11.7 二次根式的加减法（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

11.7 二次根式的加减法 数学（京改版） 八年级 上册 第十一章 实数和二次根式 学习目标 1.了解二次根式的加、减运算法则； 2.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算； 3.掌握二次根式的混合运算的运算法则； 4.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算； 　 温故知新 一、满足什么条件的根式是最简二次根式? （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 　 导入新课 问题 现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？ 5 dm 5 dm 18 8 讲授新课 知识点一 同类二次根式 活动1 观察下列二次根式的被开数有什么共同特征： 每组的二次根式的被开方数相同 （1） ··· （2） ··· （3） ··· 活动2 思考下列二次根式具有的被开数以上特征吗？你怎样发现的？： 讲授新课 1.同类二次根式 经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式 讲授新课 典例精析 【例1】下列各式中哪些是同类二次根式? 讲授新课 练一练 1、若最简根式 与 可以合并，求 的值. 解：由题意得 解得 即 讲授新课 2、如果最简二次根式 和 是同类二次根式，求，的值． 解：由题意，得：， 解得： , ∴，． 讲授新课 知识点二 二次根式的加减法 问题：现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？ ∵ 5＞ ＞ ∴ 木板够宽 两个正方形的边长和为：( )dm (化成最简二次根式) (分配律) 由 ＜1.5可知 ＜7.5，即两个正方形木板的边长的和小于木板的长， 因此可以用这块木板按要求截出两个面积分是8dm2和18dm2的正方形木板. 讲授新课 (化成最简二次根式) (分配律) 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式(同类二次根式)进行合并. (1)化—将非最简二次根式的二次根式化简； 加减法的运算步骤： (2)找—找出被开方数相同的二次根式； (3)并—把被开方数相同的二次根式合并. “一化简二判断三合并” 讲授新课 典例精析 【例2】计算: 解： 讲授新课 练一练 2.计算: 解： 1.下列计算是否正确？为什么？ (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) √ √ × × 讲授新课 3、计算: 解： 讲授新课 4、计算: 解： 讲授新课 知识点三 二次根式的混合运算 【例3】计算： 解： 讲授新课 1、计算： 解： 讲授新课 解：(1)原式 (2)原式 2、计算： 讲授新课 3、计算： 解： 讲授新课 (1)； (2). 4、计算： （2）原式 ． 解：（1）原式 ； 讲授新课 在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如: 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如： 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？ 根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？ 讲授新课 【例4】已知，，求的值． 解：∵， ， ∴ ． 讲授新课 练一练 1、化简并求值：已知，求的值． 解：∵， ∴ ． 讲授新课 知识点四 二次根式的应用 【例5】某居民小区有块形状为矩形的绿地，长为米，宽为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． (1)求矩形的周长．（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ （1）解：矩形的长为米，宽为米， ∴矩形的周长为 （米）． 答：矩形的周长为米． 讲授新课 （2）解：通道的面积为 （平方米）， 则购买地砖需要花费（元）． 答：购买地砖需要花费336元． 讲授新课 练一练 1、为了表示对老师的敬意，张昊同学特地做了两张大小不同的正方形的画送给老师，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2.他想：如果再用金色细彩带把画的边镶上会更漂亮．他手上现有1.2m长的金色细彩带．请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够用，还需买多少厘米的金色细彩带？(≈1.414，结果保留整数) 解：镶壁画所用的金色彩带的长为： 4×（+） =4×（20+15） =140 ≈197.96（cm）， 因为1.2m=120cm＜197.96cm， 所以小号的金色彩带不够用.197.96-120=77.96≈78（cm），即还需买78cm的金色彩带． 当堂检测 1.下列各式中，与 是合并的二次根式的是（ ） A. B. C. D. D 2. 与最简二次根式 能合并，则 m =_____. 1 3.下列二次根式，不能与 合并的是________(填 序号）. ②⑤ 当堂检测 4．估算的值是（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5．若两个最简二次根式与可以合并，则合并后的结果是（     ） A． B． C． D． 6．已知的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C．2 D．1 B D C 当堂检测 7.已知那么的大小关系是（     ） A． B． C． D． 8．计算：_________． 9．已知，，则______． 10．对于任意的正数、定义运算“★”为：，则的运算结果为________． C 4 当堂检测 11.计算： (1); (2)； (3)． (1)解：原式． (2)解：原式 ； (3)解：原式 ． 当堂检测 解:（1）原式= =； 12.计算： (1)； (2); （2）原式= = =； 当堂检测 （3）原式= = = =； （4）原式= = =． (3)； (4). 当堂检测 13.已知，，求的值． 解：∵， ， ∴ ． 当堂检测 14.若最简二次根式与可以合并，求的算术平方根． 解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得， ∴， ∴， 即的算术平方根是5． 课堂小结 合并同类项 二次根式加减 同类二次根式 化简后，各根式被开方数相同 类比 法则 步骤 将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并. 一化、二找、三合并 课堂小结 整式运算 二次根式混合运算 运算顺序 先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号内的 类比 乘法公式 化简求值 平方差(a + b)(a - b) = a2- b2 完全平方(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. a2 + b2=(a + b)2 - 2ab2 =(a - b)2 +2ab. 谢 谢~ $$