精品解析：甘肃省嘉峪关市2023届高三第一次模拟考试数学（理科）试题

2023年高考高三第一次模拟考试试卷 理 科 数 学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为（ ） A. B. C. D. 2. 是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 比较甲、乙两名学生数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ） A. 乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力 B. 甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值 C. 乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平 D. 甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值 4. 若椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，且，则当取最小值时，函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（ ） A. B. 5 C. 6 D. 8. 实数，满足不等式组，若的最大值为5，则正数的值为（ ） A. 2 B. C. 10 D. 9. 已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为 A. B. C. D. 10. 如图，圆柱轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A B. C. D. 11. 已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 12. 定义：若数列对任意的正整数，都有为常数，则称为“绝对和数列”，叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”中，，绝对公和为3，则其前2019项的和的最小值为 A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13. 在的展开式中，含的系数为______. 14. 已知函数，则=______． 15. 在边长为2的等边三角形中，，则向量在上的投影为_______． 16. 已知函数，，设两曲线，有公共点P，且在P点处的切线相同，当时，实数b的最大值是______． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在中，. （1）求； （2）若，求的周长. 18. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为． 求n的值； 若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率； 若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望． 19. 如图所示的三棱柱中，平面，，，的中点为，若线段上存在点使得平面. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 20. 已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线于两点．当直线与轴垂直时，． （1）求抛物线的方程； （2）设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线的斜率成等差数列，求点的坐标． 21. 已知函数，其导函数的最大值为. （1）求实数值； （2）若，证明：. 【选修4-4：坐标系与参数方程】 22. 选修4-4：坐标系与参数方程 点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线，的极坐标方程； （2）射线，（）与曲线，分别交于两点，设定点，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年高考高三第一次模拟考试试卷 理 科 数 学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简复数，求出其共轭复数，即为所求． 【详解】∵复数，∴复数的共轭复数是，就是复数所对应的点关于实轴对称的点为A对应的复数， 故选：B 2. 是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出含有绝对值的不等式的解集，根据小范围推大范围得到结果即可. 【详解】解得到假设，一定有反之不一定，故是成立的充分不必要条件. 故答案为A. 【点睛】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 3. 比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ） A. 乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力 B. 甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值 C. 乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平 D. 甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值 【答案】C 【解析】 【分析】利用雷达图对每一个选项的命题逐一分析推理得解. 【详解】A：甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，故错误； B：甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，故错误； C：甲的六维能力指标值的平均值为，乙的六维能力指标值的平均值为，因为，故正确； D：甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故错误. 故选：C 4. 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，以及正三角形的性质求得也即椭圆的离心率. 【详解】如图所示不妨设椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的上顶点. 依题意可知，是正三角形. 因为在中，， 所以，即椭圆的离心率. 故选：A 5. 已知函数则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别讨论和时，利用对数函数的单调性以及解分式不等式，即可求解. 【详解】当时，不等式即，可得，解得：； 当时，不等式即，即，所以， 解得：或（舍），所以， 综上所述：不等式的解集为， 故选：D. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，且，则当取最小值时，函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由，求出，再根据所得图象关于轴对称求出，可得的解析式． 【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象； ∵所得图象关于轴对称，∴，． ∵，即，. ∴，, 则当取最小值时，取，可得， ∴函数的解析式为. 故选C． 【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题． 7. 数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（ ） A. B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找到三视图对应的几何体原图，再求组合体的体积得解. 【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示； 结合图中数据，计算该几何体体积为 （立方丈）. 【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查组合体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8. 实数，满足不等式组，若的最大值为5，则正数的值为（ ） A. 2 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件中确定的两个不等式，可以确定出，所以第三个不等式 可以转化为，画出可行域，然后对目标函数进行化简，得到取最大值时的最优解，得到关于的方程，得到答案. 【详解】先由画可行域，发现，所以可得到，且为正数. 画出可行域为（含边界）区域. ，转化为，是斜率为的一簇平行线，表示在轴的截距， 由图可知在点时截距最大， 解得，即， 此时，解得 故选A项. 【点睛】本题考查线性规划中已知目标函数最大值求参数，属于简单题. 9. 已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由解出，代入，即可得到，即， 再利用乘以法解出的最小值即可． 【详解】设正项等比数列的公比为，且， 由得： ， 化简得，，解得或（舍去）， 因为，所以， 则，解得， 所以， 当且仅当时取等号，此时，解得， 因为、取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则， 验证可得，当，时，取最小值为，故选B． 【点睛】本题结合数列考查基本不等式，属于中档题． 10. 如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接则异面直线与所成角即为，再利用余弦定理求得解. 【详解】取的中点，连接 设则所以 连接因为 所以异面直线与所成角即为 中 故选 【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 11. 已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，得到以为直径的圆的方程为 ，根据三角形的面积求出的坐标，代入双曲线方程进行整理即可得解． 【详解】以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点， 以为直径的圆的方程为， 由对称性知的面积， 即，即点的纵坐标为， 则由，得， 因为点在双曲线上， 则， 即， 即， 即， 即， 即， 得， 即，得，得，. 则双曲线的渐近线方程为. 故选B 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 12. 定义：若数列对任意的正整数，都有为常数，则称为“绝对和数列”，叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”中，，绝对公和为3，则其前2019项的和的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过写出前几项的值可知满足条件的数列{an}的通项公式，进而利用分组法求和计算即得结论． 【详解】解：依题意，要使其前2019项的和的最小值只需每一项的值都取最小值即可， ∵＝2，绝对公和d＝3， ∴＝﹣1或＝1（舍）， ∴＝﹣2或＝2（舍）， ∴＝﹣1或＝1（舍）， … ∴满足条件的数列{}的通项公式， ∴所求值为+（+）+（+）+…+（+） ＝2+（﹣1﹣2） ＝﹣3025， 故选C． 【点睛】本题考查考查数列的求和，找出满足条件的数列的通项公式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13. 在的展开式中，含的系数为______. 【答案】80 【解析】 【分析】先求得二项式的展开式的通项公式，再令的次数为2，进而可求出答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的系数为：. 故答案为：80. 【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 14. 已知函数，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】先求内层函数值，再求外层函数值. 【详解】根据题意，函数 ， 则， 则； 故答案为． 【点睛】本题主要考查分段函数求值问题，分段函数的求值问题主要是利用“对号入座”策略. 15. 在边长为2的等边三角形中，，则向量在上的投影为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，D为BC的中点，然后结合向量的基本定理及向量的数量积的性质即可求解． 【详解】解：， 为BC的中点， ， ， ， 则向量在上的投影为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题． 16. 已知函数，，设两曲线，有公共点P，且在P点处的切线相同，当时，实数b的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，联立后把b用含有a的代数式表示，再由导数求最值得答案． 【详解】设， ，． 由题意知，，， 即， ， 解得或舍， 代入得：，， ， 当时，，当时，． 实数b的最大值是． 故答案为． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在中，. （1）求； （2）若，求的周长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求，由二倍角公式即可求（2）由题得，解得a,b值，再由余弦定理求c边即可求解. 【详解】（1）∵，∴， ∴. （2）设的内角的对边分别为. ∵，∴， ∵，∴，. 由余弦定理可得， 则，的周长为. 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，熟记三角的基本关系式，准确运用余弦定理计算c边是关键，是基础题. 18. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为． 求n的值； 若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率； 若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望． 【答案】（1）；（2）；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意根据全是小集团的概率列方程求出的值； （2）根据古典概型的概率公式计算全为大集团的概率值； （3）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【详解】（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是小集团的情况有，故全是小集团的概率是， 整理得到即，解得． （2）若2个全是大集团，共有种情况； 若2个全是小集团，共有种情况； 故全为大集团的概率为． （3）由题意知，随机变量的可能取值为， 计算，，， ，， ； 故的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望． 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题．注意在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）． 19. 如图所示的三棱柱中，平面，，，的中点为，若线段上存在点使得平面. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）设的长为，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，，从而求得点的坐标为，求得，利用平面列方程即可求得，问题得解． （Ⅱ）求出平面的法向量为，结合（Ⅰ）中是平面的一个法向量，利用法向量的夹角坐标表示即可求解． 【详解】解：（Ⅰ）方法一：设的长为，依题意可知，，两两垂直，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 则，，，，，， 因此，，.设，易求得点的坐标为，所以. 因为平面，所以. 解之得，所以的长为. 方法二：如图，在平面内过点作的垂线分别交和于，，连接，在平面内过点作的垂线交于，连接. 依题意易得，五点共面. 因为平面，所以.① 在中，，，因此为线段靠近的三等分点. 由对称性知，为线段靠近的三等分点，因此，. 代入①，得. （Ⅱ）由（Ⅰ）方法一可知，是平面的一个法向量且，. 设平面的法向量为，则可以为. . 因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为. 【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算及空间直角坐标系，考查向量垂直的坐标表示及方程思想，考查计算能力，还考查了二面角的向量求法，属于中档题． 20. 已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线于两点．当直线与轴垂直时，． （1）求抛物线的方程； （2）设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线的斜率成等差数列，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，根据题意，令，求出纵坐标的值，再根据进行求解即可； （2）设直线的方程,与抛物线方程联立，求出直线PA，PM，PB的斜率表达式，结合等差数列和一元二次方程根与系数关系，得到一个等式，根据等式成立进行求解即可. 【小问1详解】 因为，在抛物线方程中， 令，可得， 所以当直线与轴垂直时，解得， 抛物线的方程为. 【小问2详解】 （2）因为抛物线的准线方程为， 由题意可知直线的方程为， 所以. 联立消去，得， 设，，则，， 若存在定点满足条件，则， 即， 因为点均在抛物线上，所以. 代入化简可得， 将，代入整理可得 ，即， 所以，解得， 将代入抛物线方程，可得， 于是点即为满足题意的定点. 21. 已知函数，其导函数的最大值为. （1）求实数值； （2）若，证明：. 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先对求导，然后根据导数形式对进行分类讨论，通过导函数最大值为0，求得的值. （2）要证，则需证，再利用的单调性，证，利用条件把换掉，构造函数 证明，对求导，研究其单调性和极值，得到结论. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为，其导函数 记则. 当时，恒成立，所以在上单调递增，且. 所以，有，故时不成立； 当时，若，则；若，则. 所以在单调递增，在单调递减． 所以. 令，则. 当时，；当时，.所以在的单减，在单增. 所以，故. （2）当时，，则. 由（1）知恒成立， 所以在上单调递减， 且， 不妨设，则， 欲证，只需证，因为在上单调递减， 则只需证，又因为， 则只需证，即. 令（其中），且. 所以欲证，只需证， 由， 整理得：， ， 所以在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上单调递减， 所以有，，故. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，涉及分类讨论的数学思想，构造函数解决极值点偏移问题，题目较综合，属于难题. 【选修4-4：坐标系与参数方程】 22. 选修4-4：坐标系与参数方程 点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线，的极坐标方程； （2）射线，（）与曲线，分别交于两点，设定点，求的面积. 【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）． 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）由相关点法可求曲线的极坐标方程为． （Ⅱ）到射线的距离为，结合可求得 试题解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为． 设，则，则有． 所以，曲线极坐标方程为． （Ⅱ）到射线的距离为， ， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$