精品解析：福建省 漳州市华侨中学2024-2025学年上学期第一次月考九年级数学试卷

2024—2025学年上学期漳州市华侨中学九年级第一月考 数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为、、， 故选：． 3. 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形； 矩形是轴对称图形，是中心对称图形； 菱形是轴对称图形，是中心对称图形； 正方形是轴对称图形，是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程移项得：， 配方得：， 则方程变形为． 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 5. 根据下列表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由表格可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得出答案． 【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根， ∴的一个解的取值范围为． 故选：C． 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解．解题的关键是理解和掌握二次函数图像和一元二次方程的关系． 6. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角互补 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，熟知正方形的性质，矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：A、正方形和矩形的对角都是90度，二者互补，不符合题意； B、正方形和矩形的对角线都相等，不符合题意； C、正方形和矩形的对角线都互相平分，不符合题意； D、正方形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，符合题意； 故选：D． 7. 如图，菱形的对角线，的长分别为6和8，则这个菱形的面积是（　　） A. 48 B. 40 C. 24 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的面积．菱形的面积等于对角线长乘积的一半，列式计算即可． 【详解】菱形的对角线，的长分别为6和8 这个菱形的面积为． 故选：C． 8. 想用一根长的绳子围成以下面积的矩形，一定做不到的是（ ） A. 26 B. 25 C. 24 D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】设矩形的长为xm，则宽为（10-x）m，设面积为y，由矩形的面积公式建立解析式就可以求出结论． 【详解】设矩形的长为xm，面积为y，由题意，得 y=x（10-x）， y=-x2+10x， y=-（x-5）2+25． ∴a=-1＜0， ∴y有最大值， ∴x=5时，y最大=25． ∵26＞25． ∴面积为26m2不成立． 故选A． 【点睛】考查了矩形的周长公式的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答关键是根据面积公式求出解析式． 9. 顺次连接下列四边形“各边中点所构成的四边形”中，为矩形的是（ ） ①平行四边形②矩形③菱形④对角线相等的四边形⑤对角线互相垂直的四边形 A. ③⑤ B. ①④ C. ②④ D. ②⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】首先证明各边中点所构成的四边形是平行四边形，再证明当四边形的对角线相互垂直时，各边中点所构成的四边形为矩形，由此即可作出判定． 【详解】解：如图，在四边形中，E、F、G、H分别是四边形四边的中点，连接， ∵E、F、G、H分别是四边形四边的中点， ∴；， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当四边形是平行四边形时，自然四边形是平行四边形； 当四边形的对角线垂直时，即时， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； 故⑤正确； 由于菱形的对角线相互垂直，则其各边中点所构成的四边形也是矩形， 故③正确； 故①②④不正确； 即③⑤正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的性质等知识，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 10. 若，()是关于的方程()的两个实数根，则实数，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，二次函数与一元二次方程，令抛物线解析式，得到抛物线与轴交点的横坐标为，，再结合图象得抛物线与交点，即交点横坐标为，，从而确定出，，，的大小关系，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：令抛物线解析式， 当，， 解得：，， ∴抛物线与轴交点的横坐标为，， ∴抛物线与交点，横坐标为，， ∵，， ∴如图， ∴， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝____． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=AB=5. 考点：直角三角形斜边上的中线． 12. 若是方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程推出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOD=60°，AC=4，则AD的长是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知，由，可知为等边三角形，即可求得的长度. 【详解】 四边形ABCD是矩形， , 为等边三角形, 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟知矩形的性质和等边三角形的判定和性质是解题关键. 14. 设，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵设，是方程的两个实数根，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 若关于x的一元二次方程有两个不等实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，根的判别式大于0， “二次项系数不为0”，是解决问题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到且，解不等式即可． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 16. 如图，在矩形中，，，是平面内的一个点，满足，则长的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】取中点O，连接，由矩形的性质得到，，则，再由直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出，最后根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示，取中点O，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，两点之间，线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答． 17. 按要求解下列一元二次方程： （1）（用配方法）； （2）（用公式法）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（）利用配方法求解即可； （）利用公式法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【小问1详解】 解： ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 18. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算出，然后代入公式，得，即可作答． （2）先移项，再提公因式，然后令每个因式为0，列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：， ， 则， ∴； 【小问2详解】 解：∵， 移项得， ∴， 则， ∴． 19. 如图，点E，F分别在菱形的边上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的性质．熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 20. 已知关于x的方程有两个实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1）的取值范围为： （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到的范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，则，即，利用因式分解法解得，，然后由（1）中的的取值范围即可得到的值， 【小问1详解】 解：关于x的方程有两个实数根， ，即，解得， 的取值范围为：； 【小问2详解】 解：方程有两个实数根，， ，， ， ，即， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程和解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系的性质是解决此题的关键． 21. 如图，在中，，的平分线交于点，，．求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的证明，根据，可得四边形为平行四边形；结合可得四边形为矩形，进而得，再由平分得，即可求证； 【详解】证明：∵，． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形． ∴， ∵平分， ∴， ∴四边形为正方形． 22. 如图，在矩形中，为对角线． （1）作以为对角线的菱形，且点，分别在边，；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，分别交，于E、F，则四边形即为所求； （2）由菱形的性质得到，设，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交，于E、F，则四边形即为所求； 易证明，则四边形为平行四边形， 再由线段垂直平分线的性质可得，则四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴， 设，则， 由矩形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，线段垂直平分线的性质机器尺规作图，勾股定理，矩形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为每个50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 【小问1详解】 解： 设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个50元． 24. 已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程－(2k+3)x++3k+2=0的两个实数根． （1）无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由； （3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形，理由见解析；（3）k=3或k=4．k=3时，周长是9+5=14；k=4时，周长是11+5=16． 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案； （2）将k的值代入原方程并求解后，根据勾股定理逆定理即可求出答案； （3）根据等腰三角形的性质即可求出k的值． 【详解】解（1）证明：∵△=-4（+3k+2）=1， ∴△＞0， ∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根， （2）当k=2时， ∴原方程化为：x2-7x+12=0， 解得：x=3或x=4， ∴32+42=52， ∴△ABC是直角三角形； （3）若AB=BC=5时，5是方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的实数根， 把x=5代入原方程，得k=3或k=4． 由（1）知，无论k取何值，△＞0，所以AB≠AC， 故k只能取3或4． 根据一元二次方程根与系数的关系可得：AB+AC=2k+3， 当k=3时，AB+AC=9，则周长是9+5=14； 当k=4时，AB+AC=8+3=11．则周长是11+5=16． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质. 25. 如图，已知四边形是正方形，点，分别在，的延长线上，，交于点，的延长线交于点，连接． （1）请判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）求的度数； （3）如图，连接，直接写出用等式表示、、间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）由题意可得，则，通过余角可得到，即，从而求解； （）连接，可得，可知点四点共线，由同弧所对圆周角相等, 可得； （）在上截取，连接，可得，进而，，可得是等腰直角三角形，再由勾股定理和线段和差即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， 由（）知， ∴， ∴点四点共圆， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在上截取，连接， 由（）得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上学期漳州市华侨中学九年级第一月考 数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. B. 、、 C. 、、 D. 、、 3. 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 根据下列表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角互补 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 7. 如图，菱形的对角线，的长分别为6和8，则这个菱形的面积是（　　） A. 48 B. 40 C. 24 D. 20 8. 想用一根长的绳子围成以下面积的矩形，一定做不到的是（ ） A. 26 B. 25 C. 24 D. 23 9. 顺次连接下列四边形“各边中点所构成的四边形”中，为矩形的是（ ） ①平行四边形②矩形③菱形④对角线相等的四边形⑤对角线互相垂直的四边形 A. ③⑤ B. ①④ C. ②④ D. ②⑤ 10. 若，()是关于的方程()的两个实数根，则实数，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝____． 12. 若是方程的一个实数根，则的值为______． 13. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOD=60°，AC=4，则AD的长是_____． 14. 设，是方程的两个实数根，则的值为______． 15. 若关于x的一元二次方程有两个不等实数根，则k的取值范围是________． 16. 如图，在矩形中，，，是平面内的一个点，满足，则长的取值范围是______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答． 17. 按要求解下列一元二次方程： （1）（用配方法）； （2）（用公式法）． 18. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 19. 如图，点E，F分别在菱形的边上，且．求证：． 20. 已知关于x的方程有两个实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 21. 如图，在中，，的平分线交于点，，．求证：四边形为正方形． 22. 如图，在矩形中，为对角线． （1）作以为对角线的菱形，且点，分别在边，；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，若，，求的长． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 24. 已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程－(2k+3)x++3k+2=0的两个实数根． （1）无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由； （3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 25. 如图，已知四边形是正方形，点，分别在，的延长线上，，交于点，的延长线交于点，连接． （1）请判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）求的度数； （3）如图，连接，直接写出用等式表示、、间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $