第07讲 对称性、周期性（五大重难点）-2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第07讲 对称性、周期性 重难点01函数的周期 【解题必备】函数周期的常用结论：①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； ⑤若，则（）； 例1．若函数是偶函数，则函数的图象对称轴是（    ） A． B． C． D． 例2．定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【跟踪练习】 练习1．已知是上的奇函数，满足．若，则（   ） A．4 B． C．3 D． 练习2．已知定义在R上的奇函数满足，且，则下列结论错误的是（    ）. A．4为的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D． 练习3．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数，恒有成立，且，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个对称中心 B． C． D． 练习4．写出一个同时满足下列条件①②③的函数 . ①为偶函数；②有最大值；③不是二次函数. 重难点02函数的对称轴、奇偶求周期及函数值 【解题必备】（1）函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称； （2）若是偶函数，则关于直线对称 例3．已知函数的定义域为若，则（    ） A． B． C． D． 例4．已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．函数的定义域为，若与都是奇函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．是奇函数 练习2．已知定义在上的函数满足,当时,,则（    ） A． B． C． D． 练习3．（多选）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（    ） A．的图像关于对称 B．必成立 C．必成立 D．的图像关于原点对称 练习4．“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”．该结论可以推广为：“函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”．则函数的对称中心为 ． 重难点03函数的对称中心、奇偶求周期及函数值 【解题必备】（1）对任意，都有，则点称为函数的中心； （2）若是奇函数，则关于直线对称 例5．若的定义域为R，且满足为奇函数，的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数是（    ） ①的一个周期为4                ② ③图象的一条对称轴为       ④ A．1 B．2 C．3 D．4 例6．已知函数是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有成立，且，则下列说法正确的是（    ） ①是函数的一个对称中心 ②函数的一个周期是4 ③ ④ A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【跟踪练习】 练习1．（多选）定义在上的函数，能断定4是周期的是（    ） A．满足 B．满足 C．奇函数满足 D．奇函数满足 练习2．（多选）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则以下说法正确的有（    ） A．函数的图像关于直线对称 B．函数的图像关于点对称 C．函数的一个周期为4 D． 练习3．（多选）定义在上的偶函数满足，时，则（    ） A．是周期为4的函数 B．相邻两条对称轴间的距离为4 C．时，的解是 D．若（）有2024个零点，则的最小值是4047 练习4．（多选）已知函数的定义域为，且的图象关于点对称，，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．4为函数的一个周期为 D．若，则 重难点04利用对称、单调解不等式 例7．已知定义在R上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例8．已知为定义在R上的奇函数，且对任意的非负数，有，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知定义在上的函数，函数为偶函数，且对都有，若，则的取值范围是 ． 练习2．若函数满足，，且，，，若，则的取值范围是 . 练习3．已知函数满足关系式，且对于，，满足恒成立，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是 ． 练习4．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是 . 重难点05利用奇偶、对称、单调比较大小 【解题必备】借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除外衣”比较大小。 例9．已知函数的图像关于直线对称，当时，恒成立，设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 例10．定义在上的函数满足，①对于互不相等的任意，都有.当时，，②对任意恒成立，③的图象关于直线对称，则､､的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知偶函数满足，且在区间上是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 练习2．已知定义在上的函数满足，且当时，单调递减，设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 练习4．对，函数满足，.当时，.设，，，则，，的大小关系为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第07讲 对称性、周期性 重难点01函数的周期 【解题必备】函数周期的常用结论：①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； ⑤若，则（）； 例1．若函数是偶函数，则函数的图象对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是偶函数，的图象关于轴对称， 又的图象是的图象向左平移一个单位长度得到， 的对称轴为， 故选：B. 例2．定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为为奇函数，所以，因为为偶函数，所以，即， 从而，得 ， 所以以4为周期的周期函数， ， ， 所以． 故选：A 【跟踪练习】 练习1．已知是上的奇函数，满足．若，则（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】由函数是上的奇函数，可得， 又由及， 可得，，则． 故选：C． 练习2．已知定义在R上的奇函数满足，且，则下列结论错误的是（    ）. A．4为的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】D 【详解】定义在R上的奇函数满足，即函数图象关于对称，B选项正确； 令，则有，可得， 所以函数的一个周期为4，A选项正确； 因为，又， 所以，C选项正确； ，D选项错误. 故选：D. 练习3．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数，恒有成立，且，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个对称中心 B． C． D． 【答案】BCD 【详解】选项A，因为函数满足，函数关于直线对称，A错误； 选项B，因为函数是定义在上的奇函数，所以，， 即，所以，故， 函数是周期为4的函数，B正确； 选项C，，C正确； 选项D，，D正确. 故选：BCD 练习4．写出一个同时满足下列条件①②③的函数 . ①为偶函数；②有最大值；③不是二次函数. 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为为偶函数，则， 所以的图象关于直线对称， 又有最大值，所以可取. 故答案为：（答案不唯一）. 重难点02函数的对称轴、奇偶求周期及函数值 【解题必备】（1）函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称； （2）若是偶函数，则关于直线对称 例3．已知函数的定义域为若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，用代,得， 又，所以，得， 故的周期为, 所以. 故选：A． 例4．已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知的图象关于中心对称， 将的图象向下平移1个单位，得的图象关于中心对称，再向左平移2个单位，得的图象关于中心对称，所以， 故选：D. 【跟踪练习】 练习1．函数的定义域为，若与都是奇函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．是奇函数 【答案】D 【详解】与都是奇函数， ，， 函数关于点及点对称， ，， 故有，函数是周期的周期函数， ， ，即， 是奇函数， 故选：D． 练习2．已知定义在上的函数满足,当时,,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意,函数满足,所以函数关于对称,且, 所以 故选：B. 练习3．（多选）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（    ） A．的图像关于对称 B．必成立 C．必成立 D．的图像关于原点对称 【答案】ABD 【详解】因为为奇函数，所以的图象关于原点对称，即D正确； 且，即B正确，C错误； 由可知函数图象关于对称，即A正确. 故选：ABD. 练习4．“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”．该结论可以推广为：“函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”．则函数的对称中心为 ． 【答案】 【详解】设函数为奇函数， 则有， 变形得， 则有， 即， 也即， 所以，解得， 故答案为:. 重难点03函数的对称中心、奇偶求周期及函数值 【解题必备】（1）对任意，都有，则点称为函数的中心； （2）若是奇函数，则关于直线对称 例5．若的定义域为R，且满足为奇函数，的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数是（    ） ①的一个周期为4                ② ③图象的一条对称轴为       ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①：的定义域为， 的图象关于直线对称，得，即， 由为奇函数，得，于是， 可得， 因此函数是周期为4的周期函数，①正确； 对于②：由为定义在上的奇函数，可知， 由，令可得， 所以，故②错误； 对于③：因为， 可得，即， 可知函数的图象关于点对称， 没有足够条件说明图象关于直线对称， 结合周期性可知：图象不一定关于直线对称，故③错误； 对于④：由，可得， 令可得；令可得； 即， 因此， 故④正确； 所以正确说法的个数是2，B正确. 故选：B 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， (1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. (2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 例6．已知函数是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有成立，且，则下列说法正确的是（    ） ①是函数的一个对称中心 ②函数的一个周期是4 ③ ④ A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【详解】由知，所以函数的图象关于直线对称，故①错误； 由得，由是奇函数得，则 ，所以，即函数的一个周期是4，故②正确； 由得，故③正确； 因为是上的奇函数，所以，由得，故④正确. 故选：B. 【跟踪练习】 练习1．（多选）定义在上的函数，能断定4是周期的是（    ） A．满足 B．满足 C．奇函数满足 D．奇函数满足 【答案】BCD 【详解】对于A：，所以8是的周期，不能判定4是函数的周期，故A错误； 对于B：， 故合题意； 对于C：因为为奇函数，，所以，故合题意； 对于D：因为为奇函数，， 所以，故合题意； 故选：BCD. 练习2．（多选）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则以下说法正确的有（    ） A．函数的图像关于直线对称 B．函数的图像关于点对称 C．函数的一个周期为4 D． 【答案】ABC 【详解】若为偶函数，则，所以的图象关于对称，故A正确； 因为为奇函数，所以，即，则可得的图像关于点对称，故B正确， 因为，， 所以，， 则，故函数的一个周期为4，故C正确； 由，令，可得，周期为4，无法确定的值，故D错误. 故选：ABC. 练习3．（多选）定义在上的偶函数满足，时，则（    ） A．是周期为4的函数 B．相邻两条对称轴间的距离为4 C．时，的解是 D．若（）有2024个零点，则的最小值是4047 【答案】AC 【详解】对A，由知，，所以周期为4，即A选项正确； 对B，由是偶函数，所以有， 所以关于对称，结合其为偶函数则相邻两条对称轴间的距离为2，即B选项错误； 对C，当时，，所以， 则方程即为，解得，所以C选项正确； 对D，即方程在有2024个根， 易知在每个周期上有2个根，1011个周期有2022个根， 结合图象可知当均为的零点时，最小， 当时，令，解得（正舍）， 根据，则，则1为的一个根， 不妨设，根据任意两个相邻根差值为2知，则， 即此时取得最小值，最小值为，所以D选项错误. 故选：AC. 练习4．（多选）已知函数的定义域为，且的图象关于点对称，，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．4为函数的一个周期为 D．若，则 【答案】CD 【详解】对于A中，由的图象关于点对称，所以的图象关于点对称， 所以的图象关于点对称，则是奇函数，且，所以A不正确； 对于B中，因为是奇函数，所以， 所以的图象关于直线对称，所以B不正确； 对于C中，因为，所以， 所以，所以4为函数的一个周期，所以C正确． 对于D中，因为， 所以，所以， 所以，所以D正确． 故选：CD． 重难点04利用对称、单调解不等式 例7．已知定义在R上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则，因， 则，则图象关于对称； 又对任意，都有， 则在上单调递减，又图象关于对称， 则在上单调递增，在上单调递减. . 故选：A 例8．已知为定义在R上的奇函数，且对任意的非负数，有，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为对任意的非负数，， 故在上单调递减， 因为， 所以在上单调递减， 因为为定义在R上的奇函数， 所以定义域为R，且关于中心对称， 所以在R上单调递减， 由得：， 其中， 所以，， 即，解得：. 故选：D 【跟踪练习】 练习1．已知定义在上的函数，函数为偶函数，且对都有，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】函数为偶函数，即 函数关于直线对称， 又对都有， 函数在上单调递增， 由得， 解得或 故答案为：. 练习2．若函数满足，，且，，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，，，所以在上单调递增， ，，则函数图像关于对称， 若，则，解得或. 所以的取值范围是. 故答案为：. 练习3．已知函数满足关系式，且对于，，满足恒成立，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由于，可知函数图象关于直线轴对称， 又对于恒成立， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则 恒成立， 则. 故答案为：. 练习4．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】解：因为定义在上的函数满足，即， 所以函数关于点中心对称， 又函数在上是增函数，所以函数在上是增函数， 因为， 所以不等式对于恒成立，即对于恒成立， 因为函数在上是增函数， 所以对于恒成立，即对于恒成立， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 重难点05利用奇偶、对称、单调比较大小 【解题必备】借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除外衣”比较大小。 例9．已知函数的图像关于直线对称，当时，恒成立，设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为当时，恒成立， 所以在上单调递减， 又的图像关于直线对称，所以， 因为，所以，即. 故选：A 例10．定义在上的函数满足，①对于互不相等的任意，都有.当时，，②对任意恒成立，③的图象关于直线对称，则､､的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】条件①：任选，则，所以， 所以，则， 所以在上单调递增. 条件②：， 所以是周期为的周期函数. 条件③：的图象关于直线对称， 所以的图象关于轴对称， ， ， ， 则，则. 故选：B 【跟踪练习】 练习1．已知偶函数满足，且在区间上是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以的周期为4，,， 令，则， 又为偶函数，所以， ，在区间上是增函数， ∴. 故选：A. 练习2．已知定义在上的函数满足，且当时，单调递减，设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可知关于直线对称，所以， 又因为在上单调递减，所以在上单调递增， 所以，即. 故选：D 练习3．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵当时，恒成立， ∴当时，，即， ∴函数在上为单调增函数， ∵函数是偶函数，即， ∴函数的图象关于直线对称，∴， 又函数在上为单调增函数，∴， 即，∴， 故选：B. 练习4．对，函数满足，.当时，.设，，，则，，的大小关系为 . 【答案】/ 【详解】解：对，函数满足，则关于直线对称，所以①； 函数满足，则关于点对称，所以②； 由①②得：，则是周期函数，周期为 所以 又时，，即在上单调递减 所以，即. 故答案为：或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$