第06讲 单调性、最值及奇偶性（十一大重难点）-2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第06讲 单调性、最值及奇偶性 一、函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 3.复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 二、最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 三、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 奇偶函数的性质： （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 重难点01函数单调性的判断与证明 【解题必备】证明或判断函数单调性的方法步骤： ①取值：且；②作差变形：作差或,并通过通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判断差的符号的方向变形；③定号：确定差或的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论；④结论：根据定义得出结论 例1．已知函数在上单调递减，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．已知函数 (1)求的值； (2)若，试证明函数在上是减函数． 【跟踪练习】 练习1．设函数的定义域为，则“，”是“在上为增函数”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习2．（多选）下列说法能判断函数在区间上单调递增有（    ） A．对于任意的，当时，都有恒成立； B．对于任意的，都有恒成立； C．存在，使得成立； D．对于任意的，都有恒成立，并且对于任意的，都有也恒成立 练习3．已知函数． (1)若，求在或上的值域； (2)证明：当时，函数在区间上单调递增． 练习4．已知函数的定义域为，且对任意的，恒有，，当时，．试判断函数的单调性． 重难点02求函数的单调区间 【解题必备】（1）求函数单调区间的2种方法：①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；②图象法：先画出图象，根据图象求单调区间； （2）求函数单调区间的注意点：一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接． 例3．已知函数， (1)在所给的坐标系中画出的图象； (2)根据图象，写出的单调区间和值域； 例4．函数的递增区间是 . 【跟踪练习】 练习1．（多选）如图是函数的图象，则函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 练习2．函数的单调递减区间为 练习3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 练习4．已知函数 (1)把写成分段函数；并在直角坐标系内画出函数大致图像； (2)写出函数的递减区间． 重难点03已知函数的单调性求参数 【解题必备】已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围． 例5．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例6．已知函数的单调递减区间为，则实数的值为 . 【跟踪练习】 练习1．设命题“函数为递减函数”，命题“”，则P是Q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 练习2．已知函数在区间上是单调函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习4．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点04利用函数单调性求值域 例7．函数的最小值为 ． 例8．设函数 (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求在区间上的值域． 【跟踪练习】 练习1．已知反比例函数和，当时，函数的最小值为，函数的最大值为，则的值是 ． 练习2．函数在上的最大值为 ． 练习3．已知函数， (1)求该函数的定义域； (2)证明该函数在上单调递减； (3)求该函数在上的最大值和最小值. 练习4．设，记，则函数的最小值为 ． 重难点05根据函数的值域求参数 例9．已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为（    ） A．-4 B．-2 C．1 D．-1 例10．若函数的定义域是，值域是，则 ． 【跟踪练习】 练习1．若函数在区间上的值域为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习2．（多选）若函数的定义域为，值域为，则的值可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 练习3．已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 练习4．已知函数. (1)判断函数在的单调性，并用定义证明. (2)若时函数的最大值与最小值的差为，求的值. 重难点06函数奇偶性的判断与证明 【解题必备】先检查定义域是否关于原点对称，若不是，则为非奇非偶函数；若是，则判断是否满足或，若不是，则为非奇非偶函数，若是，则为偶函数或奇函数 例11．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 例12．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)，； (4)，． 【跟踪练习】 练习1．已知函数为偶函数，函数为奇函数，则函数为______函数．（    ） A．偶函数 B．奇函数 C．复变函数 D．非奇非偶函数 练习2．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 练习3．（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（   ） A． B． C． D． 练习4．函数的奇偶性为 ． 重难点07根据函数奇偶性求值求参 【解题必备】（1）由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值； （2）利用奇偶性求参数的2种类型: ①定义域含参数：奇偶函数的定义域为，根据定义域关于原点对称，利用求参数． ②根据或列式，比较系数利用待定系数法求解． 例13．若函数为偶函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 例14．已知函数，，则 . 【跟踪练习】 练习1．若是定义在上的奇函数，当时，，则 . 练习2．已知m、n是常数，而函数为奇函数.求m、n的值. 练习3．已知函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 练习4．已知函数的图象关于直线对称． (1)求的值； (2)求函数的最小值． 重难点08利用函数奇偶性求解析式 【解题必备】利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤： ①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设；②转化到已知区间上，代入已知的解析式；③利用的奇偶性写出或，从而解出． 例15．已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， ． 例16．已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【跟踪练习】 练习1．已知是定义域为的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)求在上的解析式. 练习2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ；当时， . 练习3．已知是二次函数，且为奇函数，当时，的最小值为1，则的表达式是 . 练习4．已知，均为定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 重难点09利用单调性奇偶性比较大小 【解题必备】奇偶性与单调性比较大小：看自变量是否在同一单调区间上 ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 例17．已知函数满足：①是偶函数；②在区间上是减函数．若，且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 例18．上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知定义域为的函数和，函数图象关于原点对称，函数满足，若，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 练习2．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 练习4．已知函数满足：①定义域；②为偶函数，③为奇函数，④对任意的，且，都有，则、、的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 重难点10利用单调性奇偶性解不等式 【解题必备】奇偶性与单调性解不等式：①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“”转化为简单不等式求解． 例19．已知为上的减函数，设函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例20．已知奇函数在上为增函数，且，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知为上的偶函数，函数在上单调递增，则不等式的解集为 . 练习2．已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习3．定义在R上的偶函数满足：对任意的有，则满足的x取值范围是 . 练习4．已知函数若，则实数a的取值范围是 ． 重难点11利用单调性奇偶性解不等式（构造函数） 例21．已知是定义在R上的奇函数，，对，，且有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例22．已知定义在上的奇函数满足，对于任意，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．设是定义在上的奇函数，对任意的，满足且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习2．设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于中心对称，若，则的解集为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数是定义在R上的奇函数，，若，，且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习4．定义在R上的奇函数，对任意都有，若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第06讲 单调性、最值及奇偶性 一、函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 3.复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 二、最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 三、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 奇偶函数的性质： （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 重难点01函数单调性的判断与证明 【解题必备】证明或判断函数单调性的方法步骤： ①取值：且；②作差变形：作差或,并通过通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判断差的符号的方向变形；③定号：确定差或的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论；④结论：根据定义得出结论 例1．已知函数在上单调递减，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递减，且， 由减函数的定义可知，当时，有，充分性成立； 当时，，必要性成立. 即对实数，“”是“”的充要条件. 故选：C 例2．已知函数 (1)求的值； (2)若，试证明函数在上是减函数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）∵， ∴. （2）证明：， 且， ． 因为，所以，，． 所以，． 因此函数在上是减函数． 【跟踪练习】 练习1．设函数的定义域为，则“，”是“在上为增函数”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】一方面，若在上为增函数，则根据增函数的定义，知对任意实数都有，所以必要性成立； 另一方面，对于定义在上的函数： 由于对任意实数，和或者都是整数，或者都不是整数. 故且，或者且. 无论怎样，都一定有. 但是，，故由， 则不是上的增函数，所以充分性不成立. 故选：B. 练习2．（多选）下列说法能判断函数在区间上单调递增有（    ） A．对于任意的，当时，都有恒成立； B．对于任意的，都有恒成立； C．存在，使得成立； D．对于任意的，都有恒成立，并且对于任意的，都有也恒成立 【答案】AB 【详解】对于选项A：由题意可得当时，都有恒成立， 所以函数在区间上单调递增，故A正确； 对于选项B：因为，且时，恒成立， 可得或恒成立， 即或恒成立， 所以函数在上是增函数，故B正确； 对于选项C：不能，例如时， ，且， 但函数在上不是单调递增的，而是先减后增，故C错误； 对于选项D：由选项B可知：在内单调递增， 例如如图：    满足在内单调递增，但在内不单调，故D错误； 故选：AB. 练习3．已知函数． (1)若，求在或上的值域； (2)证明：当时，函数在区间上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当， 若，则，等号当且仅当时成立； 若，则，等号当且仅当时成立． 所以在或上的值域为：． （2），且， 有 ． 由得：． 所以，又由，得． 于是：，即． 所以，函数在区间上单调递增． 练习4．已知函数的定义域为，且对任意的，恒有，，当时，．试判断函数的单调性． 【答案】是增函数． 【详解】设，且，则，． ∵当时，，∴． 由题意，得 ， ∴，∴是增函数． 重难点02求函数的单调区间 【解题必备】（1）求函数单调区间的2种方法：①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；②图象法：先画出图象，根据图象求单调区间； （2）求函数单调区间的注意点：一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接． 例3．已知函数， (1)在所给的坐标系中画出的图象； (2)根据图象，写出的单调区间和值域； 【答案】(1)图象见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）作出的图象如图所示： （2）由图知：的单调减区间为，单调增区间为，值域为. 例4．函数的递增区间是 . 【答案】 【详解】令，解得，故的定义域为， 因为的对称轴为，开口向下， 所以在单调递增， 所以的递增区间是. 故答案为：. 【跟踪练习】 练习1．（多选）如图是函数的图象，则函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若函数单调递增，则对应图象上升趋势， 由图知：的递增区间为，， 故选：AC． 练习2．函数的单调递减区间为 【答案】 【详解】由，可得函数的单调递减区间为. 故答案为： 练习3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得， 令，则， ∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增， ∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是 故选：C 练习4．已知函数 (1)把写成分段函数；并在直角坐标系内画出函数大致图像； (2)写出函数的递减区间． 【答案】(1)，函数图像见解析； (2). 【详解】（1）， 函数图像如下图所示： （2）由（1）中函数的图像可知：函数的递减区间为：. 重难点03已知函数的单调性求参数 【解题必备】已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围． 例5．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递减，只需， 解得，即的取值范围为. 故选：A 例6．已知函数的单调递减区间为，则实数的值为 . 【答案】 【详解】， 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 由于的单调递减区间为，则只需，得； 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 这与的单调递减区间为矛盾，故不符合题意， 当时，此时在整个定义域上单调递增，故也不符合题意， 综上可得， 故答案是：. 【跟踪练习】 练习1．设命题“函数为递减函数”，命题“”，则P是Q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由为真，即函数为递减函数， 则应有，所以. 又所表示的范围大于不等式所表示的范围， 所以，P是Q的必要不充分条件. 故选：B. 练习2．已知函数在区间上是单调函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的图象对称轴为， 由函数在区间上是单调函数，得或，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：C 练习3．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是上的增函数， 则，解得. 故选：B 练习4．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 令，故，， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增， 故，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：C 重难点04利用函数单调性求值域 例7．函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】令，则， 可知在内单调递增，则在内的最小值为， 所以函数的最小值为. 故答案为：. 例8．设函数 (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2) 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 设任意的且，则 ， 因为且，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减； （2）由（1）可得在上单调递减， 又，， 所以，即在区间上的值域为. 【跟踪练习】 练习1．已知反比例函数和，当时，函数的最小值为，函数的最大值为，则的值是 ． 【答案】 【详解】由可知当时， 函数和均单调递减， 所以当时函数取最小值为 当时函数取最大值为， 解得，， 故答案为：. 练习2．函数在上的最大值为 ． 【答案】4 【详解】由题意可知， 作出函数的图象，如图所示    由图可知，在上单调递增，在上单调递减; 所以当时，取的最大值为. 故答案为：. 练习3．已知函数， (1)求该函数的定义域； (2)证明该函数在上单调递减； (3)求该函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1)． (2)证明见解析 (3)最大值为，最小值为． 【详解】（1）由于，所以，所以， 即函数的定义域为． （2）证明：任取,,，且， 则， 因为,,，且，所以，，， 所以，即， 所以函数在,上单调递减． （3）由（2）知函数在,上单调递减， 所以函数在,上的最大值为，最小值为． 练习4．设，记，则函数的最小值为 ． 【答案】0 【详解】当时，解得， 当时，解得， 则， 因为在上单调递减， 在上单调递增， 所以时，有最小值，且. 故答案为：0 重难点05根据函数的值域求参数 例9．已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为（    ） A．-4 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A 【详解】依题意，的值域为，且的解集为， 故函数的开口向下，， 则方程的两根为或， 则，，即， 则， 当时，取得最大值为， 即，解得：. 故选：A. 例10．若函数的定义域是，值域是，则 ． 【答案】或 【详解】由题设，则在定义域上单调， 所以或，可得或， 所以或. 故答案为：或 【跟踪练习】 练习1．若函数在区间上的值域为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，得或，因为函数定义域为，所以，即函数在处取得最小值0，且，即， 则， 因为函数的值域为，所以 当时，有，即，得，即; 当时，有，即，得，即. 综上，实数a的取值范围为. 故选：D. 练习2．（多选）若函数的定义域为，值域为，则的值可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】ABC 【详解】，故在上单调递减，在上单调递增， 且，， 因为值域为，故， 所以的值可能是2,3,4. 故选：ABC 练习3．已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】时，不合题意， 因此且，∴， 故答案为：． 练习4．已知函数. (1)判断函数在的单调性，并用定义证明. (2)若时函数的最大值与最小值的差为，求的值. 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析 (2) 【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 因为， 则， 因为，所以，，， 所以，即，所以函数在上单调递增. （2）由（1）知函数在上单调递增， 所以函数的最大值为，最小值为， 所以，即，解得. 重难点06函数奇偶性的判断与证明 【解题必备】先检查定义域是否关于原点对称，若不是，则为非奇非偶函数；若是，则判断是否满足或，若不是，则为非奇非偶函数，若是，则为偶函数或奇函数 例11．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于的定义域为，且， 故为奇函数，图象关于原点对称，此时可排除， 且当，，此时可排除B, 故选：A 例12．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)，； (4)，． 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2)奇函数，理由见解析 (3)非奇非偶函数，理由见解析 (4)既是奇函数又是偶函数，理由见解析 【详解】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数是偶函数. （2）奇函数，理由如下： 由且， 所以函数定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数是奇函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 因为函数定义域为，不关于原点对称， 所以函数是非奇非偶函数. （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 因为函数定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数既是奇函数又是偶函数. 【跟踪练习】 练习1．已知函数为偶函数，函数为奇函数，则函数为______函数．（    ） A．偶函数 B．奇函数 C．复变函数 D．非奇非偶函数 【答案】D 【详解】函数的定义域为：，它关于原点对称， 则，且， 得函数为非奇非偶函数， 故选:D 练习2．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为的定义域为，又因为，所以是偶函数；故A是偶函数； 令，则，所以是偶函数，故B是偶函数； 令，则，所以是偶函数，故C是偶函数； 令，则，所以是奇函数，故D是奇函数． 故选：ABC. 练习3．（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A选项，函数，其定义域为R，， 所以是偶函数； 函数对称轴为，所以在区间上单调递增，故A正确； 对于B选项，函数，其定义域为，，， 所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数，其定义域为， 所以是奇函数，不是偶函数，故C错误； 对于D选项，函数，其定义域为，， 所以是偶函数， 当时，在区间上单调递增，故D正确. 故选：AD. 练习4．函数的奇偶性为 ． 【答案】奇函数 【详解】作出函数图像如下图所示：    由函数图像可知，函数的图象关于原点中心对称， 又定义域为R，所以为奇函数. 故答案为：奇函数． 重难点07根据函数奇偶性求值求参 【解题必备】（1）由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值； （2）利用奇偶性求参数的2种类型: ①定义域含参数：奇偶函数的定义域为，根据定义域关于原点对称，利用求参数． ②根据或列式，比较系数利用待定系数法求解． 例13．若函数为偶函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】函数为偶函数，所以即得 的定义域为， 在 或其子集上,即得， 所以恒成立， 所以,， 可得. 故选：A. 例14．已知函数，，则 . 【答案】 【详解】设，则，且为奇函数，即. 又； 所以， 所以. 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．若是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数，则. 所以. 故答案为： 练习2．已知m、n是常数，而函数为奇函数.求m、n的值. 【答案】 【详解】因为的定义域为， 若为奇函数， 则， 可得，则，解得. 练习3．已知函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 【答案】2 【详解】记，显然的定义域关于原点对称，且， 所以是区间上的奇函数， 设的最大值为，则的最小值为， 所以. 故答案为：2. 练习4．已知函数的图象关于直线对称． (1)求的值； (2)求函数的最小值． 【答案】(1) (2)0 【详解】（1）方法一：，代入展开得， 由等式恒成立，则，解得． 方法二： 因为为偶函数，则，解得． （2）， 设，则， ， 函数取得最小值为0，当且仅当或的时取到． 重难点08利用函数奇偶性求解析式 【解题必备】利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤： ①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设；②转化到已知区间上，代入已知的解析式；③利用的奇偶性写出或，从而解出． 例15．已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【详解】因为是定义域为的奇函数，当时，， 所以，即，此时， 则当时，，， 所以． 故答案为：． 例16．已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】B 【详解】由①得， 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， ①-②得：，所以，则. 故选：B. 【跟踪练习】 练习1．已知是定义域为的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)求在上的解析式. 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）由题得， 所以. （2）设，则， 则， 因为函数是R上的奇函数，所以， 综上所述. 练习2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ；当时， . 【答案】 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 所以； 当，则，所以. 故答案为：；. 练习3．已知是二次函数，且为奇函数，当时，的最小值为1，则的表达式是 . 【答案】或 【详解】设.则. 又为奇函数，，，对称轴为. 当，即时，在上为减函数，的最小值为，又，故此时无解； 当即时，的最小值，，此时； 当即时，在上为增函数，的最小值为，，此时. 综上，所求为或. 故答案为：或. 练习4．已知，均为定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，， 则， 又因为是奇函数，是偶函数， 令替换有， 即， 即， 整理得， 联立，解得，， 所以 所以， 故选：A. 重难点09利用单调性奇偶性比较大小 【解题必备】奇偶性与单调性比较大小：看自变量是否在同一单调区间上 ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 例17．已知函数满足：①是偶函数；②在区间上是减函数．若，且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】由是偶函数，把的图象向右平移1个单位可得函数的图象， 所以函数的图象关于对称，即， 因为，，且，所以， 因为函数在上是减函数，所以，即. 故选：B． 例18．上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为上的偶函数, 且对任意，当时都有，所以对任意，当时都有， ,. 故选:D. 【跟踪练习】 练习1．已知定义域为的函数和，函数图象关于原点对称，函数满足，若，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】由函数图象关于原点对称，得， 又，，则， 即，解得，， 因此，，所以. 故选：A 练习2．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 在上是减函数. 而， ， ， 即. 故选：A. 练习3．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为时，恒成立， 所以， 所以在上单调递增， 因为是偶函数， 所以的图象关于对称， 因为，，， 因为， 所以，即， 所以． 故选：A． 练习4．已知函数满足：①定义域；②为偶函数，③为奇函数，④对任意的，且，都有，则、、的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上为偶函数， ， 关于对称， 在上为奇函数， ， 关于点对称，且， 令， 又， ， 由得：， 由得：，(将中的换成)， 由得：， 的一个周期为，且，关于对称， 又对任意的，且，都有， 在上单调递减， 在一个周期内的草图为： ， . 故选：C. 重难点10利用单调性奇偶性解不等式 【解题必备】奇偶性与单调性解不等式：①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“”转化为简单不等式求解． 例19．已知为上的减函数，设函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知：的定义域为，关于原点对称， 当时，，， 则， 当，， 当时，，， 则， 故为偶函数， 又 为上的减函数， 在上单调递减，在上单调递增， ， ，即，解得：. 故选：B. 例20．已知奇函数在上为增函数，且，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】奇函数在上为增函数，且， 则在上为增函数，且， ，解得或；，解得或. 不等式，等价于或， 解得或. 故选：A 【跟踪练习】 练习1．已知为上的偶函数，函数在上单调递增，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】因为为上的偶函数，函数， 所以，即函数为偶函数， 由，可得， 即，又函数为偶函数且在上单调递增， 所以，解得，即原不等式的解集为. 故答案为：. 练习2．已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，函数的大致图像如下图： 因为是定义在上的偶函数，在上单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 则当或时，；当时，， 不等式化为或， 所以或或， 解得或或，即或， 即原不等式的解集为； 故选：C. 练习3．定义在R上的偶函数满足：对任意的有，则满足的x取值范围是 . 【答案】 【详解】函数对任意的有， 则函数在上单调递减，而是R上的偶函数，则在上单调递增， 所以不等式，于是，解得， 所以所求的x取值范围是. 故答案为：. 练习4．已知函数若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减； 当时，，，, 所以. 又当时，，， 所以. 又 ，所以为奇函数，且在R上单调递增， 则可得： ，即， 解得， 故答案为： 重难点11利用单调性奇偶性解不等式（构造函数） 例21．已知是定义在R上的奇函数，，对，，且有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是定义在R上的奇函数，令， 则是定义在R上的偶函数， 且在上单调递增，， 由题意不妨设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，，， 解得：，即关于的不等式的解集为. 故选：B. 例22．已知定义在上的奇函数满足，对于任意，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则定义域为， 因为是定义在上的奇函数， 则，所以为奇函数， 又因为对于任意，都有成立， 即对于任意，都有成立， 即成立，所以在为增函数； 因为，所以， 又为奇函数，所以在上为增函数，且， 所以. 故选：A. 【跟踪练习】 练习1．设是定义在上的奇函数，对任意的，满足且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，由于是定义在上的奇函数， 所以，所以是定义在上的偶函数. 任取， 则， 即， 所以在上递增，则在上递减. ，， 对于不等式， 当时，有，即； 当时，由，即， 综上所述，不等式的解集为. 故选：B 练习2．设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于中心对称，若，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，故， 即函数在上单调递增， 函数的图象关于中心对称，则关于原点对称， 即为奇函数，为偶函数，故函数在上单调递减. ，则，， 当时，，即，即，； 当时，，即，即，； 综上所述：. 故选：D 练习3．已知函数是定义在R上的奇函数，，若，，且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，且，都有, 不妨令可知函数在上单调递增， 记，则， 所以为偶函数，因此在上单调递减，且， 不等式等价于， 故，解得或，故不等式的解集为：． 故选：A 练习4．定义在R上的奇函数，对任意都有，若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，则， 设，故，在上单调递减， 为奇函数，则，为奇函数， 在上单调递减，，， ，即，故， 故选：C. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$