精品解析：河南省许昌市许昌高级中学2024-2025学年高二上学期10月检测数学试题

2024-2025学年高二上学期10月检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，是该正五角星的中心，则（ ） A. B. C. 12 D. 18 6. 已知椭圆内有一点，过的两条直线、分别与椭圆交于、和、两点，且满足，（其中且），若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 7. 已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 2 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分．） 9. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是（ ） A. 圆C的方程是 B. 过点A且斜率为的直线被圆C截得的弦长为 C. 圆C与圆有四条公切线 D. 过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，该直线斜率为 10. 已知直线，则（ ） A. 的倾斜角为 B. 与两坐标轴围成的三角形面积为 C. 原点到的距离为1 D. 原点关于的对称点为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 B. 已知点，，在平面内，向量是平面的法向量，则 C. 对空间任意一点和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分．） 12. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是______． 13. 已知圆是以点和点为直径的圆，点P为圆C上的动点，若点，点，则的最大值为___________ 14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________. 四．解答题（共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，某公司出产了一款美观实用的筷子笼，是由与圆柱底面成一定角度的截面截圆柱所得．如果从截面的最底端到最高端部分还原圆柱，如下图所示，，分别为圆柱底面直径，，为圆柱的母线，，过的平面截圆柱且与底面所在平面交于直线，且． （1）证明：； （2）若底面有一动点从点出发在圆上运动一周，过动点的母线与截面交于点，设，，求与的函数关系． 16. 已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上. （1）求圆M的方程； （2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值. 17. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点是的中点． （1）直线与平面所成角的正弦值； （2）点到平面的距离. 18. 已知圆的圆心在轴上，且经过点． （1）求线段的垂直平分线方程； （2）求圆的标准方程； （3）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 19. 如图，在四面体中，为等边三角形，为以为直角顶点的直角三角形，.，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形. （1）求证：平面； （2）设多面体的体积为，多面体的体积为，若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二上学期10月检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点在底面上的射影为，作，，垂足分别为，，设四个侧面与底面的夹角为，即可得到，根据三角形全等得到方程，整理即可. 【详解】如图所示，设点在底面上的射影为，作，，垂足分别为，． 则为侧面与底面的夹角，为侧面与底面的夹角， 设四个侧面与底面的夹角为，则在和中，， 又为公共边，所以，即，整理得． 故选：A 2. 如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的运算法则确定，得到答案. 【详解】， 故，，，. 故选：A 3. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式，求出，即可解出. 【详解】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6， 则， 所以. 故选：D. 4. 若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设出直线方程，将圆心代入直线，求解即可. 【详解】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心， 直线方程为，或，将点代入上式，解得 直线的方程为或. 故选：C. 5. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，是该正五角星的中心，则（ ） A. B. C. 12 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】设交于点，则是中点且，根据数量积的定义计算可得． 【详解】如图，交于点，则是中点且， 由题意可得. 故选：A． 6. 已知椭圆内有一点，过的两条直线、分别与椭圆交于、和、两点，且满足，（其中且），若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设,由可得： ， 据此可得：， 同理可得：， 则：， 将点A,B的坐标代入椭圆方程做差可得： ， 即：， 同理可得：， 两式相加可得， 故：， 据此可得：. 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 7. 已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可 【详解】由题意，表示圆 故，即或 点A（1，2）在圆C：外 故，即 故实数m的取值范围为或 即 故选：A 8. 如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面N到底面B的距离，再由边长关系可得四边形是平行四边形，从而侧面与桌面所转化成侧面与平面所成的角,进而在直角三角形中求出其正切值. 【详解】由题意知，水的体积为，如图所示， 设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于 由题意知，水的体积为 ，即， 在平面内，过点作交于， 则四边形是平行四边形，且 又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，即侧面与平面所成的角,其平面角为, 在直角三角形中，. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用定义法求二面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角. 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分．） 9. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是（ ） A. 圆C的方程是 B. 过点A且斜率为的直线被圆C截得的弦长为 C. 圆C与圆有四条公切线 D. 过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，该直线斜率为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，设，再根据列式化简可得圆的方程；对B，根据垂径定理求解即可；对C，根据圆心间的距离与半径和差的关系判断两圆位置关系，进而可得公切线条数；对D，分直线斜率为0与不为0讨论，再根据圆心到直线距离与半径的关系列式求解即可. 【详解】对A，设，由可得，即，化简可得，故A错误； 对B，过点A且斜率为的直线方程为，即，则圆的圆心到的距离为，故所求弦长为，故B正确； 对C，圆圆心到圆心的距离为，又两圆的半径和为，故两圆相交，有两条公切线，故C错误； 对D，当直线斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为不合题意，设直线，则由题意C到的距离等于，即，解得，故斜率直线斜率为，故D正确； 故选：BD 10. 已知直线，则（ ） A. 的倾斜角为 B. 与两坐标轴围成的三角形面积为 C. 原点到的距离为1 D. 原点关于的对称点为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据直线方程直接可得斜率，即可得倾斜角；对于B：先求直线与两坐标轴的交点坐标，即可得结果；对于C：利用点到直线的距离公式运算求解；对于D：设原点关于的对称点为，根据垂直关系以及中点列式求解即可. 【详解】对于选项A：因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，故A错误； 对于选项B：因为直线与两坐标轴的交点分别为， 所以与两坐标轴围成的三角形面积为； 对于选项C：原点到的距离，故C正确； 对于选项D：设原点关于的对称点为， 则，解得， 所以原点关于的对称点为，故D正确； 故选：BCD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 B. 已知点，，在平面内，向量是平面的法向量，则 C. 对空间任意一点和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 【答案】BD 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示可得A错误，B正确；由空间向量共面的基本定理可得C错误，D正确； 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，且向量是平面的法向量， 所以，即，即，故B正确； 对于C，因为，所以则P，A，B，C四点不共面，故C错误； 对于D，因为为空间的一个基底，所以不共面， 假设共面，则存在唯一实数，使， 所以，无解，故不共面，故D正确； 故选：BD. 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分．） 12. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆关于直线的对称圆的圆心和半径，则将问题转化为和有交点即可，由圆和圆的位置关系的相关知识即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 它关于直线的对称圆的圆心为，半径仍然为， 圆的圆心为，半径为， ， 由题意得，解得. 故答案为：. 13. 已知圆是以点和点为直径的圆，点P为圆C上的动点，若点，点，则的最大值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】求出圆的方程，构造，得到，，然后根据几何知识求最值即可. 【详解】 根据题意得，，所以圆的半径为4，圆的方程为，如图，，则， 所以，即，故， 所以，在中，，当、、共线时最大，最大为. 故答案为：. 14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点作交于点，过点作交于点，即可求出，将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积. 【详解】因为，所以，设圆的半径为， 又，解得（负值舍去）， 过点作交于点，过点作交于点， 则， 所以，同理可得， 将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中，上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥， 其中上面球缺的高，上面圆锥的底面半径，高为， 下面球缺的高，下面圆锥的底面半径，高为， 则上面球冠的表面积， 下面球冠的表面积，球的表面积， 上面圆锥的侧面积，下面圆锥的侧面积， 所以几何体的表面积. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积要合理转化. 四．解答题（共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，某公司出产了一款美观实用的筷子笼，是由与圆柱底面成一定角度的截面截圆柱所得．如果从截面的最底端到最高端部分还原圆柱，如下图所示，，分别为圆柱底面直径，，为圆柱的母线，，过的平面截圆柱且与底面所在平面交于直线，且． （1）证明：； （2）若底面有一动点从点出发在圆上运动一周，过动点的母线与截面交于点，设，，求与的函数关系． 【答案】（1） 由题意，， ∵为圆柱的母线，则垂直圆柱下底面圆O， ∴直线l是平面与底面交线 ∴，又因为，平面 ∴平面，而平面，则. （2），. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理可得平面，从而可证. （2）过点M作MF垂直于直线l垂足为F，连接NF，作ME垂直于直径AB垂足为E.四边形AFME为矩形，结合线段长度关系可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为且， 所以为平面与底面二面角的平面角 又因为，所以. 过点M做MF垂直于直线l垂足为F，连接NF， 则， 作ME垂直于直径AB垂足为E.四边形AFME为矩形， ∵，则底面圆O半径 又因为，所以 ，，， 又∵，∴， ∴， 16. 已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上. （1）求圆M的方程； （2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为：，由已知列出方程组，解之可得圆的方程； （2）由已知得四边形的面积为，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根据点到直线的距离公式可求得答案. 【详解】解：（1）设圆的方程为：， 根据题意得， 故所求圆M的方程为： ； （2）如图， 四边形的面积为，即 又，所以， 而，即. 因此要求的最小值，只需求的最小值即可， 的最小值即为点到直线的距离 所以， 四边形面积的最小值为. 17. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点是的中点． （1）直线与平面所成角的正弦值； （2）点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意建立空间直角坐标系，从而得到各点的坐标，再求得面的法向量和的坐标，根据线面夹角的向量法，代入公式即可得解； （2）根据（1）可知的坐标和面的法向量，再根据点面距离公式代入求解即可. 【小问1详解】 因为四边形为菱形，所以， 又面，故以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图， 因为，，，且为中点， 则，，，，，， 故，，， 设面的法向量为，则， 令，则，，故， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为； 【小问2详解】 由（1）可知，面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 故点到平面的距离为． 18. 已知圆的圆心在轴上，且经过点． （1）求线段的垂直平分线方程； （2）求圆的标准方程； （3）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据已知得到线段中点的坐标及的斜率，根据垂直关系得出垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求解； （2）设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案； （3）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案. 【小问1详解】 设的中点为，则． 由圆的性质，得，所以，得. 所以线段的垂直平分线的方程是. 【小问2详解】 设圆的标准方程为，其中，半径为， 由（1）得直线的方程为， 由圆的性质，圆心在直线上，化简得， 所以圆心，， 所以圆的标准方程为. 【小问3详解】 由（1）设为中点，则，得， 圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程，即， 由题意得，解得； 故直线的方程为， 即； 综上直线的方程为或. 19. 如图，在四面体中，为等边三角形，为以为直角顶点的直角三角形，.，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形. （1）求证：平面； （2）设多面体的体积为，多面体的体积为，若，求的值. 【答案】（1）证明： 因为四边形为平行四边形， 所以，而平面，平面， 故平面，由平面平面， 所以，而平面，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理以及性质定理，即可证明结论； （2）利用线段之间的关系，采用割补法求得以及，即可求得与之间的关系，从而可得答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知，而，故， 同理可证，由可得， 故， 设A点到平面的距离为d， 则； 又，，故， 设C点到平面的距离为h，则F点到平面的距离为， 故 , 故, 则， 故. 【点睛】难点点睛：解答第二问求解的值，比较困难，解答时要利用割补的方法，求得几何体各部分的体积之间的关系，进而求得答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $