第03讲 解直角三角形（6大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（北师大版）

第03讲 解直角三角形 课程标准 学习目标 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题． 1. 掌握直角三角形的边角关系． 2. 能够利用直角三角形的边角关系求直角三角形中的其他元素． 3. 能够构造直角三角形求线段的长或角的大小． 知识点一：解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 【即学即练】 1．如图，在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 3．在中,,,,则的长等于 ． 4．在中，，已知和b，那么 ．    5．在中，，，，则 6．在中，，a、b、c分别是的对边，，，解这个直角三角形． 题型01 已知两边解直角三角形 例： 在中，，， ，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．在中，，，，解这个直角三角形．（∠C所对的边为c，∠A所对的边为a） 9．在中，，，，则的余切值为 ． 10．（1）计算： （2）在中，，，，求的余弦值和正切值． 11．（1）计算：； （2）如图，在中，，，，解这个直角三角形． 12．如图，在中，，，，求、与的值． 13．已知在中，分别为所对的边，由下列条件解直角三角形． (1)已知，求． (2)已知，，求． 题型02 已知一个锐角和斜边解直角三角形 例：在中，，a，b，c分别为的对边，，，解这个直角三角形． 15．在中，，，，则AC的长为（   ） A． B． C． D． 16．如图，在中，，，，则的长为 ． 17．在中，，，，则的长为 18．在中，已知的对边分别为，且，解这个直角三角形． 19．如图，在中，，，．求的周长． 20．在中，所对的边分别为a、b、c，根据下列条件：，，求出直角三角形的其他元素． 本题考查了解直角三角形的问题．在直角三角形中，两锐角互余可求出第三个角，之后再根据直角三角形中的角所对边是斜边的一半可得的长，再利用勾股定理计算出． 解：，，， ， ， ， ． 题型03 已知锐角和直角边解直角三角形 例：在中，，解这个直角三角形． 22．在中，，若，，则的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 23．如图，在中，，则 ． 24．在中，，，，则 ． 25．在中，，解这个三角形．（自己画图） 26．如图，在中，，，，解这个直角三角形． 27．（1）计算：； （2）如图，在中，，，，求的长及的余弦值． 28．已知在直角中，，，，求和大小． 题型03 构造直角三角形解非直角三角形 例：课本再现 （1）在中，，求的长； 拓展延伸 （2）在中，为锐角，，求的面积． 30．已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 31．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 32．如图，在中，，，，则边的长为 ． 33．如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则 ． 34．在中，边上的高，则 ． 35．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 36．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 题型04 解直角三角形在综合问题中的应用 例：如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 38．如图，在矩形中，为对角线上一点，连接，过点作交延长线于，若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 39．如图，点是矩形的边上的一点，沿折叠为，点落在上，若，则（   ） A． B． C． D． 40．如图，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则值为 ． 41．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．动点分别从同时出发，其中点以每秒4个单位的速度沿向终点运动，点以每秒5个单位的速度沿向终点运动．设运动时间为秒． (1)填空：___________；___________；___________（用的代数式表示）； (2)连结，若和以为顶点的三角形相似，求的值； (3)连结，若，求的值； 42．综合探究 已知在矩形中，，，过点C作对角线的垂线l，点E为直线上一点，过点E作，交直线l于点F． (1)如图（1）所示，当点F在的延长线上时， (2)如图（2）所示，过点F作的延长线，垂足为点G，请写出与的数量关系，并说明理由． (3)连接，当是等腰三角形时， 求的长． 43．综合与实践 【问题情境】 在数学活动课上，老师提出这样的一个问题：如图1，四边形中，平分，试说明线段和之间的数量关系． 【初步探究】 （1）针对老师提出的问题，小敏和小捷两位同学给出了不同的思路： 小敏：如图2，从结论的角度出发：在上截取，连接， 小捷：如图3，从平分这个条件出发，将沿翻折，即：延长线段到点使，……； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比探究】 （2）如图4，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，猜想线段之间的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，若，请直接写出线段的长度． 题型05 解直角三角形在实际问题中的应用 例：如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，则高为（   ）cm． A． B． C． D． 45．如图，已知，则两地之间的距离为（   ）    A． B． C． D． 46．如图有一直角边为3和4的直角三角形，现欲在该三角形中裁出一个面积最大的正方形，小鄂给出了两种裁法则（    ） A．裁法一所得的正方形面积最大 B．裁法二所得的正方形面积最大 C．裁法一与裁法二所得的正方形面积均不是最大值 D．裁法一与裁法二所得的正方形面积相等且面积均为最大值 47．小明在主题公园游玩时发现某个项目有三个巨大的正六边形广告牌，其简化图如图1所示，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧广告牌不动，如图2所示，将中间广告牌抽出并重新摆放后，其中，中间广告牌的上下两条边与直线平行，有两边分别经过两侧广告牌的一个顶点．则图2中：中间广告牌的中心到直线的距离为 （结果保留根号）． 48．某款沙发三视图如图1所示，将沙发侧面展示图简化后放入平面直角坐标系，得到图2．其中椅背是双曲线的一部分，椅面是一条线段，点，沙发腿轴、与x轴夹角为．请你根据图形解决以下问题： （1） ； （2）过点A作轴于点F．已知，，，．则A点坐标为 ． 49． 课题 《杠杆原理与相似三角形》 杠杆原理：也称为“杠杆平衡条件”，杠杆原理是几何学在物理学的体现． 相关概念：支点：杠杆绕着转动的固定点；动力：使杠杆转动的力；阻力：阻碍杠杆转动的力；动力臂：从支点到动力作用线的距离；阻力臂：从支点到阻力作用线的距离． 基本模型：当一个力通过一个支点施加在杠杆上时，通过作图，可以观察到两个相似的三角形． 如图，因为，， 所以， 则有（Ⅰ）________ 又因为（消耗的功一致）， 可得， 所以． 可得（Ⅱ）______（为阻力的反作用力）． 即，动力动力臂阻力阻力臂． 得出结论：要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等． (1)填空：（Ⅰ） 、（Ⅱ） ； (2)如图，小明用实心钢管制作了一个自带支点杠杆，为支点，．，，方向上因撑起一物体产生450牛顿（国际单位制中，力的单位）的阻力，方向上施加一个力使杠杆平衡，． ①请用“动力臂”与“阻力臂”概念构造相似三角形，并证明这些三角形相似； ②，运用“杠杆原理”相关知识，直接写出的大小． 50．综合与实践． 【实践背景】夜间在高速公路上行车时，对向来车的灯光易引发眩光现象，进而导致交通事故，因此高速公路设置了防眩板遮挡对向车辆灯光． 【数学建模】如图是一条高速公路的俯视示意图，中央隔离带的中轴线垂直平分每块防眩板，防眩板宽度是米（米）．一辆汽车车灯位于点时，车灯发出的光线分别经过防眩板，的点和点，光线经过防眩板的点，，道路米，光线和行驶路线的夹角．（参考数据：，） 【解决问题】 (1)的长度是多少米？ (2)防眩板，间的距离是多少米？ 51．为了了解登高云梯消防车的工作情况，某学习小组进行了如下研究： 课题 某种登高云梯消防车的工作情况 素材 如图.是某种登高云梯消防车，图是其工作示意图．臂架由组成（其中 可伸缩， 为消防员站的篮筐），点，，均为旋转点（段绕点旋转，段绕点旋转，段绕点旋转，且所有旋转角都不超过）．点距离地面． 状态 状态一 状态二 图示 具体 情况 ， ， ，， ，平行地面 ，，长度同状态一数据 消防车悬臂的角度（）不得超过 某日一栋写字楼发生火灾，着火点距离地面． 任务 （）求段与地面之间的距离； （）消防员是否能够实施最佳救援（最佳救援是指 与着火点处于同一水平位置），若不能，请求出段至少需要再加长多少米? 题型06 构造直角三角形求解不规则图形的数据 例：一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到）． 53．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 54．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　）   A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 55．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 56．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为 ． 57．如图，某高为60米的大楼旁边的山坡上有一个“5G”基站，从大楼顶端测得基站顶端的俯角为，山坡坡长米，坡度，大楼底端到山坡底端的距离米，则该基站的高度 米． 58．江阴芙蓉大道城市快速路在2020年5月份通车，在安装路灯过程中，工人师傅发现垂直于地面的灯柱OA与灯杆AB相交成一定的角度才能产生光照效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域OC长为8m，从O、C两处测得路灯B的仰角分别为∠BOC和∠BCO，且tan∠BOC＝4，tan∠BCO＝． （1）求路灯B到地面的距离； （2）若∠OAB＝120°，求灯柱OA的高度（结果保留根号）． （建议用时45分钟） 59．如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 60．如图：已知大矩形宽，小矩形宽，小矩形在平移过程中保持，则重叠部分的四边形的面积是（    ）． A． B．12 C．6 D． 61．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(，，，)和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则（   ） A． B． C． D． 62．如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（     ） A． B． C． D． 63．如图，在四边形中，连接，若，则 ． 64．如图，在矩形中，，点F在对角线上从点A运动到点C，连接，作，使，且点E和点A位于两侧，则点E运动的路径长是 ． 65．已知中，，，，如果解这个三角形有2解，则的取值范围是 ． 66．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以为边向上作正方形．若图象经过点C的反比例函数的解析式是，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ． 67．如图，已知在中，是上一点，连接使得． (1)求证：； (2)若，，求． 68．已知，在中，． (1)如图①，若，则的长为 ； (2)如图②，若为中点，连接，则的度数为 ； (3)如图③，若，则的面积为 ； (4)如图④，若，则的值为 ； (5)如图⑤，若，则的长为 ． 69．在阳光下，测得一根与地面垂直、长为米的竹竿的影长为米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上． (1)如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米，求树的高度． (2)如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少？ 试卷第2页，共79页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 解直角三角形 课程标准 学习目标 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题． 1. 掌握直角三角形的边角关系． 2. 能够利用直角三角形的边角关系求直角三角形中的其他元素． 3. 能够构造直角三角形求线段的长或角的大小． 知识点一：解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 【即学即练】 1．如图，在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角形的定义． 根据余弦的定义解答即可． 【详解】解：在中，， ， ， ， 故选：C 2．在中，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知锐角三角函数是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， 故选C．    3．在中,,,,则的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查利用锐角三角函数解直角三角形．从条件入手,熟知三角函数各边与正弦余弦的关系是解决本题的关键． 【详解】解:∵,, ∴设,则, ∵, ∴,即, ∴． 4．在中，，已知和b，那么 ． 【答案】 【分析】根据正弦的定义得到，即可得到用和表示． 【详解】解：， ， ． 故答案为：．    【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值． 5．在中，，，，则 【答案】 【分析】根据的正弦求出，再根据30°的正弦值求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键． 6．在中，，a、b、c分别是的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】本题考查了解直角三角形，含60度角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 先利用直角三角形锐角互余求出，再用的正切求出b，再用的余弦求出c． 【详解】解：∵， ． 由知：， 由知，． ∴，，． 题型01 已知两边解直角三角形 例： 在中，，， ，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 先根据正切三角函数的定义求得，再根据特殊角的三角函数值求出角度即可． 【详解】解：在中， ∵，， ， ∴， ∴， 故选：A． 8．在中，，，，解这个直角三角形．（∠C所对的边为c，∠A所对的边为a） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形以及勾股定理．利用勾股定理可求出b的值，结合锐角三角函数可得出，进而可得出． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴， 故． 9．在中，，，，则的余切值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，直接根据锐角三角函数的定义解答即可，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴的余切值． 故答案为：． 10．（1）计算： （2）在中，，，，求的余弦值和正切值． 【答案】（1） （2）， 【分析】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数，勾股定理，对于（1），根据，再计算即可； 对于（2），先根据勾股定理求出，再根据余弦，正切的定义解答． 【详解】（1）原式 ； （2）根据勾股定理，得． 所以，． 11．（1）计算：； （2）如图，在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】（1）；（2），， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）代入特殊角的三角函数值，进行计算即可得出答案； （2）由直角三角形的性质及解直角三角形的知识即可得出答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）解：在中，，，， ， ， ， ． 12．如图，在中，，，，求、与的值． 【答案】，，． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根据正弦，正切，余弦的定义进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，，． 13．已知在中，分别为所对的边，由下列条件解直角三角形． (1)已知，求． (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角函数的定义，熟练掌握正弦以及余弦的定义是解此题的关键． （1）由，即可得出答案； （2）由，代入数值计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：，， ， ， ． 题型02 已知一个锐角和斜边解直角三角形 例：在中，，a，b，c分别为的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查解直角三角形，利用互余关系求，特殊角的三角函数值求出的值． 【详解】解：在中，，，， ∴，． 15．在中，，，，则AC的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故选：D． 16．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理．利用三角函数求出的长，再利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：9． 17．在中，，，，则的长为 【答案】5 【分析】本题考查了解直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键．在中，根据锐角三角函数的定义可设，则，然后利用勾股定理求出，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：5． 18．在中，已知的对边分别为，且，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【分析】本题考查了解直角三角形的条件，在直角三角形的三条边和两个锐角这五个元素中，若已知关于这些元素的两个独立条件，其中至少有一个条件是边，则此直角三角形可解． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ． 19．如图，在中，，，．求的周长． 【答案】60 【分析】本题考查了三角函数的比值关系，勾股定理解直角三角形等知识，熟练掌握三级函数边的比值关系是解题的关键． 利用三角函数的比值关系列式运算出的长，在利用勾股定理求出的长度，即可求周长． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 20．在中，所对的边分别为a、b、c，根据下列条件：，，求出直角三角形的其他元素． 【答案】，，． 【分析】 本题考查了解直角三角形的问题．在直角三角形中，两锐角互余可求出第三个角，之后再根据直角三角形中的角所对边是斜边的一半可得的长，再利用勾股定理计算出． 【详解】 解：，，， ， ， ， ． 题型03 已知锐角和直角边解直角三角形 例：在中，，解这个直角三角形． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键，由，得：，进而根据三角函数的定义，求出的值． 【详解】解：中，， ， ∵， ∴， ∵， ∴． 22．在中，，若，，则的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握正弦的定义是解题关键．根据正弦的定义可知，进而可得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 23．如图，在中，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，掌握余弦的定义是解题的关键，在中，；根据，求出，再由勾股定理求解即可； 【详解】解：中，， ， ， 故答案为：10 24．在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，根据正切函数，可得AC，根据勾股定理求得斜边AB的长，然后利用三角函数的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，在中，，，t， ∴， 即， ∴． 由勾股定理，得 ． ， 故答案为：． 25．在中，，解这个三角形．（自己画图） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，含度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理的应用，准确计算是关键．根据三角形内角和定理求出，根据正切的定义求出，根据含度角直角三角形求出即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ， ， ∴． 26．如图，在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由直角三角形锐角互余求出，由“正切”求出，最后再运用勾股定理求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴． 27．（1）计算：； （2）如图，在中，，，，求的长及的余弦值． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题考查了特殊角锐角函数值的混合运算，解直角三角形： （1）把特殊角锐角函数值代入计算，即可求解； （2）在直角三角形中已知一个角和一条边可以求出三角形的其他元素．通过，，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 28．已知在直角中，，，，求和大小． 【答案】4， 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值及直角三角形的两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵在直角中，，，，， ∴，，即， ∴， 题型03 构造直角三角形解非直角三角形 例：课本再现 （1）在中，，求的长； 拓展延伸 （2）在中，为锐角，，求的面积． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角形函数的定义． （1）先解直角三角形求出，然后再根据勾股定理求出即可； （2）过点B作于点D，解直角三角形求出，根据勾股定理求出，最后求出三角形的面积即可． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， 即， 解得：， ∴． （2）过点B作于点D，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 30．已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 31．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 32．如图，在中，，，，则边的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．过点作于点，解得，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：2． 33．如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则 ． 【答案】 【分析】过作于，则，求出和的长，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ∵小正方形的边长为， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 34．在中，边上的高，则 ． 【答案】 【分析】由题意易得，则有，然后根据三角函数可得，，进而问题可求解． 【详解】解：如图， ∵AD⊥BC， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数值是解题的关键． 35．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 36．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 题型04 解直角三角形在综合问题中的应用 例：如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明； （3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可． 【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线 故答案为： （2）证明：四边形为平行四边形 （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点 四边形为平行四边形， ， ， 又 ． 38．如图，在矩形中，为对角线上一点，连接，过点作交延长线于，若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点E作于点N，延长交于M，证明四边形是矩形，四边形是矩形，设，则，由得到，证明，则，得到，则，得到，勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】解：过点E作于点N，延长交于M， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C 39．如图，点是矩形的边上的一点，沿折叠为，点落在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，解直角三角形．利用数形结合的思想是解题关键． 根据题意可知，故可设，则．再根据折叠的性质可知，，，从而可求出．又易证，即得出，即又可设，则．根据勾股定理可求出，从而可求出，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， 设，则． 由折叠的性质可知，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，则． ∵，即， ∴（舍去负值）， ∴， ∴． 故选：A． 40．如图，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则值为 ． 【答案】 /30度 / 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定等知识： （1）由折叠得根据可得结论； （2）设分别表示出证明，得出根据得出进而即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴ 由折叠得 ∴在中， ∴， 故答案为：； （2）设　 ∴ ∴ ∵G是的中点， ∴， 如图， ∵ ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴， 由折叠得， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 41．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．动点分别从同时出发，其中点以每秒4个单位的速度沿向终点运动，点以每秒5个单位的速度沿向终点运动．设运动时间为秒． (1)填空：___________；___________；___________（用的代数式表示）； (2)连结，若和以为顶点的三角形相似，求的值； (3)连结，若，求的值； 【答案】(1)10，， (2)或 (3) 【分析】（1）首先分别令和求出，，然后利用勾股定理求出，然后根据题意表示出和； （2）若和以为顶点的三角形相似时，则存在或，则或，即可求解； （3）由（1）知，，过点作轴于点，表示出，然后得到，推出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∴ ∴， ∵动点分别从同时出发，其中点以每秒4个单位的速度沿向终点运动，点以每秒5个单位的速度沿向终点运动 ∴，； （2）解：∵，， ∴， 若和以为顶点的三角形相似时， 则存在或， 则或， 即或， 解得：或； （3）解：由（1）知，， 过点作轴于点， 则，则， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形、中位线的性质勾股定理等知识，有一定的综合性，难度适中，解题的关键是掌握以上知识点． 42．综合探究 已知在矩形中，，，过点C作对角线的垂线l，点E为直线上一点，过点E作，交直线l于点F． (1)如图（1）所示，当点F在的延长线上时， (2)如图（2）所示，过点F作的延长线，垂足为点G，请写出与的数量关系，并说明理由． (3)连接，当是等腰三角形时， 求的长． 【答案】(1)30度 (2)相等，理由见解析 (3)或或 【分析】（1）首先由特殊角的三角函数值求出，然后证明出，得到，进一步证明出，即可得到； （2）首先由含角直角三角形的性质得到，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）设，则，首先判断出若是等腰三角形，则或，然后分情况讨论，分别根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，设与交于点O， ∵在矩形中， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）相等，理由如下： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴； （3）设，则 ∵， ∴ 若是等腰三角形，则或 ①如图所示，当， 且点F位于上方时，作， ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ 解得，（舍去）； ②如图所示，当， 且点F位于下方时，延长交于点 N， 在中， 同理可得 解得，(舍去)； ③如图所示，当时， 延长交于点N， ∵，， 综上可得，或或． 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 43．综合与实践 【问题情境】 在数学活动课上，老师提出这样的一个问题：如图1，四边形中，平分，试说明线段和之间的数量关系． 【初步探究】 （1）针对老师提出的问题，小敏和小捷两位同学给出了不同的思路： 小敏：如图2，从结论的角度出发：在上截取，连接， 小捷：如图3，从平分这个条件出发，将沿翻折，即：延长线段到点使，……； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比探究】 （2）如图4，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，猜想线段之间的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，若，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）线段的长度是． 【分析】（1）延长线段到点，使，连接，可证明，得，而，所以，则，即可推导出；另一种证明方法是：在上截取，连接，可证明，得，再证明，则，则； （2）作交的延长线于点L，，所以，则，再证明，得，由，得． （3）由，，，求得，在上取一点H，连接，使，则，求得，则，所以，即可求得． 【详解】（1）证明：如图3，延长线段到点，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 证明：如图2，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图4，作交的延长线于点L，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：线段的长度是， 理由：∵，， ∴，， 在上取一点H，连接，使，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长度是． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、类比与转化数学 思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 题型05 解直角三角形在实际问题中的应用 例：如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，则高为（   ）cm． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，在中，根据可得答案． 【详解】解：在中，， ∵， ∴cm． 故选：D． 45．如图，已知，则两地之间的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，直接解求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， 故选：A． 46．如图有一直角边为3和4的直角三角形，现欲在该三角形中裁出一个面积最大的正方形，小鄂给出了两种裁法则（    ） A．裁法一所得的正方形面积最大 B．裁法二所得的正方形面积最大 C．裁法一与裁法二所得的正方形面积均不是最大值 D．裁法一与裁法二所得的正方形面积相等且面积均为最大值 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，设两个正方形的边长分别为，，利用锐角三角函数，分别求出，的值，进而求出两个正方形的面积进行判断即可． 【详解】解：裁法一，如图，设正方形的边长为，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：，经检验，是原方程的解； ∴正方形的面积为； 裁法二，如图，设正方形的边长为，则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴正方形的面积为； ∵，且当正方形的顶点不全在三角形的边上时，边长必然小于裁法一所得的正方形的边长， ∴裁法一所得的正方形面积最大； 故选A． 47．小明在主题公园游玩时发现某个项目有三个巨大的正六边形广告牌，其简化图如图1所示，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧广告牌不动，如图2所示，将中间广告牌抽出并重新摆放后，其中，中间广告牌的上下两条边与直线平行，有两边分别经过两侧广告牌的一个顶点．则图2中：中间广告牌的中心到直线的距离为 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质、三角函数、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据题意推出，证四边形为矩形、，分别求出、即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵该多边形是正六边形， ∴ ∵ ∴ ∴ 由题意得：， ∴四边形为矩形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴； 则 由正六边形的结构特征可知：,, ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为： 48．某款沙发三视图如图1所示，将沙发侧面展示图简化后放入平面直角坐标系，得到图2．其中椅背是双曲线的一部分，椅面是一条线段，点，沙发腿轴、与x轴夹角为．请你根据图形解决以下问题： （1） ； （2）过点A作轴于点F．已知，，，．则A点坐标为 ． 【答案】 640 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，解直角三角形，反比例函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）作轴于，由题意得出，，解直角三角形得出，求出，结合反比例函数解析式计算即可得出答案． 【详解】解：（1）将代入双曲线得， ∴， 故答案为：； （2）如图，作轴于， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可得， 当时，，即A点坐标为， 故答案为：． 49． 课题 《杠杆原理与相似三角形》 杠杆原理：也称为“杠杆平衡条件”，杠杆原理是几何学在物理学的体现． 相关概念：支点：杠杆绕着转动的固定点；动力：使杠杆转动的力；阻力：阻碍杠杆转动的力；动力臂：从支点到动力作用线的距离；阻力臂：从支点到阻力作用线的距离． 基本模型：当一个力通过一个支点施加在杠杆上时，通过作图，可以观察到两个相似的三角形． 如图，因为，， 所以， 则有（Ⅰ）________ 又因为（消耗的功一致）， 可得， 所以． 可得（Ⅱ）______（为阻力的反作用力）． 即，动力动力臂阻力阻力臂． 得出结论：要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等． (1)填空：（Ⅰ） 、（Ⅱ） ； (2)如图，小明用实心钢管制作了一个自带支点杠杆，为支点，．，，方向上因撑起一物体产生450牛顿（国际单位制中，力的单位）的阻力，方向上施加一个力使杠杆平衡，． ①请用“动力臂”与“阻力臂”概念构造相似三角形，并证明这些三角形相似； ②，运用“杠杆原理”相关知识，直接写出的大小． 【答案】(1)（Ⅰ）；（Ⅱ） (2)①，证明见解析；② 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）依据相似三角形的对应边成比例进行推导即可得出结论； （2）①过点作交的延长线于，延长交的延长线于，则，证明，，即可得证；②根据动力动力臂阻力阻力臂，进行计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，因为，， 所以， 则有（Ⅰ）， 又因为（消耗的功一致）， 可得， 所以． 可得（Ⅱ）（为阻力的反作用力）． 即动力动力臂阻力阻力臂． 得出结论：要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等． （2）解：①如图，过点作交的延长线于，延长交的延长线于，则， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由（1）可得：动力动力臂阻力阻力臂， ∴， 由①可得：， ∵，，，， ∴， ∴． 50．综合与实践． 【实践背景】夜间在高速公路上行车时，对向来车的灯光易引发眩光现象，进而导致交通事故，因此高速公路设置了防眩板遮挡对向车辆灯光． 【数学建模】如图是一条高速公路的俯视示意图，中央隔离带的中轴线垂直平分每块防眩板，防眩板宽度是米（米）．一辆汽车车灯位于点时，车灯发出的光线分别经过防眩板，的点和点，光线经过防眩板的点，，道路米，光线和行驶路线的夹角．（参考数据：，） 【解决问题】 (1)的长度是多少米？ (2)防眩板，间的距离是多少米？ 【答案】(1)的长度约是米 (2)防眩板，间的距离是米 【分析】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质的应用及解分式方程，熟练掌握相关定义及判定定理是解题关键． （1）根据锐角三角函数的定义求解即可； （2）分别过点，作于点，于点，可证明，，设米，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）依题意，在中， ∵，，，米， ∴， ∴（米）． 答：的长度约是米． （2）解：如图，分别过点，作于点，于点， 依题意得（米）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）． 设米， ∵， ∴， ∴， ∴=， 解得x=， 经检验x=是原方程的解． ∴防眩板，间的距离是米． 51．为了了解登高云梯消防车的工作情况，某学习小组进行了如下研究： 课题 某种登高云梯消防车的工作情况 素材 如图.是某种登高云梯消防车，图是其工作示意图．臂架由组成（其中 可伸缩， 为消防员站的篮筐），点，，均为旋转点（段绕点旋转，段绕点旋转，段绕点旋转，且所有旋转角都不超过）．点距离地面． 状态 状态一 状态二 图示 具体 情况 ， ， ，， ，平行地面 ，，长度同状态一数据 消防车悬臂的角度（）不得超过 某日一栋写字楼发生火灾，着火点距离地面． 任务 （）求段与地面之间的距离； （）消防员是否能够实施最佳救援（最佳救援是指 与着火点处于同一水平位置），若不能，请求出段至少需要再加长多少米? 【答案】（）段与地面之间的距离为；（）不能，消防员不能够实施最佳救援，段至少需要再加长． 【分析】（）过点作水平直线，分别过点，作该水平直线的垂线，垂足为，，则可得，，再通过三角函数求出即可； （）过作，交延长线于点，当成一条直线且时能够实施最佳救援，再通过三角函数求出的长，最后进行比较即可； 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）如图，过点作水平直线，分别过点，作该水平直线的垂线，垂足为，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴段与地面之间的距离为； （）不能，如图， 当成一条直线且时能够实施最佳救援， 过作，交延长线于点， 由题意得：， ∴， ∴消防员不能够实施最佳救援，段至少需要再加长． 题型06 构造直角三角形求解不规则图形的数据 例：一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到）． 【答案】 【分析】把所给四边形构建成几个直角三角形，利用求和的方法来求面积即可． 【详解】解：如图，连接BD，作DE⊥AB于E，作BF⊥CD于F． ∵∠A＝∠C＝60°， ∴DE＝30•sin60°＝15≈25.9808m， BF＝20•sin60°＝10≈17.3205m， ∴ ＝×50×25.9808＋×50×17.3205≈． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，对于一个任意四边形，在求面积时，一般是构建直角三角形，利用求和的方法来求面积，熟练掌握解直角三角形是解题关键． 53．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 54．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　）   A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【分析】设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，分别求出当b=0时和当b≠0时，阴影部分的面积，由此即可判断． 【详解】解：设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c， 过F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，FM=BFsinB=asinB； 过G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB； ∴当b=0时，阴影部分的面积为三角形BEF的面积，S阴= acsinB； 当b≠0时，S阴=S△BEF-S△BDG= （a+b）（c-b）sinB-（c-a-b）sinB= acsinB， ∴运动过程中，阴影部分的面积不变， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 55．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】过点N作CD的垂线交于点E，根据对折和平分线可以得到，再利用三角函数可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的长． 【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E 由折叠可知： ，， ∵AN平分 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理可得： 故选：C 【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 56．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为 ． 【答案】 【分析】如图，延长BC，AD交于E，解直角三角形分别求出AE、DE、CE、BC的长，再运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长BC，AD交于E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴BC=BE-CE=， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，理解题意、明确思路、正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 57．如图，某高为60米的大楼旁边的山坡上有一个“5G”基站，从大楼顶端测得基站顶端的俯角为，山坡坡长米，坡度，大楼底端到山坡底端的距离米，则该基站的高度 米． 【答案】 【分析】如图（见解析），先根据坡度的定义、勾股定理求出的长，从而可得的长，再根据解直角三角形可得的长，然后根据可得的长，从而可得的长，最后根据即可得． 【详解】解：如图，延长相交于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ， 坡度， 设米，则米， 在中，， 解得， 米，米， 米， 米， 由题意得：， 在中，米， 米， 米， 米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、坡度等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 58．江阴芙蓉大道城市快速路在2020年5月份通车，在安装路灯过程中，工人师傅发现垂直于地面的灯柱OA与灯杆AB相交成一定的角度才能产生光照效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域OC长为8m，从O、C两处测得路灯B的仰角分别为∠BOC和∠BCO，且tan∠BOC＝4，tan∠BCO＝． （1）求路灯B到地面的距离； （2）若∠OAB＝120°，求灯柱OA的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）路灯B到地面的距离8m；（2）灯柱OA的高度为（8﹣）m． 【分析】（1）过点B作BF⊥OC于F，设BF＝x．解直角三角形求得OF＝x，CF＝x，由OC＝8求得x＝8，据此知BF＝8m； （2）再过点A作AG⊥BF于点G，求得∠BAG＝∠OAB﹣∠OAG＝30°．解直角三角形可得BG，进而即可求得OA． 【详解】解：（1）过点B作BF⊥OC于F，设BF＝x． 在Rt△BOF中，∵tan∠BOC＝＝4， ∴OF＝x， 在Rt△BCF中，∵tan∠BCO＝， ∴CF＝x， ∵OC＝8， ∴x+x＝8， ∴x＝8， ∴BF＝8m， 即路灯B到地面的距离8m； （2）过点A作AG⊥BF于点G，可知四边形AGFO是矩形， ∵∠OAB＝120°， ∴∠BAG＝∠OAB﹣∠OAG＝120°﹣90°＝30°． ∵OF＝×8＝2， ∴AG＝OF＝2， 在Rt△BAG中，∵tan∠BAG＝， ∴BG＝tan30°×2＝ ∴OA＝GF＝（8﹣）（m）， 即灯柱OA的高度为（8﹣）m． 【点睛】本题主要考查解直角三角形仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力． （建议用时45分钟） 59．如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 60．如图：已知大矩形宽，小矩形宽，小矩形在平移过程中保持，则重叠部分的四边形的面积是（    ）． A． B．12 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，解直角三角形，如图，过点作的垂线段，交于点，可得，再解直角三角形求得，即可求得平行四边形的面积，利用解直角三角形求得平行四边形的底边长是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的垂线段，交于点， 小矩形宽， ， ， 根据题意可得， 四边形为平行四边形， 平行四边形以为底，底边上的高为， ， 故选：A． 61．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(，，，)和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解直角三角形的应用，设，，则，，解直角三角形可得，化简可得，即得，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得，进而可求解的值，利用解直角三角形求得，是解题的关键． 【详解】解：如图，设，，则，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：． 62．如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数可求，由勾股定理求得，根据等腰三角形的性质以及外角求得，最后在中，． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ， 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练利用数形结合的思想是解题的关键． 63．如图，在四边形中，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，角平分线的性质，勾股定理，过作交于，过作交延长线于，由设，，由可得，在中根据勾股定理求出，再由，得到，进一步得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：过作交于，过作交延长线于， ∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 64．如图，在矩形中，，点F在对角线上从点A运动到点C，连接，作，使，且点E和点A位于两侧，则点E运动的路径长是 ． 【答案】2 【分析】当F与A点重合时和F与C重合时，根据E的位置，可知E的运动路径是的长；由已知条件可以推导出是直角三角形，且，在中，求出即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点O． ∵，四边形为矩形． ∴，， ∴为等边三角形． ∴当点F与A点重合时，如图，点E在的中点处， ∴． 当点F运动到上的某处，如图，点此时点E在处， ∴． ∴． ∵， ∴，即． ∴， ∴，即． ∴点E在的射线上． ∵F是对角线上的一个动点， ∴当F与C点重合时，E达到最高点，如图． ∴E的运动路径是的长； ∵，， ∴， 当F与A点重合时， 在中，，， ∴，， 当F与C重合时，， ∴，， 在中，； 故答案为：． 【点睛】本题考查点的轨迹；相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，能够根据E点的运动情况，分析出E点的运动轨迹是线段，在30度角的直角三角形中求解是关键． 65．已知中，，，，如果解这个三角形有2解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，确定有两个解的临界点成为解题的关键．如图：过B作边上的高．解直角三角形可得，再根据这个三角形有2解可知以B为圆心、以半径的圆与射线有两个交点；然后确定两个临界点解答即可． 【详解】解：如图：过B作边上的高． ∵，， ∴， ∵这个三角形有2解， ∴以B为圆心，以半径的圆与射线有两个交点， 当与射线掐有一个交点时，即点C与点H重合， ∴； 当以B为圆心，以半径的圆与射线有两个交点的临界点，即， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 66．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以为边向上作正方形．若图象经过点C的反比例函数的解析式是，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，根据角的正切值，设，，根据正方形的性质，证明，得到，，进而得到，再结合反比例函数图象上点的坐标特征，求出，同理求得，利用待定系数法求出反比例解析式即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 在中，， ， ， 设，则， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 图象经过点C的反比例函数的解析式是， ， ， 同理可证，， ，, ， ， 设经过点D的反比例函数的解析式是， ， 经过点D的反比例函数的解析式是， 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，解直角三角形的应用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形，掌握反比例函数的性质是解题关键． 67．如图，已知在中，是上一点，连接使得． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可证明； （2）根据和得出，过点C作，根据，，在中，结合勾股定理求出，根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 过点C作， ∵，， ∴， 设， 则，， 在中，，即， 解得：或0（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 68．已知，在中，． (1)如图①，若，则的长为 ； (2)如图②，若为中点，连接，则的度数为 ； (3)如图③，若，则的面积为 ； (4)如图④，若，则的值为 ； (5)如图⑤，若，则的长为 ． 【答案】(1) (2)30 (3) (4) (5) 【分析】（1）过点B作，交的延长线于点，求出，由，求出，进而得到，利用勾股定理即可求解； （2）过点C作，交的延长线于点E，连接．证明是等腰直角三角形，是等边三角形，即可求解； （3）过点A作，则．求出，解直角三角形求出，进而得到，即可求解； （4）在上找一点D，使得．连接，求出， ，，根据正切的定义即可求解； （5）在上取点D，使得，连接，证明是等腰直角三角形，得到，，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点B作，交的延长线于点， ， ； （2）解：如图②，过点C作，交的延长线于点E，连接． 是等腰直角三角形， ． ，点D为的中点， ， ，是等边三角形， ． （3）解：如图③，过点A作，则． ． ， ， ． （4）解：如图④，在上找一点D，使得．连接， ， ． （5）解：如图⑤，在上取点D，使得，连接， 又 是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 69．在阳光下，测得一根与地面垂直、长为米的竹竿的影长为米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上． (1)如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米，求树的高度． (2)如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少？ 【答案】(1)（米） (2)树的高度为为米 【分析】本题主要考查解直角三角形，线段成比例的运用，合作作出辅助线是解题的关键， （1）如图所示，连接并延长交延长线于点，根据与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米，可得，求出的值，同理，，即可求解； （2）如图所示，延长交延长线于点，过点作于点，根据与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米，可得，求出的值，在中，，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，米，米， 如图所示，连接并延长交延长线于点， ∵与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）， 同理，， ∴（米）； （2）解：如图所示，延长交延长线于点，过点作于点，米，米，， ∴在中，（米），（米）， ∴（米），（米）， ∵与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴树的高度为米． 试卷第2页，共79页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$