22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质（课件）-2024—2025学年人教版数学九年级上册

二次函数y=ax2 （a≠0）的图像和性质 教学指导： 教研室 数学组 西安市大明宫中学 尚静 我知道 一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的定义: 思考：a≠0,那么b、c是否可以等于0？ 结合图象讨论性质是数形结合的研究函数的重要方法．我们现在从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质． 当b=0 c=0时，y=ax2 (a≠0) 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· ··· 2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 画最简单的二次函数 y = x2 的图象 x y O －3 3 3 6 9 0 1 4 9 1 4 9 3.连线 如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象． y = x 2 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com x y o y=x2 (1)你能描述图象的形状吗? 与同伴进行交流. (5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点,并与同伴交流. (2)图象 与x轴有交点吗？ 如果有,交点坐标是什么? (3)当x<0时,随着x的值增大, y 的值如何变化？当x>0时呢？ (4)当x取什么值时,y的值最 小?最小值是什么？你是如 何知道的？ 探究二次函数 y=x2 的图象和性质 二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出 它的图象,它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行 交流。 o x y y=－x2 x y o y=x2 二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线. 它与抛物线y=x2图 像的开口方向相反 它与抛物线y=x2 图像的形状相同 o y x y=x2 y=－x2 说说二次函数y=－x2的图象 有哪些性质？与同伴交流。 （1）图象与x轴交于原点(0，0) （2） y ≤0 （3）当x <0时，y 随x 的增大而增大； 当x >0时，y 随x 的增大而减小。 （4）当 x = 0时，y最大值 = 0 （5）图象关于y 轴对称。 请同学们把所学的y=ax2(a=1/-1)图象的知识归纳小结 y y y y x x a=-1 x x a=1 y轴右侧 y轴左侧 图象 开口方向 对称轴 顶点 y=ax2 增大 (0,0) 最低点 (0,0) 最高点 y轴 y轴 向上 向下 增大 减小 增大 增大 增大 减小 增大 例1已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式 m2+m 解: 依题意有: m+1>0 ① m2+m=2 ② 解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2. 典例精析 例2：已知二次函数y=x2． （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标； （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？ 典例精析 9 （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ 解：（1）当x=2时，y=x2=4， 所以A（2，4）在二次函数图象上； （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标； （2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）； 10 （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？ 当x=－2时，y=x2=4， 所以C点在二次函数y=x2的图象上； 当x=2时，y=－x2=－4， 所以B点在二次函数y=－x2的图象上； 当x=－2时，y=－x2=－4， 所以D点在二次函数y=－x2的图象上． 11 当堂练习 1.函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 向上 y轴 (0,0) 减小 增大 x y O 当堂练习 2.函数y=-3x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧, y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 向下 y轴 (0,0) 减小 增大 x y O 3.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围是 . x y k>1 O 4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： 开口方向 对称轴 顶点 向上 向下 向下 向上 y轴 y轴 y轴 y轴 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0） $$