精品解析：河南省郑州市中牟县第一高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024——2025学年高二上学期第二次月考 数学试题 一、单项选择题（8小题，每题5分，共40分） 1. 直线：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的一般式可得直线的斜率，再由斜率的公式即可求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：. 2. 已知向量，则与同向共线的单位向量（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得的模，再根据与同向共线的单位向量求解. 【详解】因为向量， 所以， 所以与同向共线的单位向量为：， 故选：C. 3. 使得“直线与直线垂直”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】求得直线与直线垂直时，的值，由此确定充分不必要条件. 【详解】直线与直线垂直时，， ，解得或. 所以使得“直线与直线垂直”的充分不必要条件是C选项. 故选：C 4. 若圆的半径为2，则实数的值为（ ） A. -9 B. -8 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案. 【详解】由，得， 所以，解得. 故选：D. 5. 椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出结果. 【详解】椭圆的长半轴长，依题意，，而， 所以. 故选：D 6. 当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定曲线所表示的图形，再根据数形结合得出实数的取值范围. 【详解】直线恒过点， 由可得，等式两边平方得， 曲线表示圆的上半圆，作出示意图如下： 当直线与半圆相切时，即直线与半圆相切时， 有，解得， 当直线过时，，解得， 要想曲线与直线有个相异交点， 数形结合得到：实数的取值范围是. 故选：D. 7. 若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知圆心到直线的距离满足,进而根据距离公式解不等式即可得答案. 【详解】解:将圆的方程化为标准形式得圆, 所以圆心坐标为,半径为 因为圆上存在到直线的距离等于1的点， 所以圆心到直线的距离满足,即,解得: 故选:A 8. 在正方体中，直线与平面所成的角为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可. 【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 直线与平面所成的角为， 则，令，即， 所以， 所以. 故选：B 二、多项选择题（3小题，每题6分，共18分） 9. 设，，是空间的一个基底，则下列说法不正确的是（ ） A. 则，，两两共面，但，，不可能共面 B. 若，，则 C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D. ，，不一定能构成空间的一个基底 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量基底的定义可判断AB，根据空间向量基本定理可判断CD. 【详解】对于A，显然，，两两共面，但，，不可能共面，否则不能构成空间的一个基底，故A正确； 对于B，由空间向量基底的定义可知，当，时，所成角不一定为，故B错误； 对于C，根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组，使，故C正确； 对于D，假设向量，，共面， 则，化简得， 因为，，不共面，所以，无解， 所以，，不共面，一定能构成空间的一个基底，故D错误． 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线 的倾斜角的取值范围为 B. “”是“点到直线距离为”的充要条件 C. 直线：恒过定点 D. 直线与直线平行，且与圆相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系判断A；利用点到直线的距离与充分不必要条件判断B；整理方程为可得定点判断C，由直线平行的判定与直线与圆相切的条件判断D. 【详解】对于A：设直线的倾斜角为， 则，所以的取值范围是，故A正确； 对于B：由点到直线距离为，可得， 解得或， 所以“”是“点到直线的距离为3”的充分不必要条件，故B错误； 对于C：，即，恒过定点，故C正确； 对于D：直线即与直线平行， 圆的圆心为，半径为， 又圆心到直线的距离为， 所以与圆相切，故D正确； 故选：ACD 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 点到直线的距离是 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到；B选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；C选项，利用空间向量点到直线距离公式进行求解；D选项，利用异面直线夹角公式进行求解. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ， 则，A错误； B选项，平面的法向量为， ，设直线与平面所成角的大小为， 则，B正确； C选项，， 点到直线的距离为，C正确； D选项，， 设异面直线与所成角大小为， 则，D错误.      故选：BC 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据椭圆的对称性，利用三角形中位线定理求得，再由椭圆定义求解即可． 【详解】如图，根据椭圆的对称性，不妨设为左焦点，为右焦点， 由椭圆，得，， 是的中点，是的中点， 为的中位线， ， 由椭圆的定义得． 故答案为：4． 13. 如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出如图的货车截面图矩形，在圆上时，货车最高，求出的长即得． 【详解】如图，矩形是货车截面图，，则， 故答案为：． 14. 已知直线上有两个点和, 且为一元二次方程的两个根, 则过点且和直线相切的圆的方程为______________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可知，，，所以中点坐标为，圆心在直线的中垂线上，故过圆心满足直线，设圆心的坐标为，由圆与直线相切故，由弦长公式可得，圆心到直线的距离为，由勾股定理可知解得：当时，；当时，得解． 【详解】上有两个点和,为一元二次方程的两个根，故，那么，所以中点坐标为，因为圆心在直线的中垂线上，故过圆心的直线为，设圆心的坐标为，由圆与直线相切故，由弦长公式可得，圆心到直线的距离为，因为圆的半径、半弦长、圆心到直线的距离构成直角三角形，由勾股定理可知解得：当时，；当时，，所以圆的方程为或． 【点睛】利用圆与直线的几何性质解圆有关的问题常见解法，圆心到直线的距离、半径、弦长之间的关系为． 四、解答题（5小题，77分） 15. 已知点与直线l：，圆C： （1）一条光线从点P射出，经直线l反射后，通过点，求反射光线所在的直线方程； （2）过P点作圆的切线，求切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据给定条件求出点P关于的对称点即可求出反射光线所在的直线方程. （2）分切线斜率是否存在进行讨论即可. 【小问1详解】 设点关于直线：的对称点坐标为， 则有，解得，即， 直线的方程为：，即， 因反射光线过点，而反射光线所在直线过点， 所以反射光线所在直线方程为. 【小问2详解】 圆C：即圆C：的圆心为，半径为， 过点且斜率不存在的直线为，显然到直线的距离，故满足题意； 设过点且斜率存在的直线的直线与圆C：相切， 则，解得，此时所求直线为，即； 综上所述，满足题意的切线方程为或. 16. 已知椭圆E的两个焦点坐标分别为，并且经过点． （1）求E的标准方程； （2）在E上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，垂足为D，点M满足，当点P在E上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状（当点P经过椭圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合）． 【答案】（1） （2）轨迹方程为，轨迹是：以为圆心，5为半径的圆． 【解析】 【分析】（1）由已知，利用椭圆定义可求出，进而求得，即可得到椭圆E的标准方程； （2）设，，由，可得，代入椭圆方程即可. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为， 因为椭圆E的两个焦点坐标分别为，并且经过点 所以， 所以，， 所以E的标准方程为：. 【小问2详解】 设，，则，， 因为，所以，则 ， 又因为， 把代入上式得：， 所以点M的轨迹方程为，轨迹是：以为圆心，5为半径的圆． 17. 已知圆经过点，且与圆相切于原点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先判断出与圆外切，从而得三点共线，则有圆心在直线，用待定系数法求解即可； （2）先求出直线恒过点，从而得当时，取最小值，即可求出直线的方程，再利用直线与圆相交时的弦长公式求解即可. 【小问1详解】 解：因为圆与图相切，且点在圆的外部， 所以圆与圆外切， 则三点共线， 图， 化为标准形式为：， 所以圆心， 故圆心在直线上， 设圆的标准方程为， 又圆过原点，则， 圆经过点，则，解得， 故圆的标准方程为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，圆的圆心坐标为， 由直线，化为， 所以直线恒过点， 易知点在圆的内部， 设点到直线的距离为，则， 要使取得最小值，则取得最大值，所以， 此时，所以， 则直线的方程为，即. 又圆心到直线的距离， 所以. 18. 如图，在平行六面体中，平面ABCD，，， （1）求证：； （2）求三棱锥的体积； （3）线段上是否存在点E，使得平面EBD与平面的夹角为?若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）4 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）解法一，由平面ABCD，，可求得，证明，得证；解法二，在平面ABCD内过点D作AB的垂线，垂足为H，以D为原点为轴，建立空间直角坐标系，由结合已知条件求出点坐标，利用向量坐标运算证明，得证；解法三，在平面ABCD中，过B作DC的垂线，垂足为G，连结交于F，通过证明平面，得证，在各直角三角形中，通过相似比和勾股定理，求出的值，由，得证； （2）过作于H，由等体积，求值即可； （3）解法一，以D为原点，的方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系；解法二，利用（1）中解法二的空间直角坐标系；设，向量法求平面EBD与平面的夹角，由的值确定结论. 【小问1详解】 解法一：因为⊥平面ABCD，平面ABCD， 所以，，所以，， 因为，所以， 又因为，. 所以，化简得. 所以， 所以. 解法二：在平面ABCD内过点D作AB的垂线，垂足为H，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，，，， 设，则， 所以，， 由得，所以， 又因为，所以，解得， 所以，，，， 所以， 所以. 解法三：在平面ABCD中，过B作DC的垂线，垂足为G，连结交于F. 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 则，所以，所以，， 在中，，，，所以， 在中，，，所以， 在中，，，，所以，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，由（1）知，所以， 过作于H，则. 因为直棱柱中平面平面ABCD，平面平面， 平面ABCD，所以平面， 所以. 【小问3详解】 解法一：假设存在点E满足条件， 因为⊥平面ABCD，， 所以以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，，，， ， 设，则， 设平面EBD的一个法向量为， 由，得， 令，得，所以. 设平面的一个法向量， 由，得， 令，得，所以. 所以， 因为平面EBD与平面的夹角为， 即，解得， 又因为，所以舍去， 所以线段上不存在点E使得平面EBD与平面的夹角为. 解法二：由（1）解法二得平面的一个法向量为， 假设存在E点满足条件，设，则 设平面EBD的一个法向量为， 由，得， 令，则，所以. 所以， 因为平面EBD与平面的夹角为， 即，解得. 又因为，所以舍去， 所以线段上不存在点E使得平面EBD与平面的夹角为. 19. 过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线． （1）已知直线：，直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由． （2）在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上．若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标． （3）已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围． 【答案】（1）存在点，使得，是定积直线，理由如下： 由题意可得， 由，解得， 故存在点，使得，是定积直线，且． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论； （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，利用定积直线的定义可得或，进而，计算即可； （3）设直线，直线，其中，计算得，利用基本不等式可求的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，设直线的斜率为， 则直线的斜率为，直线的斜率为． 依题意得，得，即或． 直线的方程为，因为点在直线上，所以． 因为点在第一象限，所以， 解得或（舍去），，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 由，得，即点的坐标为． 【小问3详解】 设直线，直线，其中， 则 ， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025学年高二上学期第二次月考 数学试题 一、单项选择题（8小题，每题5分，共40分） 1. 直线：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则与同向共线的单位向量（ ） A. B. C. D. 3. 使得“直线与直线垂直”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 4. 若圆的半径为2，则实数的值为（ ） A. -9 B. -8 C. 9 D. 8 5. 椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 7 6. 当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 7. 若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，直线与平面所成的角为（ ）. A. B. C. D. 二、多项选择题（3小题，每题6分，共18分） 9. 设，，是空间的一个基底，则下列说法不正确的是（ ） A. 则，，两两共面，但，，不可能共面 B. 若，，则 C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D. ，，不一定能构成空间的一个基底 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线 的倾斜角的取值范围为 B. “”是“点到直线距离为”的充要条件 C. 直线：恒过定点 D. 直线与直线平行，且与圆相切 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 点到直线的距离是 D. 异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_________. 13. 如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少__________. 14. 已知直线上有两个点和, 且为一元二次方程的两个根, 则过点且和直线相切的圆的方程为______________. 四、解答题（5小题，77分） 15. 已知点与直线l：，圆C： （1）一条光线从点P射出，经直线l反射后，通过点，求反射光线所在的直线方程； （2）过P点作圆的切线，求切线方程． 16. 已知椭圆E的两个焦点坐标分别为，并且经过点． （1）求E的标准方程； （2）在E上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，垂足为D，点M满足，当点P在E上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状（当点P经过椭圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合）． 17. 已知圆经过点，且与圆相切于原点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值. 18. 如图，在平行六面体中，平面ABCD，，， （1）求证：； （2）求三棱锥的体积； （3）线段上是否存在点E，使得平面EBD与平面的夹角为?若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 19. 过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线． （1）已知直线：，直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由． （2）在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上．若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标． （3）已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $