专题03 实数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版2024）

专题03 实数 【考点01】算术平方根 【考点02】平方根 【考点03】平方根的应用 【考点04】无理数 【考点05】实数的相关概念理解 【考点06】实数的分类 【考点07】实数与数轴 【考点08】实数的大小 【考点09】无理数的大小估算 【考点10】立方根 【考点11】实数的运算 【考点12】实数的实际应用 知识点 1 ：平方根 1.算术平方根的定义 的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.平方根的定义 (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2：平方根的性质 知识点3：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点4：立方根的定义 如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 知识点5：立方根的性质 知识点6： 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点7：无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点8：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点9：实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的 【考点01】算术平方根． 【典例1】的平方根是(    ) A．9 B． C．3 D． 【变式1-1】100的算术平方根是（    ） A． B．50 C．10 D． 【变式1-2】16的算术平方根是（    ） A．4 B． C． D．196 【变式1-3】的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【考点02】平方根． 【典例2】的平方根是（   ） A．0 B．或4 C．2 D．2或 【变式2-1】实数16的平方根是（    ） A．4 B． C． D． 【变式2-2】的平方根是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】若是的平方根，则等于（    ） A． B．9 C． D．3 【考点03】平方根的应用 【典例3-1】已知正数的两个不同的平方根分别是 和， 的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求 的平方根． 【典例3-2】勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？      【变式3-1】已知一块面积为 的正方形画布． (1)求该正方形画布的边长； (2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为 ，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为 ，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由． 【变式3-2】如图，用两个边长为cm的小正方形拼成一个大的正方形． (1)求大正方形的边长： (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48？ 【变式3-3】已知一个正数的两个不相等的平方根是与． （1）求的值及这个正数； （2）求关于的方程的解． 【考点04】无理数 【典例4】在实数，，，，，，（3与1之间依次增加一个0）中，无理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-1】实数中无理数是（    ） A． B．0 C． D．1.732 【变式4-2】下列四个数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】在，3.14，…（相邻两个1之间0的个数依次加1），…（相邻两个4之间只有1个0），这五个数中，无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点05】实数的相关概念理解 【典例5】下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 【变式5-1】实数的相反数是2023，那么实数是（    ） A．2023 B． C． D． 【变式5-2】下列说法正确的是（    ） A．是最小的无理数 B．两个无理数的和不一定是无理数 C．绝对值最小的实数不存在 D．有理数与数轴上的点一一对应 【变式5-3】的相反数是 ． 【考点06】实数的分类 【典例6】把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，， (1)正有理数集合：｛                                ···｝； (2)负分数集合：｛                                ···｝； (3)无理数集合：｛                                ···｝； (4)非负整数集合：｛                                ···｝； (5)负有理数集合：｛                                ···｝． 【变式6-1】把下列各数填在相应的表示集合的大括号内： ，，，，，，，，，0，， 整数{                ……}； 正分数{               ……}； 无理数{               ……}． 【变式6-2】把下列各数填入相应的集合： 、、、、、、、． (1)有理数集合{ ___________…}； (2)无理数集合{ ___________…}； (3)正实数集合{ ___________…}； (4)负实数集合{ ___________…}． 【考点07】实数与数轴． 【典例7】如图，点在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A．a B． C． D． 【变式7-2】如图，实数在数轴上对应的点可能是（        ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式7-3】已知实数在数轴上的位置如图所示：化简：的结果为 ． 【考点08】实数的大小 【典例8】比较大小： ．（填“”“”或“”） 【变式8-1】已知，则，，，中最小的数是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】下列四个数：2，，，，其中最小的数是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】比较大小： ．（填“”“”或“”） 【考点09】无理数的大小估算 【典例9】估计的值在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【变式9-1】若在两个连续整数和之间，即，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式9-2】下列无理数在5和6之间的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】估计的值在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【考点10】立方根． 【典例10】如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，量筒量得溢出水的体积为20ml，则该铁块棱长大小的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】如果，，那么约等于（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】的立方根是 ． 【变式10-3】如图，是一块体积为立方厘米的立方体铁块． (1)求出这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为厘米，求长方形铁块底面正方形的边长． 【考点11】实数的运算 【典例11】计算： (1)； (2)． 【变式11-1】计算： (1)； (2)． 【变式11-2】（1）计算：． （2）计算：． 【变式11-3】计算 (1) (2) 【考点12】实数的实际应用 【典例12】如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【变式12-1】某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 【变式12-2】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 一、单选题 1．下列实数中最小的是（    ） A． B．0 C． D．1 2．的平方根是（   ） A．0 B．或4 C．2 D．2或 3．下列各数没有平方根的是（   ） A． B． C． D．0 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若，，则的值是（    ） A． B．或 C．33或21 D．或33 6．下列各数中，与面积为的正方形的边长最接近的是（   ） A． B． C． D． 7．对于非零的两个实数a，b，规定，若，，则的值为（   ） A． B．13 C．2 D． 8．估计的值在整数（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 9．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10． （精确至十分位）． 11．比较大小：3 （填“”、“”或“”）． 12．若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 13．的整数部分是 ． 14．已知，，则 ． 15．观察下列等式： …… 则的值为 ． 三、解答题 16．已知的立方根是2，的平方根是±4． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 17．解方程： (1) (2)． 18．（1）如图1，分别把两个边长为的小正方形沿一条对角线裁开，得到4个小三角形，然后拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______cm． （2）如图2，小逸同学打算将一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形，使该长方形的长和宽之比为，你认为小逸能裁出符合条件的长方形吗？若能，计算出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 实数 【考点01】算术平方根 【考点02】平方根 【考点03】平方根的应用 【考点04】无理数 【考点05】实数的相关概念理解 【考点06】实数的分类 【考点07】实数与数轴 【考点08】实数的大小 【考点09】无理数的大小估算 【考点10】立方根 【考点11】实数的运算 【考点12】实数的实际应用 知识点 1 ：平方根 1.算术平方根的定义 的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.平方根的定义 (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2：平方根的性质 知识点3：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点4：立方根的定义 如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 知识点5：立方根的性质 知识点6： 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点7：无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点8：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点9：实数运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的 【考点01】算术平方根． 【典例1】的平方根是(    ) A．9 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了求算术平方根，求平方根，先化简，再求其平方根即可，理解算术平方根和平方根的定义是解题的关键． 【详解】解： ，9的平方根是． 故选：D． 【变式1-1】100的算术平方根是（    ） A． B．50 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的定义， 注意熟记定义是解此题的关键．根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴100的算术平方根是10． 故选：C． 【变式1-2】16的算术平方根是（    ） A．4 B． C． D．196 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，“如果一个非负数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的算术平方根”． 【详解】解：16的算术平方根4． 故选：A． 【变式1-3】的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，3的算术平方根是， ∴的算术平方根是． 故选A． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题关键． 【考点02】平方根． 【典例2】的平方根是（   ） A．0 B．或4 C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根为2或， 故选：D． 【变式2-1】实数16的平方根是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的平方根，根据，即可求解． 【详解】解：实数16的平方根是， 故选：B． 【变式2-2】的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握：一个非负数的平方根有两个，互为相反数．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2-3】若是的平方根，则等于（    ） A． B．9 C． D．3 【答案】C 【分析】根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵是的平方根， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一个数的平方根，熟知平方根的定义是解题的关键． 【考点03】平方根的应用 【典例3-1】已知正数的两个不同的平方根分别是 和， 的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求 的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一个数的平方等于，则这个数即为的平方根，其中正的平方根是这个数的算术平方根，根据平方根性质列得方程解得值后即可求得的值，再由算术平方根的定义求得的值即可； （2）将，的值代入中计算后求其平方根即可． 【详解】（1）解：正数的两个不同的平方根分别是 和， ， 解得：， 则， 那么， 的算术平方根是4， ， 解得：； （2）解： ， 那么其平方根为． 【点睛】本题考查平方根的定义及性质，算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． 【典例3-2】勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？      【答案】 【分析】根据题意列方程，再解方程即可得出结果． 【详解】解：根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 故的长度为． 【点睛】本题考查了平方根的应用及方程的思想，本题的关键是，用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义． 【变式3-1】已知一块面积为 的正方形画布． (1)求该正方形画布的边长； (2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为 ，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为 ，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由． 【答案】(1)该正方形画布的边长为 (2)甲方案不可行，乙方案可行，理由见解析 【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）甲方案中，设长方形纸片的长为 ，宽为 ，乙方案中，设长方形纸片的长为 ，宽为 ，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）∵正方形画布的面积为400 ∴该正方形画布的边长为 ． （2）甲的方案不可行，乙方案可行 甲方案中，设长方形纸片的长为 ，宽为 ， 则，即， ， 解得：（负值舍去）， 长方形的长为． ，但正方形纸片的边长只有 ，故甲方案不可行； 乙方案中，设长方形纸片的长为 ，宽为 ， 则，即， 解得：（负值舍去）， 长方形的长为，故乙方案可行， 综上，甲方案不可行，乙方案可行． 【点睛】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【变式3-2】如图，用两个边长为cm的小正方形拼成一个大的正方形． (1)求大正方形的边长： (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48？ 【答案】(1)大正方形的边长为8cm (2)沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48 【分析】（1）根据已知正方形的面积关系即可求出大正方形的边长； （2）先求出长方形的边长，再判断即可． 【详解】（1）解：大正方形的边长为acm，则， ∵， ∴． 答：大正方形的边长为8cm． （2）解：设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，则， 解得， ∵， ∴， ，， ∵大正方形的边长为8cm，符合． 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48． 【点睛】本题考查了平方根的实际应用，能根据题意列出算式是解此题的关键． 【变式3-3】已知一个正数的两个不相等的平方根是与． （1）求的值及这个正数； （2）求关于的方程的解． 【答案】（1）a=1，这个正数是49；（2） 【分析】（1）由正数的两个平方根互为相反数得到+=0，求解即可得到答案； （2）将a=1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可． 【详解】解：（1）由题意得+=0， 解得a=1， ∴这个正数是； （2）将a=1代入方程，得-64=0， 解得． 【点睛】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键． 【考点04】无理数 【典例4】在实数，，，，，，（3与1之间依次增加一个0）中，无理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查无理数的判断，根据无限不循环的小数叫无理数直接逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，，，是有理数， ，，（3与1之间依次增加一个0）是无理数，共有3个， 故选：A． 【变式4-1】实数中无理数是（    ） A． B．0 C． D．1.732 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：都是有理数，是无理数． 故选：C 【变式4-2】下列四个数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数．根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数）结合有理数概念逐项判断即可解题． 【详解】解：A、为循环小数，是有理数，本选项不符合题意； B、为分数，是有理数，本选项不符合题意； C、为小数，是有理数，本选项不符合题意； D、为无理数，本选项符合题意； 故选：D． 【变式4-3】在，3.14，…（相邻两个1之间0的个数依次加1），…（相邻两个4之间只有1个0），这五个数中，无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的概念，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数或式子．根据无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：上面五个数中，无理数有，…（相邻两个1之间0的个数依次加1），，共三个， 故选：B． 【考点05】实数的相关概念理解 【典例5】下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 【答案】D 【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可． 【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意； 无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意； 无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意； 无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键． 【变式5-1】实数的相反数是2023，那么实数是（    ） A．2023 B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案． 【详解】∵实数的相反数是2023， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，解题的关键是正确把握定义． 【变式5-2】下列说法正确的是（    ） A．是最小的无理数 B．两个无理数的和不一定是无理数 C．绝对值最小的实数不存在 D．有理数与数轴上的点一一对应 【答案】B 【分析】利用正无理数，绝对值，以及数轴的性质判断即可． 【详解】解：A、不存在最小的正无理数，不符合题意； B、两个无理数的和不一定是无理数，例如： ，符合题意； C、绝对值最小的实数是0，不符合题意； D、实数与数轴上的点一一对应，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了实数的运算，实数与数轴，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 【变式5-3】的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数，即可得到正确的答案． 【详解】解：无理数的相反数是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了求一个实数的相反数的能力，关键是能准确理解、运用相反数的概念． 【考点06】实数的分类 【典例6】把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，， (1)正有理数集合：｛                                ···｝； (2)负分数集合：｛                                ···｝； (3)无理数集合：｛                                ···｝； (4)非负整数集合：｛                                ···｝； (5)负有理数集合：｛                                ···｝． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 (5)见解析 【分析】本题考查实数的分类，掌握实数的分类是解题的关键． （1）正有理数包括正整数和正分数； （2）先找到分数，再找其中的负数即可； （3）无理数是无限不循环小数； （4）非负整数包括零和正整数． （5）负有理数包括负整数和负分数； 【详解】（1）解：，， 正有理数集合：｛ ，，，···｝； （2）解：负分数集合：｛，，，···｝ （3）解：无理数集合：｛，，···｝ （4）解：非负整数集合：｛，，，···｝ （5）解：负有理数集合：｛ ，，，，···｝ 【变式6-1】把下列各数填在相应的表示集合的大括号内： ，，，，，，，，，0，， 整数{                ……}； 正分数{               ……}； 无理数{               ……}． 【答案】，，，0；，，，0；，，，；， 【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数即为无理数，大于0的分数为正分数，整数分为0，正整数，负整数，进行逐个分析即可作答． 【详解】解：， 整数{，，，0，……}； 正分数{，，，……}； 无理数{，，……}． 【变式6-2】把下列各数填入相应的集合： 、、、、、、、． (1)有理数集合{ ___________…}； (2)无理数集合{ ___________…}； (3)正实数集合{ ___________…}； (4)负实数集合{ ___________…}． 【答案】(1)、、、； (2)、、、； (3)、、、、； (4)、、 【分析】本题主要考查有理数、实数的分类等知识点，熟练掌握实数的定义及其分类是解题的关键． 根据有理数、实数的定义及其分类求解即可． 【详解】（1）解：有理数有：、、、． 故答案为：、、、． （2）解：无理数有、、、． 故答案为：、、、． （3）解：正实数有：、、、、． 故答案为：、、、、． （4）解：负实数集合、、． 故答案为：、、． 【考点07】实数与数轴． 【典例7】如图，点在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，先根据点是的中点，线段，得出，结合点表示的数是，以及数轴信息，得出，即可作答． 【详解】解：点是的中点，线段， ， 点表示的数是，且点在点的右边， ， 即点表示的数是， 故选：B． 【变式7-1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式及绝对值的性质化简，先根据a，b两点在数轴上的位置判断出a，b的符号，再把各二次根式及绝对值进行化简即可． 【详解】解：∵由图可知，，， ∴ ∴． 故选：A． 【变式7-2】如图，实数在数轴上对应的点可能是（        ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查的是实数与数轴，先判断出的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：， ， 点符合题意． 故选：B． 【变式7-3】已知实数在数轴上的位置如图所示：化简：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数与数轴及算术平方根，熟练掌握实数与数轴及算术平方根是解题的关键；由数轴可知，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴； 故答案为． 【考点08】实数的大小 【典例8】比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算，先估算出，从而得出，由此即可得解，正确估算出的大小是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】已知，则，，，中最小的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了实数比较大小，正数大于0，负数小于0，绝对值大的负数反而小，再根据进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴， 即，，，中最小的数是， 故选：D． 【变式8-2】下列四个数：2，，，，其中最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数大小比较，根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数为； 故选D． 【变式8-3】比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】此题主要考查了实数比较大小， 正确比较与的大小关系，是解题关键 ．首先比较，进而得出答案 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点09】无理数的大小估算 【典例9】估计的值在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，得出，则，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【变式9-1】若在两个连续整数和之间，即，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】此题考查了无理数的估算，求代数式的值，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．根据无理数的估算方法得到，继而求出，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式9-2】下列无理数在5和6之间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先计算出，，然后再进行判断即可． 【详解】，， ， ， ， 故选：D． 【变式9-3】估计的值在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，先估算的大小，再估算的大小．理解算术平方根的意义是正确解答的关键． 【详解】解：∵ ∴， 那么， 即 故选：C． 【考点10】立方根． 【典例10】如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，量筒量得溢出水的体积为20ml，则该铁块棱长大小的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了无理数的估算和立方根的应用，运用立方根知识进行估算求解即可． 【详解】由题意得，该铁块棱长是， ∵ ， 该铁块棱长大小的范围是． 故选：A． 【变式10-1】如果，，那么约等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根．利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 【变式10-2】的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根，平方根是解题的关键；先求出的值，再求出其立方根即可． 【详解】解：， 的立方根是2， 故答案为：2． 【变式10-3】如图，是一块体积为立方厘米的立方体铁块． (1)求出这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为厘米，求长方形铁块底面正方形的边长． 【答案】(1)厘米； (2)厘米． 【分析】（）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （）根据题意列出式子再进行计算即可； 本题考查立方根、算术平方根，孰练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】（1）根据题意可得：铁块的棱长为（厘米）， 答：这个铁块的棱长为厘米； （2）由题可知，设长方体铁块底面正方形的边长为厘米， ∴，， 解得：， 答：长方体铁块底面正方形的边长为厘米． 【考点11】实数的运算 【典例11】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及算术平方根、平方根、立方根以及乘方，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先化简算术平方根、立方根，再计算加减法即可； （2）先化简算术平方根、立方根以及乘方，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式11-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的定义，乘方运算． （1）利用算术平方根的定义，立方根的定义计算； （2）利用绝对值的定义，乘方运算计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式11-2】（1）计算：． （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的运算，实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． （1）根据乘方，立方根和绝对值的性质计算即可求解； （2）根据算术平方根，立方根计算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）． ． 【变式11-3】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算． （1）根据有理数的乘方，乘除混合运算的法则计算即可求解； （2）根据算术平方根、立方根以及绝对值的性质化简，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点12】实数的实际应用 【典例12】如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 【变式12-1】某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 【答案】(1)长方形的长30米，宽20米 (2)不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析 【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为设长为米，宽为米，以面积为600平方米作等量关系列方程，解得x的值即可得出答案； （2）设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，根据面积之和为500m2，列出方程求出y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解． 【详解】（1）解：长方形长宽之比为， 设该长方形花坛长为米，宽为米， 依题意得：， ， ∴或（不合题意，舍去） ， 答：该长方形的长30米，宽20米； （2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下： 两个小正方形的边长比为， 设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，依题意得：， ， ， 或（不合题意，舍去） ， ， 所以不能改造出这样两块不相符的实验田． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系． 【变式12-2】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 一、单选题 1．下列实数中最小的是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小，即可得出答案，熟练掌握实数的大小比较法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴下列实数中最小的是， 故选：A． 2．的平方根是（   ） A．0 B．或4 C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根为2或， 故选：D． 3．下列各数没有平方根的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了平方根概念理解：负数没有平方根，涉及了化简绝对值和利用二次根式的性质化简，将各选项化简后即可判断． 【详解】解：，有平方根，不符合题意； ，有平方根，不符合题意； ，没有平方根，符合题意； 0有平方根，不符合题意； 故选：C 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根及平方根的运算，根据算术平方根及平方根的性质依次化简即可做出判断． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 5．若，，则的值是（    ） A． B．或 C．33或21 D．或33 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根、平方根，代数式求值．先根据平方根和立方根的定义得出a、b的值，再分情况计算可得． 【详解】解：∵，， ∴，， 当时，时，， 当时，时，， 故的值是或， 故选：B． 6．下列各数中，与面积为的正方形的边长最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了对无理数大小的估算能力，先求得该正方形的边长为，再通过估算的值进行求解，解题的关键是能准确理解并运用该方法． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴最接近， 故选：． 7．对于非零的两个实数a，b，规定，若，，则的值为（   ） A． B．13 C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，以及新定义下的实数运算，已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，求出方程组的解得到m与n的值，然后再代入新定义运算即可． 【详解】解：根据题意，得，， 解得 ． 故选 A． 8．估计的值在整数（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】B 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数的大小用夹逼法是解答此题的关键． 根据夹逼法得出的范围，继而得出的范围． 【详解】， ， ， 的值在整数4到5之间． 故选：B． 9．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴、数轴上两点的距离、轴对称，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设点所对应的实数是，根据和数轴的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设点所对应的实数是， 由题意得：， 解得， 故选：D． 二、填空题 10． （精确至十分位）． 【答案】 【分析】本题主要考查小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数．精确到十分位即保留一位小数，看小数点后面第二位，然后根据“四舍五入”解答即可． 【详解】解∶ （精确至十分位）， 故答案为∶ ． 11．比较大小：3 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查的是实数的大小比较，无理数的估算．先将估算的大小，即可比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12．若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 【答案】81 【分析】根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出a值，再求出一个平方根，进而就可以得到这个正数．本题考查了已知一个数的平方根，求这个数，正确掌握平方根的概念是解题的关键． 【详解】解：由题可知，， 解得， 则这个正数是． 故答案为：81． 13．的整数部分是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先判断出在哪两个连续整数之间，再用小于的整数加1，即可得到整数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故的整数部分是4． 故答案为：4． 14．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求一个数的立方根，理解立方根的定义是正确解答的前提．根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 15．观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 16．已知的立方根是2，的平方根是±4． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和立方根，解题关键是明确平方根和立方根的意义，准确进行求解； （1）根据立方根和平方根的意义求出字母的值即可； （2）先求出代数式的值，再求算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴，解得， ∵的平方根是±4， ∴，解得， ∴，； （2）解：， ∴的算术平方根是3． 17．解方程： (1) (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程： （1）直接把方程左右两边同时开平方得到，据此解一元一次方程即可得到答案； （2）直接把方程左右两边同时开立方得到，据此解一元一次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 18．（1）如图1，分别把两个边长为的小正方形沿一条对角线裁开，得到4个小三角形，然后拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______cm． （2）如图2，小逸同学打算将一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形，使该长方形的长和宽之比为，你认为小逸能裁出符合条件的长方形吗？若能，计算出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）不能，见解析 【分析】本题考查算术平方根及勾股定理： （1）利用勾股定理计算即可； （2）先求得正方形的边长，设长方形纸片的长为，宽为，列得方程后解得x的值后分别求得长和宽后与正方形的边长比较即可． 【详解】解：（1）由题意得， 即大正方形的边长为， 故答案为：； （2）设长方形的长、宽分别为，宽为， 由题意可得， 解得（负值舍去）， 所以． 由正方形木板的面积为，得该正方形木板的边长为． 因为， 所以小逸不能裁出符合条件的长方形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$