第02讲：空间向量研究平行、垂直、夹角、距离问题【6大题型】-2024-2025学年高二数学上学期期期中《考点·题型·密卷》复习讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲：空间向量研究平行、垂直、夹角、距离问题 【考点梳理】 · 考点一：空间向量研究直线、平面的平行 · 考点二：空间向量研究直线、平面的垂直 · 考点三：空间向量研究点到直线、平面的距离 · 考点四：空间向量研究异面角、线面角 · 考点五：空间向量研究二面角 · 考点六：空间向量研究存在性问题 【考点梳理】 知识点一　点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量=a，则向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为 知识点二　点P到平面α的距离 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 知识点三　 空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 【题型归纳】 题型一：空间向量研究直线、平面的平行 1．（22-23高二上·天津蓟州）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 2．（21-22高二·全国）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 3．（23-24高二上·全国）在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 题型二：空间向量研究直线、平面的垂直 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 5．（2023高二·全国）如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.    证明：平面平面. 6．（22-23高二上·全国）如图所示，在直三棱柱中，侧面和侧面都是正方形且互相垂直，为的中点，为的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 题型三：空间向量研究点到直线、平面的距离 7．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 8．（23-24高二下·广东广州·期中）如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离． 9．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知直三棱柱，，，D，E分别为线段，上的点，. (1)证明：平面平面； (2)若点到平面的距离为，求直线与平面所成的角的正弦值. 题型四：空间向量研究异面角、线面角 10．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求 (1)与所成角的余弦值； (2)与平面所成角的正弦值； (3)直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由. 11．（23-24高二上·宁夏吴忠·期中）在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．    (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 12．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，， 为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点. (1)求证：； (2)是否存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，若存在；求出此时的值；若不存在，请说明理由. 题型五：空间向量研究二面角 13．（23-24高二下·江苏盐城）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 14．（23-24高二下·江苏连云港·期中）在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． (1)点到平面的距离； (2)若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 15．（23-24高二下·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，点为边上一点，，． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 题型六：空间向量研究存在性问题 16．（23-24高二上·天津北辰·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 17．（23-24高二上·北京·期中）如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求：二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由． 18．（23-24高二上·湖北黄冈·期中）如图①，在直角梯形中，，，.将沿折起，使平面平面，连，得如图②的几何体. (1)求证：平面平面； (2)若，二面角的平面角的正切值为，在棱上是否存在点使二面角的平面角的余弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，说明理由. 【高分达标】 19．（23-24高二下·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 20．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 21．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，在四面体中，平面，点在线段上.    (1)当点是线段中点时，求点到平面的距离； (2)若二面角的余弦值为，求的值. 22．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足． (1)求证：平面; (2)求平面与平面所成锐二面角的大小; (3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由. 23．（23-24高二下·江苏南京·期中）四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 24．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图， 平面， ， ， ， ， . (1)求证: 平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值 (3)若二面角的余弦值为 ，求线段的长. 25．（23-24高二下·福建·期中）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 26．（23-24高二下·江苏南通·期中）如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形．    (1)证明：． (2)若，求与平面所成角的正弦值. 27．（23-24高二下·浙江·期中）如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点． (1)求证：； (2)若为直线上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 28．（23-24高二下·江苏南京·期中）在三棱柱中，已知，，，，M是BC的中点． (1)求证：； (2)在棱上是否存在点P，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段AP的长度；若不存在，请说明理由． 29．（2024·广东广州·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求与平面所成角的正弦值. 30．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 31．（23-24高二上·河北唐山·期末）如图，三棱柱的侧面和均为正方形，，交于点O，D为中点，. (1)证明：； (2)设，当为何值时，平面与平面夹角的余弦值等于？ 32．（23-24高二上·江苏盐城·期末）在四棱锥中，底面为正方形， ，平面，分别为的中点，直线与相交于点． (1)求到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 33．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 34．（23-24高二上·广东深圳·期末）在如图所示的多面体中，四边形为菱形，在梯形中，，，，平面平面. (1)证明：； (2)若直线与平面所成的角为，为棱上一点（不含端点），试探究上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 35．（23-24高二上·上海徐汇·期末）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面.    (1)求证： (2)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲：空间向量研究平行、垂直、夹角、距离问题 【考点梳理】 · 考点一：空间向量研究直线、平面的平行 · 考点二：空间向量研究直线、平面的垂直 · 考点三：空间向量研究点到直线、平面的距离 · 考点四：空间向量研究异面角、线面角 · 考点五：空间向量研究二面角 · 考点六：空间向量研究存在性问题 【考点梳理】 知识点一　点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量=a，则向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为 知识点二　点P到平面α的距离 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 知识点三　 空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 【题型归纳】 题型一：空间向量研究直线、平面的平行 1．（22-23高二上·天津蓟州）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P为线段的中点 【分析】（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； （2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解. 【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 2．（21-22高二·全国·课后作业）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； （2）证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【详解】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，．    由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用，即可证明； （2）求出平面ACD1的法向量，及直线的方向向量，从而得到，即可证明； （3）可以利用平面，及平面，利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个平面的法向量，利用法向量平行来证明面面平行. 【详解】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1．    依题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴，即. （2）设平面ACD1的法向量为， ∵，，， ∴，， 由可得，，即， 令，则，∴， 又， ∴，∴， 又平面，∴平面． （3）证法一  ∵， ∴，又， ∴，∴， 又平面，平面， ∴平面， 又由（2）知平面，而， 且平面，平面, ∴平面平面. 证法二  设平面的法向量为 则即∴ 令，得，∴， 由（2）知平面ACD1的一个法向量， ∴，∴， ∴平面平面. 题型二：空间向量研究直线、平面的垂直 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面和平面.的法向量，计算二者的数量积，即可证明结论. 【详解】证明：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面， 以A为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ，则， 故, 设平面的法向量为，则, 令，则， ， 设平面的法向量为，则, 令，则， 则， 故平面平面. 5．（2023高二·全国·专题练习）如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.    证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直. 【详解】证明：取的中点，连接，    在正三棱柱中，不妨设; 以为原点，分别为轴和轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则,， ； 设平面的一个法向量为， 则，取，则，，即； 设平面的一个法向量为， 则，取，得，，即. 因为，所以平面平面； 6．（22-23高二上·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，侧面和侧面都是正方形且互相垂直，为的中点，为的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定得到平面.然后利用向量的数量积为零得到，进而得证； （2）分别求出平面与平面的法向量，利用向量的数量积为零得到，进而得到平面平面. 【详解】（1）由题意，知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.    设正方形的边长为2，则，，，，，，， . 由题意知，， 又因为，平面， 所以平面. 因为，，所以，即. 又因为平面，故平面. （2）设平面与平面的法向量分别为，.因为，， 所以，即， 令，则平面的一个法向量为. 因为， 可得，即， 令，则平面的一个法向量为. 因为， 所以，所以平面平面. 题型三：空间向量研究点到直线、平面的距离 7．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结，交于点，连结，利用相似比得，然后可得，根据线面平行判定定理即可得证； （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角的向量公式求出，再由点到直线的距离的向量公式可得. 【详解】（1）连结，交于点，连结， 因为， 所以，又， 所以，所以，                                           因为面，面， 所以平面. （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则，，                                     设平面的法向量为， 则，即， 令，可取，                          平面的法向量可取， 所以，得，                                            因为， 与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为. 8．（23-24高二下·广东广州·期中）如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再根据线面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标系，利用空间距离的向量求法，即可求得答案; 【详解】（1）连接，因为三棱柱所有棱长均为2，则为等边三角形， 因为为中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，可得， 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则，可得， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）连接，因为，，所以为正三角形，所以， 又侧面与底面垂直，平面，侧面底面， 所以平面，所以，，两两垂直． 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，， 点为棱上靠近的三等分点，故， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，可得， 所以点到平面的距离为； 9．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知直三棱柱，，，D，E分别为线段，上的点，. (1)证明：平面平面； (2)若点到平面的距离为，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）建系，分别求出平面和平面的法向量，利用两法向量垂直，两面垂直即可证明； （2）设出点坐标，由已知点面距离利用向量法解出点坐标，再代入线面角的向量公式求出即可. 【详解】（1） 证明：在直三棱柱中，，平面， 所以以为原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则点，，，，， 则，，， 设，则， 设平面和平面的法向量分别为， 则，取，则； ，取，则， 因为， 所以平面平面. （2）设点， 由，得平面的法向量， 由得点到平面的距离， 解得， 由，得，直线与平面所成的角的正弦值为. 题型四：空间向量研究异面角、线面角 10．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求 (1)与所成角的余弦值； (2)与平面所成角的正弦值； (3)直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用向量法求异面直线所成的角的余弦值； （2）代入向量法求线面角的正弦值； （3）假设存在点，分别求平面和平面的法向量，利用法向量表示二面角的余弦值. 【详解】（1）在平面ABC内过B作垂直于BC的直线BE，因为平面ABC与平面BDC垂直， 且平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以BE，BD，BC两两垂直，建立如图空间直角坐标系 则 ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为; （2）平面BCD的法向量， 所以， 则与平面所成角的正弦值为； （3）假设存在，设， 设平面CDP的法向量， ，取，则，， 则， 所以或 则点P存在 所以或. 11．（23-24高二上·宁夏吴忠·期中）在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．    (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，此时 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理可证明平面，再由线面垂直的性质即可得； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得结果. 【详解】（1）因为，且， 可得，， 又因为，可得， 所以，则， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）因为平面，且平面，所以， 如图所示，以点为原点，建立空间直角坐标系，    可得，，，， 所以，． 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 假设存在点，使得与平面所成角为， 设，（其中），则，， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角为，此时． 12．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点. (1)求证：； (2)是否存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，若存在；求出此时的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）先利用线面垂直从而证明平面，从而证明； （2）利用空间向量法求出直线与平面的夹角为时点的位置，从而求解. 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， 因为四边形是菱形，所以， 因为，所以为等边三角形， 又因为为的中点，所以， 因为是等边三角形，为中点，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为，所以平面， 因为平面，所以. （2）存在，，理由如下： 因为平面平面，平面平面， 由(1)知，，平面，所以平面， 因为，以点为坐标原点，，，所在直线分别 为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， ，， 设，， ， 设平面的一个法向量， ，取，得：， 因为直线与平面的夹角的正弦值为， 所以：， 整理得：，由，解得：. 故存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，此时：. 题型五：空间向量研究二面角 13．（23-24高二下·江苏盐城）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得，即可证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离的向量法求解即可. 【详解】（1）取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点，   ， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面．             （2）， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而，          ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点，                         （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为，            ， 根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为            （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设， 则，       由（2）知平面的一个法向量为， ， ∴点Q到平面的距离是 ，         ． 14．（23-24高二下·江苏连云港·期中）在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． (1)点到平面的距离； (2)若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点在靠近的三等分点处 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量后利用点面距公式可求点到平面的距离； （2）求出直线与的方向向量后可求它们夹角的余弦值； （3）设，求出面和平面法向量后利用夹角公式可求参数的值，从而可得所求的位置关系. 【详解】（1）过作直线平面， 则可以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有，，，，，， 则，， 设面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 所以点到面的距离. （2）因为为的中点，所以，所以，， 所以 所以异面直线与AE所成角的余弦值为． （3）设，其中， 则，， 设面的一个法向量为， 则有，令，则，， 所以，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 所以， 若存在点，使得二面角的余弦值为， 则，所以，解得（舍去）或， 故存在满足题意，即存在点在靠近的三等分点处． 另解： 连接，则，易得，所以， 又平面，， 所以，，所以两两互相垂直， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，，则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，所以， 同理可得平面的一个法向量， 所以，即， 解得（舍）或，所以存在点在处或在靠近的三等分点处． 15．（23-24高二下·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，点为边上一点，，． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由线线垂直可得平面，进而得，结合已知可证平面，可证结论； （2）以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，点竖直向上方向所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，又是平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得二面角的余弦值. 【详解】（1）如图所示，连接，， 因为底面为正方形，所以， 因为底面，底面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 由题得，且，，平面， 则平面，又平面， 所以平面平面； （2）如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，点竖直向上方向所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ，，，，， 因为， 所以由勾股定理可得， 即①， 且②， 联立①②两式，可得，点为上靠近点的三等分点， 所以，，， 由题意可知，是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 有，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设二面角为， 则， 所以二面角的余弦值为． 题型六：空间向量研究存在性问题 16．（23-24高二上·天津北辰·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3). 【分析】（1）由已知四边形为矩形，证明，由条件根据面面垂直性质定理证明平面； （2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，再求其正弦值； （3）设，求，利用向量方法求直线与平面所成的角的正弦值，列方程求. 【详解】（1）因为，因为，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， ，， 且平面平面，平面 平面平面， 平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，可得， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取. 设平面的法向量为，， 由，取， . 二面角是钝角， 二面角的正弦值为. （3）设，则， 又平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为， 解得，. 17．（23-24高二上·北京·期中）如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求：二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）取中点D，连接DN、，证明四边形为平行四边形，得，从而可得证线面平行； （2）分别以为轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角； （3）用空间向量法求点面距，从而得出结论． 【详解】（1）取中点D，连接DN、， ∵D、N分别为、∴且， ∵与平行且相等，M为中点，∴与平行且相等， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面  平面， ∴平面； （2）∵直三棱柱∴平面ABC又CB、平面ABC， ∴、， ∵即， ∴、CB、CA两两垂直，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴  ， 则  ， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令则， 设二面角的平面角为， 则， 由图知为钝角，∴； （3）设，， ∵， ∴， ∴    ， 设平面MBC的法向量为， 则，即， 令则 ∴P点到平面MBC的距离为， 解得，又∴． 18．（23-24高二上·湖北黄冈·期中）如图①，在直角梯形中，，，.将沿折起，使平面平面，连，得如图②的几何体. (1)求证：平面平面； (2)若，二面角的平面角的正切值为，在棱上是否存在点使二面角的平面角的余弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理和线面垂直的性质得到，然后根据线面垂直和面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据二面角的定义得到为二面角的平面角，根据二面角的正切值得到，，然后根据相似得到，，然后建系，设利用空间向量的方法列方程求即可. 【详解】（1）∵平面平面，平面平面，，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， ∵，，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）由（1）知平面，，而平面，故. ∴为二面角的平面角， 又平面，平面， ∴，， ∴，. 在①，∴， 令，则， 解得.即，. 在①中作，垂足.    则可得，. ∵平面平面，平面，平面平面， ∴平面， 过作，以为原点，，，分别为轴轴轴建立如图直角坐标系，则   ，，，. ，， 设，. 设平面的法向量为，则 ，∴，取，，即， 设平面的法向量为，则 ，取，，.即. . 解得（舍去），或. ∴. 【高分达标】 19．（23-24高二下·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，根据几何关系，构造中位线，即可证明； （2）首先建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，根据法向量夹角的余弦值，即可求解； （3）根据（2）的结果，代入线面角的向量公式，即可求解. 【详解】（1）连结，交于点，连结， 点是的中点，点是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面； （2）如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，， 则，， 设平面的法向量， 则，令，，， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为； （3），，，， ，，， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 解得或， 又， 则或. 20．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用两平面法向量数量积为，证明面面垂直； （2）利用法向量方法求解线面角. 【详解】（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 设平面PAC的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 因为， 所以，所以平面平面． （2）由（1）知，，所以，， 因为，所以，即，解得， 故，所以，由（1）知， 设直线BM与平面PCD所成的角为， 则， 故直线BM与平面PCD所成角的正弦值为. 21．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，在四面体中，平面，点在线段上.    (1)当点是线段中点时，求点到平面的距离； (2)若二面角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得到平面的距离； （2）设点，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解. 【详解】（1）由平面，，得两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：    由为的中点，则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，得，而， 所以点到平面的距离为. （2）设点，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 显然平面的一个法向量为， 则，解得， 此时点为的中点，所以. 22．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足． (1)求证：平面; (2)求平面与平面所成锐二面角的大小; (3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)不存在,理由见详解 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理即可证; （2）建立空间直角坐标系,利用向量法直接计算可知; （3）假设存在,利用向量法直接计算可知. 【详解】（1）是正三角形, 为的中点,, 又平面,平面, , 又平面,平面,平面,且, 平面. （2） 取的中点,连接, 由（1）得平面,且底面是的正方形,所以以为原点,分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,得到如下点的坐标, 又,,分别是,,上的点,且满足, ， ,, 由（1）得平面,所以平面的法向量为, 设平面的法向量为, 则,即,解得,, 设平面与平面所成锐二面角为, , 所以平面与平面所成锐二面角的大小. （3）设线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为,且, ,, , 整理可得:,方程无解, 不存在这样的点. 23．（23-24高二下·江苏南京·期中）四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解答 (2) (3)存在， 【分析】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面与平面的夹角，即可求解； （3）设，利用空间向量法求解与平面的夹角，从而求解. 【详解】（1）如图1，取的中点，连接. 因为且，又因为分别是的中点， 所以且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，所以，令， 又因为，，所以. 如图2，以为原点，所在方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， 所以 设点坐标为，则， 由得，则， 所以，， 设平面的一个法向量为， 由，令，则， 所以面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． （3）存在，，理由如下： 设， 所以设，所以， 所以， 因为与平面所成角的正弦值为，所以， 整理得，解得或（舍）， 所以存在满足条件的点，，则. 24．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图， 平面， ， ， ， ， . (1)求证: 平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值 (3)若二面角的余弦值为 ，求线段的长. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可； （2）以为原点建立空间直角坐标系，首先求解出平面的法向量，根据直线与平面所成角的正向量公式可求得结果； （3）设得到，可求解出平面的法向量，从而得到；根据二面角余弦值与法向量夹角余弦值的关系可建立方程，解方程求得结果. 【详解】（1）因为 平面， 平面，所以， 又，，， 所以平面； （2）以为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系： 由题意得：，，，， ，， 设平面的法向量 ，令，则， 设直线与平面所成角为， 即直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，则 设平面的法向量 ，令，则， 由（1）知，平面的法向量 又二面角的余弦值为 , ，化简可得：， 解得：或（舍去） 线段的长为： 25．（23-24高二下·福建·期中）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用平面，得到，结合，可证明平面，由面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，设，求出所需点的坐标和向量坐标，然后利用待定系数法求出平面和平面的法向量，由向量夹角公式列式求解的值，然后利用线面角的计算公式求解即可. 【详解】（1）因为平面， 平面， 所以． 因为， 所以，所以， 故．又，且两直线在平面内，所以平面． 因为平面，所以平面平面 （2）如图，以为原点，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 则 易知为平面的一个法向量 设为平面的一个法向量， 由，即，所以 取，则． 依题意，，解得． 于是， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为 26．（23-24高二下·江苏南通·期中）如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形．    (1)证明：． (2)若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用菱形的性质证得，再利用线面垂直的判定与性质定理证得，从而得证； （2）依题意建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，从而利用空间向量法求线面角即可得解. 【详解】（1）连接，因为底面和侧面均为正方形， 所以，则四边形为菱形，则， 由底面和侧面均为正方形，得． 因为平面，所以平面， 又，所以． 因为平面，所以平面， 又平面，所以.    （2）因为平面ABCD和平面均为正方形，所以， 又，，所以， 又因为，则，所以为正三角形， 取中点E，连接AE，则， 以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 由题意得，，， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则法向量， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值． 27．（23-24高二下·浙江·期中）如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点． (1)求证：； (2)若为直线上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质证明线面垂直进而得到线线垂直; （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，又因为平面 所以 （2）如图，以 点为原点，分别以直线为轴，轴， 依题意，可得，，，，， 所以，， ，， 又，为的中点. ，所以， 设为平面的法向量， 因为，， 则，即， 取，可得， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为 28．（23-24高二下·江苏南京·期中）在三棱柱中，已知，，，，M是BC的中点． (1)求证：； (2)在棱上是否存在点P，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段AP的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，的长度为. 【分析】（1）根据余弦定理得到和，再由线面垂直的判定条件得到平面，然后证明平面，进而证明. （2）建立空间直角坐标系，根据点在棱上设出，再求出两个半平面的法向量，根据二面角的大小得到关于的方程，解方程即可求得点的位置. 【详解】（1）因为，， 所以根据余弦定理可得， 代入数值解得， 所以，所以. 又因为，M是BC的中点， 所以，， 所以在中，，， 解得， 所以，所以. 因为，所以， 又，，平面，平面， 所以平面， 而平面， 所以. 又，，平面，平面， 所以平面， 而平面，所以. （2）由（1）得，平面，， 所以以为原点，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，， 根据三棱柱的性质可知，. 假设存在符合题意的点， 所以设 所以， 设平面的法向量为， 由，得到，取，所以， 所以平面的法向量为 而且平面的法向量为， 因为二面角的正弦值为，所以二面角的余弦值为， 所以，解得， 又因为，所以， 此时，所以. 综上，在棱上存在点P，使得二面角的正弦值为，的长度为. 29．（2024·广东广州·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）取中点，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得. （2）过作于点，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （3）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）取中点，连接，由为中点，为中点，得， 又，则，因此四边形为平行四边形， 于是，而平面平面， 所以平面. （2）过作于点，连接，由，得≌， 则，即，而， 因此，又平面，则平面，平面， 所以平面平面. （3）由（2）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设与平面所成角为，， 所以与平面所成角的正弦值是. 30．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出， 利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则， 因为，则，， 由余弦定理可得， 所以，，则，同理可证， 翻折后，则有，， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 所以平面平面. （2）因为平面，，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以，， 平面的一个法向量为，，， 则，令，可得， 则，整理可得， 因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且. 31．（23-24高二上·河北唐山·期末）如图，三棱柱的侧面和均为正方形，，交于点O，D为中点，. (1)证明：； (2)设，当为何值时，平面与平面夹角的余弦值等于？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直可得线面垂直，进而根据线面垂直的性质求证线线垂直， （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解. 【详解】（1）因为，，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以. （2）如图，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 故，， 由，得， 得， 设平面的法向量为. 由得 取， 取平面的一个法向量为. 设面与面夹角为，则 ， 即，解得. . 32．（23-24高二上·江苏盐城·期末）在四棱锥中，底面为正方形， ，平面，分别为的中点，直线与相交于点． (1)求到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系后由点到面距离公式计算即可得； （2）借助空间向量计算即可得. 【详解】（1）由平面，且、平面， 故、，又底面为正方形， 故，故、、两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、, 则，，， 设平面的法向量为， 则有，即，令，则有、， 故可为， 则到平面的距离； （2）、，则， 则有， 故直线与平面所成角的正弦值为. 33．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证平面，平面，再由面面平行的判定定理可证得结果； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，运用向量法求线面角，通过换元法转化为二次函数求最值. 【详解】（1）因为，，所以四边形为平行四边形，故, 又平面，平面,所以平面； 连接交于N，连接，因为四边形是正方形，故N为中点， M是的中点，在中，有，平面，平面, 所以平面，且平面，平面,, 所以平面平面. （2）如图，建立空间直角坐标系，设，， 则，又M是的中点， 故,，因为， 所以，解得，设，因点P为线段上一点， 则，即， 故，所以， 又，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 即，设直线与平面所成角为， 则     当时， 设，，所以， 当时，所以， 当时，，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 【点睛】解决本题第二问关键是求出直线的方向向量和平面的法向量，运用向量法求出线面角正弦值的表达式，通过换元法转化为二次函数求最值. 34．（23-24高二上·广东深圳·期末）在如图所示的多面体中，四边形为菱形，在梯形中，，，，平面平面. (1)证明：； (2)若直线与平面所成的角为，为棱上一点（不含端点），试探究上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，1 【分析】（1）由平面平面推出，再由推出平面，进而推出； （2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用向量法表示出平面与平面夹角的余弦值即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，，平面， 平面平面，所以平面， 又平面，故， 因为四边形为菱形，所以， 又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2）设，由（1）可知，平面， 故直线与平面所成的角为，所以， 则与均为边长为2的等边三角形， 以为原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系，如下图： 由平面，可得平面的法向量为， 而，，， 设（），则，，， 设平面的法向量，则， 取，可得，，故， 所以平面与平面夹角的余弦值为， 解得或0（舍去）， 所以存在一点使得平面与平面夹角的余弦值为，此时的长为1. . 35．（23-24高二上·上海徐汇·期末）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面.    (1)求证： (2)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得； （2）设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为，利用空间向量法求出，再由向量法求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为四边形为正方形，平面， 如图以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，    所以， 所以， 所以，所以. （2）设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为， 则，又， 所以，解得（负值舍去）， 所以存在满足条件， 所以，依题意可得， 设为平面的法向量， 则，设，可得， 所以点到平面的距离为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$