4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较（2知识点+3题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 课程标准 学习目标 1.认识增长的概念，通过数表的直观，体会幂函数、指数函数、对数函数增长速度的差异、 2.通过函数增长的比较过程，学习比较的方法，积累选择直观方式和比较大小(快慢)的经验 重点： 三类函数增长的结论，函数增长快慢比较的常用方法难点： 通过数据分析表述函数增长快慢的理由 知识点01 三种函数的增长与衰减趋势 一.三种函数的增长趋势 1.指数函数：当a>1时，指数函数是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。增长速度先慢后快。 2.对数函数：当a>1时，对数函数是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快。增长速度先快后慢 3.幂函数：当x>0,a>0时，幂函数是增函数，并且当x>1时，a越大，其函数值的增长就越快。增长速度随着a值的不同而不同。 二.三种函数的的衰减比较 1.指数函数：当0<a<1时，指数函数是减函数，并且衰减的速度先快后慢 2.对数函数：当0<a<1时，对数函数是减函数，并且衰减的速度先快后慢 3.幂函数：当x>0,a<0时，幂函数 【即学即练1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项是四种生意预期的收益关于时间的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是 ． ①；②；③；④． 【即学即练2】（24-25高一上·全国·课前预习）把一次函数，对数函数和指数函数的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异． 知识点02 建立函数模型解决实际问题的步骤 1、常用的函数模型 （1）一次函数模型：y=kx+b(k,b为常数，k≠0) （2）二次函数模型：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) （3）反比例函数模型：y=k/x+b(k≠0) （4）指数型函数模型：y=ba^x+c(a,b,c为常数，b≠0,a>0且a≠1) （5）对数型函数模型：y=mlog_ax+n(m,a,n为常数，m≠0,a>0且a≠1) （6）幂型函数模型：y=ax^n+b(a,b,n为常数，a≠0) （7）分段函数模型：y={█(f(x),x<m@g(x),x≥m)) （8）对勾函数模型：y=x+a/x(a>0) 2、建立函数模型解决实际问题的步骤 （1）确切理解题意：明确问题的实际背景，进行科学的抽象、概括，将实际问题转化为数学问题。 （2）建立相应的数学模型（选择合适的数学模型） （3）求解函数模型，得出数学结论 （4）将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义，并进行验证，看是否符合实际。 【即学即练3】（21-22高一上·江苏连云港·期末）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C．动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5730年（14C的半衰期），它的残余量只有原来的一半，经过科学测定，若14C的原始含量为1，则经过x年后的残留量为y=0.999879x.用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中14C的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代约（    ）（lg0.879≈-0.0560，lg0.999879≈-5.2553×10-5，结果保留整数） A．1033年前 B．1044年前 C．1055年前 D．1066年前 【即学即练4】（21-22高一上·江苏南通·期末）下图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量y与时间x（月）的函数图象，则该厂（    ） A．前3个月的月产量逐月增加 B．第5月的月产量比第4个月少 C．第6月的月产量与第5个月持平 D．第3个月结束后开始减产，直至停产 难点：换元法的应用 示例1：（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知（） (1)讨论该函数的奇偶性； (2)当该函数为偶函数时，记，若方程在上有实根，求实数k的取值范围． 【题型1：三种函数的增长趋势】 例1．（21-22高一上·云南红河·期末）在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据： x 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则，的函数关系式与下列哪类函数最接近？（其中为待定系数）（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）下列函数中，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（多选）（23-24高一上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数恒过定点 B．函数与的图象关于直线对称 C．，当时，恒有 D．若幂函数在单调递减，则 变式3．（多选）（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 变式4．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．函数减小的速度越来越慢 B．在指数函数中，当时，底数越大，其增长速度越快 C．不存在一个实数m，使得当时， D．当，时，在区间内，对任意的，总有成立 变式5．（24-25高一上·全国·课后作业）某工厂8年来某产品总产量与时间（年）的函数关系如图，则： ①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产． 以上说法中正确的是 ．（填序号） 变式6．（2023高一上·全国·专题练习）（1）（2）（3）分别是与在不同范围内的图象，估算出使的的取值范围是 .（参考数据：，） 变式7．（24-25高一上·全国·课堂例题）函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且． (1)请指出图中曲线，分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断，，，的大小． 【方法技巧与总结】 1. 随着x的增大，的函数值增长远远大于的函数值增长； 2.而的函数值增长又远远大于的函数值增长． 【题型2：指数函数、对数函数与幂函数模型的比较】 例2．（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（    ）    A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 变式1．（22-23高一上·江苏镇江·阶段练习）一对实数满足，则 . 变式2．（2023高一上·全国·专题练习）若已知，利用图象可判断出和的大小关系为 ． 变式3．（20-21高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是 ． 变式4．（20-21高一上·福建福州·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 变式5．（23-24高一上·全国·课后作业）函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且.    (1)请指出图中曲线分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断的大小． 变式6．（20-21高一上·山东济南·期中）已知函数 （1）请在给定的同一个坐标系中画出和函数的图象; （2）设函数，求出成的零点． 【方法技巧与总结】由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，图象呈直线上升的函数是一次函数 【题型3：实际应用题】 例3．（22-23高一上·四川眉山·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（    ）倍．（参考数据：，，） A． B． C． D． 变式1．（21-22高一上·四川成都·期中）人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（    ）倍．(参考数据：) A． B． C． D． 变式2．（20-21高一下·浙江衢州·阶段练习）随着人们健康水平的不断提高，某种疾病在某地的患病率以每年的比例降低，若要将当前的患病率降低到原来的一半，需要的时间至少是（    ）(，) A．6年 B．7年 C．8年 D．9年 变式3．（20-21高一上·湖南衡阳·期末）2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍量指数增长，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的1600倍(参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1.6≈0.4700，ln1600≈7.3778，ln6000≈8.6995. A．126 B．150 C．197 D．199 变式4．（2020·海南海口·模拟预测）《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则的整数部分为（    ） A．2566 B．2567 C．2568 D．2569 变式5．（18-19高一·全国·课后作业）某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，这样一个细胞分裂__________次以后，得到的细胞个数是128个. A．5 B．6 C．7 D．8 变式6．(多选)（21-22高一上·浙江杭州·阶段练习）声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：）．下列选项中正确的是（    ） A．闻阈的声强级为 B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：） C．如果声强变为原来的倍，对应声强级也变为原来的倍 D．声强级增加，则声强变为原来的倍． 变式7．（21-22高一·全国·课后作业）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1. （1）求出V关于Q的函数解析式； （2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数． 变式8．（21-22高一·全国·课后作业）对数的运算性质在数学发展史上是伟大的成就． (1)对数运算性质的推导有很多方法，请同学们推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么； (2)因为，所以的位数为（一个自然数数位的个数，叫做位数），试判断的位数；（注：） (3)中国围棋九段棋手柯洁与机器人阿尔法狗曾进行了三局对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为．根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和约为，甲、乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是．现有一种定义：若实数、满足，则称比接近，试判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由．（注：，） 变式9．（2021高一·全国·专题练习）森林具有净化空气的功能，经研究发现，森林净化空气量Q与森林面积S的关系是． （1）若要保证森林具有净化效果（），则森林面积至少为多少个单位？ （2）当某森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为多少个单位？ 【方法技巧与总结】建立函数模型解决实际问题的步骤 （1）确切理解题意：明确问题的实际背景，进行科学的抽象、概括，将实际问题转化为数学问题。 （2）建立相应的数学模型（选择合适的数学模型） （3）求解函数模型，得出数学结论 （4）将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义，并进行验证，看是否符合实际。 一、单选题 1．（22-23高一上·福建莆田·期中）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高一·全国·课后作业）下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 4．（20-21高一上·广东梅州·期末）专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要局部爆发，则此时约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 5．（20-21高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，若，则（    ） A． B． C．0 D．或 6．（20-21高一·全国·课后作业）已知函数f(x)=log3(x+1)，若f(a)=1，则a等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（19-20高一上·云南昭通·期中）已知幂函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（19-20高二上·江苏无锡·期中）下列命题中是假命题的是（    ） A．, B．, C．, D．, 二、多选题 9．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 10．（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）已知函数，则方程的解可能为（　　） A． B． C． D． 11．（22-23高一上·海南海口·阶段练习）已知定义在上的函数满足：，都有，且，，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数，当时，与的大小关系为 ． 13．（22-23高一上·福建南平·期末）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中T为信噪比.若不改变带宽W，而将信噪比T从499提升到1999，则C大约增加 .（结果保留一位小数） 参考数据：. 14．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知，则x＝ ． 四、解答题 15．（22-23高一上·吉林·期末）解方程： (1)； (2)． 16．（21-22高一上·山西大同·期中）已知函数f（x）为偶函数，当x≥0时，． (1)求函数f（x）的值域； (2)求关于x的方程：的解集． 17．（21-22高一上·全国·课后作业）对于函数. (1)若函数在上有意义，求a的取值范围； (2)若函数在上是增函数，求a的取值范围. 18．（19-20高一上·湖北·期中）世纪年代，里克特（C.F.Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为：，其中，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（以下数据供参考：，，） （1）根据中国地震台网测定，年月日时分，新疆巴音郭楞蒙古自治州若羌县发生地震，一个距离震中千米的测震仪记录的地震最大振幅是，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级（精确到）； （2）年月日时分秒在我国四川省汶川地区发生特大地震，根据中华人民共和国地震局的数据，此次地震的里氏震级达，地震烈度达到度.此次地震的地震波已确认共环绕了地球圈.地震波及大半个中国及亚洲多个国家和地区，北至辽宁，东至上海，南至香港、澳门、泰国、越南，西至巴基斯坦均有震感.请计算汶川地震的最大振幅是级地震的最大振幅的多少倍？ 19．（21-22高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数. (1)设是的反函数，当时，解不等式； (2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值； (3)设，若，对任意，求a的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 课程标准 学习目标 1.认识增长的概念，通过数表的直观，体会幂函数、指数函数、对数函数增长速度的差异、 2.通过函数增长的比较过程，学习比较的方法，积累选择直观方式和比较大小(快慢)的经验 重点： 三类函数增长的结论，函数增长快慢比较的常用方法难点： 通过数据分析表述函数增长快慢的理由 知识点01 三种函数的增长与衰减趋势 一.三种函数的增长趋势 1.指数函数：当a>1时，指数函数是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。增长速度先慢后快。 2.对数函数：当a>1时，对数函数是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快。增长速度先快后慢 3.幂函数：当x>0,a>0时，幂函数是增函数，并且当x>1时，a越大，其函数值的增长就越快。增长速度随着a值的不同而不同。 二.三种函数的的衰减比较 1.指数函数：当0<a<1时，指数函数是减函数，并且衰减的速度先快后慢 2.对数函数：当0<a<1时，对数函数是减函数，并且衰减的速度先快后慢 3.幂函数：当x>0,a<0时，幂函数 【即学即练1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项是四种生意预期的收益关于时间的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是 ． ①；②；③；④． 【答案】① 【分析】结合四种函数的增长差异即可判断． 【详解】①为指数型函数，②为幂函数型函数，③为对数型函数，④为正比例函数， 其中指数型函数增长速率最快，故从足够长远的角度看，更为有前途的生意是①． 故答案为：①． 【即学即练2】（24-25高一上·全国·课前预习）把一次函数，对数函数和指数函数的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异． 【答案】答案见解析 【分析】作出函数的图象，再比较增长的差异. 【详解】如图， 一次函数匀速增长，指数函数增长越来越快，对数函数增长最慢． 知识点02 建立函数模型解决实际问题的步骤 1、常用的函数模型 （1）一次函数模型：y=kx+b(k,b为常数，k≠0) （2）二次函数模型：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) （3）反比例函数模型：y=k/x+b(k≠0) （4）指数型函数模型：y=ba^x+c(a,b,c为常数，b≠0,a>0且a≠1) （5）对数型函数模型：y=mlog_ax+n(m,a,n为常数，m≠0,a>0且a≠1) （6）幂型函数模型：y=ax^n+b(a,b,n为常数，a≠0) （7）分段函数模型：y={█(f(x),x<m@g(x),x≥m)) （8）对勾函数模型：y=x+a/x(a>0) 2、建立函数模型解决实际问题的步骤 （1）确切理解题意：明确问题的实际背景，进行科学的抽象、概括，将实际问题转化为数学问题。 （2）建立相应的数学模型（选择合适的数学模型） （3）求解函数模型，得出数学结论 （4）将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义，并进行验证，看是否符合实际。 【即学即练3】（21-22高一上·江苏连云港·期末）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C．动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5730年（14C的半衰期），它的残余量只有原来的一半，经过科学测定，若14C的原始含量为1，则经过x年后的残留量为y=0.999879x.用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中14C的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代约（    ）（lg0.879≈-0.0560，lg0.999879≈-5.2553×10-5，结果保留整数） A．1033年前 B．1044年前 C．1055年前 D．1066年前 【答案】D 【分析】首先根据题意列式，再两边取对数后计算. 【详解】由题设可知，原始含量为1的14C经过x年后的残余量是y=0.999879x. 由y=87.9%=0.879可知0.879=0.999879x，两边取常用对数，得xlg0.999879=lg0.879， 所以，故古莲子约是1066年前的产物. 故选：D. 【即学即练4】（21-22高一上·江苏南通·期末）下图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量y与时间x（月）的函数图象，则该厂（    ） A．前3个月的月产量逐月增加 B．第5月的月产量比第4个月少 C．第6月的月产量与第5个月持平 D．第3个月结束后开始减产，直至停产 【答案】ABD 【分析】根据图象的性质可得正确的选项. 【详解】前三个月，图象缓慢上升，且函数值增加幅度越来越大，故前3个月的月产量逐月增加，A正确. 从3月开始到5月，图象缓慢上升，但函数值增加的幅度变小，故BD正确，C错误. 故选：ABD 难点：换元法的应用 示例1：（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知（） (1)讨论该函数的奇偶性； (2)当该函数为偶函数时，记，若方程在上有实根，求实数k的取值范围． 【答案】(1)为偶函数，为奇函数, 当且时为非奇非偶函数. (2) 【分析】（1）根据奇偶函数的定义式，求出参数即可；（2）先换元，将指数方程转化成一元二次方程，然后问题可变为求在某区间上方程有解的问题，可以结合二次方程的求和公式，韦达定理来处理. 【详解】（1）∵函数的定义域为，又∵， ∴①当时，即时， 可得，即当时，函数为偶函数； ②当时，即时， 可得，即当时，函数为奇函数． 当且时为非奇非偶函数. （2）由（1）可得，当函数为偶函数时，，即时，，由题可得： ，令， ∵，∴，， 又∵，当且仅当时，等号成立， 根据对勾函数的性质可知，，即， 于是原问题将转化成在上有解的问题. 根据求根公式：， 根据韦达定理，说明两个根异号， 令，， 即，说明是负数根，故只可能 ， ， 此时，可得的取值为 【题型1：三种函数的增长趋势】 例1．（21-22高一上·云南红河·期末）在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据： x 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则，的函数关系式与下列哪类函数最接近？（其中为待定系数）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将对应得在坐标系中点出，由图象形状即可得. 【详解】将对应得在坐标系中点出，得：    根据图形形状可得，其与指数函数图象最为接近. 故选：A. 变式1．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）下列函数中，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】指数函数增长最快，得到答案. 【详解】ABCD分别为一次函数，常函数，对数函数，指数函数，底数大于， 增长最快的是指数函数. 故选：D 变式2．（多选）（23-24高一上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数恒过定点 B．函数与的图象关于直线对称 C．，当时，恒有 D．若幂函数在单调递减，则 【答案】BCD 【分析】由指数函数的性质可判断A；由反函数的性质可判断B；由指数函数的增长速度远远快于幂函数，可判断C；由幂函数的性质可判断D. 【详解】对于A，函数恒过定点，故A错误； 对于B，函数与的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，因为指数函数的增长速度远远快于幂函数， 所以时，恒有，故C正确； 对于D，当时，幂函数在单调递减，故D正确； 故选：BCD. 变式3．（多选）（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 【答案】BD 【分析】由指数函数，幂函数，一次函数的图象特点逐一分析即可． 【详解】对于， 从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，此后再也追不上， 故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确； 对于， 由于的增长速度是不变的， 当时，大于， 当时，大于，再也追不上， 其中增长速度有时快于，C错误． 故选：BD． 变式4．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．函数减小的速度越来越慢 B．在指数函数中，当时，底数越大，其增长速度越快 C．不存在一个实数m，使得当时， D．当，时，在区间内，对任意的，总有成立 【答案】AB 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数增长的特征及数形结合，对每个选项逐个判断即可. 【详解】对于A，由对数函数的性质知，函数减小的速度越来越慢，选项A正确； 对于B，由指数函数的性质知，指数函数中，当时，底数a越大，其增长速度越快；选项B正确； 对于C，由指数函数的性质知，随的增大的增长速度是非常快的，远远超过幂函数的增长速度， 因此一定存在一个实数m，使得当时，，选项C不正确； 对于D，取，由图知， 在区间内，对任意的， 不成立，选项D不正确； 故选：AB. 变式5．（24-25高一上·全国·课后作业）某工厂8年来某产品总产量与时间（年）的函数关系如图，则： ①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产． 以上说法中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③ 【分析】分别根据图象的递增速度的变化，判断总产量的增长速度，利用总产量的数值变化判断生产状况. 【详解】由题图可知前3年的总产量增长速度越来越快； 而图象在区间上平行于轴，说明总产量没有变化， 所以第3年后该产品停止生产； 因此只有①③正确. 故答案为：①③. 变式6．（2023高一上·全国·专题练习）（1）（2）（3）分别是与在不同范围内的图象，估算出使的的取值范围是 .（参考数据：，） 【答案】 【分析】结合参考数据，观察图象找到交点坐标，结合图象即可得到结果． 【详解】因为当时，， 当时，， 所以与的交点坐标情况如图， 结合图象可知的x的取值范围是， 故答案为：. 变式7．（24-25高一上·全国·课堂例题）函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且． (1)请指出图中曲线，分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断，，，的大小． 【答案】(1)对应的函数为，对应的函数为 (2) 【分析】（1）指数函数的图象不过第三象限，由此可以判断曲线，分别对应的函数； （2）先判断的大致范围，然后根据图象判断大小即可. 【详解】（1）对应的函数为，对应的函数为． （2）因为，，，， 所以，， 所以，， 从图象上可以看出，当时，， 所以． 当时，， 即． 又因为， 所以． 【方法技巧与总结】 1. 随着x的增大，的函数值增长远远大于的函数值增长； 2.而的函数值增长又远远大于的函数值增长． 【题型2：指数函数、对数函数与幂函数模型的比较】 例2．（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（    ）    A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 【答案】ABC 【分析】由图可知两人同时出发，路程相同，甲所用时间较少，即可判断得出结果. 【详解】根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样， 显然甲所用时间短，两人速度不同，甲先到达终点； 所以只有D正确. 故选：ABC 变式1．（22-23高一上·江苏镇江·阶段练习）一对实数满足，则 . 【答案】3 【分析】令，则有，进而可得，结合函数在R上单调递增及，可得，，代入求解即可. 【详解】解：令， 则， 又因为， 所以+， 所以， 又因为函数在R上单调递增， ， 所以， 所以 所以. 故答案为：3 变式2．（2023高一上·全国·专题练习）若已知，利用图象可判断出和的大小关系为 ． 【答案】 【分析】在同一直角坐标系中，作出两函数的图象，观察图象即可. 【详解】作出和的图象，如图所示： 由图象可知，在内，； 或时，； 在内，；在内，. 故答案为：. 变式3．（20-21高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出的图象，结合二次函数、对数函数的性质，求得的取值范围. 【详解】函数有四个不同的零点等价于函数的图象与直线有四个不同的交点．画出的大致图象，如图所示．由图可知．不妨设，则，且，．因为，所以，则，故． 故答案为： 变式4．（20-21高一上·福建福州·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数和函数在区间上的图象，由图象得出为增函数且，由此可解出实数的取值范围. 【详解】如下图所示：    由上图所示，当时，不等式恒成立， 则函数为增函数， 且有， 所以， 解得， 因此，实数的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查对数不等式的求解，在利用数形结合思想求解时，要充分分析出函数的单调性，并抓住一些关键点进行分析，列出不等式组进行求解. 变式5．（23-24高一上·全国·课后作业）函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且.    (1)请指出图中曲线分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据图像得到答案. （2）计算得到，，根据图像得到当时，，当时，，得到答案. 【详解】（1）对应的函数为，对应的函数为 （2）因为，，，， 所以，， 所以，， 从图像上可以看出：当时，，所以. 当时，，所以. 又由函数的单调性易知，， 所以. 变式6．（20-21高一上·山东济南·期中）已知函数 （1）请在给定的同一个坐标系中画出和函数的图象; （2）设函数，求出成的零点． 【答案】（1）图象见解析；（2）． 【解析】（1）利用指数函数和对数函数的图象和性质作图. （2）令，由求解. 【详解】（1）图象如图所示： （2）令，得， 即 解得 故的零点是 【方法技巧与总结】由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，图象呈直线上升的函数是一次函数 【题型3：实际应用题】 例3．（22-23高一上·四川眉山·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（    ）倍．（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、，利用对数的运算性质可求得的值. 【详解】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、， 则，即， 所以，. 故选：B. 变式1．（21-22高一上·四川成都·期中）人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（    ）倍．(参考数据：) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设前者、后者的里氏震级分别为，前者、后者释放出的能量分别为、，根据已知关系式列式相减，利用对数运算法则可得． 【详解】设前者、后者的里氏震级分别为，前者、后者释放出的能量分别为、，则其满足关系和， 两式作差可以得到， 即，所以， 故选：C． 变式2．（20-21高一下·浙江衢州·阶段练习）随着人们健康水平的不断提高，某种疾病在某地的患病率以每年的比例降低，若要将当前的患病率降低到原来的一半，需要的时间至少是（    ）(，) A．6年 B．7年 C．8年 D．9年 【答案】B 【分析】首先根据条件列式，再通过两边取对数，计算需要的时间. 【详解】设至少需要年的时间，则，两边取对数， 即. 故选：B 变式3．（20-21高一上·湖南衡阳·期末）2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍量指数增长，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的1600倍(参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1.6≈0.4700，ln1600≈7.3778，ln6000≈8.6995. A．126 B．150 C．197 D．199 【答案】A 【解析】建立关系式，由对数运算法则可求得解. 【详解】设经过天能达到最初的1600倍 故 故 故选：A 变式4．（2020·海南海口·模拟预测）《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则的整数部分为（    ） A．2566 B．2567 C．2568 D．2569 【答案】B 【分析】由题意，得到，结合对数的运算性质，即可判定，得到答案. 【详解】由题可知，． 因为，所以， 所以的整数部分为2567． 故选：B. 【点睛】本题主要考查了对数的有关运算及性质的应用，其中解答中认真审题，根据对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力． 变式5．（18-19高一·全国·课后作业）某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，这样一个细胞分裂__________次以后，得到的细胞个数是128个. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由题意，次分裂后，共有个，故可得方程，从而得解． 【详解】由题意，次分裂后，共有个，所以有， ∴，故选C. 【点睛】本题主要考查指数函数的运用，考查由实际问题选择函数类型，属于基础题． 变式6．(多选)（21-22高一上·浙江杭州·阶段练习）声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：）．下列选项中正确的是（    ） A．闻阈的声强级为 B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：） C．如果声强变为原来的倍，对应声强级也变为原来的倍 D．声强级增加，则声强变为原来的倍． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件先计算出，然后再根据的变化确定的变化确定正确选项． 【详解】因为，时，，带入公式得， A：时，，故A正确； B：由题意，即，因此，解得，故B正确； C：当变为时，代入有，故C错误； D：设声强变为原来的倍，则，解得，故D正确； 故选：ABD． 变式7．（21-22高一·全国·课后作业）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1. （1）求出V关于Q的函数解析式； （2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数． 【答案】（1）；（2）2700个单位． 【分析】（1）根据成正比的性质，结合代入法进行求解即可； （2）利用代入法，结合对数与指数式互化公式进行求解即可. 【详解】解：（1）设V＝k·log3， ∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·log3， ∴k＝，∴V关于Q的函数解析式为; （2）令V＝1.5，则，∴Q＝2 700， 即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2700个单位． 变式8．（21-22高一·全国·课后作业）对数的运算性质在数学发展史上是伟大的成就． (1)对数运算性质的推导有很多方法，请同学们推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么； (2)因为，所以的位数为（一个自然数数位的个数，叫做位数），试判断的位数；（注：） (3)中国围棋九段棋手柯洁与机器人阿尔法狗曾进行了三局对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为．根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和约为，甲、乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是．现有一种定义：若实数、满足，则称比接近，试判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由．（注：，） 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)甲同学的近似值更接近，理由见解析 【分析】（1）利用对数的恒等式结合指数的运算性质可证得结论成立； （2）利用对数运算性质计算出的近似值，即可得出的位数； （3）由题意可得出，比较与的大小关系，即可得出结论. 【详解】（1）解：若，且，，，则， 化为对数式得． （2）解：令，所以， 因为，所以， 所以，所以的位数为． （3）解：根据题意，得， 所以， 所以， 因为， 所以，所以， 所以，所以甲同学的近似值更接近． 变式9．（2021高一·全国·专题练习）森林具有净化空气的功能，经研究发现，森林净化空气量Q与森林面积S的关系是． （1）若要保证森林具有净化效果（），则森林面积至少为多少个单位？ （2）当某森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为多少个单位？ 【答案】（1）10个单位；（2）150个单位． 【分析】（1）由求得，由对数函数的单调性可得时，的范围； （2）由代入计算． 【详解】（1）由题意，当时， 代入关系式可得，解得， 因为Q随S的增大而增大，所以当时． 所以森林面积至少有10个单位． （2）将代入关系式，得， 所以当森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为150个单位． 【方法技巧与总结】建立函数模型解决实际问题的步骤 （1）确切理解题意：明确问题的实际背景，进行科学的抽象、概括，将实际问题转化为数学问题。 （2）建立相应的数学模型（选择合适的数学模型） （3）求解函数模型，得出数学结论 （4）将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义，并进行验证，看是否符合实际。 一、单选题 1．（22-23高一上·福建莆田·期中）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，将分别与中间值比较大小即得. 【详解】因函数是减函数，故， 又是增函数，故， 而函数在上是增函数，故， 故得. 故选：A. 2．（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本初等函数的性质，以及初等函数的增长速度，即可求解. 【详解】由函数为单调递增的指数函数，函数为二次函数，为递增的对数函数，为递增的一次函数， 根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快． 故选：A. 3．（20-21高一·全国·课后作业）下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合指数函数，对数函数以及幂函数的图象，即可求解. 【详解】根据题意，由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数的函数值的增长速度最快. 故选：D． 4．（20-21高一上·广东梅州·期末）专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要局部爆发，则此时约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据列式，并根据给出参考数据，结合指数函数的性质解相应的指数方程，即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以，即， 所以，由于，故， 所以，所以，解得. 故选：A. 5．（20-21高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，若，则（    ） A． B． C．0 D．或 【答案】D 【分析】根据分段函数的解析式，分段求解相应的对数方程和指数方程即得. 【详解】当时，,解得; 当时，,解得, 故选：D. 6．（20-21高一·全国·课后作业）已知函数f(x)=log3(x+1)，若f(a)=1，则a等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】根据，解对数方程，直接得到答案. 【详解】∵,∴a+1=3，∴a=2. 故选：C. 【点睛】本题考查了解对数方程，属于基础题. 7．（19-20高一上·云南昭通·期中）已知幂函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出的表达式即可． 【详解】解：设， 则，解得， 则， 则． 故选B． 【点睛】本题主要考查函数值的计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键． 8．（19-20高二上·江苏无锡·期中）下列命题中是假命题的是（    ） A．, B．, C．, D．, 【答案】D 【分析】通过特殊值判断A、B的正误；正弦函数的最值判断C的正误；利用反例判断D是假命题． 【详解】解：当x=0时，lgex=0，所以A是真命题； x=0时，tanx=x，所以B是真命题； 因为sinx≤1，当x=时，sinx=1，所以，sinx＜1，C是真命题； x=0时，ex=x+1，所以∀x∈R，ex＞x+1不正确，所以D是假命题； 故选D． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查． 二、多选题 9．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【分析】做出三个函数的图象，结合图象，即可求解 【详解】画出函数的图象，如图所示， 结合图象，可得三个函数中， 当时，函数增长速度最快，增长速度最慢. 所以选项B正确；选项ACD不正确. 故选：ACD.    10．（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）已知函数，则方程的解可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数的运算性质可得，利用换元法，即可求解. 【详解】由已知得， ∴， 即， 令，则方程可化为，解得或， 故，或者 ∴或， 故选：BD. 11．（22-23高一上·海南海口·阶段练习）已知定义在上的函数满足：，都有，且，，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件，利用赋值法可求ABC,由，，从而可得当当时，，结合以及题中信息即可判断D． 【详解】令，则由，可得，所以，故A正确， 因为，，所以，可得，故B错误， 因为，所以，故C正确， 又因为当时，都有，且， 所以当时，， 因为 ； 又 进而， 因此，所以．故D正确， 故选：ACD 三、填空题 12．（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数，当时，与的大小关系为 ． 【答案】 【分析】作出的图象，数形结合，即得答案. 【详解】在同一直角坐标系中画出函数的图象， 如图所示，    由于函数的增长趋势是“爆炸式”的，其图象在函数图象的上方， 则, 故答案为： 13．（22-23高一上·福建南平·期末）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中T为信噪比.若不改变带宽W，而将信噪比T从499提升到1999，则C大约增加 .（结果保留一位小数） 参考数据：. 【答案】22.3 【分析】将与代入，作差后求增长率即可 【详解】当时，， 当时， 则， 所以C大约增加了， 即C大约增加了. 故答案为：22.3 14．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知，则x＝ ． 【答案】100 【分析】直接根据对数的运算即可得结果. 【详解】因为，所以， 即，所以， 故答案为：100. 四、解答题 15．（22-23高一上·吉林·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂的运算法则化简可得，即可得到，解得即可； （2）根据对数的运算法则可得，即可得到，解得即可. 【详解】（1）解：因为，所以，即， 所以，解得. （2）解：因为， 所以， 所以， 所以，解得，经检验得. 16．（21-22高一上·山西大同·期中）已知函数f（x）为偶函数，当x≥0时，． (1)求函数f（x）的值域； (2)求关于x的方程：的解集． 【答案】(1) (2){1} 【分析】（1）先利用指数函数的性质求得x≥0时，函数的值域，再根据函数f（x）为偶函数求解； （2）由x＜0时，，而f（x）＞0，无解；当时，记，将方程转化为求解. 【详解】（1）解：x≥0时，， 又因为函数f（x）为偶函数， 所以函数f（x）的值域为 （2）当x＜0时，，而f（x）＞0，故， 当时，记，则t≥1，方程可化为， 解得t＝2（舍去）， 所以x＝1. 综上所述，原方程的解集为{1}． 17．（21-22高一上·全国·课后作业）对于函数. (1)若函数在上有意义，求a的取值范围； (2)若函数在上是增函数，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数定义可知对数型复合函数有意义需要内函数在定义域内大于零恒成立，因此可将问题转变为二次函数在定义域内大于零恒成立问题进行求解； （2）根据复合函数单调性 “同增异减” 原则，因为外函数是单调递减函数，当内函数在定义域内单调递减，整体即可单调递增，即可将问题转变为二次函数在定义域内单调递减即可. 【详解】（1）函数在上有意义， 则对于恒成立， 当对称轴小于-1时，则，当对称轴大于等于-1时，则， 即或， 解得或. 即. 故a的取值范围是. （2）令，则. 由复合函数的单调性可知， 函数在上是增函数在上是减函数， 且，对恒成立， 得，解得. 故a的取值范围是. 18．（19-20高一上·湖北·期中）世纪年代，里克特（C.F.Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为：，其中，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（以下数据供参考：，，） （1）根据中国地震台网测定，年月日时分，新疆巴音郭楞蒙古自治州若羌县发生地震，一个距离震中千米的测震仪记录的地震最大振幅是，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级（精确到）； （2）年月日时分秒在我国四川省汶川地区发生特大地震，根据中华人民共和国地震局的数据，此次地震的里氏震级达，地震烈度达到度.此次地震的地震波已确认共环绕了地球圈.地震波及大半个中国及亚洲多个国家和地区，北至辽宁，东至上海，南至香港、澳门、泰国、越南，西至巴基斯坦均有震感.请计算汶川地震的最大振幅是级地震的最大振幅的多少倍？ 【答案】（1）约为里氏级的地震（2）倍 【分析】（1）把最大振幅和标准振幅直接代入公式M＝lgA﹣lgA0求解； （2）利用对数式和指数式的互化由M＝lgA﹣lgA0得，把M＝8.0和M＝5.0分别代入公式作比后即可得到答案． 【详解】（1） 因此，这是一次约为里氏级的地震. （2）由可得 则 当时，地震的最大振幅为 当时，地震的最大振幅为 所以，两次地震的最大振幅之比是 答：级地震的最大振幅大约是级地震的最大振幅的倍. 【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，训练了对数式和指数式的互化，解答的关键是对题意的理解，是中档题． 19．（21-22高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数. (1)设是的反函数，当时，解不等式； (2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值； (3)设，若，对任意，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）求得反函数，再解指数不等式即可； （2）等价转化为的解集只有一个元素，对其进行分类讨论，即可求得参数值； （3）根据题意，等价转化任意，分离参数，构造函数，求其最值即可求得参数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，则，所以； 当时，，解得或，即解集为； （2）若，即，所以的解集中恰好有一个元素， 当时，，符合题意： 当时，若，解得，此时，满足题意： 若，则有两个根，因为，所以两根均满足题意，故不成立： 综上：或. （3）因为，在为单调减函数，又为单调增函数， 故在上是单调减函数； 因为任意， 即有， 所以， 设，则， 当时， 当时，， 因为在上递减，所以， 所以， 所以实数a的取值范围时，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$