期中模拟卷02-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北京专用，人教版）

绝密★考试结束前 2024-2025学年九年级上学期期中模拟测试卷（北京专用） 数学 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列是一元二次方程的是（　　） A．x2+5＝0 B．2x+xy﹣6＝0 C．7x﹣9﹣y＝0 D． 3．点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3） 4．把二次函数yx2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式时，应为（　　） A．y（x﹣2）2+2 B．y（x﹣2）2+4 C．y（x+2）2+4 D．y＝﹣（x）2+3 5．将二次函数y＝x2﹣4x﹣1化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝（x+2）2+5 B．y＝（x+2）2﹣5 C．y＝（x﹣2）2+5 D．y＝（x﹣2）2﹣5 6．若关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k B．k C．k且k≠0 D．k且k≠0 7．已知点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）三点都在二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y1＞y3 8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），其顶点在线段AB上运动（形状保持不变），且A（﹣4，3），B（1，3），有下列结论：①c≤3；②当x＞0时，y随x的增大而减小；③若x2的最大值为4，则x1的最小值为﹣7．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（共16分，每题2分） 9．若关于x的方程是一元二次方程，则k＝　 　． 10．已知某函数图象当x＞1时，y随x的增大而减小，请你写出一个满足条件的二次函数解析式　 ． 11．已知﹣3是关于x的一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个解，则此方程的另一个解为 　 　． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，A′B′与AC相交于点D，当A′C∥AB时，CD的长度为 　 　． 13．将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为 　 　． 14．目前以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市计划经过两年时间，5G用户数从2021年底的500万增加到2023年底的720万，求该市5G用户数平均年增长率．设该市5G用户数平均年增长率为x，则可列方程为 　 　． 15．如图，将含有30°角的直角三角板放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA＝2，将三角板绕原点O旋转120°得到△OA1B1，则点A的对应点A1的坐标为 　 　． 16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB∥x轴，已知点C的纵坐标是3，将△ABC绕点A旋转90°得到△ADE，使点C恰好落在y轴负半轴点E处，若点C和点D关于原点O成中心对称，则点A的坐标 　 　． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17．解方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0． 18．已知抛物线y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）的顶点在y轴右侧． （1）求该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）； （2）试说明无论a为何值．该抛物线一定经过一个定点，并求出这个定点的坐标； （3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围． 19．如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，A，B，C三点都在格点上． （1）将△ABC绕O点顺时针旋转90°得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2，写出点B2的坐标． 20．已知关于x的方程x2+（2m﹣2）x+m（m﹣1）＝0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）设方程的两根分别为x1，x2（x1≠x2），若，求m的值． 21．如图，等边△ABC的边长是2，M是高CH所在直线上的一个动点．连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接MN． （1）在点M运动过程中，求线段MN长度的最小值； （2）连接NH，求NH的长的最小值． 22．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过不重合的三点A（﹣1，0），B（1，m），C（n，2），其对称轴为直线x＝t． （1）若m＝1，n＝0，则a 　 　0（填“＞”或“＜”）； （2）若m＝2，t＝﹣1，求此时二次函数的解析式； （3）当a＞0时，对于某个n，若存在1＜m＜2，使得﹣1＜t＜0成立，结合图象，直接写出n的取值范围． 23．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 24．如图，把矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG，使点E落在对角线BD上，连接DG，DF． （1）若∠BAE＝50°，则∠DAG＝　 　°； （2）求证：DF＝AB． 25．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．某次比赛的某起跳台的高度OA为64m，基准点K到起跳台的水平距离为72m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度为y（m），水平距离为x（m），它们之间满足二次函数关系． （1）若运动员飞行的水平距离为24m时，恰好起跳后达到最大高度76m，请你求出此时y与x之间的函数关系式； （2）若h＝21，在（1）的条件下，该运动员的落地点能否超过基准点K？ 26．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），连结BC． （1）求点C的坐标及此抛物线的表达式； （2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度； （3）当n≤x≤5时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围． 27．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． （1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B、C除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE 　 　（选择是或不是）等补四边形． （2）如图2，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四边形ABCD＝8，求BD的长． （3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝4，求四边形ABCD面积的最大值． 28．定义：在平面直角坐标系xOy中，点（m，n）是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点（m，n）的“派生函数”． 例如：图1是函数y＝x+1的图象，则它关于点（0，1）的“派生函数”的图象如图2所示，且它的“派生函数”的解析式为． （1）在图3中画出函数y＝x+1关于点（1，2）的“派生函数”的图象； （2）点M是函数H：y＝﹣x2+6x﹣8的图象上的一点，设点M的横坐标为m，H'是函数H关于点M的“派生函数”． ①当m＝1时，若函数值y'的范围是﹣3≤y'≤1，求此时自变量x的取值范围； ②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，2），C（﹣2，﹣2），D（2，﹣2）为顶点的正方形ABCD与函数H'的图象只有两个公共点时，m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★考试结束前 2024-2025学年九年级上学期期中模拟测试卷（北京专用） 数学 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； 答案：B． 2．下列是一元二次方程的是（　　） A．x2+5＝0 B．2x+xy﹣6＝0 C．7x﹣9﹣y＝0 D． 解：∵x2+5＝0是一元二次方程， ∴选项A符合题意； ∵2x+xy﹣6＝0是二元二次方程， ∴选项B不符合题意； ∵7x﹣9﹣y＝0是二元一次方程， ∴选项C不符合题意； ∵4x﹣6＝0是分式方程， ∴选项D不符合题意， 答案：A． 3．点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3） 解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，3）． 答案：D． 4．把二次函数yx2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式时，应为（　　） A．y（x﹣2）2+2 B．y（x﹣2）2+4 C．y（x+2）2+4 D．y＝﹣（x）2+3 解：yx2﹣x+3（x2+4x+4）+1+3（x+2）2+4． 答案：C． 5．将二次函数y＝x2﹣4x﹣1化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝（x+2）2+5 B．y＝（x+2）2﹣5 C．y＝（x﹣2）2+5 D．y＝（x﹣2）2﹣5 解：y＝x2﹣4x﹣1＝x2﹣4x+4﹣5 ＝（x﹣2）2﹣5． 答案：D． 6．若关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k B．k C．k且k≠0 D．k且k≠0 解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×（﹣1）≥0且k≠0， 解得k且k≠0， 答案：C． 7．已知点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）三点都在二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y1＞y3 解：y＝﹣x2﹣2x+m＝﹣（x+1）2+m+1， 抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，开口向下， 而点A（﹣1，y1）在对称轴上，点C（2，y3）离对称轴最远， 所以y1＞y2＞y3． 答案：A． 8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），其顶点在线段AB上运动（形状保持不变），且A（﹣4，3），B（1，3），有下列结论：①c≤3；②当x＞0时，y随x的增大而减小；③若x2的最大值为4，则x1的最小值为﹣7．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），且抛物线顶点在线段AB上运动（形状保持不变），A（﹣4，3），B（1，3）， ∴抛物线的函数值有最大值3， ∴c≤3， 故①正确； ∵抛物线顶点在线段AB上运动（形状保持不变），且A（﹣4，3），B（1，3）， ∴抛物线对称轴在直线x＝﹣4和直线x＝1之间， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小， 故②错误； ∵x2的最大值为4， ∴此时对称轴为直线x＝1， ∴由对称性可知，x1的最小值为﹣4﹣（4﹣1）＝﹣7， 故③正确； 答案：C． 二、填空题（共16分，每题2分） 9．若关于x的方程是一元二次方程，则k＝　﹣2　． 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴k﹣2≠0且k2﹣2＝2， 解得k＝﹣2． 答案：﹣2． 10．已知某函数图象当x＞1时，y随x的增大而减小，请你写出一个满足条件的二次函数解析式 　y＝﹣（x﹣1）2（答案不唯一）　． 解：根据题意可得，在直线x＝1的左边，y随x的增大而减小，则二次函数开口向下，且对称轴在直线x＝1的左边，或与直线x＝1重合， ∴满足条件的一个二次函数解析式为：y＝﹣（x﹣1）2（答案不唯一）． 答案：y＝﹣（x﹣1）2（答案不唯一）． 11．已知﹣3是关于x的一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个解，则此方程的另一个解为 　x＝﹣1　． 解：由一元二次方程根与系数的关系可得x1x2＝3， ∵x＝﹣3为方程的解， ∴﹣3x＝3， ∴x＝﹣1为方程另一个解． 答案：x＝﹣1． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，A′B′与AC相交于点D，当A′C∥AB时，CD的长度为 　2.5　． 解：∵A′C∥AB， ∴∠A'CD＝∠A， ∵△A′B′C由△ABC绕点C顺时针旋转得到， ∴∠A'＝∠A，∠A'CB'＝∠ACB＝90°，A'B'＝AB， ∴∠ACD＝∠A'，∠B'＝90°﹣∠A'，∠DCB'＝90°﹣∠A'CD， ∴DC＝DA'，∠B'＝∠DCB'， ∴DC＝DB‘ ∴DCA'B'AB， 在Rt△ABC中， ∵AC＝4，BC＝3， ∴由勾股定理，得AB5， ∴CD＝2.5． 答案：2.5． 13．将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为 　y＝﹣2（x﹣2）2　． 解：将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移2个单位长度所得直线解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+1； 再向下平移1个单位为：y＝﹣2（x﹣2）2． 答案：y＝﹣2（x﹣2）2． 14．目前以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市计划经过两年时间，5G用户数从2021年底的500万增加到2023年底的720万，求该市5G用户数平均年增长率．设该市5G用户数平均年增长率为x，则可列方程为 　500（1+x）2＝720　． 解：依题意得：500（1+x）2＝720， 答案：500（1+x）2＝720． 15．如图，将含有30°角的直角三角板放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA＝2，将三角板绕原点O旋转120°得到△OA1B1，则点A的对应点A1的坐标为 　或（0，﹣2）　． 解：①当三角板绕原点O旋转逆时针旋转120°时，如图，过点A1作A1C⊥x轴于点C， 由旋转可知∠AOA1＝120°，OA1＝OA＝2， ∵∠AOB＝30°， ∴∠A1OC＝180°﹣∠AOA1﹣∠AOB＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴， ∴， ∴； ②当三角板绕原点O旋转顺时针旋转120°时，如图． 由旋转可知∠AOA1＝120°，OA1＝OA＝2， ∵∠AOB＝30°， ∴∠A1OB＝∠AOA1﹣∠AOB＝120°﹣30°＝90°， ∴点A1在y轴上， ∴A1（0，﹣2）． 综上可知点A的对应点A1的坐标为或（0，﹣2）． 答案：或（0，﹣2）． 16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB∥x轴，已知点C的纵坐标是3，将△ABC绕点A旋转90°得到△ADE，使点C恰好落在y轴负半轴点E处，若点C和点D关于原点O成中心对称，则点A的坐标 　（﹣2，1）　． 解：∵△ABC绕点A旋转△ADE， ∴△ABC≌△ADE， ∴∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝AD，BC＝DE， ∵AB∥x轴， ∴CB∥y轴， 设C点坐标为（a，3）， ∵点C和点D关于原点成中心对称， ∴D点坐标为（﹣a，﹣3）， ∴DE＝BC＝a， ∴B点坐标为（a，3﹣a）， A点坐标为（﹣a，3﹣a）， ∴AD＝AB＝3﹣a﹣（﹣3）＝a﹣（﹣a）＝2a， ∴3﹣a﹣（﹣3）＝2a， 解得a＝2， ∴点A的坐标为（﹣2，1）． 答案：（﹣2，1）． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17．解方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0． 解：（1）x2﹣2x﹣1＝0， x2﹣2x+1＝2， （x﹣1）2＝2， x﹣1＝±， 所以x1＝1，x2＝1； （2）x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x+3）＝0， x﹣1＝0或x+3＝0， 所以x1＝1，x2＝﹣3． 18．已知抛物线y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）的顶点在y轴右侧． （1）求该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）； （2）试说明无论a为何值．该抛物线一定经过一个定点，并求出这个定点的坐标； （3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围． 解：（1）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a＝﹣（x根据顶点坐标公式可得， 顶点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴该二次函数图象的顶点坐标为（，）； （2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a＝﹣[x2﹣（a﹣1）x﹣a]＝﹣（x+1）（x﹣a）， ∴该抛物线一定经过定点（﹣1，0）； （3）∵二次函数图象顶点在y轴右侧， ∴， ∴a＞1， 设二次函数图象与x轴交点分别为C，D，C在D左侧， 令y＝0，则﹣（x+1）（x﹣a）＝0， ∴x＝﹣1或a， ∴C（﹣1，0），D（a，0）， ∴CD＝a+1， ∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0， ∴A在CD上方， ∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，如图， ∴CD≤3， ∴a+1≤3， ∴a≤2， ∴1＜a≤2． 备注：a的范围还可以详述为： 由题意得：a＞1， 由n＞0得：﹣1＜m＜a， 则2＜m+3＜a+3， ∵抛物线和x＝m+3的交点在x轴的下方， 故m+3＞a， 即当m+3＞2时，都有m+3＞a成立， 故a≤2， 故1＜a≤2． 19．如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，A，B，C三点都在格点上． （1）将△ABC绕O点顺时针旋转90°得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2，写出点B2的坐标． 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． 点B2的坐标为（3，0）． 20．已知关于x的方程x2+（2m﹣2）x+m（m﹣1）＝0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）设方程的两根分别为x1，x2（x1≠x2），若，求m的值． 解：（1）据题意可得，Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣2）2﹣4m（m﹣1）＝﹣4m+4＞0， ∴m＜1； （2）由根与系数的关系可得，x1+x2＝2﹣2m，x1x2＝m（m﹣1）， ∴， 解得，m＝1或﹣4， ∵x1≠x2， ∴m＜1， ∴m＝﹣4． 21．如图，等边△ABC的边长是2，M是高CH所在直线上的一个动点．连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接MN． （1）在点M运动过程中，求线段MN长度的最小值； （2）连接NH，求NH的长的最小值． 解：（1）由旋转的特性可知：BM＝BN， ∵∠MBN＝60°， ∴△BMN为等边三角形， ∴MN＝BM， ∵M是高CH所在直线上的一个动点， ∴当BM⊥CH时，MN最短， ∵△ABC为等边三角形，AB＝BC＝CA＝2， ∴当点M和点H重合时，MN最短，； （2）取BC的中点G，连接MG，如图， ∵旋转角为60°， ∴∠MBH+∠HBN＝60°， ∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°， ∴∠GBM＝∠HBN， ∵CH是等边△ABC的对称轴， ∴， ∴HB＝BG， ∵MB旋转到BN， ∴BM＝BN， ∴△MBG≌△NBH（SAS）， ∴MG＝HN， 根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短， 此时，， ∴， ∴NH＝0.5． 22．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过不重合的三点A（﹣1，0），B（1，m），C（n，2），其对称轴为直线x＝t． （1）若m＝1，n＝0，则a 　＜　0（填“＞”或“＜”）； （2）若m＝2，t＝﹣1，求此时二次函数的解析式； （3）当a＞0时，对于某个n，若存在1＜m＜2，使得﹣1＜t＜0成立，结合图象，直接写出n的取值范围． 解：（1）当m＝1，n＝0时， ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（1，1）、C（0，2）三点， ∴，解得， 故a＜0； （2）当m＝2，t＝﹣1时， ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（1，2）两点，且对称轴t＝﹣1， ∴，解得， ∴二次函数解析式为； （3）由题意得：二次函数y＝ax2+bx+c开口向上，且经过点A（﹣1，0）、B（1，m）（1＜m＜2），且对称轴﹣1＜t＜0，点C为二次函数与直线y＝2的交点，根据二次函数的图象和性质可知：当m＝2时，与直线y＝2的交点为（1，2），此时点B与点C重合，最左端的点n＝1不能取到，即n＞1；当m＝1且二次函数与x轴只有A（﹣1，0）一个交点时，与直线y＝2的交点在右端，此时A（﹣1，0），B（1，1），对称轴为直线x＝﹣1，则： ，解得， ∴二次函数的解析式变形为：， ∵二次函数经过点C（n，2）， ∴， 解得：，（舍去）， ∴最右端的点C（，2）， 同理，此时的最右端不能取到，即n， 综上所述：1＜n， 答案：1＜n． 23．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函表格可知： ， 解得：， 故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+60； （2）根据题意得： （x﹣10）（﹣2x+60）＝192， 解得：x1＝18，x2＝22 又∵10≤x≤19， ∴x＝18， 答：销售单价应为18元． （3）w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200 ∵a＝﹣2＜0， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线 x＝20， ∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大， ∴当 x＝19 时，w有最大值，w最大＝198． 答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元． 24．如图，把矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG，使点E落在对角线BD上，连接DG，DF． （1）若∠BAE＝50°，则∠DAG＝　50　°； （2）求证：DF＝AB． （1）解：∵矩形ABCD和矩形AEFG， ∴∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAD﹣∠EAD＝∠EAG﹣∠EAD， ∴∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAE＝50°， ∴∠DAG＝50°， 答案：50； （2）证明：连接AF， 由旋转的性质可知，矩形ABCD≌矩形AEFG， ∴AF＝BD，∠FAE＝∠ABD，AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴∠FAE＝∠AEB， ∴AF∥BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF＝AB； 25．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．某次比赛的某起跳台的高度OA为64m，基准点K到起跳台的水平距离为72m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度为y（m），水平距离为x（m），它们之间满足二次函数关系． （1）若运动员飞行的水平距离为24m时，恰好起跳后达到最大高度76m，请你求出此时y与x之间的函数关系式； （2）若h＝21，在（1）的条件下，该运动员的落地点能否超过基准点K？ 解：（1）∵运动员飞行的水平距离为24m时，恰好达到最大高度76m， ∴抛物线的顶点为（24，76）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣24）2+76， 把（0，64）代入得：64＝a（0﹣24）2+76， 解得a， ∴y与x之间的函数关系式为y（x﹣24）2+76； （2）当x＝72时，y（72﹣24）2+76＝28＞21， ∴该运动员的落地点能超过基准点K． 26．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），连结BC． （1）求点C的坐标及此抛物线的表达式； （2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度； （3）当n≤x≤5时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围． 解：（1）∵对称轴为直线 x＝2， ∴， ∴b＝﹣4， ∵抛物线 y＝x2﹣4x+c 与y轴交于C点，A（1，0）代入得： ∴c＝3， ∴抛物线的解析式为 y＝x2﹣4x+3， 由抛物线的表达式知，点C（0，3）； （2）∵B（﹣3，0），C（0，3）， ∴△BOC是等腰直角三角形， 则∠CBO＝45°， ∵直线BD和直线BC的夹角为 15°， ∴∠DBO＝30° 或∠DBO＝60°， 在Rt△BOD中， ∵BO＝3， 当∠DBO＝30° 时，如图1所示： 则， 则； 当∠DBO＝60° 时，如图2所示： ， ， ∴CD的长度为 或 ； （3）当x＝n和x＝5在对称轴两侧时， 此时，抛物线在x＝2时，取得最小值， 当x＝n和x＝5关于x＝2对称时，最大值相等且为定值，即x＝5时，y的值为最大值， 此时，函数的最大值与最小值的差是一个定值， 此时n＝﹣1， 即﹣1≤n≤2，函数的最大值与最小值的差是一个定值． 27．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． （1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B、C除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE 　是　（选择是或不是）等补四边形． （2）如图2，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四边形ABCD＝8，求BD的长． （3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝4，求四边形ABCD面积的最大值． 解：（1）由旋转得：AD＝AE，∠ADB＝∠AEC， ∵∠ADC+∠ADB＝180°， ∴∠ADC+∠AEC＝180°， ∴四边形ADCE是等补四边形． 答案：是； （2）如图2，∵∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴将△BAD绕点B顺时针旋转90°得△BCG， ∴∠BAD＝∠BCG，BD＝BG，∠DBG＝90°， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠BCD+∠BCG＝180°， ∴D、C、G三点共线， ∵S四边形ABCD＝8， ∴S△BDG＝8， ∴BD2＝8， ∴BD＝4（负值舍去）； （3）∵AB＝BC， ∴将△BCD绕点B逆时针旋转∠ABC的大小，得△BAE，如图3， ∴BD＝BE＝4，∠BAE＝∠C，S△ABE＝S△BCD， ∵∠BAD+∠C＝180°， ∴∠BAD+∠BAE＝180°， ∴A、D、E三点共线， ∴S四边形ABCD＝S△BDE， 当BD⊥BE时，△BDE的面积最大，S△BDE4×4＝8． ∴四边形ABCD面积的最大值为8． 28．定义：在平面直角坐标系xOy中，点（m，n）是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点（m，n）的“派生函数”． 例如：图1是函数y＝x+1的图象，则它关于点（0，1）的“派生函数”的图象如图2所示，且它的“派生函数”的解析式为． （1）在图3中画出函数y＝x+1关于点（1，2）的“派生函数”的图象； （2）点M是函数H：y＝﹣x2+6x﹣8的图象上的一点，设点M的横坐标为m，H'是函数H关于点M的“派生函数”． ①当m＝1时，若函数值y'的范围是﹣3≤y'≤1，求此时自变量x的取值范围； ②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，2），C（﹣2，﹣2），D（2，﹣2）为顶点的正方形ABCD与函数H'的图象只有两个公共点时，m的取值范围． 解：（1）函数y＝x+1在x＞1的部分任取一点（2，3），其关于直线x＝1的对称点为（0，3）， 设函数y＝x+1图象关于x＝1对称的部分的图象解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将（1，2），（0，3）代入解析式，得：， 解得：， ∴“派生函数”的解析式为， ∴其图象如图所示， （2）①∵函数H：y＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+1， ∴其顶点坐标为（3，1）． ∵点（3，1）关于直线x＝1的对称点坐标为（﹣1，1）， ∴函数H关于直线x＝1对称的图象的解析式为：y＝﹣（x+1）2+1＝﹣x2﹣2x， ∴H'的解析式为， ∴其图象如图． 令y'＝﹣3，则， 解得：x1＝﹣3，x2＝1． ∵﹣3≤y'≤1， ∴结合图象可知此时﹣3≤x≤5； ②函数H：y＝﹣（x﹣3）2+1的顶点坐标为（3，1）， 点（3，1）关于x＝m对称的点的坐标为（2m﹣3，1）， ∴函数H：y＝﹣x2+6x﹣8关于x＝m对称的函数解析式为y＝﹣（x﹣2m+3）2+1， ∴H'的解析式为， ∴函数H'中y'＝﹣（x﹣2m+3）2+1的部分只是由y＝﹣（x+1）2+1左右平移而来． 分类讨论：当函数H'中y'＝﹣（x﹣2m+3）2+1经过点D时，如图，此时正方形ABCD与函数H'的图象有1个公共点，即再往左移动即有2个公共点． 将（2，﹣2）代入y'＝﹣（x﹣2m+3）2+1，得﹣2＝﹣（2﹣2m+3）2+1， 解得：， ∵此时2m﹣3＞2， ∴， ∴； 当函数H'中y'＝﹣（x﹣2m+3）2+1的图象移动到如图所示的位置时，恰有3个交点，即到达此位置之前都为2个交点，此时yM＝﹣2． 将yM＝﹣2代入y'＝﹣x2+6x﹣8，即﹣x2+6x﹣8＝﹣2 解得：（舍）， ∴， 再将代入y'＝﹣（x﹣2m+3）2+1，得：， 解得：． ∵此时2m﹣3＜0， ∴， ∴， ∴当时，正方形ABCD与函数H'的图象有2个公共点； 当函数H'中y'＝﹣（x﹣2m+3）2+1的图象继续移动到经过C点时，此时有3个交点，再继续运动有2个交点． ∴将（﹣2，﹣2）代入y'＝﹣（x﹣2m+3）2+1，得﹣2＝﹣（﹣2﹣2m+3）2+1， 解得：，． ∵此时2m﹣3＜﹣2， ∴， ∴， ∴当时，正方形ABCD与函数H'的图象有2个公共点； 综上可知正方形ABCD与函数H'的图象只有两个公共点时，m的取值范围是或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$