第12讲 解直角三角形及其应用-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（湘教版）

第12讲 解直角三角形及其应用 课程标准 学习目标 解直角三角形及其应用 1.理解直角三角形中五个元素的关系,会解直角三角形 2.会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把 实际问题转化为数学问题来解决 知识点01 解直角三角形 在一个直角三角形中,除直角外的 个元素(即3条边和2个锐角),只要知道其中的2个元素(至少有1条边),就可以求出其余的3个 ,这个过程叫作解直角三角形. 【即学即练1】 如图，在四边形中，连接，若，则 ． 知识点02 构造直角三角形解斜三角形 构造直角三角形时,一般作高,但不要把特殊角(30°，45°,60°)分成两个角，一般从不是特殊角的顶点向对边作垂线，构造两个直角三角形. 【即学即练1】 如图，已知在中，是上一点，连接使得． (1)求证：； (2)若，，求． 知识点03 利用仰角和俯角解直角三角形 如图,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线 的角叫作仰角.在视线与水平线所成的角中,视线在水平线 的叫作俯角. 【即学即练1】 如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山处的位置向乙山处拉一段缆绳．已知甲山上点到的垂直高度米；从处往处看的仰角为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（、、、在同一平面内，参考值：，，，） (1)求乙山处到河边的垂直距离（结果保留根号）； (2)求甲山与乙山所拉缆绳的长度（结果保留整数）． 知识点04 利用坡度解直角三角形 坡度:坡面的铅直 (h)和水平长度(L)的比叫作坡度,用字母表示i,即(坡度通常写成1: m的形式). 坡角:坡面与水平面的 叫作坡角,记作α.坡度等于坡角的正切,即 【即学即练1】 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为60°．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为45°，已知山坡的坡度，米，米． (1)求点距水平面的高度； (2)求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：，） 知识点05 特殊角的三角函数值 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 的角叫作方位角. 【即学即练1】 周末妈妈和小明在位于小明家西北方向的书店看书．回家时，小明想先沿去位于家的正西方向、距家米的菜鸟驿站处取包裹，然后再沿回家；妈妈想先沿去位于家的北偏西方向的干洗店取衣服．然后再沿回家．已知书店位于菜鸟驿站的北偏东方向、干洗店的南偏西方向．（参考数据：，） (1)求小明家与书店的距离（结果保留整效）； (2)小明和妈妈回家的路程相差多少米（结果保留整数）？ 题型01 解直角三角形 【典例1】如图，矩形中，，对角线，交于点O，，垂足为点H，若，则的长为 ． 【变式1】在中，，于点，点为线段的中点，． (1)求的长； (2)求的值． 【变式2】如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 【变式3】在中，已知的对边分别为，且，解这个直角三角形． 题型02 解直角三角形的相关计算 【典例1】根据下列条件解直角三角形． (1)在中，； (2)在中，． 【变式1】如图，在中，，，，求． 【变式2】如图，在中，E，F是对角线上的两点（点E在点F左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，，时，求的长． 题型03  构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例1】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【变式1】如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 【变式2】如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【变式3】如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 题型04 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【典例1】潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【变式1】如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测，则下列说法错误的是（   ） A．仰角为 B．当无人机远离水平飞行时，仰角增大 C．俯角为 D．当无人机远离水平飞行时，俯角减小 【变式2】如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【变式3】如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 题型05 方位角问题(解直角三角形的应用) 【典例1】今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 【变式1】让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，米．点C在点B的北偏东；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东方向，米． (1)求的长度（精确到个位）； (2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：，，） 【变式2】如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米） (2)大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离． 【变式3】如图，一艘船从处出发沿着正东方向航行，此时岸边的瞭望塔在处的西北方向上；当天到达处，此时瞭望塔在处的北偏西方向上，已知该船的平均速度是30海里/小时，问：的面积是多少平方海里？（结果精确到0.1，参考数据：，） 题型06 坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 【典例1】如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（    ）米 A． B． C． D． 【变式1】小张沿着某斜坡前进后，高度上升了，那么该斜坡坡比 ． 【变式2】如图， 扶梯的坡比为 ， 滑梯的坡比为，平行于地面， 于点 于点 ．若 ，，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部， 然后从滑梯滑下， 他所经过的总路程是多少（结果保留根号）？ 【变式3】如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡顶D处，斜坡的坡度（或坡比），在D处测得该建筑物顶端A的俯角为，则建筑物的高度约为多少米？（精确到米，参考数据：，，） 题型07 其他问题(解直角三角形的应用) 【典例1】如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为，两个车轮的圆心的连线与地面平行，测得支架，、所在直线与地面的夹角分别为、，． (1)求扶手前端到地面的距离； (2)手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点到点的距离为，，，，求坐板的宽度．（本题答案均保留根号） 【变式1】如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，． (1)求椅子的展角的度数． (2)求点P到地面的距离．（精确到） （参考数据：，，） 【变式2】为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号) (2)小吉通过查阅资料，当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，，） 一、单选题 1．如图，在中，， 则的长度为（     ） A． B． C． D． 2．在中，，若，，则的长是（  ） A． B． C．60 D．80 3．如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，交延长线于点，连接，再以为直径画半圆．则阴影部分的面积为（   ）（结果保留） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 6．在中，，，，则AC的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港．则，两港之间的距离（） A． B． C． D． 9．某商场有一自动扶梯，扶梯相关数据如图所示，则下列关系或说法不正确的是（   ）． A．扶梯的坡角是 B．扶梯的坡度是 C．用计算器求的长，按键为 D． 10．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 二、填空题 11．阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则 ． 12．如图，在中，，，，则边的长为 ． 13．等腰中，，，D为的中点，交射线于E，若，则线段的长为 ． 14．已知中，，，，如果解这个三角形有2解，则的取值范围是 ． 15．在中，，则 ． 16．如图，在中，已知，，，则 ． 17．把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在轴、轴上，连接．将纸片沿折叠，使点落在的位置．若，则点的坐标为 ． 18．如图，小明想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为，那么塔高约为 ． 20．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动，如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 米 21．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732） 三、解答题 22．如图，在中，，，，解这个直角三角形． 23．如图，在中，平分，交于点，交的延长线于点． (1)求证： (2)若 ，，，求平行四边形的面积． 24．图1是某红色文化主题公园内的雕塑（胜利的号角），将其抽象成如图2所示的示意图．测得，，，，．连接，交于点，若，求 （即雕塑的高度）的长．（结果精确到，参考数据，，） 25．如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 26．项目化学习 【项目主题】 学校太阳能路灯电池板离地面高度的思考． 【项目背景】 为了深化课堂教学变革，进一步推进初中数学单元项目化学习，推进深度教学研究，某校学生在学习《锐角三角函数》之后，在数学课上进行了项目化学习研究： 【提出驱动性问题】 学校太阳能路灯电池板离地面高度的测量 【设计实践任务】 学校太阳能路灯电池板离地面高度的测量 素 材 1 光伏能源被认为是二十一世纪最重要的新能 源之一，太阳能路灯可以利用太阳能发电，其 清洁无污染并可再生绿色环保受到广泛欢迎． 省实验学校学生开展综合实践活动，测量太阳 能路灯电池板顶端E点离地面的高度． 素 材 2 如图所示，已知测角仪的高度为1米，在测点 B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在 与点B相距2米的测点D处安置等高的测角 仪，测得点E的仰角为，点B，D与F在同 一条直线上． 问题解决 任务 学校太阳能路灯电池板离地面高度的测量 求电池板离地面的高度EF的长． （结果精确到0.1米；参考数据： ，， ，） 27．慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然䇯立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一．某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上，．结果精确到．参考数据： (1)求无人机从点到点处的飞行距离； (2)求慈氏塔的高度． 28．某海域有两个海拔均为米的海岛A和海岛，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为米的空中飞行，飞行到点处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是，然后沿平行与的方向水平飞行米到达点处，在处测得正前方另一海岛顶端的俯角是，求两海岛间的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 解直角三角形及其应用 课程标准 学习目标 解直角三角形及其应用 1.理解直角三角形中五个元素的关系,会解直角三角形 2.会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把 实际问题转化为数学问题来解决 知识点01 解直角三角形 在一个直角三角形中,除直角外的5个元素(即3条边和2个锐角),只要知道其中的2个元素(至少有1条边),就可以求出其余的3个未知元素,这个过程叫作解直角三角形. 【即学即练1】 如图，在四边形中，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，角平分线的性质，勾股定理，过作交于，过作交延长线于，由设，，由可得，在中根据勾股定理求出，再由，得到，进一步得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：过作交于，过作交延长线于， ∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点02 构造直角三角形解斜三角形 构造直角三角形时,一般作高,但不要把特殊角(30°，45°,60°)分成两个角，一般从不是特殊角的顶点向对边作垂线，构造两个直角三角形. 【即学即练1】 如图，已知在中，是上一点，连接使得． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可证明； （2）根据和得出，过点C作，根据，，在中，结合勾股定理求出，根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 过点C作， ∵，， ∴， 设， 则，， 在中，，即， 解得：或0（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 知识点03 利用仰角和俯角解直角三角形 如图,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫作仰角.在视线与水平线所成的角中,视线在水平线下方的叫作俯角. 【即学即练1】 如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山处的位置向乙山处拉一段缆绳．已知甲山上点到的垂直高度米；从处往处看的仰角为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（、、、在同一平面内，参考值：，，，） (1)求乙山处到河边的垂直距离（结果保留根号）； (2)求甲山与乙山所拉缆绳的长度（结果保留整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题． （1）过点B作，垂足为E，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点A作，垂足为F，根据题意可得：米，，从而可得，再利用（1）的结论可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可解答． 【详解】（1）如图，过点B作，垂足为E， ∵从处往处看的仰角为， ∴， ∴设米，则米， 在中，（米）， ∵米， ∴， ∴米， ∴乙山B处到河边的垂直距离为米； （2）如图，过点A作，垂足为F， 由题意得：米，， ∴， ∵米， ∴（米）， 在中，（米）， ∴甲山与乙山所拉缆绳的长度约为米． 知识点04 利用坡度解直角三角形 坡度:坡面的铅直高度(h)和水平长度(L)的比叫作坡度,用字母表示i,即(坡度通常写成1: m的形式). 坡角:坡面与水平面的夹角叫作坡角,记作α.坡度等于坡角的正切,即 【即学即练1】 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为60°．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为45°，已知山坡的坡度，米，米． (1)求点距水平面的高度； (2)求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：，） 【答案】(1)5米 (2)宣传牌高约为2.7米 【分析】本题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． （1）在中，通过解直角三角形求出； （2）过B作的垂线，设垂足为G，在中解直角三角形求出的长，进而可求出，即的长，在中，，则，由此可求出的长，然后根据即可求出宣传牌的高度． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴米； （2）解：过B作于G， 由（1）得，米，米， ∴米， 在中，， ∴米； 在中，，米， ∴米， ∴米， 所以，宣传牌高约为2.7米 知识点05 特殊角的三角函数值 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的角叫作方位角. 【即学即练1】 周末妈妈和小明在位于小明家西北方向的书店看书．回家时，小明想先沿去位于家的正西方向、距家米的菜鸟驿站处取包裹，然后再沿回家；妈妈想先沿去位于家的北偏西方向的干洗店取衣服．然后再沿回家．已知书店位于菜鸟驿站的北偏东方向、干洗店的南偏西方向．（参考数据：，） (1)求小明家与书店的距离（结果保留整效）； (2)小明和妈妈回家的路程相差多少米（结果保留整数）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意，添加辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，则为等腰直角三角形， 则，可求，则，那么，继而； （2）由上知，则小明回家的路程为：，可得，，则，在中，由勾股定理得，那么妈妈的路程为，故路程差为：． 【详解】（1）解：由题意得，， 过点作于点， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由上知， ∴小明回家的路程为：， ∵，， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴妈妈的路程为， ∴路程差为：， 答：路程差为． 题型01 解直角三角形 【典例1】如图，矩形中，，对角线，交于点O，，垂足为点H，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形、矩形的性质，由矩形的性质得出，，结合题意求出，，先解直角三角形得出的长，再由计算即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】在中，，于点，点为线段的中点，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形的性质，等边对等角等等，熟知正切和正弦的定义是解题的关键． （1）先由垂直的定义得到，再由正切的定义求出，则由勾股定理可得； （2）先证明；再由直角三角形的性质得到，则，进而得到，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，由正切的定义求出，再根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，由线段的和差求出，再根据勾股定理求出，再根据正弦和余弦的定义分别求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，． 【变式3】在中，已知的对边分别为，且，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【分析】本题考查了解直角三角形的条件，在直角三角形的三条边和两个锐角这五个元素中，若已知关于这些元素的两个独立条件，其中至少有一个条件是边，则此直角三角形可解． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ． 题型02 解直角三角形的相关计算 【典例1】根据下列条件解直角三角形． (1)在中，； (2)在中，． 【答案】(1)，， (2)，，， 【分析】本题考查的是解直角三角形，掌握解直角三角形的含义是解本题的关键． （1）根据勾股定理求出的长度，再根据特殊三角形的三角函数求出的度数，再由三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）根据三角形内角和定理求出的度数， 【详解】（1）解：根据勾股定理可得， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式1】如图，在中，，，，求． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形和特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值. 过点A作交于点D，借助特殊角三角函数值求出，然后求出，即可求解． 【详解】解：过点A作交于点D， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，在中，E，F是对角线上的两点（点E在点F左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）证，运用平行四边形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出，，再证，则，得，求出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：在中，， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：或（舍去）， ，， 由（1）得：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：或,（舍去）， 即， 由（1）得：， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 题型03  构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例1】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式1】如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转的性质和解三角形，注意分类讨论，正确画出图形是解题关键． 根据旋转的性质可得，，再由解三角形求出，，进而在中求出线段的长度． 【详解】解：由旋转性质可知：，，当点D在线段上时，如图1， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点D在线段延长线上时，如图2， 同理可得：， ∴， 故答案为：或． 【变式2】如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 【变式3】如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：在中，， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 题型04 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【典例1】潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考査了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 【变式1】如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测，则下列说法错误的是（   ） A．仰角为 B．当无人机远离水平飞行时，仰角增大 C．俯角为 D．当无人机远离水平飞行时，俯角减小 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角性质，仰角和俯角的定义，仰视角线与水平线的夹角为仰角，俯视角线与水平线的夹角为俯角，据此即可作答． 【详解】解：∵利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测， ∴仰角为，俯角为， 故A和C选项是正确的，不符合题意； 如图： 当无人机远离水平飞行时，例如无人机飞行至时 则 ∴ ∴仰角减小 故选项是错误的，符合题意； 当无人机远离水平飞行时，例如无人机飞行至时 则 ∴ ∴俯角减小 故选项是正确的；不符合题意． 故选：． 【变式2】如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【答案】(1)的长为 (2)塔的高度约为 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用， （1）根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质可得，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，如图，过点作．垂足为，在中，，根据角的正切值可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，在中，，， ∴, ∴的长为． （2）解：由题意得，在中，，， ∴， 在中，设， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作．垂足为， 由题意得，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：塔的高度约为． 【变式3】如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图所示： 由题意得：米，米，，， ， ， ， 在中，米， 在中，米， 米， 米， 小李到古塔的水平距离即的长为米． 题型05 方位角问题(解直角三角形的应用) 【典例1】今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 【答案】(1)妈妈步行的速度为 (2)明明从C处到D处的距离约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义． （1）根据正切函数求出的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可； （2）过点C作交延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形，可得，表示出，，进而得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴， ∴， 答：妈妈步行的速度为； （2）解：如图，过点C作交延长线于点E，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 过点D作于点F，得矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：明明从C处到D处的距离约为． 【变式1】让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，米．点C在点B的北偏东；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东方向，米． (1)求的长度（精确到个位）； (2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：，，） 【答案】(1)3127米 (2)路线二较近，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作交的延长线于点M，过点B作交于点N，过点D作交于点H，则四边形、四边形、四边形都是矩形，是等腰直角三角形，在中求出的长，进而可求的长，在中，即可求出的长度； （2）分别求出和的长度，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：过点C作交的延长线于点M，过点B作交于点N，过点D作交于点H． 由题可知：，，． ∴四边形、四边形、四边形都是矩形，是等腰直角三角形． 在中， ∵，米， ∴米，米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米米， 答：BC的长度为3127米． （2）解：路线一：米米 ∵米， ∴米， ∴路线二：米米， ∵， ∴路线二较近． 【变式2】如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米） (2)大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离． 【答案】(1)、两地的距离约为339.4米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）过点作于点，可求出，利用含的直角三角形的性质得出，在中，利用正弦定义可求出，即可求解； （2）过点作于点，在中，利用正弦定义可求出、，在中，利用含的直角三角形的性质可求出，即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意知，， ，， ，， 在中，米， （米）， （米）． 答：、两地的距离约为339.4米； （2）解：过点作于点， 由（1）得（米）， ，，， ， ， 在中，，， （米）， 在中，， （米）， （米）． 【变式3】如图，一艘船从处出发沿着正东方向航行，此时岸边的瞭望塔在处的西北方向上；当天到达处，此时瞭望塔在处的北偏西方向上，已知该船的平均速度是30海里/小时，问：的面积是多少平方海里？（结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】平方海里 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．过点作于点，海里，根据锐角三角函数的概念求出的值，再求出的面积． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：（海里）， , , 设海里， 中，， ， ， ， （海里）， 的面积（平方海里） 题型06 坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 【典例1】如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（    ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题考查了解直角三角形的应用，在中，由，即可得出的长度． 【详解】在中，， ∵坡面米，坡角， ∴该山坡的高度， 故选：D． 【变式1】小张沿着某斜坡前进后，高度上升了，那么该斜坡坡比 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、坡度比的定义等知识点，理解坡度的定义成为解题的关键． 先根据勾股定理求得，再根据坡度的定义求解即可． 【详解】解：如图：∵, ∴． ∴该斜坡坡比． 故答案为：． 【变式2】如图， 扶梯的坡比为 ， 滑梯的坡比为，平行于地面， 于点 于点 ．若 ，，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部， 然后从滑梯滑下， 他所经过的总路程是多少（结果保留根号）？ 【答案】她经过的总路程为：． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟知坡比的定义．首先在直角三角形中求得和，然后就可以知道的长，然后在直角三角形中求得的长即可． 【详解】解：∵扶梯的坡比（与长度之比）为，， ∴， ∴， ∵平行于地面， 于点 于点 ． ∴四边形为矩形， ∴， ∵的坡比（与长度之比）为， ∴， ∴， ∴她经过的总路程为： ． 【变式3】如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡顶D处，斜坡的坡度（或坡比），在D处测得该建筑物顶端A的俯角为，则建筑物的高度约为多少米？（精确到米，参考数据：，，） 【答案】建筑物的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出，的长是解题关键．根据坡度，勾股定理，可得的长，再根据平行线的性质，可得，根据同角三角函数关系，可得∠1的正切，根据正切的含义，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：作于E点，作于F点，如图，设，， 则，，， 由勾股定理，得， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴建筑物的高度约为米． 题型07 其他问题(解直角三角形的应用) 【典例1】如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为，两个车轮的圆心的连线与地面平行，测得支架，、所在直线与地面的夹角分别为、，． (1)求扶手前端到地面的距离； (2)手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点到点的距离为，，，，求坐板的宽度．（本题答案均保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． （1）如图2，过作，垂足为，又过作，垂足为，过作，构造和中，通过解这两个直角三角形求得相关线段的长度； （2）由平行线的性质知；根据题意得到，，，如图2，过作，垂足为，设，通过解和，根据等量关系列出方程，通过解方程求得答案． 【详解】（1）解：如图2，过作，垂足为， 又过作，垂足为，过作，垂足为，则． 则四边形为矩形，， ，、所在直线与地面的夹角分别为、， ， 则在中，． 在中，，， ． 又，前后车轮半径均为， 扶手前端到地面的距离为； （2）解：， ， ，椅子的支点到点的距离为，， ， 如图2，过作，垂足为，设， 在中，， ，， 在中，， ， ， ， 解得． ． 答：坐板的宽度为． 【变式1】如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，． (1)求椅子的展角的度数． (2)求点P到地面的距离．（精确到） （参考数据：，，） 【答案】(1)椅子的展角的度数约为 (2)点到地面的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形的应用是解题关键． （1）过点作于点，先证出，根据相似三角形的性质可得的长，再根据等腰三角形的性质可得的长，然后在中，解直角三角形可得的大小，最后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）过点作于点，在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 答：椅子的展角的度数约为． （2）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：点到地面的距离约为． 【变式2】为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号) (2)小吉通过查阅资料，当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)支点离桌面的高度为； (2)当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约． 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，易得四边形为矩形，那么可得，，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点离桌面的高度； （2）过点作，过点作于点，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端离桌面的高度增加或减少了． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， ． 由题意得：， 四边形为矩形， ，． ， ． ， ． ． 答：支点离桌面的高度为； （2）解：过点作，过点作于点， ． ，， ． 当时，； 当时，； 当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约． 一、单选题 1．如图，在中，， 则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：C． 2．在中，，若，，则的长是（  ） A． B． C．60 D．80 【答案】D 【分析】本题主要考查的是解直角三角形，根据三角函数的定义求出，然后利用勾股定理即可求解．掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数可求，由勾股定理求得，根据等腰三角形的性质以及外角求得，最后在中，． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ， 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练利用数形结合的思想是解题的关键． 4．如图，在矩形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，交延长线于点，连接，再以为直径画半圆．则阴影部分的面积为（   ）（结果保留） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可不是主要考查求不规则图形的面积，设边的中点为，设与半圆交于点，连接，过点作于点，根据圆的性质得，由得，求出得出 ， ，由得，，再求出，根据可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 由圆的性质得， 四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 设与半圆交于点，连接，过点作于点，如图， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 故选：C． 5．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识点，过作于，则，根据已知求出，，求出、的长，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过作于，则， ，， ，， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 故选：C． 6．在中，，，，则AC的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故选：D． 7．如图是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，将其转化为解直角三角形的问题是本题的关键，用到的知识点是余弦的定义．根据余弦定义：即可解答． 【详解】解：， ， 米， 米； 故选：D． 8．如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港．则，两港之间的距离（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理，由题意得，由勾股定理，从而得出的长，解决本题的关键是根据题意得到． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， 故选：A． 9．某商场有一自动扶梯，扶梯相关数据如图所示，则下列关系或说法不正确的是（   ）． A．扶梯的坡角是 B．扶梯的坡度是 C．用计算器求的长，按键为 D． 【答案】D 【分析】此题考查了坡度、坡角、解直角三角形的相关计算等知识，根据相关知识进行逐项判断即可． 【详解】A、 扶梯的坡角是，故选项正确，不符合题意； B、扶梯的坡度是，故选项正确，不符合题意； C、 用计算器求的长，按键为，故选项正确，不符合题意； D、 ，故选项错误，符合题意； 故选：D 10．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】本题主要考查了构造直角三角形，解直角三角形，过点B作，交的延长线于H，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里 ，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于H， 则， 由题意可知：，海里 ∴海里，， ∵， ∴， ∴ ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 二、填空题 11．阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，利用关系式，结合已知条件且，进行求解即可． 【详解】解：根据题意，猜想：对任意锐角，都有． 证明过程如下： 如图，在中，过点作于，则， ，， ， ， ， ， 又，为锐角，， ． 故答案为：． 12．如图，在中，，，，则边的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．过点作于点，解得，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：2． 13．等腰中，，，D为的中点，交射线于E，若，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形、等腰三角形的性质、三角形全等的判定及性质，作交于，交于，利用等腰三角形的性质及锐角三角形函数可得，利用可得，进而可得，则可得即可求解，添加辅助线，构造直角三角形及全等三角形是解题的关键． 【详解】解：作交于，交于，如图： 等腰中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， D为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：2． 14．已知中，，，，如果解这个三角形有2解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，确定有两个解的临界点成为解题的关键．如图：过B作边上的高．解直角三角形可得，再根据这个三角形有2解可知以B为圆心、以半径的圆与射线有两个交点；然后确定两个临界点解答即可． 【详解】解：如图：过B作边上的高． ∵，， ∴， ∵这个三角形有2解， ∴以B为圆心，以半径的圆与射线有两个交点， 当与射线掐有一个交点时，即点C与点H重合， ∴； 当以B为圆心，以半径的圆与射线有两个交点的临界点，即， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 15．在中，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 由题意可分当是锐角时和当是钝角时，进而根据三角函数及三角形面积可进行求解． 【详解】解：如图1中，当是锐角时，过点B作于H． ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2中，当是钝角时，过点B作交的延长线于H． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：或． 16．如图，在中，已知，，，则 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 过点作于，则，设，则，由可得，，利用勾股定理求出，根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点作于， 则， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在轴、轴上，连接．将纸片沿折叠，使点落在的位置．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题过点作于点，交于点，由矩形的性质和折叠的性质，证明，得到，设，则，在中应用勾股定理构建方程，即可求出和，使用等面积法求出，点的纵坐标就求出来了，利用勾股定理求出，即可求出点的横坐标．即可解题． 【详解】解：过点作于点，交于点，如图所示： ∵， 则， ∴，， 四边形为矩形， ，，， 由题易知，四边形为矩形， 有， 由折叠的性质可知，，，， ， ， ， 设，则， 有， 即，解得， ， ，解得， ，， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 18．如图，小明想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为，那么塔高约为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是借助仰角找出直角三角形各边之间的联系及熟练掌握特殊角的三角函数值．由题意可知：，再在中，根据，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴， 在中， ∴ 故答案为：． 19．一个人沿坡面向上走了米，而升高了米，那么这个坡的坡比 ． 【答案】 【分析】本题考查了坡度的定义，利用勾股定理可求出行走的水平距离，根据坡度的定义即可得答案. 【详解】∵向上行走了10米，上升高度为6米， ∴行走的水平距离=米， ∴此斜坡的坡度， 故答案为： 20．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动，如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 米 【答案】 【分析】本题考查了坡度，根据坡度是“铅直距离与水平距离的比”及已知水平距离，可求得铅直距离，由勾股定理即可求坡面距离 【详解】解：∵，为米， ∴， ∴， 故答案为：4． 21．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732） 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，作辅助线，构造直角三角形是解本题的关键．过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解． 【详解】解：过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E， 在中，，， ∵ ∴(cm)， 在中，，， ∵， ∴(cm)， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴(cm)． 点与桌面的距离约为， 故答案为：． 三、解答题 22．如图，在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由直角三角形锐角互余求出，由“正切”求出，最后再运用勾股定理求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴． 23．如图，在中，平分，交于点，交的延长线于点． (1)求证： (2)若 ，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，结合平分可推出，即可证明； （2）过点作，垂足为，可推出，利用，得到，最后根据即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形 平分 （2）过点作，垂足为 ，， 24．图1是某红色文化主题公园内的雕塑（胜利的号角），将其抽象成如图2所示的示意图．测得，，，，．连接，交于点，若，求 （即雕塑的高度）的长．（结果精确到，参考数据，，） 【答案】（即雕塑的高度）的长为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得，，在中，解直角三角形，分别求出，即可得出结果． 【详解】解：根据题意得：，， ， ， ，， ， ， 在中，， ； ， ， 在中，， ， ， 答：（即雕塑的高度）的长为． 25．如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 【答案】 【分析】过点C作于点M， 设， 则，根据仰角，解直角三角形计算即可． 本题考查了仰角解直角三角形，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点M， 设， 则， 在中， ， 则， 则； 在中， ， 则 解得：， 经检验，是该分式方程的解． ∴． 答：无人机在C处时离地面． 26．项目化学习 【项目主题】 学校太阳能路灯电池板离地面高度的思考． 【项目背景】 为了深化课堂教学变革，进一步推进初中数学单元项目化学习，推进深度教学研究，某校学生在学习《锐角三角函数》之后，在数学课上进行了项目化学习研究： 【提出驱动性问题】 学校太阳能路灯电池板离地面高度的测量 【设计实践任务】 学校太阳能路灯电池板离地面高度的测量 素 材 1 光伏能源被认为是二十一世纪最重要的新能 源之一，太阳能路灯可以利用太阳能发电，其 清洁无污染并可再生绿色环保受到广泛欢迎． 省实验学校学生开展综合实践活动，测量太阳 能路灯电池板顶端E点离地面的高度． 素 材 2 如图所示，已知测角仪的高度为1米，在测点 B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在 与点B相距2米的测点D处安置等高的测角 仪，测得点E的仰角为，点B，D与F在同 一条直线上． 问题解决 任务 学校太阳能路灯电池板离地面高度的测量 求电池板离地面的高度EF的长． （结果精确到0.1米；参考数据： ，， ，） 【答案】9.1米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点，根据题意可得：米，米，然后设米，则米，从而分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】 解：延长交于点G，             由题意得：米，米，         设米，则米，         在中，， 米，          在中，， 米，             ，                 解得：，                 （米），         电池板离地面的高度EF约为9.1米. 27．慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然䇯立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一．某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上，．结果精确到．参考数据： (1)求无人机从点到点处的飞行距离； (2)求慈氏塔的高度． 【答案】(1) (2)慈氏塔的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的判定与性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于常考题型． （1）先根据题意可求出，，再根据中，即可解答； （2）过点D作，交延长线于点H，设，则，解直角三角形求出x的值，证明四边形是矩形，得到，由即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 在中，， ； （2）解：过点D作，交延长线于点H， ， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ， ， 四边形是矩形， ， ， 答：慈氏塔的高度为． 28．某海域有两个海拔均为米的海岛A和海岛，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为米的空中飞行，飞行到点处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是，然后沿平行与的方向水平飞行米到达点处，在处测得正前方另一海岛顶端的俯角是，求两海岛间的距离． 【答案】米 【分析】此题考查了解直角三角形应用——俯角．借助俯角构造直角三角形，熟练掌握矩形的性质，锐角三角函数定义解直角三角形，是解此题的关键． 首先过点A作于点，过点作于点，易得四边形为矩形，根据矩形的性质，可得，，由题意可知：米，米，然后分别在与中，利用三角函数即可求得与的长，继而求得两海岛间的距离． 【详解】解：过点A作于点，过点作于点， ， ， 四边形为矩形． ，． 由题意可知：（米），（米） 在中，，米． （米）． 在中，，米． （米）． （米）． 答：两海岛间的距离为米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$