l A O 用数量关系判断直线与圆的位置关系 二 圆心到直线的距离在 发生变化； 首先距离大于半径， 而后距离等于半径， 最后距离小于半径. 11 怎样用圆心到直线的距离 d 来判定直线 l 与⊙O 的位置关系呢？ O 思考： d l 12 直线和圆相交 d < r 直线和圆相切 d = r 直线和圆相离 d > r r d ∟ r d ∟ r d 数形结合： 位置关系 数量关系 用圆心 O 到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判定： O O O 直线与圆的位置关系 的性质与判定的区别： 位置关系 数量关系. 公共点个数 要点归纳 13 1. 已知圆的半径为 6 cm，设直线和圆心的距离为 d. (3) 若 d = 8 cm，则直线与圆______，直线与圆有____个公共点. (2) 若 d = 6 cm，则直线与圆______，直线与圆有____个公共点； (1) 若 d = 4 cm，则直线与圆　　　，直线与圆有____个公共点； 相交 相切 相离 2 1 0 练一练 14 (3) 若 AB 和⊙O 相交，则 . 2. 已知⊙O 的半径为 5 cm，圆心 O 与直线 AB 的距离为 d，根据条件填写 d 的范围： (1) 若 AB 和⊙O 相离，则 ； (2) 若 AB 和⊙O 相切，则 ； d ＞5 cm d = 5 cm 0 cm≤d＜5 cm 15 例1 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心，r 为半径的圆与直线 AB 有怎样的位置关系？为什么？ (1) r = 2 cm；(2) r = 2.4 cm； (3) r = 3 cm． B C A 4 3 分析：要判定 AB 与⊙C 的位置关系，只要知道圆心 C 到 AB 的距离 d 与 r 的大小关系.已知 r，只需求出 C 到 AB 的距离 d. D 典例精析 16 解：过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D. 在△ABC 中， 根据三角形的面积公式有 即圆心 C 到 AB 的距离 d = 2.4 cm. (1) 当 r = 2 cm 时， 有 d > r， 因此⊙C 和 AB 相离； B C A 4 3 D d 注：斜边上的高等于两直角边长的乘积除以斜边长. 17 (2) 当 r = 2.4 cm 时，有 d = r， 因此⊙C 和 AB 相切； B C A 4 3 D d (3) 当 r = 3 cm 时，有 d < r， 因此⊙C 和 AB 相交. B C A 4 3 D d 18 变式题： 1. Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心画圆，当半径 r 为何值时，圆 C 与线段 AB 没有公共点？ 当 0 cm＜r＜2.4 cm 或 r＞4 cm 时， ⊙C 与线段 AB 没有公共点. A B C D 4 5 3 3 19 2. Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心画圆，当半径 r 为何值时，圆 C 与线段 AB 有一个公共点？当半径 r 为何值时，圆 C 与线段 AB 有两个公共点？ 当 r = 2.4 cm 或 3 cm＜r≤4 cm 时，⊙C 与线段 AB 有一个公共点； 当 2.4 cm＜r≤3 cm 时，⊙C 与线段AB 有两公共点. A B C D 4 5 3 3 20 课堂小结 这节课，你学到了什么？ 课堂小结 直线与圆的位置关系 定义 性质 判定 相离 相切 相交 公共点的个数 d 与 r 的数量关系 定义法 性质法 特别提醒：若图中没有 d 要先作出该垂线段 相离:0 个;相切:1 个;相交:2 个 相离：d > r 相切：d = r 相交：d < r 0个：相离；1个：相切；2个：相交 d > r：相离；d = r：相切；d < r：相交 22 1. 直线和圆相交，圆的半径为 r，且圆心到直线的距离 为 5，则有 ( ) A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5 2. ☉O 的最大弦长为 8，若圆心 O 到直线 l 的距离为 d = 5， 则直线 l 与☉O ( ) A. 相交 B.相切 C. 相离 D.以上三种情况都有可能 B C 当堂练习 23 3. ☉O 的半径为 5，直线 l 上的一点到圆心 O 的距离是 5，则直线 l 与☉O 的位置关系是（ ） A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切或相离 D. 以上三种情况都有可能 A 24 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，⊙O是以AB为直径的圆，则： (1)直线DC与⊙O的位置关系是________； (2)点D与⊙O的位置关系是______________． 相切　 点D在圆外　 5. 在平面直角坐标系中，圆心 O' 的坐标为(－3，4)，以半径 r 在坐标平面内作圆． (1) 当 r____时，⊙O' 与坐标轴有 1 个公共点； (2) 当 r 满足_________时，⊙O' 与坐标轴有 2 个公共点； (3) 当 r_________时，⊙O' 与坐标轴有 3 个公共点； (4) 当 r____________时，⊙O' 与坐标轴有 4 个公共点． = 3 3＜r＜4 = 4 或 5 ＞4 且 r≠5 26 6．已知⊙O的半径是一元二次方程x2－3x－4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝3． (1)求⊙O的半径； 解：(1)∵x2－3x－4＝0， ∴x1＝－1，x2＝4． ∵⊙O的半径为一元二次方程x2－3x－4＝0的根， ∴r＝4． 6．已知⊙O的半径是一元二次方程x2－3x－4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝3． (2)判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由． 解：(2)直线l与⊙O的位置关系是相交．理由如下：　 ∵d＝3， ∴d＜r． ∴直线l与⊙O的位置关系是相交． 7. 设⊙O 的半径为 2，圆心 O 到直线 l 的距离 OP = m，且 m 使得关于 x 的方程 2x2 − 2 x + m − 1＝0 有实数根，试判断直线 l 与⊙O 的位置关系． 所以直线与圆相切或相交． 解：因为关于 x 的方程 2x2 − 2 x + m − 1＝0 有实数根， 解得 m≤2. 又因为⊙O 的半径为 2， 所以 Δ = (2 )2－4×2(m－1)≥0. 29 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm， BC＝8 cm，以点C为圆心，r为半径作圆． (1)若⊙C与直线AB相切，求r； (2)若⊙C与线段AB有交点，则r的取值范围为__________． 解：如图，过点C作CD⊥AB． 在Rt△ABC中，AC＝6 cm，BC＝8 cm， ∴AB＝＝10 cm． ∵S△ABC＝AC×BC＝AB×CD， ∴CD＝． 又∵⊙C与直线AB相切． ∴r＝CD＝． ≤r≤8　 9.已知⊙O 的半径 r = 7 cm，直线 l1∥l2，且 l1 与⊙O 相切，圆心 O 到 l2 的距离为 9 cm. 求 l1与 l2 的距离. O l1 l2 A B l2 （1）当 l2 与 l1 在圆的同侧时， m = 9 - 7 = 2 (cm)； （2）当 l2 与 l1 在圆的异侧时， m = 9 + 7 = 16 (cm). 解：设 l2 与 l1 的距离为 m，则 C 31 10．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心在射线OA上，开始时，PO＝6 cm，如果⊙P以1 cm/s的速度由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t(s)满足什么条件时，⊙P与直线CD相切？ 解：如图．当∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P′与直线CD相切时，P′E＝1 cm，则OP′＝2 cm，　 ∴PP′＝4 cm.　 则当⊙P的运动时间为4 s时，⊙P与直线CD相切．　 作业布置 课堂练习 PS.希望大家认真细致完成作业！ $$