第11讲 正弦、余弦、正切-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（湘教版）

第11讲 正弦、余弦、正切 课程标准 学习目标 正弦、余弦、正切的概念及其关系 1.掌握正弦、余弦、正切的定义，知道求一个锐角的正弦、余弦、正切，并能熟练应用特殊角的锐角三角函数值进行计算 2.熟练运用正弦、余弦、正切之间的关系解题 知识点01 锐角的正弦 在直角三角形中,锐角α的对边与 的比叫作角α的正弦，记作sinα,即 【即学即练1】 把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【即学即练2】 正方形网格中，如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C 在上），则的值为（   ） A． B． C． D．1 知识点02 锐角的余弦 在直角三角形中,锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作cosα,即 【即学即练1】 如图，在中，，则的长度为 ． 方法技巧：当已知条件给出的是两条边的比时,通常根据比值引进一个参数求解. 知识点03 互为余角的余弦和正弦之间的关系 对于任意的锐角α: (1)cos α=sin(90°-α); (2)sinα=cos(90°-α). 【即学即练1】 下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 知识点04 锐角的正切 在直角三角形中,锐角α的对边与 的比叫作角α的正切，记作tan α,即 【即学即练1】 在Rt中，，则的正切值为（   ）． A． B． C． D． 方法技巧：求一个锐角的正切值,关键是构造这个锐角所在的直角三角形，然后找锐角的对边与邻边. 知识点05 特殊角的三角函数值 【即学即练1】 求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 题型01 求角的正弦值 【典例1】在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，是斜边上的中线，过点E作交于点F，若，的面积为5，则的正弦值为 ． 题型02 求角的余弦值 【典例1】在中，， ，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】在中，，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】在中，，则 ． 【变式3】在中，，则的值是 ． 题型03 特殊角三角函数值的混合运算 【典例1】计算： 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算：． 题型04 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例1】在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1】如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【变式2】在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【变式3】在中，若满足，则是 三角形． 题型05 求角的正切值 【典例1】如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，延长到D，，连接，得．根据此图可求得的结果 ． 【变式3】在中，连接AC，若，，则 ． 题型06 利用同角三角函数关系求值 【典例1】如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 【变式2】如果是锐角，，那么的大小为 ． 题型07 己知三角函数值求边长 【典例1】如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 【变式1】在Rt中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【变式3】如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 题型08 求证同角三角函数关系式 【典例1】如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 【变式1】在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，请验证的结论． 题型09 互余两角三角函数的关系 【典例1】比较和的大小（   ） A． B． C． D．不确定 【变式1】下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能（　　）（参考数据：，） A． B． C． D． 2．的值等于（ ） A．1 B． C． D． 3．中，，，则的值（ ） A． B． C． D． 4．如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，在矩形中，，平分，分别交、于点、，，则（    ） A． B．4 C． D． 10．中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为，为直角三角形中的较大锐角，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算 ． 12．计算： 13．如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 14．直角坐标系内，如果函数的图象经过点，那么 ． 15．在中，，，，则 ． 16．在矩形中，，，点P为的三等分点，连接，则 ． 17．如图，点A、B、C为正方形网格纸中的3个格点，则的值是 ． 18．比较大小（用连接），，， ． 三、解答题 19．计算： (1) (2)． 20．在中，，求： (1)； (2)当时，求BC的长． 21．如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)求证：； (2)若，，则的值是________． 22．如图方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点、、在小正方形的顶点上． (1)请以、为边画平行四边形，要求所画点在小正方形的顶点上； (2)请以、为边画一个面积为6的轴对称四边形，要求所画点在小正方形的顶点上； (3)连接，，直接写出的正切值． 23．如图，在四边形中，，，连接交于点，，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 正弦、余弦、正切 课程标准 学习目标 正弦、余弦、正切的概念及其关系 1.掌握正弦、余弦、正切的定义，知道求一个锐角的正弦、余弦、正切，并能熟练应用特殊角的锐角三角函数值进行计算 2.熟练运用正弦、余弦、正切之间的关系解题 知识点01 锐角的正弦 在直角三角形中,锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sinα,即 【即学即练1】 把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变． 【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变． 故选A． 【即学即练2】 正方形网格中，如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C 在上），则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出边上的格点，连接，利用勾股定理求出、、的长度，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据正弦的定义计算即可得解． 【详解】如图，为边上的格点，连接， 根据勾股定理，， ， ， 所以，， 所以，是直角三角形， ． 故选：B． 知识点02 锐角的余弦 在直角三角形中,锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作cosα,即 【即学即练1】 如图，在中，，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义可得据此计算求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：6． 方法技巧：当已知条件给出的是两条边的比时,通常根据比值引进一个参数求解. 知识点03 互为余角的余弦和正弦之间的关系 对于任意的锐角α: (1)cos α=sin(90°-α); (2)sinα=cos(90°-α). 【即学即练1】 下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴不一定小于等于1，故①错误； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：③④． 知识点04 锐角的正切 在直角三角形中,锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tan α,即 【即学即练1】 在Rt中，，则的正切值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，根据勾股定理求出，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：，，， ， ． 故选：A． 方法技巧：求一个锐角的正切值,关键是构造这个锐角所在的直角三角形，然后找锐角的对边与邻边. 知识点05 特殊角的三角函数值 【即学即练1】 求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了实数的运算； （1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （3）根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值计算即可得到结果． （4）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 题型01 求角的正弦值 【典例1】在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦：我们把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作进行计算即可．此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义． 【详解】解：，，， ∴， ， 故选：A． 【变式1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，角的正弦值，能够作出辅助线得到直角三角形是解题关键． 如图，取格点，可通过勾股定理算出三者长度，再通过勾股定理逆定理得到为直角三角形，进而通过正弦的定义即可解题． 【详解】解：取格点，通过勾股定理可算出 ，， 得到 ∴为直角三角形，且 ∴ 故选：A． 【变式2】如图，在中，，是斜边上的中线，过点E作交于点F，若，的面积为5，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得，进而得到，从而有，根据三角形的面积公式求出，由勾股定理，在中，求出，再求出，最后根据结合锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】如图，连接， ∵是斜边上的中线， ， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键． 题型02 求角的余弦值 【典例1】在中，， ，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握正弦和余弦的定义． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B．    【变式1】在中，，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数求出，然后利用三角形内角和定理求出，然后利用角的余弦值求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊三角函数值，利用求出，则即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， 故答案为：． 【变式3】在中，，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理、求锐角三角函数等知识．用勾股定理求出，再根据余弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， ∴， 故答案为： 题型03 特殊角三角函数值的混合运算 【典例1】计算： 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案． 【详解】解： 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键． （1）先运用特殊角的三角函数值以及绝对值化简，然后再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先运用特殊角的三角函数值以及绝对值化简，然后再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的性质化简，再算加减即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝． 题型04 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【典例1】在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 【变式1】如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此题的关键． 根据特殊角的三角函数值，直接得出，的角度即可解答． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形． 故选C． 【变式2】在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 【变式3】在中，若满足，则是 三角形． 【答案】等边/正 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；非负数的性质，等边三角形的判定．熟知特殊角的三角函数值是关键．先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值和，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：且 ， 则， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 题型05 求角的正切值 【典例1】如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，勾股定理，正正方形的性质，掌握正切的定义并构造直角三角形是本题的关键． 首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解． 【详解】解：取格点，连接．根据正方形的性质可得， 由勾股定理得，， ∴． 故选：A． 【变式1】已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点作轴，过点作轴，根据值的几何意义，得到，，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值，即可． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点分别在反比例函数与的图像上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【变式2】构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，延长到D，，连接，得．根据此图可求得的结果 ． 【答案】/ 【分析】可得是等腰直角三角形，设，由勾股定理得，则，故． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，由勾股定理得 ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了求角的正切值，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型． 【变式3】在中，连接AC，若，，则 ． 【答案】0.5或2 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．作于E，由平行四边形的面积求出，再由勾股定理求出，得出，即可得出结果． 【详解】解∶如图1，作于E， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图2，作，交的延长线于E， 同理可求，， ∴， ∴． 综上可知，的值为2或0.5． 故答案为：2或0.5． 题型06 利用同角三角函数关系求值 【典例1】如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键； 在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答； 【详解】，， ； 故选：B． 【变式1】如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．根据，可得，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ，故②正确；故③错误； ∵， ∴故④正确； 故答案为①②④． 【变式2】如果是锐角，，那么的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系，根据互余关系，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 题型07 己知三角函数值求边长 【典例1】如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了正弦与余弦、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握正弦与余弦的概念是解题关键． （1）先根据余弦的定义可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得； （2）先求出，利用余弦可求出的长，从而可得的长，再在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 所以的长为5． （2）解：∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 所以的正弦值为． 【变式1】在Rt中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦函数的定义即可直接求解，解题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【详解】解：如图， ∵， ∴设，， ∴由勾股定理得：， 解得：， ∴， 故选：． 【变式2】如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、正切函数，由菱形的对角线互相垂直平分可得，，结合求出，再利用勾股定理解可得答案． 【详解】解：菱形中，对角线、相交于点O，， ，， ， ， ， 故选C． 【变式3】如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】作于，交的延长线于，于，则四边形是矩形，先证明，在中利用勾股定理求出，从而得出，再证明四边形是平行四边形，得到，从而解决问题． 本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 【详解】解：如图，过点作于，交的延长线于，过点作于点， 则四边形是矩形． ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中， ，， ， ， ， ， 将沿直线翻折后，点落在点， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 题型08 求证同角三角函数关系式 【典例1】如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 【答案】(1)；；证明见解析 (2)；；证明见解析 【分析】（1）本小题要求找到规律并证明，要规律首先就应该准确的计算出，，，，，以及和的值；要证明结论就应该在一般的三角形中求解，在边长分别为、、的直角三角形中，，，计算的结果证明结论； （2）在边长分别为、、的直角三角形中计算，，看结论是否相同即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ，，， 规律：对于任意锐角有， 故答案为：，，1，，，1； 证明：如图所示，在中，， ，，， ． （2）解：，， ， 规律：对于任意锐角有， 证明：如图， ，， ． 故答案为：，，，． 【变式1】在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，勾股定理，在中，，的a，的b，的c，则，，．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的概念，确定锐角三角函数值的取值范围用三角函数间的关系． 【详解】解：如图，在中，， A、∵，，又∵不能比较a、b大小，∴不能判定与的大小，∴错误；故此选项不符合题意； B、∵，又∵，，但不能比较a、b大小，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，又∵ ∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，又由勾股定理，得，∴，∴，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2】如图，在中，，请验证的结论． 【答案】见解析 【分析】本题考查同角的三角函数之间的关系，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．根据直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】证明：在中，， ∴ 题型09 互余两角三角函数的关系 【典例1】比较和的大小（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，将余弦转化为正弦是解题的关键． 将余弦转化为正弦，根据正弦的锐角三角函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：∵，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知互余两角三角函数的关系是解答此题的关键．分别根据锐角三角函数的定义及互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，选项正确，符合互余两角的三角函数关系，符合题意． 故选：D． 【变式2】比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】 ， ， ，， ，， ， 故选：D． 一、单选题 1．爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能（　　）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角三角函数值计算求解． 【详解】解： ， 故选：B． 2．的值等于（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角构造直角三角形计算即可． 【详解】解：如图，中，，，则，， ∴， 故选：C． 3．中，，，则的值（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据，，求出的值，即可求解． 【详解】解：如下图： ∵中，， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义，余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比． 根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案． 【详解】解：∵小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ∴且米 ∵ ∴ ∴米 故选： B． 5．如图，在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的定义．根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题． 【详解】解：∵中，，、、所对的边分别为a，b，c， ∴，即，则A选项不成立，B选项成立； ，即，则C、D选项均不成立； 故选：B． 6．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，勾股定理，正正方形的性质，掌握正切的定义并构造直角三角形是本题的关键． 首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解． 【详解】解：取格点，连接．根据正方形的性质可得， 由勾股定理得，， ∴． 故选：A． 7．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，过点A作轴于B，根据点A的坐标求出、，再根据锐角的正切值等于对边比邻边解答． 【详解】如图，过点A作轴于B， ∵点A的坐标是， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，然后根据正切的概念求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴，， 由折叠可得，， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则 在中， 解得： ． 故选C． 【点睛】此题考查了勾股定理、矩形的折叠问题、全等三角形的性质和判定、正切的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 9．如图所示，在矩形中，，平分，分别交、于点、，，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】证明，则，如图，连接，则，，由，可得，由平分，可得，则，，由，可得，则，由，可求，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 如图，连接， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 10．中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为，为直角三角形中的较大锐角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，再接着利用勾股定理得到关于的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可． 【详解】解：∵小正方形与每个直角三角形面积均为， ∴大正方形的面积为， ∴小正方形的边长为，大正方形的边长为， 设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，其中， ∴，其中， 解得：，(不符合题意，舍去)， ． 故选：B． 二、填空题 11．计算 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则是解题关键．先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．计算： 【答案】/ 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，把代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 13．如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质、正弦的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等，得到，再根据正弦定义即可解得的长． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 14．直角坐标系内，如果函数的图象经过点，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角函数的值，求反比例函数解析式，得到，代入函数解析式即可解答，熟练计算三角函数的值shi2解题的关键． 【详解】解：， ， 代入函数可得， 解得， 故答案为：． 15．在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，根据，结合，设，则，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为6． 16．在矩形中，，，点P为的三等分点，连接，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识，首先根据题意画出图形，然后由点P为的三等分点，分别从与去分析求解即可求得答案． 【详解】解: 如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点P为的三等分点， ∴或， ∴，， ∴或， 故答案为：或． 17．如图，点A、B、C为正方形网格纸中的3个格点，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、正弦等知识，熟练掌握正弦的定义是解题关键．结合网格，取的中点为格点，先利用勾股定理分别求出的长，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，然后根据正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，结合网格，取的中点为格点， 设网格纸中的每个小正方形的边长为1， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 18．比较大小（用连接），，， ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的比较大小，掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于是解题的关键． 【详解】解：，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数值的实数的运算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘方再计算除法，最后进行减法计算； （2）根据题意，先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘法，绝对值，最后合并，整理，得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．在中，，求： (1)； (2)当时，求BC的长． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查解直角三角形、解一元二次方程及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数值是解题关键． （1）根据在中，，得出是直角边，分为当是斜边时和当是直角边时根据勾股定理和余弦的定义求解即可； （2）分为当是斜边时和当是直角边时，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， 设，则， 当是斜边时，， 则； 当是直角边时，， 则； 综上，的值为或； （2）解：∵在中，， 设，则， 当是斜边时，，解得：（负值舍去）； 当是直角边时，，解得：； 综上，或． 21．如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)求证：； (2)若，，则的值是________． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，求一个角的正切值，证明出相似是解题的关键． （1）根据矩形的性质和垂直的意义得到，而由，得到，根据两角相等，两三角形相似即可证明； （2）由得到，则． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 22．如图方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点、、在小正方形的顶点上． (1)请以、为边画平行四边形，要求所画点在小正方形的顶点上； (2)请以、为边画一个面积为6的轴对称四边形，要求所画点在小正方形的顶点上； (3)连接，，直接写出的正切值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，1 【分析】此题考查了平行四边形判定、轴对称图形的定义、三角函数的定义． （1）利用网格的特点作，则四边形即为所求； （2）利用轴对称的定义和网格特点作图即可； （3）根据网格特点和正切的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求， （2）如图，四边形即为所求， 四边形的面积为； （3）如图，， 即的正切值为为1． 23．如图，在四边形中，，，连接交于点，，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了正切，勾股定理，平行线的性质等知识．熟练掌握正切，勾股定理，平行线的性质是解题的关键． （1）由，可得，即，设，则，，由勾股定理得，，可求，进而可求； （2）如图，过C作于F，由，可得，则，设，则，由勾股定理得，，可求，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴的长为6； （2）解：如图，过C作于F， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴的长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$