期中模拟卷01-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北京专用，人教版）

绝密★考试结束前 2024-2025学年九年级上学期期中模拟测试卷（北京专用） 数学 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．二次函数y＝x2﹣5x+1的图象与y轴的交点坐标是（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（﹣1，0） 2．用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 3．雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（　　） A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点 4．在平面直角坐标系xOy中，若点（4，y1），（6，y2）在抛物线y＝a（x﹣3）2+1（a＞0）上，则下列结论正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．1＜y2＜y1 C．y2＜y1＜1 D．y1＜y2＜1 5．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（　　） A． B．6 C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕某点旋转90°得到△A'B'C'，则旋转中心是点（　　） A．O B．M C．N D．无法确定 7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是（　　） A．6 B．12 C． D． 8．关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的结论： ①对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等． ②若图象过点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C（2，﹣13），则当x1＞x2时，0． ③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则m或m． ④当m＞0且n≤x≤3时，﹣14≤y≤n2+1，则n＝1． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共16分，每题2分） 9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（1，2），点B与点A关于原点对称，则点B的坐标为 　 　． 10．已知一个圆锥的底面直径为20cm，母线长30cm，则这个圆锥的表面积是 　 　． 11．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2024﹣6a+2b的值为 　 　． 12．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝2，∠CAB＝90°，则AE的长是 　 　． 13．如果关于x的方程ax2+2x+3＝0有两个相等的实数根，那么a＝　 　． 14．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝6，∠ABC＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，当AD长度为 　 　时，EF与半圆相切． 15．如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠D＝35°，则∠C＝　 　°． 16．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E是AB边上的一个动点，连接DE，∠DEB的角平分线EF交CD边于点F，若DG⊥EF于点G，连接AG、BG，则AG+BG的最小值是 　 　． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17．用适当的方法解下列方程： （1）9x2﹣100＝0； （2）3x2﹣4x﹣1＝0． 18．已知关于x的一元二次方程2x2+（k﹣8）x﹣4k＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根小于3，求k的取值范围． 19．如图，在等边△ABC中，D在AC边上，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接DE，CE． （1）求证：AD＝CE； （2）若BC＝6，BD＝5.5，直接写出△DCE的周长． 20．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC． （1）求证：∠CAO＝∠BCD； （2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的直径． 21．按要求画出图形： （1）作△ABC关于原点中心对称的图形得到△A1B1C1； （2）作△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2．且求出点C到C2所经过的路线长． 22．如图，平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B． （1）求抛物线的解析式； （2）根据图象，写出不等式﹣x2+bx+c＞x+2的解集． 23．如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切，切点为A．画出⊙O的另一条切线PB，切点为B． 小云的画法是： ①连接PO，过点A画出PO的垂线交⊙O于点B； ②画出直线PB． 直线PB即为所求． （1）根据小云的画法，补全图形； （2）补全下面的证明． 证明：连接OA，OB． ∵OA＝OB，AB⊥PO， ∴PO垂直平分AB，∠OAB＝∠OBA． ∴PA＝①　 　． ∴∠PAB＝②　 　． ∴∠PAO＝∠PBO． ∵PA是⊙O的切线，A为切点， ∴OA⊥AP． ∴∠PAO＝90°． ∴∠PBO＝90°． ∴OB⊥PB于点B． ∵OB是⊙O的半径， ∴PB是⊙O的切线（③　 　）（填推理的依据）． 24．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为x元（销售单价不低于35元） （1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？ （2）求这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式； （3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 25．如图，AB是⊙O的直径，直线PQ经过⊙O上的点E，AC⊥PQ于点C，交⊙O于D，AE平分∠BAC． （1）求证：直线PQ是⊙O的切线； （2）若AD＝6，EC＝2，求CD的长． 26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点． （1）求c的值及a，b满足的关系式； （2）抛物线经过两个不同的点M（p，n），N（﹣2﹣p，n），求a的值； （3）若抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围． 27．从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将线段BC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到线段DC，取AD中点H，直线CH与直线BD交于点E，连接AE． 【感知特殊】 （1）如图1，当α＝30°时，小组探究得出：△AED为等腰直角三角形，请写出证明过程； 【探究一般】 （2）①如图2，当0°＜α＜90°时，试探究线段EA，EC，EB之间的数量关系并证明； ②当90°＜α＜180°时，直接写出线段EA，EC，EB之间的数量关系． 【应用迁移】 （3）已知，在线段DC的旋转过程中，当AE＝3时，求线段EC的长． 28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为．对于平面内一点A，若存在边长为1的等边△ABC，满足点B在⊙O上，且OC≥OA，则称点A为⊙O的“近心点”，点C为⊙O的“远心点”． （1）下列各点：D（﹣3，0），，，中，⊙O的“近心点”有 　 　； （2）设点O与⊙O的“远心点”之间的距离为d，求d的取值范围； （3）直线分别交x，y轴于点M，M，且线段MN上任意一点都是⊙O的“近心点”，请直接写出b的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★考试结束前 2024-2025学年九年级上学期期中模拟测试卷（北京专用） 数学 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．二次函数y＝x2﹣5x+1的图象与y轴的交点坐标是（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（﹣1，0） 解：二次函数y＝x2﹣5x+1的图象与y轴相交，则x＝0， 故y＝1，则图象与y轴的交点坐标是：（0，1）． 答案：A． 2．用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 解：方程2x2﹣2x﹣1＝0， 整理得：x2﹣x， 配方得：x2﹣x，即（x）2． 答案：C． 3．雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（　　） A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点 解：如图，观察图象可知，能被雷达监测到的最远点为点N． 答案：B． 4．在平面直角坐标系xOy中，若点（4，y1），（6，y2）在抛物线y＝a（x﹣3）2+1（a＞0）上，则下列结论正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．1＜y2＜y1 C．y2＜y1＜1 D．y1＜y2＜1 解：∵y＝a（x﹣3）2+1（a＞0）， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，函数有最小值1， ∵点（4，y1）到对称轴的距离为1，点（6，y2）到对称轴的距离为3， ∴y2＞y1＞1， 答案：A． 5．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（　　） A． B．6 C． D． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝6，∠BAC＝60°， ∵BD＝DC＝3， ∴AD⊥BC， ∴AD3 ∵△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE， ∴∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD＝3， 答案：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕某点旋转90°得到△A'B'C'，则旋转中心是点（　　） A．O B．M C．N D．无法确定 解：△ABC绕O点逆时针旋转90°得到△A'B'C'． 答案：A． 7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是（　　） A．6 B．12 C． D． 解：过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P， 则此时，点P到AC的距离最大，且点P到AC距离的最大值＝PM， ∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6， ∴OP＝OA＝6， ∴OMOA6＝3， ∴PM＝OP+OM＝6+3， ∴则点P到AC距离的最大值是6+3． 答案：C． 8．关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的结论： ①对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等． ②若图象过点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C（2，﹣13），则当x1＞x2时，0． ③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则m或m． ④当m＞0且n≤x≤3时，﹣14≤y≤n2+1，则n＝1． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5的对称轴为x3， ∵x1＝3+a和x2＝3﹣a关于直线x＝3对称， ∴对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等， ∴①符合题意； ②将点C（2，﹣13）代入y＝mx2﹣6mx﹣5，得﹣13＝4m﹣12m﹣5，解得m＝1． ∴函数的解析式为y＝x2﹣6x﹣5， 当x＞3时，y随x的增大而增大． ∴当x1＞x2时，y1＞y2， ∴0． ∴②不符合题意； ③∵y＝mx2﹣6mx﹣5＝m（x﹣3）2﹣5﹣9m， ∴抛物线的对称轴为直线x＝3， 当x＝3时，y＝﹣5﹣9m， 当x＝6时，y＝﹣5， ∵若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个， ∴若m＞0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而增大， 则﹣9＜﹣5﹣9m≤﹣8， ∴m； 若m＜0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小， 则﹣2≤﹣5﹣9m＜﹣1， ∴m； ∴m或m． ∴③符合题意； ④当m＞0且n≤x≤3时，y随着x的增大而减小， ∵﹣14≤y≤n2+1， ∴﹣5﹣9m＝﹣14， 解得：m＝1， ∴n2﹣6n﹣5＝n2+1， 解得：n＝﹣1， ∴④不符合题意； 综上所述，正确结论有①③，共2个． 答案：B． 二、填空题（共16分，每题2分） 9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（1，2），点B与点A关于原点对称，则点B的坐标为 　（﹣1，﹣2）　． 解：∵点A的坐标为（1，2），点B与点A关于原点对称， ∴点B的坐标是（﹣1，﹣2）． 答案：（﹣1，﹣2）． 10．已知一个圆锥的底面直径为20cm，母线长30cm，则这个圆锥的表面积是 　400πcm2　． 解：圆锥的表面积＝10π×30+100π＝400π（cm2）． 答案：400πcm2． 11．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2024﹣6a+2b的值为 　2020　． 解：∵x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解， ∴a×32﹣3b＝6， 化简，得：3a﹣b＝2， ∴2024﹣6a+2b ＝2024﹣2（3a﹣b） ＝2024﹣2×2 ＝2024﹣4 ＝2020， 答案：2020． 12．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝2，∠CAB＝90°，则AE的长是 　5　． 解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称， ∴△ACB≌△DCE， ∴AC＝CD＝2，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE＝3， ∴AD＝4， ∴AE5， 答案：5． 13．如果关于x的方程ax2+2x+3＝0有两个相等的实数根，那么a＝　1　． 解：根据题意得Δ＝（2）2﹣4a×3＝0， 解得a＝1． 答案：1． 14．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝6，∠ABC＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，当AD长度为 　　时，EF与半圆相切． 解：当AD时， 连接OC，CD， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠ACO＝60°， ∵AD，OA＝3， ∴OD＝OA﹣AD＝3， ∴AD＝OD， ∴∠ACD∠ACO＝30°， ∵点E与点D关于AC对称， ∴∠ECA＝∠ACD＝30°， ∴∠OCE＝∠ECA+∠ACO＝90°， ∴OC⊥EF， ∵OC是半⊙O的半径， ∴EF与半⊙O相切， ∴当AD时，EF与半圆相切． 15．如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠D＝35°，则∠C＝　55　°． 解：设AB与CD相交于点E， ∵⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）， ∴AB⊥CD， ∴∠DEB＝90°， ∵∠D＝35°， ∴∠B＝90°﹣∠D＝55°， ∴∠C＝∠B＝55°， 答案：55． 16．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E是AB边上的一个动点，连接DE，∠DEB的角平分线EF交CD边于点F，若DG⊥EF于点G，连接AG、BG，则AG+BG的最小值是 　　． 解：作MG⊥DE于M，GH⊥AB于H， ∵EF是∠DEB的平分线， ∴MG＝GH， ∵∠DAE＝∠DGE＝90°， ∴A、D、G、E四点共圆， ∴∠GAH＝∠MDG， ∴△GAH≌△GDM（AAS）， ∴GA＝GD， ∴AG+BG＝DG+BG， 当D、G、B三点共线时，AG+BG有最小值，最小值是BD的长， ∴AG+BG的最小值是， 答案：． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17．用适当的方法解下列方程： （1）9x2﹣100＝0； （2）3x2﹣4x﹣1＝0． 解：（1）9x2﹣100＝0， 9x2＝100， x2， 所以． （2）3x2﹣4x﹣1＝0， 因为Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0， 所以x， 所以． 18．已知关于x的一元二次方程2x2+（k﹣8）x﹣4k＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根小于3，求k的取值范围． 解：（1）Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣8）2﹣4×2×（﹣4k）＝（k+8）2≥0， ∴原方程有两个实数根． （2）， ∴， ∵， ∴k＞﹣6． 19．如图，在等边△ABC中，D在AC边上，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接DE，CE． （1）求证：AD＝CE； （2）若BC＝6，BD＝5.5，直接写出△DCE的周长． （1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴BA＝BC，∠ABC＝60°， ∵将BD绕点B顺时针旋转60°得到BE， ∴BD＝BE，∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE＝60°﹣∠CBD， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD＝CE． （2）解：△DCE的周长是11.5， 理由：∵AD＝CE，AC＝BC＝6， ∴CE+CD＝AD+CD＝AC＝6， ∵BD＝BE，∠DBE＝60°， ∴△DBE是等边三角形， ∴DE＝BD＝5.5， ∴DE+CE+CD＝5.5+6＝11.5， ∴△DCE的周长是11.5． 20．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC． （1）求证：∠CAO＝∠BCD； （2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的直径． （1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E， ∴， ∴∠CAO＝∠BCD； （2）解：设⊙O的半径为R，则OE＝OB﹣BE＝R﹣3， ∵AB⊥CD，CD＝8， ∴CECD8＝4， 在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2＝OE2+CE2， ∴R2＝（R﹣3）2+42， 解得R， ∴⊙O的直径为． 21．按要求画出图形： （1）作△ABC关于原点中心对称的图形得到△A1B1C1； （2）作△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2．且求出点C到C2所经过的路线长． 解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△AB2C2即为所求． 点C旋转到C2所经过的路线是弧CC2， ∵AB，∠CAC2＝90° ∴弧CC2的长π． ∴点C到C2所经过的路线长是π． 22．如图，平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B． （1）求抛物线的解析式； （2）根据图象，写出不等式﹣x2+bx+c＞x+2的解集． 解：（1）当x＝0时，y＝0+2＝2， 当y＝0时，x+2＝0， 解得x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，2）， 把（﹣2，0），（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得：， 解得， ∴抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣x+2． （2）观察函数图象可知当﹣2＜x＜0时y＝﹣x2﹣x+2的函数值大于y＝x+2的函数值， ∴不等式﹣x2+bx+c＞x+2的解集为：﹣2＜x＜0． 23．如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切，切点为A．画出⊙O的另一条切线PB，切点为B． 小云的画法是： ①连接PO，过点A画出PO的垂线交⊙O于点B； ②画出直线PB． 直线PB即为所求． （1）根据小云的画法，补全图形； （2）补全下面的证明． 证明：连接OA，OB． ∵OA＝OB，AB⊥PO， ∴PO垂直平分AB，∠OAB＝∠OBA． ∴PA＝①　PB　． ∴∠PAB＝②　∠PBA　． ∴∠PAO＝∠PBO． ∵PA是⊙O的切线，A为切点， ∴OA⊥AP． ∴∠PAO＝90°． ∴∠PBO＝90°． ∴OB⊥PB于点B． ∵OB是⊙O的半径， ∴PB是⊙O的切线（③　过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线　）（填推理的依据）． （1）解：图形如图所示： （2）证明：连接OA，OB． ∵OA＝OB，AB⊥PO， ∴PO垂直平分AB，∠OAB＝∠OBA． ∴PA＝PB． ∴∠PAB＝∠PBA． ∴∠PAO＝∠PBO． ∵PA是⊙O的切线，A为切点， ∴OA⊥AP． ∴∠PAO＝90°． ∴∠PBO＝90°． ∴OB⊥PB于点B． ∵OB是⊙O的半径， ∴PB是⊙O的切线（过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线）． 答案：PB，PBA，过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线． 24．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为x元（销售单价不低于35元） （1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？ （2）求这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式； （3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 解：（1）∵x≤30×（1+50%）＝45， ∴x≤45， 当x＝45时，每天的销售量为350﹣50250（件）， ∴当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件； （2）根据题意得，w＝（35050）（x﹣30）＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000， ∴这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式为w＝﹣10x2+1000x﹣21000； （3）∵w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000， ∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝50， ∵x≤45， ∴当x＝45时，w最大＝﹣10×（45﹣50）2+4000＝3750， 答：当销售单价为45时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3750元． 25．如图，AB是⊙O的直径，直线PQ经过⊙O上的点E，AC⊥PQ于点C，交⊙O于D，AE平分∠BAC． （1）求证：直线PQ是⊙O的切线； （2）若AD＝6，EC＝2，求CD的长． （1）证明：连接OE，则OE＝OA， ∴∠BAE＝∠OEA， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴∠OEA＝∠CAE， ∴OE∥AC， ∵AC⊥PQ于点C， ∴∠OEP＝∠ACP＝90°， ∵OC是⊙O的直径，且PQ⊥OC， ∴直线PQ是⊙O的切线． （2）解：连接BE、CE，则∠B+∠ADE＝180°， ∵∠EDC+∠ADE＝180°， ∴∠B＝∠EDC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝∠ACE＝90°， ∴∠BAE＝∠CAE， ∵∠B＝90°﹣∠BAE＝90°﹣∠CAE＝∠AEC， ∴∠EDC＝∠AEC， ∵∠ECD＝∠ACE， ∴△ECD∽△ACE， ∴， ∴CD•AC＝EC2， ∵AD＝6，EC＝2， ∴CD（CD+6）＝22， 解得CD3或CD3（不符合题意，舍去）， ∴CD的长是3． 26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点． （1）求c的值及a，b满足的关系式； （2）抛物线经过两个不同的点M（p，n），N（﹣2﹣p，n），求a的值； （3）若抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围． 解：（1）将（0，﹣4）代入y＝ax2+bx+c得c＝﹣4， ∴y＝ax2+bx﹣4， 将（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4得0＝4a+2b﹣4． 整理得2a+b＝2． （2）∵抛物线经过M（p，n），N（﹣2﹣p，n）， ∴抛物线对称轴为直线x1， ∴b＝2a， ∴2a+b＝4a＝2， 解得a． （3）∵抛物线对称轴为直线x1， ∴当a＞0时，抛物线开口向上，10符合题意， 解得0＜a≤1， 当a＜0时，抛物线开口向下，12符合题意， 解得﹣1≤a＜0， ∴﹣1≤a≤1且a≠0． 27．从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将线段BC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到线段DC，取AD中点H，直线CH与直线BD交于点E，连接AE． 【感知特殊】 （1）如图1，当α＝30°时，小组探究得出：△AED为等腰直角三角形，请写出证明过程； 【探究一般】 （2）①如图2，当0°＜α＜90°时，试探究线段EA，EC，EB之间的数量关系并证明； ②当90°＜α＜180°时，直接写出线段EA，EC，EB之间的数量关系． 【应用迁移】 （3）已知，在线段DC的旋转过程中，当AE＝3时，求线段EC的长． （1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BCD＝α＝30°， ∴∠ACD＝120°， ∵CA＝CB＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA＝30°， ∵H是AD的中点， ∴CH垂直平分AD， ∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， 在△BCD中，CB＝CD，∠BCD＝30°， ∴∠CDB＝∠CBD＝75°， ∴∠EDA＝∠CDB﹣∠CDA＝75°﹣30°＝45°＝∠EAD， ∴∠AED＝180°﹣∠EDA﹣∠EAD＝90°， ∴△AED是等腰直角三角形； （2）解：①EA+EBEC，理由如下： 如图2.1，过点C作CF⊥CE，交直线BD与点F， ∴∠ECF＝∠ACB＝90°， ∴∠ECF﹣∠ECB＝∠ACB﹣∠ECB，即∠BCF＝∠ACE， 在四边形ACBE中，∠AEB＝∠ACB＝90°， ∴∠EAC+∠EBC＝360°﹣∠AEB﹣∠ACB＝180°， ∵∠FBC+∠EBC＝180°， ∴∠FBC＝∠EAC， 在△FBC和△EAC中， ∠FBC＝∠EAC BC＝AC ∠BCF＝∠ACE ∴△FBC≌△EAC（ASA）， ∴BF＝AE，CE＝CF， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EFEC； ∵EF＝EB+BF＝EB+EA， ∴EB+EAEC； ②EA﹣EBEC．理由如下： 如图2.2，过点C作CF⊥CE，交BD于点F， 由①得，△ECF是等腰直角三角形，EFEC，∠CEF＝∠CFE＝45°， ∴∠CFD＝∠CEB＝135°， ∵CB＝CD， ∴∠CBE＝CDF， 在△CBE和△CDF中， ∠CBE＝∠CDFB ∠CEB＝∠CFD BC＝DC ∴△CBE≌△CDF（AAS）， ∴EB＝DF， 由（1）得EA＝ED， ∴EA﹣EB＝ED﹣DF＝EFEC； （3）解：当 0°＜a＜90° 时，EB+EAEC，如图3.1， 在Rt△ACB中，AC＝BC， ∴ABAC， 在△AEB 中，AE＝3，， ∴EB1， ∴EC＝EB+EA＝1+5＝4， ∴EC＝2； Ⅱ．当 90°＜a＜180° 时，，如图3.2， 同理可得，EB＝1， ∴EC＝EA﹣EB＝5﹣1＝2， ∴EC； 综上所述，在线段DC的旋转过程中，EC＝2或． 28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为．对于平面内一点A，若存在边长为1的等边△ABC，满足点B在⊙O上，且OC≥OA，则称点A为⊙O的“近心点”，点C为⊙O的“远心点”． （1）下列各点：D（﹣3，0），，，中，⊙O的“近心点”有 　F，G　； （2）设点O与⊙O的“远心点”之间的距离为d，求d的取值范围； （3）直线分别交x，y轴于点M，M，且线段MN上任意一点都是⊙O的“近心点”，请直接写出b的取值范围． 解：（1）如图，观察图形可知， ∴⊙O的“近心点”有F，G， 答案：F，G； （2）如图，设点B在⊙O与x轴交点，即B（，0）， 根据题意，等边△ABC的顶点A，C在以B为圆心，以1为半径的圆上， 当O．B，C在同一直线上，即C也位于x轴上时， 点O与⊙O的“远心点“C之间的距离最大， 此时OC＝OB+BC1； 当A'C'⊥x轴时，点O与⊙O的“远心点”C之间的距离最小， 设A'C'与x轴交于点K， ∵BC'＝BA'， ∴A'K＝C'KA'C'， ∴BK， ∴OK＝OB﹣BK， ∴OC'1， 综上所述，点O与⊙O的“远心点“之间的距离d的取值范围为：1≤d1； （3）如图，设点B在⊙O与x轴交点，即B（，0）， 根据题意，等边△ABC的顶点A，C在以B为圆心，以1为半径的圆上， 当AC⊥x轴时，点O与⊙O的“近心点”A之间的距离最大， 设AC与x轴交于点G， ∵BC＝BA， ∴AG＝CGAC， ∴BG， ∴OG＝OB+BG， ∴OA， 当O．，A'，C'在同一直线上，即C也位于x轴上时， 点O与⊙O的“近心点”A之间的距离最小， 此时OA'＝OB+A'B1， 点O与⊙O的“近心点”之间的距离d的取值范围为l≤d； 对于直线yx+b， 令x＝0，则y＝b，即N（0，b）， 令y＝0，则有06，解得xb， M（b，0）； 如图， 当b取最大值时，有b，解得b， 当b取最小值时，过点O作OH⊥MN，垂足为H， 此时OH1， ∵M（b，0），N（0，b）， ∴OMb，ON＝b， ∴MN2b， ∵S△OMNOM•ONMN•OH， ∴b22b（1）， 解得b＝2或0（0舍去）， ∴b的取值范围为2b． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$