第一章勾股定理实数期中复习题2024-2025学年北师大版数学八年级上册

八年级上册勾股定理与实数期中复习题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列各数中，比大的数是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4 2．下列实数，，3.14，，2.101001000……（相邻两个1之间依次多一个0），中，无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．3，4，5 C．，， D．，， 4．下列等式从左到右的变形过程正确的是（　　） A．a﹣b＝（）（） B．a+b C． D．（）2＝a 5．下列各式中运算正确的是（　　） A．22 B． C． D． 6．是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．已知a、b为两个连续的整数，且ab，则a+b＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，直线l过等腰直角三角形ABC顶点B，其中点A到直线l的距离是2，AC长，则点C到直线l的距离是（　　） A． B． C． D．3 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则BD的长是（　　） A． B． C． D． 10．若，则xy的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．9 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴上实数1所对的点为圆心，正方形对角线长为半径画圆弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是 　 　． 12．的算术平方根是　 　，的立方根是　 　，2的绝对值是　 　，的倒数是　 　． 13．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为　 　． 14．三角形的三边长为a，b，c，满足（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是　 　． 15．在一个长2.5米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长0.5米的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 　 　米． （11题） （15题） 三．解答题（共8小题，满分70分） 16．（8分）如图所示，在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求水深是多少？ 17．（8分）解方程： （1）（3x+2）2＝16； （2）﹣（x﹣3）3＝27． 18．（8分）计算： （1）； （2）． 19．（9分）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度． 20．（9分）计算： （1）已知a、b满足（a+3b+1）20，且5，求3a2+7b﹣c的平方根． （2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|c﹣a|； （3）已知x、y满足y，求5x+6y的值． 21．（9分）综合与实践：测雕塑． （1）如图，雕塑底座正面是四边形ABCD，现提供一足够长的卷尺，请你设计一个方法检测雕塑底座正面的边AB是否垂直于底边BC？并说明理由． （2）若雕塑底座是个长方体，量得边BC长50cm，边CD长40cm，边DE长30cm，一只蚂蚁从底部点B沿雕塑的表面爬到顶部的点E，蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 22．（9分）小明在解决问题，已知a，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的： ∵a2． ∴a﹣2． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：　 　； （2）计算：； （3）若a，求3a2﹣18a+5的值． 23．（10分）【问题提出】 （1）如图①，在△ABC中，AB＝1，BC＝3，，则△ABC是 　 　三角形；（填“直角”“锐角”或“钝角”） 【问题探究】 （2）如图②，∠AOB＝45°，点C为射线OA上一点，且OC＝4，点D为射线OB上的动点，当△OCD为等腰三角形时，求OD的长；（结果保留根号） 【问题解决】 （3）如图③，∠ABC为某植物园的一片绿化区域，且AB＝10米，BC＝50米，米，已知在BA的延长线上，距离A点40米的点D处有一口灌溉水井（灌溉水井的大小忽略不计），管理人员计划沿CD修一条小路，并在CD上找一点E，在△ADE中种植栀子花，请你计算当种植栀子花的区域（△ADE）为等腰三角形时，CE的长．（结果保留根号） 参考答案 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．解：∵12， ∴﹣21， ∴﹣1， 选：A． 2．解：无理数有：、2.101001000……（相邻两个1之间依次多一个0）、共三个． 选：B． 3．解：A、∵12+22≠32， ∴1，2，3三个数不是勾股数，本选项不符合题意； B、∵32+42＝52， ∴3，4，5三个数是勾股数，本选项符合题意； C、∵，，都不是正整数， ∴，，三个数不是勾股数，本选项不符合题意； D、∵，，， ∴，，三个数不是勾股数，本选项不符合题意； 选：B． 4．解：A.，只有a、b均为非负数时才成立，此选项不符合题意； B.，此选项不符合题意； C．若a＜0，b＜0，则不成立，此选项不符合题意； D.，此选项符合题意； 选：D． 5．解：A、22，该项不正确，不符合题意； B、2，该项不正确，不符合题意； C、，该项正确，符合题意； D、2，该项不正确，不符合题意； 选：C． 6．解：∵2， ∴当n＝6时，6， ∴原式＝212， ∴n的最小值为6． 选：C． 7．解：∵1＜2＜4， ∴12． 又∵a、b为两个连续的整数，且ab， ∴a＝1，b＝2． ∴a+b＝3． 选：C． 8．解：过点A作AD⊥直线l交直线l于点D，点C作CE⊥直线l交直线l于点E， ∵三角形ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝CD，∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠EBC＝90°， ∵AD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠ADB＝∠BEC＝90°， ∴∠ABD+∠DAB＝90°， 则∠DAB＝∠EBC， 在△DAB和△EBC中， ， ∴△DAB≌△EBC（AAS）， 则BD＝EC， ∵AC长， ∴设AB＝BC＝x， 则x2+x2＝26， 解得（负值舍去）， ∵点A到直线l的距离是2， ∴AD＝2， ∴， 即EC＝BD＝3， ∴点C到直线l的距离是3． 选：D． 9．解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC5， ∴△ABC的周长＝3+4+5＝12， ∵BD平分△ABC的周长， ∴AB+AD＝BC+CD＝6， ∴AD＝3，CD＝2， 过D作DE⊥BC于E， ∴AB∥DE， ∴△CDE∽△CAB， ∴， ∴， ∴DE，CE， ∴BE， ∴BD， 选：C． 10．解：∵， ∴， ∴x＝2， ∴y＝3， ∴xy的值为23＝8， 选：A． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．解：数轴上正方形的对角线长为：， 由图中可知1和A之间的距离为． ∴点A表示的数是． 答案为：1． 12．解：的算术平方根是 9，的立方根是 ，2的绝对值是 2，的倒数是 ， 答案为：9，，2，． 13．解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴3a﹣8＝7， 解得a＝5． 答案为：5． 14．解：∵（a+b）2﹣c2＝2ab， ∴a2+b2＝c2， ∴三角形是直角三角形． 15．解：如图，将木块展开，得到右图的长方形， 右图长方形的AB相当于是2.5+0.5+0.5﹣0.5＝3， 宽仍然为1米． 于是最短路径为：（米）． 答案为：． 三．解答题（共8小题，满分70分） 16．解：如图，CD是红莲高出水面部分，即CD＝1，A是红莲入泥处（根部）， 设AC＝x，则AD＝1+x， 所以AB＝AD＝1+x， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， 即x2+22＝（1+x）2， 4+x2＝1+2x+x2， 2x＝3 ∴x， 这里的水深m． 17．解：（1）（3x+2）2＝16， 3x+2＝±4， 3x＝﹣2±4， x＝﹣2或． （2）﹣（x﹣3）3＝27， x﹣3＝﹣3， x＝0． 18．解：（1）原式＝﹣1+3﹣1 ＝﹣1+3﹣1+2 ＝3； （2）原式＝3（2）+3﹣1 ＝323﹣1 ＝4． 19．解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D， 由题意可得：BC＝13m，DC＝12m， BD5（m）， 即AD＝9m， 则AC15（m）， AC+AB＝15+4＝19（m）． 答：这棵树原来的高度是19米． 20．解：（1）∵（a+3b+1）20， ∴a+3b+1＝0，b﹣2＝0． 解得a＝﹣7，b＝2． ∵5， ∴c＝125． ∵3a2+7b﹣c ＝3×（﹣7）2+7×2﹣125 ＝147+14﹣125 ＝36， ∴3a2+7b﹣c的平方根为±6； （2）由数轴可知：a＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0， ∴原式＝|a|+|c﹣a|+|b﹣c| ＝﹣a+（c﹣a）﹣（b﹣c） ＝﹣a+c﹣a﹣b+c ＝﹣2a﹣b+2c； （3）根据题意可得：， 解得：x＝﹣3， 把x＝﹣3代入y＝y， 把x＝﹣3，y代入5x+6y＝﹣15﹣1＝﹣16． 21．解：（1）分别测量AB、BC和AC的长度，若AB2+BC2＝AC2，则△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，即AB⊥BC． （2）将长方体展开， ①如图， 由勾股定理，得：BE2＝402+（30+50）2＝8000， ∴cm． ②如图， 由勾股定理，得：BE2＝502+（30+40）2＝7400， ∴BE＝10cm， ∵1040， ∴蚂蚁爬行的最短路程是10cm． 22．解：（1）， 答案为：； （2） 1 1； （3）a3， 则3a2﹣18a+5 ＝3（a2﹣6a）+5 ＝3（a2﹣6a+9）﹣27+5 ＝3（a﹣3）2﹣22 ＝3×10﹣22 ＝8． 23．解：（1）在△ABC中，AB＝1，BC＝3，， ∴12+32， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形， 答案为：直角； （2）分两种情况：①如图，过C作CD⊥OA交OB于D， ∵∠AOB＝45°， ∴∠AOB＝∠CDO＝45°， ∴OC＝CD＝4， ∴OD4， ②如图，过C作CD⊥OB交OB于D， ∵∠AOB＝45°， ∴∠AOB＝∠OCD＝45°， ∴OD＝CD， ∴OD2+CD2＝OC2， ∴OD2+OD2＝42， 解得OD＝2， ③OC＝OD＝4时为等腰三角形， 综上所述，当△OCD为等腰三角形时，OD＝2或4或4； （3）∵AB＝10，BC＝50，， ∴AB2+BC2＝102+502＝2600，， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90， 又∵AD＝40， ∴BC＝BD＝50， ∴△DBC为等腰直角三角形， ∴∠D＝45°， ∴， 当DE＝AE时，则∠D＝∠DAE＝45°， ∴△DBE为等腰直角三角形， ∵AD＝40， ∴DE＝AE＝20， ∴CE＝CD﹣DE＝30， 当AD＝AE时，则∠D＝∠AED＝45°， ∴△DEB为等腰直角三角形， ∵AD＝AE＝40， ∴DE＝40， ∴CE＝CD﹣DE＝10， 当AD＝DE＝40时，CE＝CD﹣DE＝5040， 综上所述，△ADE为等腰三角形时，CE＝30或10或5040． 第1页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $$