专题5.1 投影与视图（2大知识点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.1 投影与视图（2大知识点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】投影 （1）投影：用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（projection），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 （2）平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影（parallel projection). （3）中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影（center projection)。 （4）正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。 注：物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。 【知识点2】三视图 （1）三视图：是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。 将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状， 三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。 （2）特点：一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。 一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。 知识点与题型目录 【知识点一】投影 【题型1】平行投影............................................................2 【题型2】中心投影............................................................3 【题型3】正投影..............................................................3 【题型4】视点、视角和盲区....................................................4 【知识点二】三视图 【题型5】判断简单的几何或几何组合体三视图....................................5 【题型6】判断非实心几何体三视图..............................................6 【题型7】已知一种或两种视图，判断其他视图....................................6 【题型8】画简单几何体或组合几何体三视图......................................7 【题型9】画小立方块堆砌图形的三视图..........................................8 【题型10】由三视图还原几何体.................................................9 【题型11】由三视图求几何体边长、面积、体积..................................10 【题型12】由三视图求小立方块最多个数和最少个数..............................11 【题型13】直通中考..........................................................12 【题型14】拓展延伸..........................................................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】平行投影 【例1】（2024·宁夏银川·模拟预测）某一时刻高度为的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段表示甲树在太阳光下的影子，且． (1)请在图中画出统一时刻乙数的影子； (2)此时距离两棵树不远处身高为的小华的影长是多少？ 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为3米，则这棵树的高度为 ． 【题型2】中心投影 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，晚上，王叔叔走在大街上，他发现：当他站在大街两边甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平干燥地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长，乙灯照射的影子长，又王叔叔的身高为，两盏路灯的高度相同，路灯相距，求路灯的高． 【变式1】（23-24九年级上·河北保定·期末）在灯光下，四个选项中，灯光与物体的影子最合理的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东茂名·二模）如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是 m． 【题型3】正投影 【例3】（17-18九年级下·全国·课后作业）如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上． (1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？ (2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论． ①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD． 【变式1】（2024九年级·全国·竞赛）某同学身高，那么这名同学的正投影的长（    ）． A．小于 B．等于 C．大于 D．小于或等于 【变式2】（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）一根长为的木棒在平行光线上形成的正投影为，则的取值范围为 ． 【题型4】视点、视角和盲区 【例4】（22-23九年级上·陕西汉中·期末）如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 【变式1】（20-21九年级上·河北唐山·期末）如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（17-18九年级下·全国·单元测试）如图，大楼（可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面．地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点和点处，、均在的中垂线上，且、到大楼的距离分别为米和米，又已知长米，长米，由于大楼遮挡着，所以乙不能看到甲．若乙沿着大楼的外面地带行走，直到看到甲（甲保持不动），则他行走的最短距离长为 米． 【题型5】判断简单的几何或几何组合体三视图 【例5】（21-22九年级上·陕西汉中·阶段练习）如图①是由六棱柱与圆柱组合而成的几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称，并画出第三种视图． 【变式1】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）巴黎2024年奥运会的领奖台如图所示，是由三个长方形组合而成的几何体，则这个几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图是由五个相同的正方体搭成的几何体． （1）这个几何体的主视图是 （填序号）； （2）这个几何体的左视图是 （填序号）； （3）这个几何体的俯视图是 （填序号）． 【题型6】判断非实心几何体三视图 【例6】（2024九年级下·四川成都·专题练习）如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【题型7】已知一种或两种视图，判断其他视图 【例7】（20-21七年级上·山西太原·阶段练习）一个几何体由几个大小相同的小立方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．请分别画出从正面、左面看到的形状图．    【变式1】（2024·山西大同·模拟预测）如图是某几何体的俯视图，图中所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23六年级上·山东烟台·期中）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为 ． 【题型8】画简单几何体或组合几何体三视图 【例8】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是一个边长为3cm的正方体挖掉一个直径为1cm的圆柱组成的几何体． (1)请在网格中依次画出这个几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1cm）； (2)求该几何体的表面积． 【变式1】（2023·广东深圳·二模）如图，几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，右边的图形是物体的 图． 【题型9】画小立方块堆砌图形的三视图 【例9】（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）如图，把边长为1个单位的9个相同小正方体摆成简单几何体． (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；（友情提示：用铅笔画图） (2)直接写出该几何体的表面积为___________； (3)如果保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加_____个小正方体． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·单元测试）如图是某几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体从左面看到的形状图是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·辽宁丹东·阶段练习）用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体至少有 个小正方体组成，至多又是 个． 【题型10】由三视图还原几何体 【例10】（23-24九年级上·全国·单元测试）由一些大小相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图如图所示． (1)请你画出这个几何体的俯视图； (2)若组成这个几何体的小正方体的块数为，请你写出的所有可能值． 【变式1】（2024九年级下·全国·专题练习）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．棱柱 【变式2】（23-24七年级上·江苏南京·期末）请写出一个主视图、左视图和俯视图完全一样的几何体 ． 【题型11】由三视图求几何体边长、面积、体积 【例11】（20-21九年级上·山东淄博·期末）（1）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，求出这个几何体的侧面积． （2）如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝a2，S左＝a2+a，求出S俯． 【变式1】（24-25七年级上·浙江·开学考试）如图，把个棱长为1厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，则这个立体图形的表面积为（　　）平方厘米． A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）如图，一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ． 【题型12】由三视图求小立方块个数 【例12】（23-24七年级上·重庆铜梁·开学考试）人们从不同的方向观察某个物体，可以看到不同的图形．一般地，我们把从正面看到的图形称为正视图，把从左面看到的图形称为左视图，把从上面看到的图形称为俯视图． 在桌面上，由十个完全相同的小正方体搭成了一个几何体，如图所示． (1)请画出这个几何体的三视图． 正视图 左视图 俯视图 (2)若将此几何体的表面喷上红漆（接触桌面的一面不喷），则三个面上是红色的小正方体有（    ）个． (3)若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持正视图和左视图不变，则最多可以添加（    ）个小正方体． 【变式1】（2024·广东中山·模拟预测）如图所示的是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则这个几何体中小正方体的个数（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（2022·山东青岛·模拟预测）如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是 个．当用14个小正方体搭建这个几何体时，满足条件的几何体一共有 种摆法． 【题型12】由三视图求小立方块最多个数和最少个数 【例13】（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一个几何体由几个相同的小立方块搭成，从上面和从正面看到的形状如图所示，从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数． (1)填空：________，________，________； (2)这个几何体最少由________个小立方块搭成，最多由________个小立方块搭成； (3)当，时，请画出从左面看到的这个几何体的形状图． 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示．则搭成这样的几何体需要小立方块个数为（   ） A．最多需要8块，最少需要7块 B．最多需要8块，最少需要6块 C．最多需要7块，最少需要6块 D．最多需要6块，最少需要5块 【变式2】（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）由个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则的最小值是 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型13】直通中考 【例1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【例2】（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【题型14】拓展延伸 【例1】（2020·广西·模拟预测）如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是的正方形，若拿掉若干个小立方块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（    ） A．9 B．10 C．12 D．15 【例2】（21-22八年级下·黑龙江大庆·期末）小明在晚上由路灯走向路灯，当他走到处时，发现身后影子顶部正好触到路灯底部，当他向前再步行到达时，发现他的影子的顶点正好接触到路灯的底部．已知小明的身高是，两个路灯的高度都是，且． (1)求：两个路灯之间的距离； (2)小明在两个路灯之间行走时，在两个路灯下的影长之和是否为定值？如果是定值，直接写出此定值，如果不是定值，求说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 投影与视图（2大知识点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】投影 （1）投影：用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（projection），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 （2）平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影（parallel projection). （3）中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影（center projection)。 （4）正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。 注：物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。 【知识点2】三视图 （1）三视图：是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。 将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状， 三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。 （2）特点：一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。 一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。 知识点与题型目录 【知识点一】投影 【题型1】平行投影...........................................................2 【题型2】中心投影...........................................................4 【题型3】正投影.............................................................6 【题型4】视点、视角和盲区...................................................8 【知识点二】三视图 【题型5】判断简单的几何或几何组合体三视图..................................11 【题型6】判断非实心几何体三视图............................................13 【题型7】已知一种或两种视图，判断其他视图..................................15 【题型8】画简单几何体或组合几何体三视图....................................17 【题型9】画小立方块堆砌图形的三视图........................................19 【题型10】由三视图还原几何体...............................................20 【题型11】由三视图求几何体边长、面积、体积.................................22 【题型12】由三视图求小立方块最多个数和最少个数.............................24 【题型13】直通中考.........................................................26 【题型14】拓展延伸.........................................................29 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】平行投影 【例1】（2024·宁夏银川·模拟预测）某一时刻高度为的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段表示甲树在太阳光下的影子，且． (1)请在图中画出统一时刻乙数的影子； (2)此时距离两棵树不远处身高为的小华的影长是多少？ 【答案】(1)画图见解析； (2)小华的影长是米． 【分析】（）根据相似三角形画出图形；（）根据相似三角形的性质求出小华的影长； 本题考查了平行投影，相似三角形的应用，解题的关键是掌握知识点的应用． 解：（1）如图，连接，过作，交于点， ∴即为所求； （2）设小华的影长是米， 由题意得：， 解得：， 答：小华的影长是米． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行投影的意义， 掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提． 根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 解：太阳光和影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上，可知选项B中的图形符合题意， 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为3米，则这棵树的高度为 ． 【答案】米 【分析】本题考查了平行投影的应用，解题的关键明确在同一时刻物高和影长成正比，经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高． 解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是米． 则有， 解得 树高是（米． 故答案为米． 【题型2】中心投影 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，晚上，王叔叔走在大街上，他发现：当他站在大街两边甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平干燥地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长，乙灯照射的影子长，又王叔叔的身高为，两盏路灯的高度相同，路灯相距，求路灯的高． 【答案】 【分析】根据题意，得，，继而得到，，列比例式，解答即可． 本题考查了中心投影，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 解：根据题意，得，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得， 答：路灯高为． 【变式1】（23-24九年级上·河北保定·期末）在灯光下，四个选项中，灯光与物体的影子最合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影，根据对应点的连线经过点光源即可判断求解，掌握中心投影的性质是解题的关键． 解：∵对应点的连线经过点光源， ∴灯光与物体的影子最合理的是， 故选：． 【变式2】（2024·广东茂名·二模）如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是 m． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，，，从而可得，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 解：由题意得：，， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴路灯的高度是, 故答案为：． 【题型3】正投影 【例3】（17-18九年级下·全国·课后作业）如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上． (1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？ (2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论． ①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD． 【答案】(1)AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影是BD；(2)证明见解析. 解：试题分析：（1）在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，根据正投影的定义求解即可； （2）①，结合两角对应相等的两三角形相似，可得△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例可证明结论； ②同理可证△ACD∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例可证明结论成立． 试题解析： 解：（1）∵CD⊥AB， 而平行光线垂直AB， ∴AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影为BD； （2）①∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°． ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴， ∴BC2＝BD•AB； ②同理可得：△ACD∽△CBD， ∴， ∴CD2＝AD•BD． 点拨：本题考查了正投影的定义和相似三角形的判定与性质，熟记正投影的定义是解决（1）的关键，结合图形得出相似三角形是解决（2）的关键． 【变式1】（2024九年级·全国·竞赛）某同学身高，那么这名同学的正投影的长（    ）． A．小于 B．等于 C．大于 D．小于或等于 【答案】D 【分析】本题考查了正投影的定义，在物体的平行投影中，投影线垂直于投影面，则该平行投影称为正投影，分两种情况：当投影线垂直于地面时，当投影线平行于地面时，即可得出答案，熟练掌握正投影的定义是解此题的关键． 解：当投影线垂直于地面时，此时这名同学的正投影的长为小于， 当投影线平行于地面时，此时这名同学的正投影的长为等于， 综上所述，某同学身高，那么这名同学的正投影的长小于或等于， 故选：D． 【变式2】（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）一根长为的木棒在平行光线上形成的正投影为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查正投影的定义和性质，解题的关键是熟练掌握正投影的定义和性质根据正投影的定义和性质解答即可 解：当木棒与光线平行时，正投影为一条线段，长度为，此时; 当木棒与光线不平行时，正投影为一条线段，长度为，此时; 故答案为: 【题型4】视点、视角和盲区 【例4】（22-23九年级上·陕西汉中·期末）如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】（1）连接并延长交于点P，连接并延长交于F，点P和即为所求； （2）先求出米，证明，得到，即，则米． 解：（1）解：如图所示，点P和即为所求； （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，，即， ∴， ∴，即， ∴米， ∴路灯灯泡距地面的高度为米． 【点拨】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 【变式1】（20-21九年级上·河北唐山·期末）如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断． 解：如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为， 故选：A． 【点拨】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义． 【变式2】（17-18九年级下·全国·单元测试）如图，大楼（可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面．地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点和点处，、均在的中垂线上，且、到大楼的距离分别为米和米，又已知长米，长米，由于大楼遮挡着，所以乙不能看到甲．若乙沿着大楼的外面地带行走，直到看到甲（甲保持不动），则他行走的最短距离长为 米． 【答案】 【分析】据已知首先得出DH=HP=x米，NO=（20+40-x）米，PO=（60+x）米，再利用平行线分线段成比例定理和三角形面积求出即可． 解：连接MD并延长，连接NC并延长，使其两延长线相交于点P， 作PO⊥MN于O，作CG⊥MP于G， 根据题意可得出： ME=60，DE=HO=FC=60米，FN=20米，EF=40， ∴NC=， =40米， 设EO=x米， ∴DH=x米， ∵ME=DE=60米， ∴∠MDE=45∘， ∴DH=HP=x米，NO=(20+40−x)米，PO=(60+x)米， ∵FC∥PO， ∴， ∴x， 解得：x=60−20， ∴PO=(120−20)米，NO=(40−20)米， CD⋅HP=DP⋅CG， ×40×(120−20−60)= × [20+40−(40−20)]⋅CG， CG=20米， ∴行走的最短距离长为：NC+CG=(40+20)米． 故答案为40+20 【点拨】此题主要考查了盲区有关知识以及相似三角形的判定与性质，根据已得出，求出NO与PO的长是解题关键． 【题型5】判断简单的几何或几何组合体三视图 【例5】（21-22九年级上·陕西汉中·阶段练习）如图①是由六棱柱与圆柱组合而成的几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称，并画出第三种视图． 【分析】找到从正面、上面、左面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在视图中． 解：如图如下： 第三种视图如下： 【点拨】本题考查几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握三视图观察的角度． 【变式1】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）巴黎2024年奥运会的领奖台如图所示，是由三个长方形组合而成的几何体，则这个几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三视图的画法；左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示． 解：从左边看，可得如下图形， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图是由五个相同的正方体搭成的几何体． （1）这个几何体的主视图是 （填序号）； （2）这个几何体的左视图是 （填序号）； （3）这个几何体的俯视图是 （填序号）． 【答案】 ③ ⑤ ② 【分析】本题考查三视图．根据三视图的定义判断即可． 解：这个几何体的主视图是③，左视图是⑤，俯视图是②． 故答案为：③，⑤，②． 【题型6】判断非实心几何体三视图 【例6】（2024九年级下·四川成都·专题练习）如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图中的俯视图，正确理解俯视图的概念是解答本题的关键．俯视图是从物体的上面看所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．根据俯视图的概念，即可得到答案． 解：俯视图如图所示： 故选：B． 【变式】（2024·河南驻马店·二模）如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三视图，俯视图，从上面看到的平面图形，注意能看到的棱都要画成实线，不能看到的线画成虚线． 解：从上面看这个几何体看到的是三个长方形， 所以俯视图是： 故选C 【题型7】已知一种或两种视图，判断其他视图 【例7】（20-21七年级上·山西太原·阶段练习）一个几何体由几个大小相同的小立方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．请分别画出从正面、左面看到的形状图．    【分析】根据三视图的定义画出图形即可． 解：图形如图所示：    【点拨】本题考查作图-三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型． 【变式1】（2024·山西大同·模拟预测）如图是某几何体的俯视图，图中所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 解：从左边看看到的图形分为上中下三层，共两列，从左边数起，第一列，中下两层各有一个小正方形，第二列上中下各有一个小正方形，即看到的图形如下： 故选：B． 【变式2】（22-23六年级上·山东烟台·期中）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为 ． 【答案】4 【分析】根据该几何体的俯视图以及该位置小正方形的个数，可以画出左视图，从而求出左视图的面积； 解：由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方形，第二列两个小正方形，可以画出左视图如图， 所以这个几何体的左视图的面积为4． 故答案为4 【点拨】本题考查了物体的三视图，解题的关键是根据俯视图，以及该位置小正方体的个数，正确作出左视图． 【题型8】画简单几何体或组合几何体三视图 【例8】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是一个边长为3cm的正方体挖掉一个直径为1cm的圆柱组成的几何体． (1)请在网格中依次画出这个几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1cm）； (2)求该几何体的表面积． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了作图——三视图，几何体的表面积等知识，解题关键是理解三视图的定义． （1）根据三视图的定义画出图形即可； （2）根据表面积的定义求解即可． 解：（1）解：该几何体的三视图如图所示 （2）解：由图可知，该几何体的表面积． 【变式1】（2023·广东深圳·二模）如图，几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图即可解答． 解：从正面看图形为 故选：A． 【点拨】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图成为解题的关键． 【变式2】如图，右边的图形是物体的 图． 【答案】主视 【分析】根据几何体分别画出主视图、左视图、俯视图，对比后即可得出答案． 解：此几何体的三视图如下： 故答案为主视. 【点拨】本题考查了三视图的识别.准确画出几何体的三视图是解题的关键. 【题型9】画小立方块堆砌图形的三视图 【例9】（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）如图，把边长为1个单位的9个相同小正方体摆成简单几何体． (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；（友情提示：用铅笔画图） (2)直接写出该几何体的表面积为___________； (3)如果保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加_____个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2) (3)3 【分析】此题考查了三视图的画法、求几何体的表面积等知识． （1）根据三视图的定义结合几何体画出即可； （2）求出几何体的表面积即可； （3）根据左视图和俯视图不变进行添加即可． 解：（1）解：如图所示即为所求， （2）几何体的表面积：， 故答案为： （3）如图，最多可以再添加3个正方体， 【变式1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·单元测试）如图是某几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体从左面看到的形状图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看组合图形，三视图的含义．先细心观察，从左面看去，一共两列，左边有2个小正方形，右边有3个小正方形，结合四个选项选出答案． 解：从左面看去，一共两列，左边有2个小正方形，右边有3个小正方形， ∴从左面看到的形状图是 ． 故选：B． 【变式2】（22-23七年级上·辽宁丹东·阶段练习）用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体至少有 个小正方体组成，至多又是 个． 【答案】 9 11 【分析】根据主视图和俯视图把图形还原，找出每处可能的正方体个数．判断至少需要正方体的个数，即可进行解答． 解：由主视图可知，图形有三层，则最少有：（个）； 最多有：（个）， 故答案为：9，11． 【点拨】本题主要考查了三视图，解题的关键是根据三视图将几何题还原． 【题型10】由三视图还原几何体 【例10】（23-24九年级上·全国·单元测试）由一些大小相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图如图所示． (1)请你画出这个几何体的俯视图； (2)若组成这个几何体的小正方体的块数为，请你写出的所有可能值． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题主要考查了对三视图的理解应用及空间想象能力． （1）由左视图可得第一层立方体的可能个数，由主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，画出几何体可能的俯视图即可； （2）易得这个几何体共有2层，由左视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可． 解：（1）解：由题中所给出的主视图知这个几何体共二列，且右侧一列高两层，左侧一列最高一层，由左视图可知左侧一层，右侧两层； 后面一行有1或2个小正方体，而前面一行可能有2个或3个小正方体， 这个几何体的俯视图如图所示： 或或或； （2）解：由（1）知图中的小正方体最少3块，最多5块， 或或． 【变式1】（2024九年级下·全国·专题练习）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．棱柱 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据三视图判断几何体，掌握三视图的定义是解题的关键． 根据三视图判断几何体的形状即可； 解：由已知三视图可知，主视图、左视图为长方形，俯视图为圆，则符合条件的立体图形是圆柱； 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·江苏南京·期末）请写出一个主视图、左视图和俯视图完全一样的几何体 ． 【答案】正方体（答案不唯一） 【分析】本题考查学生对三视图的掌握程度以及灵活运用能力．主视图、左视图、俯视图是物体分别从正面、左面和上面看，所得到的图形． 解：球的三视图都为圆；正方体的三视图都为正方形． 故答案为：正方体（答案不唯一）． 【题型11】由三视图求几何体边长、面积、体积 【例11】（20-21九年级上·山东淄博·期末）（1）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，求出这个几何体的侧面积． （2）如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝a2，S左＝a2+a，求出S俯． 【答案】（1）65π；（2）a2+a 【分析】（1）根据三视图知，原几何体是一个圆锥，且已知圆锥的底面直径和母线长，从而可求得侧面积； （2）根据主视图和左视图的面积，易得俯视图的长和宽，从而求得俯视图的面积． 解：（1）由三视图可知，原几何体为圆锥， S侧＝πr•l＝π×5×13＝65π．     答：这个几何体的侧面积是65π． （2）∵S主＝a2，S左＝a2+a=a（a+1）， ∴俯视图的长为a+1，宽为a，     ∴S俯＝a（a+1）=a2+a． 【点拨】本题考查了三视图，关键会由三视图还原几何体． 【变式1】（24-25七年级上·浙江·开学考试）如图，把个棱长为1厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，则这个立体图形的表面积为（　　）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体表面积．掌握立体图形的三视图是解题的关键．由立体图形可知，上表面共有8个正方形，下表面共有8个正方形，前表面共有7个正方形，后表面共有7个正方形，右表面共有8个正方形，左表面共有8个正方形，将各面积相加即可求解． 解：图中每一个正方形面积， ， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）如图，一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据三视图确定该几何体是圆柱体，再根据圆柱体的体积公式即可求解，理解简单几何体的三视图是解题的关键． 解：由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是，高是6， 则这个几何体的体积为． 故答案为：． 【题型12】由三视图求小立方块个数 【例12】（23-24七年级上·重庆铜梁·开学考试）人们从不同的方向观察某个物体，可以看到不同的图形．一般地，我们把从正面看到的图形称为正视图，把从左面看到的图形称为左视图，把从上面看到的图形称为俯视图． 在桌面上，由十个完全相同的小正方体搭成了一个几何体，如图所示． (1)请画出这个几何体的三视图． 正视图 左视图 俯视图 (2)若将此几何体的表面喷上红漆（接触桌面的一面不喷），则三个面上是红色的小正方体有（    ）个． (3)若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持正视图和左视图不变，则最多可以添加（    ）个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了从不同角度观察物体，求三视图求最多或最少的小立方块的个数．需熟练掌握三视图的概念以及画法是解题的关键． （1）根据题意中三视图的概念画出平面图形即可； （2）根据立体图形可以直接分析，只有最下层中间排最右端一个小正方体三个面上是红色； （3）要保持正视图和左视图不变，最底层可以加3个，第二层可以加1个，共可加4个． 解：（1）解：由题意作图如下： 正视图 左视图 俯视图 （2）解：由题意知，若将此几何体的表面喷上红漆（接触桌面的一面不喷），则三个面上是红色的小正方体有1个， 故答案为：1； （3）解：由题意知，若现在还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持正视图和左视图不变，则最多可以添加4个小正方体， 故答案为：4． 【变式1】（2024·广东中山·模拟预测）如图所示的是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则这个几何体中小正方体的个数（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是关键． 根据该几何体的俯视图可确定该几何体共有两行三列，再结合主视图，即可得出该几何体的小正方体的个数． 解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有4个小正方体， 第二层左边有1个小正方体， 因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是个． 故选B． 【变式2】（2022·山东青岛·模拟预测）如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是 个．当用14个小正方体搭建这个几何体时，满足条件的几何体一共有 种摆法． 【答案】 13 10 【分析】本题考查俯视图小正方形的个数即为最底层的小正方体的个数，主视图第二层和第三层小正方形的个数即为其余层数小正方体的最少个数． 由俯视图易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层正方体的可能的最少个数，相加即可，再根据小正方体的个数最少的情况，判断得用14个小正方体搭建这个几何体时，只需再最少的情况中，小正方体个数为1的位置再放1个即可． 解：由俯视图易得最底层有8个正方体，由主视图第二层最少有3个正方体，第三层最少有2个正方体，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是：． 根据三视图可画图小正方体的个数最少的情况如下： 则用14个小正方体搭建这个几何体时，只需再最少的情况中，小正方体个数为1的位置再放1个即可， ∴满足条件的几何体一共有10种摆法， 故答案为：13，10． 【题型12】由三视图求小立方块最多个数和最少个数 【例13】（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一个几何体由几个相同的小立方块搭成，从上面和从正面看到的形状如图所示，从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数． (1)填空：________，________，________； (2)这个几何体最少由________个小立方块搭成，最多由________个小立方块搭成； (3)当，时，请画出从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】(1)2，1，1； (2)8，10； (3)见解析 【分析】本题考查由从不同方向看几何体，解题的关键是理解从不同方向看几何体得出的图形． （1）根据从正面和上面看到的形状判断即可； （2）根据从正面和上面看到的形状判断即可； （3）根据从左面看到的形状图画出图形． 解：（1）解：观察从正面看到的图可知，． 故答案为：2，1，1； （2）解：这个几何体最少由个小立方块搭成，最多由个小立方块搭成． 故答案为：8，10； （3）解：从左面看到的图形如图所示： 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示．则搭成这样的几何体需要小立方块个数为（   ） A．最多需要8块，最少需要7块 B．最多需要8块，最少需要6块 C．最多需要7块，最少需要6块 D．最多需要6块，最少需要5块 【答案】C 【分析】本题考查了由三视图求最多或最少的小立方块的个数．熟练掌握几何体的三视图是解题的关键． 由图可知，底层需要4块小立方块，顶层最少需要2块，最多需要3块，然后求解作答即可． 解：由图可知，底层需要4块小立方块，顶层最少需要2块，最多需要3块， ∴搭成这样的几何体需要小立方块个数为最多需要7块，最少需要6块， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）由个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，从主视图和俯视图分别判定上层和下层的小正方体个数即可． 解：由主视图和俯视图可知，下层小正方体为个，上层在俯视图左边则至少有一个小正方体，要使得最小，则上层只有一个小正方体，此时， 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型13】直通中考 【例1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查了三视图，解题的关键是理解三视图的定义．根据小正方体一共5个，以及主视图和左视图，画出俯视图即可． 解：由主视图可知，左侧一列最高一层，右侧一列最高三层，由左视图可知，前一排最高三层，后一排最高一层，可知右侧第一排一定为三层，可得该几何体俯视图如图所示， 故选：C． 【例2】（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)旗杆高度为； (3)雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 解：（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 【题型14】拓展延伸 【例1】（2020·广西·模拟预测）如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是的正方形，若拿掉若干个小立方块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（    ） A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【分析】拿掉若干个小立方块后保证几何体不倒掉，且三个视图仍都为33的正方形，所以最底下一层必须有9个小立方块，这样能保证俯视图仍为33的正方形，为保证主视图与左视图也为33的正方形，所以上面两层必须保留底面上一条对角线方向的三个立方块，即可得到最多能拿掉小立方块的个数. 解：根据题意，拿掉若干个小立方块后，三个视图仍都为33的正方形， 则最多能拿掉小立方块的个数为6 +6 = 12个， 故选：C. 【点拨】此题考查简单组合体的三视图，空间想象能力，能依据立体图形想象出拿掉小立方块后的三视图是解题的关键. 【例2】（21-22八年级下·黑龙江大庆·期末）小明在晚上由路灯走向路灯，当他走到处时，发现身后影子顶部正好触到路灯底部，当他向前再步行到达时，发现他的影子的顶点正好接触到路灯的底部．已知小明的身高是，两个路灯的高度都是，且． (1)求：两个路灯之间的距离； (2)小明在两个路灯之间行走时，在两个路灯下的影长之和是否为定值？如果是定值，直接写出此定值，如果不是定值，求说明理由． 【答案】(1)两路灯之间的距离为米 (2)两影长之和为定值，定值为米 【分析】（1）根据题意结合图形可知，图中，在点处时，和相似，然后利用相似三角形对应边成比例列出比例式后即可求解； （2）设两影长之和为，利用相似比，可计算出在两个路灯之间行走时影长之和为定值． 解：（1）解：由题意得， ∵， ∴∽， 则 解得：， ， 故两路灯之间的距离为米； （2）解：两影长之和为定值，定值为米． 理由：如图，设米． ∵， ∴△CPK∽△EAK，△CPQ∽△HBQ， ∴，， 则，， ∵ ∴， ， 解得， 两影长之和为定值，定值为米． 【点拨】本题考查了相似三角形的应用及中心投影的知识，解题的关键是正确的根据题意作出图形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$