11.7 二次根式的加减法（10大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

第十一章 实数和二次根式 11.7 二次根式的加减法（10大题型提分练） 知识点1： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点2： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点3：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 题型一 同类二次根式 1．下列各式中，不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的合并，解题的关键是掌握二次根式的化简方法，以及同类二次根式才可以合并． 将各选项化为最简二次根式即可解答． 【详解】解：， A、与是同类二次根式，可以合并，不符合题意； B、与是同类二次根式，可以合并，不符合题意； C、与是同类二次根式，可以合并，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不可以合并，符合题意； 故选：D． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先将各选项化简，再找到被开方数与相同的选项即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B．，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C．，3不是二次根式，故该选项不符合题意； D．，与是同类二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 3．已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由最简二次根式与可以合并，得 ． 解得， 故答案为：． 4．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式．先求出，再根据同类二次根式的定义得出，再求出答案即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：3． 5．若最简二次根式和是同类二次根式，求平方和的算术平方根． 【答案】5 【分析】本题考查了算术平方根、最简二次根式，二元一次方程组的应用以及求代数式的值，熟练掌握算术平方根、最简二次根式以及二元一次方程组的应用是解题的关键．根据同类二次根式得出和的二元一次方程组，从而得出和的值，然后求出平方和的算术平方根即可． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， 解得：，， ∴． 题型二 二次根式的加减运算 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据二次根式的加减法运算法则判断A、B选项，根据二次根式化简判断C选项根据二次根式的乘法运算法则判断D选项即可． 【详解】A． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； B． 和，不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，故本选项不符合题意； C． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； D． ，原式计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，涉及二次根式的加法，乘法，除法，合并同类项，根据二次根式的加法，乘法，除法等运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意， 故选：D． 3．计算结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减法运算，正确的计算是解决本题的关键． 先将二次根式化简，然后计算加减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．某一长方形纸片的长为，宽为，则此长方形纸片的周长为 cm． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算的应用，根据长方形的周长（长+宽），即可得到答案 【详解】解：长方形纸片的周长为 故答案为 5．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用同类二次根式进行减法运算，即可作答． （2）运用二次根式的乘法进行运算，即可作答． （3）先化简绝对值，再运用同类二次根式进行减法运算，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： 题型三 二次根式的混合运算 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式加减乘除运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．估算的值在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法，再利用放缩法估算无理数的大小． 【详解】解：， ， ， ， ， 的值在5和6之间， 故选A． 3．计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．本题考查二次根式的混合运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)3 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则． （1）先将各个二次根式化简，再进行计算即可； （2）先根据完全平方公式和去括号法则将括号展开，再进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型四 分母有理化 1．的倒数是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了倒数，二次根式的乘法等知识两个数的积为1，则两个数互为倒数，根据倒数定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选A． 2．的整数部分是（　　） A．3 B．5 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的分母有理化，将各式进行分母有理化后再计算即可得出答案． 【详解】解： 原式 故选：C． 3．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，分母有理化；将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查乘法公式，二次根式的性质，分母有理化，掌握完全平方公式，二次根式的运算方法是解题的关键． 根据题意，运用配方法将配成完全平方公式，再判定，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴将配方得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)写出第4个等式：___________； (2)请写出第n个等式：____________________． (3)利用上述的规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目的式子可以写出第4个等式； （2）根据题目的式子可以写出第个等式； （3）根据（2）的结果，可以先将所求式子展开，然后化简即可． 本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字的变化类，解答本题的关键是写出第个等式． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 故答案为：； （2）解：由（1）的规律可得，， 故答案为：； （3）解： ． 题型五 已知字母的值，化简求值 1．若，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，根据平方差公式进行计算即可 【详解】解：∵，， ∴, 故选：C 2．已知，，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握运算法则与乘法公式是解题的关键． 先利用平方差公式求出，再代入，计算即可． 【详解】解：∵， ， ， 故选：B． 3．当时，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，直接根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．当时，式子 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式把所求式子变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 5．已知，，求下列各式的值； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘法计算法则求解即可，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∴． 题型六 已知条件式，化简求值 1．已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开得到，同理可得，再结合m的范围，判断的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式建立两个式子之间的关系． 2．已知x，y为实数，xy＝5，那么xy的值为（    ） A． B．2 C．±2 D．5 【答案】C 【分析】先化简所求式子，然后利用分类讨论的方法，可以求得所求式子的值． 【详解】解：， ，为实数，， 、同号， 当，时， 原式， 当，时， 原式， 由上可得，的值是， 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 3．已知，，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．利用平方差公式把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 4、已知，那么 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于”，得到，则，由此求出，据此即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∴是负数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值，掌握二次根式有意义的条件、得出是解题的关键． 5．已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）直接把，代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可； （3）先判断，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）由（1）得：，， ∴； （3）∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 题型七 比较二次根式的大小 1．2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 【答案】A 【分析】将分别化成，再进行比较即可． 【详解】且 即 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法． 2．已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论． 【详解】解：a=2021×2023-2021×2022 =2021（2023-2022） =2021； ∵20242-4×2023 =（2023+1）2-4×2023 =20232+2×2023+1-4×2023 =20232-2×2023+1 =（2023-1）2 =20222， ∴b=2022； ∵， ∴c＞b＞a． 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 3．比较大小： （填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较二次根式的大小，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 4．比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 5．已知，． (1)比较a，b的大小，并写出比较过程； (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用平方法和不等式的性质即可比较出大小； （2）代入和b的值，利用二次根式的混合运算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． 题型八 二次根式的实际应用 1．如图所示，小雅同学将一张正方形彩纸剪成四个部分，用其中的面积为和的两个小正方形分别做了纸飞机，原正方形边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是数形结合，计算出两个小正方形的边长即可求解． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 两个小正方形的边长为：，， 原正方形边长为：， 故选：B． 2．如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的面积为2，阴影部分的面积为，则正方形①的边长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的加减运算等知识点，根据开方运算，可得正方形③的边长，再根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差，即可得答案，熟练掌握利用算术平方根和线段的和差得出边长是解决此题的关键． 【详解】∵正方形③的面积为2， ∴正方形③的边长是， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的长， ∴正方形②的边长为， ∴正方形①的边长是， 故选：B． 3．一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为27和75的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．根据正方形和矩形的面积公式可得到结论． 【详解】解：根据题意得大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴矩形木板的长为：，宽为， 剩余木板的面积为：； 故答案为：18． 4．如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个的正方形游泳池和一个的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，利用勾股定理找出的规律是解题的关键．首先求出、、的长度，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题． 【详解】解：由题意得： 大正方形的边长为， ∴阴影部分面积 故答案为： 5．现有两块同样大小的矩形纸片，丽丽采用如图1所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B． (1)裁出的正方形纸片A的边长为_____； (2)求图1中阴影部分的面积； (3)小明想采用如图2所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积都是的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不能截出，理由见解析． 【分析】本题考查了算术平方根的应用以及二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形面积等于边长的平方，结合面积为，即可计算正方形纸片A的边长； （2）先算出正方形纸片B的边长，再得出矩形的长，宽，运用面积和差关系列式计算，即可作答． （3）先计算，则，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，正方形纸片A的边长为； 故答案为：； （2）解：由题意得，截出的正方形纸片B的边长为， 则矩形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积． （3）解：不能截出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 题型九 二次根式的新定义问题 1．对于任意非负数、，若定义新运算：，在下列说法中：①；②；③；④若，则的取值范围为，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用新运算的定义对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：①， ， ①的说法正确； ②等式的左边 ． 等式的右边． 等式成立， ②的说法正确； ③当时， 左边 右边， 当时， 左边 右边， 综上，③的说法正确； ④ ， 由题意可知：， ， ④的说法不正确． 综上，说法正确的有①②③， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，分母有理化，本题是新定义型，理解新定义的规定，并熟练应用是解题的关键． 2．对于任意正数，，定义运算“*”为:，如，则的运算结果为 ． 【答案】 【分析】先根据新运算法则计算与，再计算乘法即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键． 3．定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）根据题目中所给的运算规则计算出“如意数”c后，把所得的式子化为完全平方式的形式即可判定“如意数”c的大小； （3）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 题型十 二次根式的阅读理解类问题 1．阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论： ①； ②若，，则； ③，且，则 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①根据题干中给出的信息进行分母有理化，即可判断； ②先化简a、b，然后代入求值即可； ③先化简a、b，然后将a、b代入，求出即可． 【详解】解：①，故①正确； ②， ， ∴ ，故②正确； ③ ， ， ∵， ∴， ∴， 即， ， ∴， ∴，故③正确； 综上分析可知，正确的个数是3个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 2、[阅读与计算]：求三边长分别为a、b、c的三角形的面积S．古希腊几何学家海伦在《度量》一书中给出了“海伦公式”：（其中）；我国南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提出三斜求积术：；若一个三角形的三边长分别是、、，请选择一种方法求这个三角形的面积． 【答案】3 【分析】方法一：一个三角形的三边长分别是、、，令，再代入进行计算即可； 方法二：一个三角形的三边长分别是、、，令，再代入进行计算即可． 【详解】方法一： 解：∵一个三角形的三边长分别是、、， 令， ∴， ∴， ， ， ∴ ． 方法二： ∵一个三角形的三边长分别是、、， 令， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，三角形的面积的计算，准确的进行计算是解本题的关键． 3【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①； ②． （3）化简：． 【答案】（1）；；（2）①；②；（3）2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化： （1）根据有理化因式定义求解； （2）①②利用分母有理化计算； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）的有理化因式是（答案不唯一）；的有理化因式是. 故答案为：（答案不唯一）；； （2）①. ②.     （3） . 1．若与可以合并成一项，则m可以是（   ） A．50 B．15 C．0.5 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义，把每个选项代入化简，检验化简后被开方数是否相同． 【详解】解：A、把50代入化简得：，故A选项不符合题意； B、把15代入化简得：，故B选项不符合题意； C、把0.5代入化简得：，故C选项不符合题意； D、把代入化简得：，故D选项符合题意； 故选：D． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据完全平方公式进行计算，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 3．已知，则整数的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的减法运算，无理数的估算等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的减法运算，无理数的估算是解题的关键． 由题意知，，由，可得，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴整数的值是4， 故选：C． 4．的整数部分为，小数部分为，的值为（    ） A． B．2 C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的运算、利用平方差公式进行计算，先估算出，得出，从而得出，，代入式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， ，即， ， 的整数部分为，小数部分为， ，， ， 故选：C． 5．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 6．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求值，二次根式的加减乘法运算，求解代数式的值，先将代数式变形成，再代入m求值即可． 【详解】解：∵，， ， ． 故答案为：4． 7．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合计算，先估算出，进而推出，则可确定，，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的整数部分为x，小数部分为y， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 9．若，则的值是 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，分母有理化，先分母有理数化得出，求出，将原式变形为再将代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 10．比较大小： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化： （1）分母有理数后比较大小即可； （2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可． 【详解】解：（1）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 11．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4)3 (5) (6) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先进行二次根式化简，再进行加减运算即可； （2）先计算二次根式乘法并化简，再进行分母有理化运算即可； （3）先进行二次分式化简，任何非零的数的零次幂等于1，计算负整数次幂，最后进行加减运算即可； （4）根据乘法分配律将原式化为，然后先乘后减即可； （5）分别先运算二次根式的乘法和除法，化简二次根式，再进行加减运算即可； （6）先根据平方差公式和完全平凡公式计算括号内，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 12．计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算和实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （3）利用乘方的意义、二次根式的性质、绝对值的代数意义以及立方根定义计算即可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 13．已知，，求下列各代数式的值： (1)； (2) 【答案】(1)8 (2)8 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）先求出和的值，再分解因式，最后代入求出即可； （2）先求出和的值，再根据完全平方公式变形，最后代入求出即可． 【详解】（1）解：，， ，， ； （2）， ． 14．我们将，称为一对“对偶式”，因为．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，例如：，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题． (1)分母有理化______；______； (2)化简 (3)求的值． 【答案】(1)， (2)2 (3)3 【分析】本题考查分母有理化，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行分母有理化． （1）根据阅读材料的方法，分母有理化即可得答案； （2）将每个加数分母有理化，再相加即可； （3）将每个加数分母有理化，再相加减即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ； （3）解： ． 15．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如 善于思考的小明进行了如下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，， 这样，小明找到了把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ； (3)若且a，m，n 均为正整数，求a 的值． 【答案】(1)， (2)12，6，3，1（答案不唯一） (3)7或13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式等知识． （1）根据上面的例子，将，按完全平方展开，可得出答案； （2）由（1）可写出一组答案，不唯一； （3）将展开得出，由题意得，，再由a、m、n均为正整数，可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； 故答案为：，． （2）设， ∵， ∴，， 取，，则，， 故答案为： 12，6，3，1． （3）， ， ，， 、、均为正整数， ，，或，，； 的值为7或13． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 实数和二次根式 11.7 二次根式的加减法（10大题型提分练） 知识点1： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点2： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点3：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 题型一 同类二次根式 1．下列各式中，不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 ． 4．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 5．若最简二次根式和是同类二次根式，求平方和的算术平方根． 题型二 二次根式的加减运算 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算结果为 ． 4．某一长方形纸片的长为，宽为，则此长方形纸片的周长为 cm． 5．计算： (1) (2) (3) 题型三 二次根式的混合运算 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．估算的值在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 3．计算： ． 4．计算： ． 5．计算： (1)； (2)． 题型四 分母有理化 1．的倒数是（    ） A． B． C．2 D． 2．的整数部分是（　　） A．3 B．5 C．9 D．6 3．已知，则 ． 4．如果，，那么 ． 5．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)写出第4个等式：___________； (2)请写出第n个等式：____________________． (3)利用上述的规律计算： 题型五 已知字母的值，化简求值 1．若，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．10 2．已知，，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 3．当时，代数式的值是 ． 4．当时，式子 ． 5．已知，，求下列各式的值； (1)； (2)． 题型六 已知条件式，化简求值 1．已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知x，y为实数，xy＝5，那么xy的值为（    ） A． B．2 C．±2 D．5 3．已知，，则代数式的值是 ． 4、已知，那么 ． 5．已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 题型七 比较二次根式的大小 1．2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 2．已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 3．比较大小： （填“”、“”、“”）． 4．比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 5．已知，． (1)比较a，b的大小，并写出比较过程； (2)求代数式的值． 题型八 二次根式的实际应用 1．如图所示，小雅同学将一张正方形彩纸剪成四个部分，用其中的面积为和的两个小正方形分别做了纸飞机，原正方形边长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的面积为2，阴影部分的面积为，则正方形①的边长为（   ） A． B． C．3 D． 3．一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为27和75的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 4．如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个的正方形游泳池和一个的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为 ．    5．现有两块同样大小的矩形纸片，丽丽采用如图1所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B． (1)裁出的正方形纸片A的边长为_____； (2)求图1中阴影部分的面积； (3)小明想采用如图2所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积都是的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 题型九 二次根式的新定义问题 1．对于任意非负数、，若定义新运算：，在下列说法中：①；②；③；④若，则的取值范围为，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．对于任意正数，，定义运算“*”为:，如，则的运算结果为 ． 3．定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 题型十 二次根式的阅读理解类问题 1．阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论： ①； ②若，，则； ③，且，则 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、[阅读与计算]：求三边长分别为a、b、c的三角形的面积S．古希腊几何学家海伦在《度量》一书中给出了“海伦公式”：（其中）；我国南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提出三斜求积术：；若一个三角形的三边长分别是、、，请选择一种方法求这个三角形的面积． 3【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①； ②． （3）化简：． 1．若与可以合并成一项，则m可以是（   ） A．50 B．15 C．0.5 D． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则整数的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．的整数部分为，小数部分为，的值为（    ） A． B．2 C．7 D． 5．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 6．若，则 ． 7．已知，则 ． 8．设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ． 9．若，则的值是 10．比较大小： （1） ； （2） ． 11．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 12．计算 (1)； (2)； (3)． 13．已知，，求下列各代数式的值： (1)； (2) 14．我们将，称为一对“对偶式”，因为．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，例如：，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题． (1)分母有理化______；______； (2)化简 (3)求的值． 15．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如 善于思考的小明进行了如下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，， 这样，小明找到了把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ； (3)若且a，m，n 均为正整数，求a 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$