11.5 二次根式及其性质（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

11.5 二次根式及其性质 数学（京改版） 八年级 上册 第十一章 实数和二次根式 学习目标 1.理解二次根式的概念； 2.掌握二次根式有意义的条件； 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题； 4.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法； 5.会运用二次根式的两个性质进行化简计算. 　 温故知新 1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. a的平方根是 (a≥0). 正数正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0. 用 (a≥0)表示. 讲授新课 知识点一 二次根式的概念 (1) 9 的平方根是_____, 9 的算术平方根是_____, (2) 7 的平方根是_____,7 的算术平方根是_____ (3) 0 算术平方根吗？负数有算术平方根吗？ (4) 什么叫做平方根？什么叫做算术平方根吗？ 活动1 回忆算术平方根和平方根知识填空 讲授新课 归纳知识 1.如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根.表示为 2.如果 x2 = a (x ≥0)，那么 x 称为 a 的算术平方根. 表示为： 3.负数没有算术平方根. 讲授新课 活动2 思考下列各式表示什么意义，其结果有什么特点？ 特点： 非负数的算术平方根 讲授新课 归纳知识 二次根式的定义： 形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号. 2.二次根式实质上是非负数的算术平方根. 3. a 既可以是一个数，也可以是一个式子. 1.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 注意： 讲授新课 典例精析 【例1】下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 讲授新课 练一练 1、判断下列式子，哪些是二次根式？ (1) (2) (3) (4) (5) (1)(3)(5)均是二次根式，其中x2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零. (2)(4)均不是二次根式. 讲授新课 知识点二 二次根式有意义的条件 当x取何值时，下列根式有意义？ 二次根式有意义的条件 被开方数大于或等于0，即a≥0. 解：(1)由x2≥0，得x≥； (2)由-2x+1≥0，得x≤ . 讲授新课 解：由x2≥0，得x是任意实数， ∴当x为任意实数时， 都有意义. 思考：当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 由x3≥0，得x≥0， ∴当x≥0 时， 有意义. 讲授新课 典例精析 【例2】当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 讲授新课 练一练 （2）∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0， ∴x≥-3. ∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1. 1、当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解（1）由题意得x-1＞0， ∴x＞1. 讲授新课 1.单个二次根式如 有意义的条件： 2.多个二次根式相加如 有意义的条件： 3.二次根式作为分式的分母如 或 有意义的条件： 4.二次根式与分式的和如 或 有意义的条件： A≥0 A＞0 A≥0且B≠0 讲授新课 1.当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 2.二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什 么？ x为任意实数时， 都有意义；当x≥0时， 有意义. 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0. 二次根式的双重非负性 讲授新课 1、若 ，求a-b+c的值. 解：因为 由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3. 讲授新课 2、已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3. 讲授新课 知识点三 二次根式的化简求值 根据算术平方根的意义填空： 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于4的非负数.因此有 . 同理， 分别是2，，0的算术平方根，因此有 ， ， . 4 2 0 讲授新课 根据算术平方根的意义填空： 4 2 0 一般地， 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件. 讲授新课 典例精析 【例3】计算： 解： 整式的运算性质在实数范围内都适用 讲授新课 练一练 1、计算： 解： 讲授新课 一般地，根据算术平方根的意义， 即：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. a (a≥0) -a (a＜0) 讲授新课 化简： 解： 讲授新课 化简： 解： 讲授新课 议一议：如何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方,后平方 先平方，后开方 a≥0 a取任何实数 a |a| 意 义 表示一个非负数a的算术平方根的平方 表示一个实数a的平方的算术平方根 讲授新课 典例精析 【例3】已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示,化简． 解：由数轴可得：，，， 原式 ． 讲授新课 练一练 1、如图，实数a，b，c是数轴上A，B，C三点所对应的数，化简． 解：由数轴可知， ，， ∴，，， ∴ ． 当堂检测 1.下列式子：①；②；③；④；⑤，是二次根式的有（     ） A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤ 2.使分式有意义的x的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． A B 当堂检测 3.下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4.成立的条件是（　 ） A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x＜3 5.若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D．1 D C A 当堂检测 6．已知，的平方根是（     ） A．16 B．8 C． D． 7．若、为实数，且，则的值（     ） A．-2 B．1 C．2 D．-1 C D 8．若，则________. 2021 当堂检测 9.计算与化简: (-2)2; (2); (3)(x>0); (4)(x≥3); (5)()2+ 解:(1)原式=(-2)2×()2=4×5=20； (2)原式= (3)原式==2x； (4)原式==x-3； (5)原式=11+13=24. 当堂检测 10.若，化简：. 解：∵， ∴，，， ． 当堂检测 11.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应取多少？ 解：设长方形的长、宽分别为3xcm、2xcm，依题意得 3x•2x=18 6x2=18 x2=3 解得 x= 答：矩形的长、宽分别为3cm、2cm. 当堂检测 12.已知a、b满足求ab的值. 解：∵， ∴ ∴ ∴当时， 则 解得：， ∵， ∴或 解得：或   ∴或 当时，则无解，舍去， 综上：或 课堂小结 带有二次根号 建立不等式求出其解集 被开方数为非负数 多个二次根式 二次根式+分式 分母≠0 并且 被开数≥0 性质 定义 有意义 算术平方根 分式 二次根式 谢 谢~ $$