第01讲 锐角三角函数（3考点6题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（北师大版）

第01讲 锐角三角函数 课程标准 学习目标 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA) . 1.理解正切的意义，并能举例说明； 2.能够根据正切的概念进行简单的计算； 3.经历探索直角三角形中边角关系的过程 理解正弦、余弦的意义和与现实生活的联系. 4.能够用 sinA.cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比.表示生活中物体的倾斜程度.能够用正弦、余弦进行简单的计算， 知识点一：正切的定义 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边＝. 【即学即练】 1．在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 2．在中，，那么锐角的正弦等于（      ） A． B． C． D．． 3．在中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角的正弦值（    ） A．没有变化 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．不能确定 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，sinA＝ ． 知识点二：正弦的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． 【即学即练】 5．如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 8．在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大5倍，那么它的两个锐角的余弦值 ． 知识点三：余弦的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． 余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． 【即学即练】 9．在中，各边都扩大3倍，则的正切值（    ） A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 10．在直角三角形中， 如果各边都扩大 1 倍， 则其锐角的三角函数值（   ） A．都扩大 1 倍 B．都没有变化 C．都缩小为原来的一半 D．不能确定 11．在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（  ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 12．如图，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，且a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则tanA等于（    ） A． B． C． D． 13．如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 14．在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 15．在中，， ，则的值为（　　） A． B． C． D．    16．已知在中，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 17．如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 18．求出图中的正弦值、余弦值和正切值． 题型01 已知正弦值求边长 例：在Rt中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 20．在中，，则的长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 21．在中，，，，则的长等于 ． 22．如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 题型02 已知余弦值求边长 例：如图，在中，，则的长度为 ． 24．如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为 25．如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长是 ． 26．如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 题型03 已知正切值求边长 例：如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 28．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 29．在中， 则的长为 ． 题型04 三角函数定义的综合应用 例：如图，在中，，，，，则线段的长 ．​ 31．在中，，，，下列三角函数值正确的是（     ） A． B． C． D． 32．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 33．在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 34．如图，在中，，下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 35．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 36．在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 37．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、 于点、．若，，则 ． 38．如图中，，试求出的三个三角函数值． 题型05 坡度与坡比的应用 例：如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（    ）米 A． B． C． D． 40．小明沿着坡度为的山坡向上走了，则他竖直上升了（    ） A． B． C． D． 41．如图，有一斜坡的长为10，坡角，则斜坡的铅垂高度为（    ） A． B． C． D． 42．一个人沿坡面向上走了米，而升高了米，那么这个坡的坡比 ． 题型06 锐角三角函数的综合应用 例：构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，延长到D，，连接，得．根据此图可求得的结果 ． 44．如图所示， 已知正方形的边长为2， 以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E， 连接， 则 ． 45．如图，等腰、中，，，，于M，连接，若，则 ． 三、解答题 46．如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)求证：； (2)若，，则的值是________． 47．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上． (1)求的值． (2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 48．如图，在四边形中，，，连接交于点，，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 49．如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 50．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． （建议用时45分钟） 51．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 52．如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 53．如图，在中，，点为的重心，若，，那么的长为（    ）． A． B． C． D． 54．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 55．如图，在矩形中，，点在上，将沿直线折叠，使点A恰好落在上的点处，连接，分别与矩形的两条对角线交于点和点，则下列结论错误的是（    ）． A．是等腰直角三角形 B． C． D． 56．如图，正方形的边长，点为平面内一动点，且，点为上一点，，连接、，当线段的长最小时，三角形的面积是（　　）    A． B． C． D． 57．在中，连接AC，若，，则 ． 58．如图，在菱形中，以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，分别以B，E为圆心，以大长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G．连接，若，，则菱形的面积为 ． 59．如图，一副三角板的三个内角分别是，，和，，，如图，若固定，将绕着公共顶点顺时针旋转度，当边与的某一边平行时，相应的旋转角的正切值为 ． 60．如图，在矩形中，，，连结，点，分别为，边上一点，于点． (1)若，则= ． (2)若，则可取的最大整数值为 ． 61．图1、图2分别是的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上，请在网格中按照下列要求画出图形； (1)在图1中以为斜边作等腰直角三角形（顶点在小正方形的顶点上）； (2)在图2中以为边作四边形（点E、F在图2中的小正方形的顶点上），使得四边形是轴对称图形，且，直接写出四边形的周长______． 62．长期以来，冰雪运动被称为“高岭之花”．如图所示，滑雪轨道由两部分组成，轨道的长度都为200米，若与水平面的夹角，与水平面的夹角． (参考数据：，，结果精确到1米) (1)求轨道拐点B到轨道底端C的水平距离； (2)若小星沿此轨道，从A处滑到C处，求小星下降的高度． 63．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中边上找到一点D，连接，使； (2)在图②中边上找到一点E，连接，使； (3)在图③中边上找到一点F，连接，使． 64．如图，中，点在轴上，反比例函数的图象经过的中点，且与相交于点，且点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求直线的表达式和的面积； (3)过动点作轴的垂线与反比例函数和直线分别交于两点，当点在点的上方时，请直接写出的取值范围． 65．（1）证明推断 如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，过点E作，的垂线，分别交直线于点F，G．推断：与的数量关系为______；（直接写出答案） （2）类比探究 如图2，在矩形中，，点E是对角线上一点，过点E作，的垂线分别交直线于点F，G．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程； （3）拓展运用 在（2）的条件下，连接，当，时，若，求的长． 试卷第32页，共33页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 锐角三角函数 课程标准 学习目标 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA) . 1.理解正切的意义，并能举例说明； 2.能够根据正切的概念进行简单的计算； 3.经历探索直角三角形中边角关系的过程 理解正弦、余弦的意义和与现实生活的联系. 4.能够用 sinA.cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比.表示生活中物体的倾斜程度.能够用正弦、余弦进行简单的计算， 知识点一：正切的定义 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边＝. 【即学即练】 1．在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的性质可知锐角A的度数不变，所以锐角A对应的三角函数值就不变． 【详解】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就不变． 故选：B． 2．在中，，那么锐角的正弦等于（      ） A． B． C． D．． 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的定义可直接得出结果． 【详解】在中，，那么锐角的正弦=， 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义． 3．在中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角的正弦值（    ） A．没有变化 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据所得新三角形与原三角形相似，锐角A的大小不变，锐角三角函数值只与角的大小有关可得． 【详解】解：若的各边长度都扩大2倍，则所得新三角形与原三角形相似，故锐角大小不变，其正弦值也没有变化， 故选A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的性质，熟知锐角三角函数值只与角的大小有关是解题的关键． 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，sinA＝ ． 【答案】 【分析】运用三角函数定义求解． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90，BC＝6，AB＝10， ∴sinA＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义． 正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝对边：斜边． 知识点二：正弦的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． 【即学即练】 5．如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余弦的定义，根据锐角三角函数的定义解答即可，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由， ∴是， 故选：． 6．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 7．如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∴． ∴A，B，C正确，不符合题意，D错误，符合题意， 故选：D． 8．在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大5倍，那么它的两个锐角的余弦值 ． 【答案】不变 【分析】由于锐角的余弦值是该角的邻边与斜边的比，当各边都扩大为原来的5倍时，比值不变． 【详解】解：∵锐角的余弦值在直角三角形中是该角的邻边与斜边的比， ∴当各边都扩大为原来5倍时，比值不变． 故答案为不变 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，要明确，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 知识点三：余弦的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． 余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． 【即学即练】 9．在中，各边都扩大3倍，则的正切值（    ） A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了正切函数的概念，根据锐角三角函数的定义，可得答案．属于简单题．理解正切函数的定义是解题关键． 【详解】解：由题意，得，各边都扩大3倍，则角A的正切值不变． 故选：C． 10．在直角三角形中， 如果各边都扩大 1 倍， 则其锐角的三角函数值（   ） A．都扩大 1 倍 B．都没有变化 C．都缩小为原来的一半 D．不能确定 【答案】B 【分析】在直角三角形中，锐角三角函数值即为边的比值；根据锐角三角函数值的概念进行分析即可得到答案． 【详解】解：根据锐角三角函数的概念，知： 如果各边都扩大 1 倍，即各边都变为原来的2倍，边长比不变，则其锐角的三角函数值不变． 故选：B． 【点睛】此题考查的是锐角三角函数的概念，掌握三角函数值只与角的大小有关，与角的边长无关是解决此题关键． 11．在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（  ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【答案】B 【分析】根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余切值保持不变． 【详解】解：∵在中，各边的长度都缩小4倍， ∴各角的大小不变，即大小不变． ∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关， ∴锐角A的余切值保持不变． 故选B． 【点睛】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键． 12．如图，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，且a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则tanA等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切的定义解答即可． 【详解】解：tanA=． 故答案为A． 【点睛】本题主要考查了正切的定义，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA． 13．如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键． 【详解】解：，， 故选A． 14．在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边求解即可． 【详解】解：如图， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边． 15．在中，， ，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握正弦和余弦的定义． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B．    16．已知在中，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求锐角三角函数值．根据勾股定理求出的长，利用锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．熟记锐角三角函数的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，，； 故选A． 17．如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义计算判断即可． 【详解】解：A、由，故该项错误，不符合题意； B、由，故该项错误，不符合题意； C、由，故该项错误，不符合题意； D、由，故该项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键． 18．求出图中的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】，，． 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理解出，再由正弦、余弦、正切公式代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，． 题型01 已知正弦值求边长 例：在Rt中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦函数的定义即可直接求解，解题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【详解】解：如图， ∵， ∴设，， ∴由勾股定理得：， 解得：， ∴， 故选：． 【变式训练】 20．在中，，则的长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角的正弦的定义，勾股定理的应用．由三角函数的定义，可得的值，进而由勾股定理可得的大小． 【详解】解：如图， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A 21．在中，，，，则的长等于 ． 【答案】15 【分析】本题考查了正弦的定义，根据计算即可得出答案，熟练掌握正弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 22．如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质、正弦的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等，得到，再根据正弦定义即可解得的长． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 题型02 已知余弦值求边长 例：如图，在中，，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义可得据此计算求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：6． 24．如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为 【答案】5 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，由余弦的定义可得出，根据勾股定理求出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 25．如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】此题考查三角函数，勾股定理，根据，设，求出，再根据勾股定理求出． 【详解】在中，， ∴， 设， ∵垂直平分， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为． 26．如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了正弦与余弦、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握正弦与余弦的概念是解题关键． （1）先根据余弦的定义可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得； （2）先求出，利用余弦可求出的长，从而可得的长，再在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 所以的长为5． （2）解：∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 所以的正弦值为． 题型03 已知正切值求边长 例：如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 坐标与图形，过点A作轴于D，则，再解得到，即． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于D， ∵点在第一象限， ∴， ∵与x轴所夹锐角为，， ∴， ∴，即， 故选：C． 28．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、正切函数，由菱形的对角线互相垂直平分可得，，结合求出，再利用勾股定理解可得答案． 【详解】解：菱形中，对角线、相交于点O，， ，， ， ， ， 故选C． 29．在中， 则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先根据正切的定义得到，设，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中， ， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：6． 题型04 三角函数定义的综合应用 例：如图，在中，，，，，则线段的长 ．​ 【答案】/ 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键；过点B作，垂足为E，交于点F，由题意易得，，然后可根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：过点B作，垂足为E，交于点F，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 故答案为：． 31．在中，，，，下列三角函数值正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求正弦，余弦，正切，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．根据题意作出图形，进而根据三角函数关系求解即可． 【详解】解：如图，在中，，，， ， ，，，， ∴、、错误，正确， 故选B． 32．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦：我们把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作进行计算即可．此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义． 【详解】解：，，， ∴， ， 故选：A． 33．在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是互余两角三角函数的关系，解题的关键是熟练的掌握互余两角三角函数的关系，根据互余两角三角函数关系直接解决即可． 【详解】解：如图，在中，，若，    ∴， 故答案选：B． 34．如图，在中，，下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的运算，根据正弦值是对边与斜边的比值，余弦值是邻边与斜边的比值，正切值是对边与邻边的比值，进行逐个计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故选：D． 35．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切定义，设，则，再根据勾股定理求得，然后利用余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴设，则， ∴， ∴， 故选：D． 36．在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数和勾股定理．根据题意画图，由，设，，利用勾股定理求出，根据正切定义求解即可． 【详解】解：由题意可画图如下： 在中，，， ． 设，，则， ， 故选：A． 37．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、 于点、．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，求正切，连接，勾股定理求得，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵的垂直平分线分别交边于点E、F． ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴ 故答案为：． 38．如图中，，试求出的三个三角函数值． 【答案】，， 【分析】本题考查了三角函数的定义，结合已知，先利用勾股定理求出的长，再根据，，即可求解的三个三角函数值． 【详解】解：中，， ， ，，． 题型05 坡度与坡比的应用 例：如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（    ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题考查了解直角三角形的应用，在中，由，即可得出的长度． 【详解】在中，， ∵坡面米，坡角， ∴该山坡的高度， 故选：D． 40．小明沿着坡度为的山坡向上走了，则他竖直上升了（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的概念，根据题意，正确画出图形． 根据题意，画出图形，如下，根据坡比为，可设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，画出图形，如下： 由题意可得，， 设，则， 由勾股定理可得：，即 解得， 即，他升高了， 故选：C． 41．如图，有一斜坡的长为10，坡角，则斜坡的铅垂高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，， ，， ， 故选：B． 42．一个人沿坡面向上走了米，而升高了米，那么这个坡的坡比 ． 【答案】 【分析】本题考查了坡度的定义，利用勾股定理可求出行走的水平距离，根据坡度的定义即可得答案. 【详解】∵向上行走了10米，上升高度为6米， ∴行走的水平距离=米， ∴此斜坡的坡度， 故答案为： 题型06 锐角三角函数的综合应用 例：构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，延长到D，，连接，得．根据此图可求得的结果 ． 【答案】/ 【分析】可得是等腰直角三角形，设，由勾股定理得，则，故． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，由勾股定理得 ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了求角的正切值，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型． 44．如图所示， 已知正方形的边长为2， 以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E， 连接， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，求正切值，等边对等角，结合题意，由正方形的性质可知，则，，再根据即可求解，熟练理解相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， ∴， 由题意可知，则， ∴， ∴， 故答案为：． 45．如图，等腰、中，，，，于M，连接，若，则 ． 【答案】/0.8 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义、勾股定理、锐角三角函数等知识．证明，则，得到，由于M得到，则，设则求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于M， ∴， 则， 设则 ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题 46．如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)求证：； (2)若，，则的值是________． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，求一个角的正切值，证明出相似是解题的关键． （1）根据矩形的性质和垂直的意义得到，而由，得到，根据两角相等，两三角形相似即可证明； （2）由得到，则． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 47．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上． (1)求的值． (2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂线，熟练掌握正弦的定义是解题关键． （1）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以为直角的直角三角形，再根据正弦的定义求解即可得； （2）先以点为圆心、为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点，然后画直线，交于点，则即为所作；最后利用正弦的定义即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴是以为直角的直角三角形， ∴． （2）解：用尺规作图法过点作，垂足为，作图如下： 在中，． 48．如图，在四边形中，，，连接交于点，，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了正切，勾股定理，平行线的性质等知识．熟练掌握正切，勾股定理，平行线的性质是解题的关键． （1）由，可得，即，设，则，，由勾股定理得，，可求，进而可求； （2）如图，过C作于F，由，可得，则，设，则，由勾股定理得，，可求，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴的长为6； （2）解：如图，过C作于F， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴的长为． 49．如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 【答案】(1)；；证明见解析 (2)；；证明见解析 【分析】（1）本小题要求找到规律并证明，要规律首先就应该准确的计算出，，，，，以及和的值；要证明结论就应该在一般的三角形中求解，在边长分别为、、的直角三角形中，，，计算的结果证明结论； （2）在边长分别为、、的直角三角形中计算，，看结论是否相同即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ，，， 规律：对于任意锐角有， 故答案为：，，1，，，1； 证明：如图所示，在中，， ，，， ． （2）解：，， ， 规律：对于任意锐角有， 证明：如图， ，， ． 故答案为：，，，． 50．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形： （1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立 解得或， ∴； 设， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于的不等式的解集为或． （建议用时45分钟） 51．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，角的正弦值，能够作出辅助线得到直角三角形是解题关键． 如图，取格点，可通过勾股定理算出三者长度，再通过勾股定理逆定理得到为直角三角形，进而通过正弦的定义即可解题． 【详解】解：取格点，通过勾股定理可算出 ，， 得到 ∴为直角三角形，且 ∴ 故选：A． 52．如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，然后根据正切的概念求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴，， 由折叠可得，， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则 在中， 解得： ． 故选C． 【点睛】此题考查了勾股定理、矩形的折叠问题、全等三角形的性质和判定、正切的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 53．如图，在中，，点为的重心，若，，那么的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心，三角函数，直角三角形的性质，勾股定理，由点为的重心可得为边的中线，为边的中线，，即得，进而由三角函数可得，再由勾股定理得，进而由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，据此即可求解，掌握三角形的重心的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，∵点为的重心， ∴为边的中线，为边的中线，， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，为边的中线， ∴， ∴， 故选：． 54．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，正切定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，连接交于点，由正方形的性质得，，，，进而得，又证，得，从而得，进而利用正切定义即可得解。 【详解】解：如解图，连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， 根据题意，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴ 故选：A 55．如图，在矩形中，，点在上，将沿直线折叠，使点A恰好落在上的点处，连接，分别与矩形的两条对角线交于点和点，则下列结论错误的是（    ）． A．是等腰直角三角形 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦的定义等知识点，灵活运用相关性质和判定成为解题的关键． 根据折叠的性质和矩形的性质可判定A选项；根据折叠的性质以及相似三角形的判定与性质可得判定B选项；根据平行线等分线段定理可判定C选项；如图，过点作于点，再求得、，然后运用正弦的定义即可解答． 【详解】解：将沿直线折叠， ， ， ， 是等腰直角三角形，故选项A正确，不符合题意； ， ， 将沿直线折叠， ， ， ， ， ，故选项B正确，不符合题意；， ， ， ， ，故选项C正确，不符合题意； 如图，过点作于点， ， ． ， ， ， ， ． 故选项D错误． 故选D． 56．如图，正方形的边长，点为平面内一动点，且，点为上一点，，连接、，当线段的长最小时，三角形的面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质及应用，涉及三角形面积，动点问题，圆的定义，正弦函数．由，知的轨迹是以为圆心，4为半径的，故当在线段上时，最小，过作于，可得，，根据，即得，从而可得答案． 【详解】， 的轨迹是以为圆心，4为半径的， 当在线段上时，最小，过作于，如图：   ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 57．在中，连接AC，若，，则 ． 【答案】0.5或2 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．作于E，由平行四边形的面积求出，再由勾股定理求出，得出，即可得出结果． 【详解】解∶如图1，作于E， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图2，作，交的延长线于E， 同理可求，， ∴， ∴． 综上可知，的值为2或0.5． 故答案为：2或0.5． 58．如图，在菱形中，以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，分别以B，E为圆心，以大长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G．连接，若，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，由题意可得知，由菱形的性质可得出，．进而可证明四边形为矩形，由矩形的性质可得出，．设，根据正切的定义可得出，由勾股定理解出，最后根据菱形的性质求面积即可． 【详解】过点作于点， 由作图知，， 四边形是菱形， ，． ． ． 四边形为矩形． ，． ∴． 设， ∵， ∴， ∴． ， ∴． ∴． ∴． 菱形的面积． 故答案为： 【点睛】本题考查了作已知线段的垂直平分线的定义以及性质，菱形的性质，矩形的判定以及性质，正切的定义， 勾股定理，掌握线段的垂直平分线的作图以及菱形的性质是解题的关键． 59．如图，一副三角板的三个内角分别是，，和，，，如图，若固定，将绕着公共顶点顺时针旋转度，当边与的某一边平行时，相应的旋转角的正切值为 ． 【答案】1或 【分析】分三种情况：当时；当时；当时，作；分别利用平行线的性质求出旋转角，再由正切的定义，求出正切值即可． 【详解】解：如图，当时， 此时，即旋转角， ∴相应的旋转角的正切值为； 如图，当时， 此时， ∴，即旋转角， 作交于，交于，作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， 设，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，作， 则， ∴，， ∴，即旋转角， ∵， ∴不符合题意，舍去； 综上所述，相应的旋转角的正切值为1或， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、正切的定义等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 60．如图，在矩形中，，，连结，点，分别为，边上一点，于点． (1)若，则= ． (2)若，则可取的最大整数值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了矩形的性质，正切，相似三角形的判定和性质，不等式等知识的综合运用，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质，运用勾股定理可得，，如图，延长交于点，根据正切值的计算可得，根据，可证，根据相似三角形的性质即可求解； （2）根据题意，设，则，根据（1）的计算方法可得，，解得，，由，解不等式组，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，，， ∴， 如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）根据题意，设，则， 由（1）可得，，，且， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（无解）， 解得，， ∵取最大整数， ∴， 故答案为： ． 61．图1、图2分别是的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上，请在网格中按照下列要求画出图形； (1)在图1中以为斜边作等腰直角三角形（顶点在小正方形的顶点上）； (2)在图2中以为边作四边形（点E、F在图2中的小正方形的顶点上），使得四边形是轴对称图形，且，直接写出四边形的周长______． 【答案】(1)图解析 (2)图解析，四边形的周长为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的定义，平行四边形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键． （1）根据勾股定理及其逆定理结合网格特点作图即可； （2）结合网格特点使四边形是平行四边形且满足即可． 【详解】（1）如图， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）如图， 由作图可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是轴对称图形， ∵， ∴四边形符合题意． ∵， ∴平行四边形的周长． 故答案为：． 62．长期以来，冰雪运动被称为“高岭之花”．如图所示，滑雪轨道由两部分组成，轨道的长度都为200米，若与水平面的夹角，与水平面的夹角． (参考数据：，，结果精确到1米) (1)求轨道拐点B到轨道底端C的水平距离； (2)若小星沿此轨道，从A处滑到C处，求小星下降的高度． 【答案】(1)轨道拐点B到轨道底端C的水平距离为173米 (2)小星下降的高度为168米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义和含的直角三角形性质解直角三角形，矩形的判断和性质． （1）过点B作于点G，根据余弦定义得到； （2）设与交于点H，根据含的直角三角形性质和矩形性质，得到，根据正弦定义得到，即得． 【详解】（1）如图，过点B作于点G， ∵在中，，，， ∴； ∴轨道拐点B到轨道底端C的水平距离为173米； （2）如图，设与交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在中， ，，， ∴， ∴． 故小星下降的高度为168米． 63．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中边上找到一点D，连接，使； (2)在图②中边上找到一点E，连接，使； (3)在图③中边上找到一点F，连接，使． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】本题主要考查作图应用与设计作图，解直角三角形，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用． （1）取的中点，连接即可； （2）延长交于格点，取格点，连接与交于点，连接即可； （3）取格点，作射线交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，点D即为所求； ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图②中，点E即为所求； ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 根据（1）得：， ∴． （3）解：如图③中，点F即为所求． ． 64．如图，中，点在轴上，反比例函数的图象经过的中点，且与相交于点，且点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求直线的表达式和的面积； (3)过动点作轴的垂线与反比例函数和直线分别交于两点，当点在点的上方时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)； (3)或 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法，数形结合分析是解题的关键． （1）根据点，，可求出点的坐标，可得点的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数解析式可得，且，运用待定系数法即可求解直线的解析式，根据即可求解； （3）已知，点在反比例函数的图象上，点在直线的图象上，图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，点，， ∴，即， ∴，则， ∵点是的中点， ∴， ∴在反比例函数中，， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为：， ∴当时，， ∴，且， 设直线的解析式为：， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴； （3）解：已知，点在反比例函数的图象上，点在直线的图象上， ∴当点在点的上方时，或． 65．（1）证明推断 如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，过点E作，的垂线，分别交直线于点F，G．推断：与的数量关系为______；（直接写出答案） （2）类比探究 如图2，在矩形中，，点E是对角线上一点，过点E作，的垂线分别交直线于点F，G．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程； （3）拓展运用 在（2）的条件下，连接，当，时，若，求的长． 【答案】（1）；（2），过程见解析；（3） 【分析】（1）证明，即可求解； （2）证明和，利用相似三角形对应边成比例即可求解； （3）过点作交于点，过点作交于点，设，则，，利用等积法求出，则，再由，得到，，，根据 ，得到线段成比例，可求，从而求出和，再由等积法，求出，，根据勾股定理分别求出，， 结合（2）可知即可求解． 【详解】解：（1） 理由如下： ，， ， ， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 故答案为：； （2），， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，矩形中，， ， ， ； （3）过点作交于点，过点作交于点， ， ，， 设，则，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，即， 解得， 又， ， ， ，， ， ， ，， ， 又， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，平行线的性质，等积法求高，勾股定理是解题的关键． 试卷第32页，共33页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$