期中模拟卷01-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（北京专用，人教版）

绝密★考试结束前 2024-2025学年八年级上学期期中模拟测试卷（北京专用） 数学 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 3．将一副三角板按图中方式叠放，则∠AOB等于（　　） A．90° B．105° C．120° D．135° 4．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，则第三边的最大值为（　　） A．6 B．7 C．9 D．10 5．若一个多边形的每一个外角都是30°，则这个多边形的内角和等于（　　） A．1440° B．1620° C．1800° D．1980° 6．如图，在△ABC中，若AB＝AC，AB＝BD，∠CAD＝24°，则∠C的度数为（　　） A．45° B．52° C．44° D．50° 7．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝18°，则∠DFB的度数为（　　） A．40° B．44° C．50° D．54° 8．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，AD＜AB，∠BAC＝∠DAE＝49°，连接CE，BD，延长BD交CE于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②AD＝BD；③∠BFC＝49°；④AF平分∠BFE．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（共16分，每题2分） 9．已知点A（a，﹣2）与点B（3，b）关于x轴对称，则a+b＝　 　． 10．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第　 　块去，这利用了三角形全等中的　 　原理． 11．如果等腰三角形的一边长为10，另一边长为3，那么这个等腰三角形的周长为　 　． 12．如图，△ABC≌△DBE，点A、C的对应点分别是点D、E，点D在边BC上，如果∠ABC＝30°，那么∠BCE＝　 　度． 13．如图，∠1＝∠2，请添加一个条件使△ABC≌△ABD：　 　． 14．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，3），点B（﹣1，0），点D（2，3），点C在x轴上．若CD＝AB，则点C的坐标为 　 　． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝15，AC＝9，则点D到AB的距离是 　 　． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等边三角形，点A（0，6），点B，C在x轴上，Q是y轴上一点． （1）∠CAO＝　 　°； （2）点P从点A出发，先沿y轴到达点Q，再沿QB到达点B后停止运动，点P在y轴上运动的速度是它在直线QB上运动的速度的2倍，若点P按上述要求到达点B所用时间最短，则点Q的坐标为 　 　． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17．如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm． （1）求△ABD与△ACD的周长差． （2）点E在边AB上，连接ED，若△BDE与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长． 18．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，∠ADB＝∠ABD．BE是△ABD中AD边上的高线，延长BE交AC于点F．设∠ABC＝α，∠ACB＝β． （1）当α＝70°时，∠ABF的度数为 　 　； （2）求∠AFB的度数（用含α、β的式子表示）； （3）若∠AFB＝∠BAF，求β的值． 19．如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE． （1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由． （2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明． 20．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）． （1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1； （2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2； （3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB． 21．如图①：△ABC中，∠A＝∠ABC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH． （1）求证：△AEF≌△BGH； （2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长． 22．如图，四边形ABCD中，AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，且AE⊥DF于点O．延长DF交AB的延长线于点M． （1）求证：AB∥DC； （2）若∠MBC＝120°，∠BAD＝108°，求∠C，∠DFE的度数． 23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E．如果BD＝2，求DE的长． 24．如图，D是AC的中点，ED⊥AC，∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的度数． 25．作图并回答问题 已知，如图，点P在∠AOB的边OA上． （1）过点P作OA边的垂线l； （2）过点P作OB边的垂线段PD； （3）过点O作PD的平行线交l于点E，比较OP，PD，OE三条线段的大小，并用“＞”连接得　 　，得此结论的依据是　 　． 26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，如果BC＝4，求DE的长． 27．如图，直线AB，CD交于点O，点E是∠BOC平分线的一点，点M，N分别是射线OA，OC上的点，且ME＝NE． （1）求证：∠MEN＝∠AOC； （2）点F在线段NO上，点G在线段NO延长线上，连接EF，EG，若EF＝EG，依题意补全图形，用等式表示线段NF，OG，OM之间的数量关系，并证明． 28．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s， （1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时△PBQ是直角三角形？ （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★考试结束前 2024-2025学年八年级上学期期中模拟测试卷（北京专用） 数学 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 答案：D． 2．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 解：A、图形中，线段BE不是△ABC的高，不符合题意； B、图形中，线段BE不是△ABC的高，不符合题意； C、图形中，线段BE是△ABC的高，符合题意； D、图形中，线段BE不是△ABC的高，不符合题意； 答案：C． 3．将一副三角板按图中方式叠放，则∠AOB等于（　　） A．90° B．105° C．120° D．135° 解：根据三角板可得∠1＝45°，∠2＝30°， 则∠3＝∠1+∠2＝45°+30°＝75°， 故∠AOB＝180°﹣75°＝105°， 答案：B． 4．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，则第三边的最大值为（　　） A．6 B．7 C．9 D．10 解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：7﹣3＜a＜3+7，即4＜a＜10． ∵a为整数， ∴a的最大值为9． 答案：C． 5．若一个多边形的每一个外角都是30°，则这个多边形的内角和等于（　　） A．1440° B．1620° C．1800° D．1980° 解：∵多边形的每一个外角等于30°360°÷30°＝12， ∴这个多边形是12边形； 其内角和＝（12﹣2）•180°＝1800°． 答案：C． 6．如图，在△ABC中，若AB＝AC，AB＝BD，∠CAD＝24°，则∠C的度数为（　　） A．45° B．52° C．44° D．50° 解：设∠C＝x°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝x°， ∵AB＝BD， ∴∠BAD＝∠ADB（90x）°， ∵∠B+∠BAC+∠C＝180°， ∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C＝180°， ∴x+90x+24+x＝180， 解得：x＝44， ∴∠C＝44°， 答案：C． 7．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝18°，则∠DFB的度数为（　　） A．40° B．44° C．50° D．54° 解：如图： ∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD， ∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2， 设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y， 由外角的性质得：∠1＝∠BAE+∠G＝x+18，∠2∠ABD（2x+y）＝xy， ∴x+18＝xy， 解得：y＝36°， ∴∠1＝∠2（180°﹣∠ABC）（180°﹣108°）＝36°， ∵AD⊥DC， ∴∠D＝90°， ∴∠DFB＝90°﹣∠2＝54°． 答案：D． 8．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，AD＜AB，∠BAC＝∠DAE＝49°，连接CE，BD，延长BD交CE于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②AD＝BD；③∠BFC＝49°；④AF平分∠BFE．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 解：∵∠BAC＝∠DAE＝49°， ∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，故①符合题意； ∴∠ABD＝∠ACE， 如图，记AC，BF的交点为O， ∵∠AOB＝∠COF， ∴∠BFC＝∠BAO＝49°，故③符合题意； ∵D在BF上可以是个动点，仍然满足△ADE中AD＝AE，∠DAE＝49°， ∴AD不一定等于BD，故②不符合题意； 如图，作AK⊥BD于K，作AH⊥CE于H． ∵△BAD≌△CAE， ∴由全等三角形的对应高相等可得：AK＝AH， ∵AF＝AF，∠AKF＝∠AHE＝90°， ∴Rt△AFK≌Rt△AFH， ∴∠AFD＝∠AFE， ∴FA平分∠BFE，故④符合题意； 答案：B． 二、填空题（共16分，每题2分） 9．已知点A（a，﹣2）与点B（3，b）关于x轴对称，则a+b＝　5　． 解：∵点A（a，﹣2）与点B（3，b）关于x轴对称， ∴a＝3，b＝2， 则a+b＝3+2＝5． 答案：5． 10．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第　2　块去，这利用了三角形全等中的　ASA　原理． 解：由图可知，带第2块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 答案：2；ASA． 11．如果等腰三角形的一边长为10，另一边长为3，那么这个等腰三角形的周长为　23　． 解：分两种情况： 当腰为3时，3+3＜10，所以不能构成三角形； 当腰为10时，3+10＞10，所以能构成三角形，周长是：3+10+10＝23． 答案：23． 12．如图，△ABC≌△DBE，点A、C的对应点分别是点D、E，点D在边BC上，如果∠ABC＝30°，那么∠BCE＝　75　度． 解：∵△ABC≌△DBE， ∴∠CBE＝∠ABC＝30°，BC＝BE， ∴∠BCE＝∠BEC（180°﹣30°）＝75°． 答案：75． 13．如图，∠1＝∠2，请添加一个条件使△ABC≌△ABD：　AD＝AC　． 解：∵∠1＝∠2，AB＝AB， ∴若添加条件AD＝AC，则△ABC≌△ABD（SAS）， 若添加条件∠D＝∠C，则△ABC≌△ABD（AAS）， 若添加条件∠ABD＝∠ABC，则△ABC≌△ABD（ASA）， 答案：AD＝AC． 14．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，3），点B（﹣1，0），点D（2，3），点C在x轴上．若CD＝AB，则点C的坐标为 　（1，0）或（3，0）　． 解：∵点A（﹣2，3），点B（﹣1，0）， ∴点A关于直线x＝﹣2的对称点为E（3，0）， 连接AE，则AB＝AE， ∵点A（﹣2，3），点D（2，3）， ∴点A、D关于y轴对称， ∴点B、点E关于y轴的对称点为（1，0）和（3，0）， ∴若点C为（1，0）或（3，0）时，AB＝CD， ∴若CD＝AB，则点C的坐标为（1，0）或（3，0）． 答案：（1，0）或（3，0）． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝15，AC＝9，则点D到AB的距离是 　4.5　． 解：过D作DH⊥AB于H， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴DH＝DC， ∵∠C＝90°，AB＝15，AC＝9， ∴BC12， ∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积， ∴AC•BCAC•CDAB•DH， ∴12×9＝（9+15）DH， ∴DH＝4.5， ∴点D到AB的距离是4.5． 答案：4.5． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等边三角形，点A（0，6），点B，C在x轴上，Q是y轴上一点． （1）∠CAO＝　30　°； （2）点P从点A出发，先沿y轴到达点Q，再沿QB到达点B后停止运动，点P在y轴上运动的速度是它在直线QB上运动的速度的2倍，若点P按上述要求到达点B所用时间最短，则点Q的坐标为 　（0，2）　． 解：（1）∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC， ∴∠CAO＝∠BAO＝30°， 答案：30； （2）如图，过点Q作QH⊥AC于H， 设点P在y轴的速度为x，则点P在BQ上的速度为x， ∴点P到达点B所用时间（AQ+BQ）， ∴当AQ+BQ有最小值时，点P到达点B所用时间最短， ∵∠OAC＝30°， ∴QHAQ， ∴AQ+BQ＝QH+BQ， ∴当点Q，点B，点H三点共线时，AQ+BQ有最小值为BH的长， ∴BH⊥AC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABQ＝∠HBC＝30°， ∴BQ＝2QO，∠ABQ＝∠BAQ＝30°， ∴AQ＝BQ， ∴AQ＝2OQ， ∵点A（0，6）， ∴AO＝6， ∴OQ＝2， ∴点Q（0，2）， 答案：（0，2）； 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17．如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm． （1）求△ABD与△ACD的周长差． （2）点E在边AB上，连接ED，若△BDE与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长． 解：（1）△ABD的周长＝AB+BD+AD，△ACD的周长＝AC+CD+AD， ∵AD是中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD与△ACD的周长差：（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝4（cm）； （2）由图可知： △BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE， 又∵△BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D是BC的中点， ∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE， ∴BE＝AE+AC， 又∵AB＝10cm，AC＝6cm，BE＝AB﹣AE， ∴AE+AC＝AB﹣AE， ∴10﹣AE＝AE+6， ∴AE＝2cm． 18．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，∠ADB＝∠ABD．BE是△ABD中AD边上的高线，延长BE交AC于点F．设∠ABC＝α，∠ACB＝β． （1）当α＝70°时，∠ABF的度数为 　50°　； （2）求∠AFB的度数（用含α、β的式子表示）； （3）若∠AFB＝∠BAF，求β的值． 解：（1）∵BE是△ABD中AD边上的高线， ∴∠BED＝90°， ∵∠ABC＝∠ADB＝70°， ∴∠DBE＝90°﹣70°＝20°， ∴∠ABF＝∠ABD﹣∠DBE＝140°﹣90°＝50°， 答案：50°； （2）∵BE是△ABD中AD边上的高线， ∴∠BED＝90°， ∵∠ABC＝∠ADB＝α， ∴∠DBE＝90°﹣α， ∴∠ABF＝∠ABD﹣∠DBE＝2α﹣90°， ∵∠ABC＝α，∠ACB＝β， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣α﹣β， ∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAF＝180°﹣（2α﹣90°）﹣（180°﹣α﹣β）＝90°﹣α+β； （3）由（2）知，∠BAC＝180°﹣α﹣β，∠AFB＝90°﹣α+β； ∵∠AFB＝∠BAF， ∴180°﹣α﹣β＝90°﹣α+β， ∴β＝45°． 19．如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE． （1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由． （2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明． （1）解：DE＝CE+BC． 理由：∵△ABC≌△DAE， ∴AE＝BC，DE＝AC． ∵A，E，C三点在同一直线上， ∴AC＝AE+CE， ∴DE＝CE+BC； （2）当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC， 证明：∵△ABC≌△DAE，∠AED＝90°， ∴∠C＝∠AED＝90°，∠DEC＝180°﹣∠AED＝90°， ∴∠C＝∠DEC． ∴DE∥BC， 即当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC． 20．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）． （1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1； （2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2； （3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB． 解：（1）线段A1B1如图所示； （2）线段A2B2如图所示； （3）直线MN即为所求． 21．如图①：△ABC中，∠A＝∠ABC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH． （1）求证：△AEF≌△BGH； （2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长． （1）证明：∵∠A＝∠ABC，∠ABC＝∠GBH， ∴∠A＝∠GBH． ∵EF⊥AB，GH⊥AB， ∴∠AFE＝∠BHG． 在△ADG和△CDF中， ， ∴△AEF≌△BGH（AAS）． （2）解：∵△AEF≌△BGH， ∴AF＝BH， ∴AB＝FH＝4． ∵EF⊥AB，GH⊥AB， ∴∠EFD＝∠GHD． 在△EFD和△GHD中， ， ∴△EFD≌△GHD（AAS）， ∴． 22．如图，四边形ABCD中，AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，且AE⊥DF于点O．延长DF交AB的延长线于点M． （1）求证：AB∥DC； （2）若∠MBC＝120°，∠BAD＝108°，求∠C，∠DFE的度数． 解：（1）证明：∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线， ∴∠DAE＝2∠EAB，∠ADC＝2∠ADF， ∵AE⊥DF， ∴∠AOD＝90°． ∴∠DAE+∠ADF＝90°， ∴∠BAD+∠ADC＝2（∠DAE+∠ADF）＝180°， ∴AB∥DC； （2）∵AB∥DC， ∴∠C＝∠MBC． ∵∠MBC＝120°， ∴∠C＝120°， ∵∠BAD＝108°， ∴∠ADC＝72°， ∴， ∴∠DFE＝180°﹣（∠C+∠CDF）＝24°． 23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E．如果BD＝2，求DE的长． 解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°，AB＝2BC， ∵CD⊥AC， ∴∠A＝∠DCB＝30°， ∴BC＝2BD＝4， ∴AB＝2BC＝8， ∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6， ∵∠ACB＝90°，DE∥BC， ∴∠AED＝∠ACB＝90°， ∵∠A＝30° ∴DEAD＝3． 24．如图，D是AC的中点，ED⊥AC，∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的度数． 解：∵ED⊥AC， ∴∠ADE＝∠CDE＝90°， ∵D是AC的中点， ∴AD＝CD， 在△ADE和△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SAS）， ∴∠ACE＝∠CAE， ∵∠B＝50°，∠BAC＝21°， ∴∠CAE＝∠ACE＝∠B+∠BAC＝50°+21°＝71°． 25．作图并回答问题 已知，如图，点P在∠AOB的边OA上． （1）过点P作OA边的垂线l； （2）过点P作OB边的垂线段PD； （3）过点O作PD的平行线交l于点E，比较OP，PD，OE三条线段的大小，并用“＞”连接得　OE＞OP＞PD　，得此结论的依据是　垂线段最短　． 解：（1）如图，直线l即为所求作． （2）如图，线段PD即为所求作． （3）OE＞OP＞PD，理由：垂线段最短． 答案：OE＞OP＞PD，垂线段最短． 26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，如果BC＝4，求DE的长． 解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°，AB＝2BC， ∵CD⊥AC， ∴∠A＝∠DCB＝30°， ∴AB＝2BC＝8，BDBC＝2， ∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6， ∵∠ACB＝90°，DE∥BC， ∴∠AED＝∠ACB＝90°， ∵∠A＝30° ∴DEAD＝3． 27．如图，直线AB，CD交于点O，点E是∠BOC平分线的一点，点M，N分别是射线OA，OC上的点，且ME＝NE． （1）求证：∠MEN＝∠AOC； （2）点F在线段NO上，点G在线段NO延长线上，连接EF，EG，若EF＝EG，依题意补全图形，用等式表示线段NF，OG，OM之间的数量关系，并证明． （1）证明：作EP⊥OC于点P，EQ⊥OB于点Q，则∠EQM＝∠EPN＝∠OQE＝∠OPE＝90°， ∵OE平分∠BOC， ∴EQ＝EP， 在Rt△EQM和Rt△EPN中， ， ∴Rt△EQM≌Rt△EPN（HL）， ∴∠EMQ＝∠ENP， 设EM交ON于点I，则∠MIN＝∠EMQ+∠AOC＝∠ENP+∠MEN， ∴∠MEN＝∠AOC． （2）解：在线段NO和线段NO的延长线上分别取点F、点G，连接EF、EG，使EF＝EG， NF+OG＝OM， 证明：在OF上取一点R，使RP＝OP， ∵EF＝EG，EP⊥FG， ∴PF＝PG， ∴PF﹣RP＝PG﹣OP， ∴RF＝OG， 在Rt△OEP和Rt△OEQ中， ， ∴Rt△OEP≌Rt△OEQ（HL）， ∴OP＝OQ， ∴RP＝OQ， ∵Rt△EQM≌Rt△EPN， ∴QM＝PN， ∴NF+OG＝NF+RF＝PN﹣RP＝QM﹣OQ＝OM． 28．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s， （1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时△PBQ是直角三角形？ （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 解：（1）∠CMQ＝60°不变． ∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60° 又由条件得AP＝BQ， 在△ABQ和△CAP中， ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°． （2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t ①当∠PQB＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t； ②当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t； ∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形． （3）∠CMQ＝120°不变． ∵在等边三角形中，BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60° ∴∠PBC＝∠ACQ＝120°， 又由条件得BP＝CQ， 在△PBC和△QCA中， ， ∴△PBC≌△QCA（SAS） ∴∠BPC＝∠MQC 又∵∠PCB＝∠MCQ， ∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120° 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$