11.5 二次根式及其性质（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

第十一章 实数和二次根式 11.5 二次根式及其性质（8大题型提分练） 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 题型一 求二次根式的值 1．当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 2．若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．当时，二次根式的值为 ． 4．（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 5．若实数x，y满足，求的值． 题型二 根据二次根式有意义的条件求参 1．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 2．如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 3．已知是整数，则自然数的值是 ． 4．若是正整数，则整数可取的最小值为 ． 5．已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值 1.把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 2．将根号外的因式移到根号内： 3．的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，求b2﹣2b＋2a的值； （2）若a，b为实数，且，求a＋b的值； （3）已知实数a，b满足，求a＋b的值． 题型四 根据二次根式是整数求字母的值 1．整数满足，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．在进行实数的化简时，我们可以用“”的方式，如．利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式． （1）已知a为正整数，若是整数，则a的最小值为 ． （2）设b为正整数，若，m是大于1的整数，则m的最大值与m的最小值的积的平方根为 ． 3．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为． (1)无理数的“美好区间”是______； (2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数，，满足如下关系式： ，求的算术平方根的“美好区间”． 题型五 利用二次根式的性质化简 1．已知，则的化简结果是（    ） A． B． C． D． 2．已知点是平面直角坐标系中第二象限的点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 3若，化简 ． 4．若实数满足，则 ． 5．观察下列等式，解答下面的问题： ①，②，③，…… (1)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； (2)利用（1）的结论计算． 题型六 数轴与二次根式的化简问题 1．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（    ） A．4 B．2a C．2b D． 2．若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ． 3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 题型七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 1、若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 2、已知m是的小数部分，则式子___________． 3、已知ab＜0，化简______ 题型八 复合二次根式的化简 1．下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 2．化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 3．化简： ． 4．化简： ． 5．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵ ∴； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： (1)； (2) 1．若，则的结果是（ ）. A． B． C． D． 2．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 4．已知实数m，n在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A． B． C． D． 5．设，则不超过的最大整数为（ ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 6．使式子有意义的的取值范围是 ． 7．计算： ． 8．化简： ． 9．等式成立的条件是 ． 10．已知，则 ． 11．已知实数、、在数轴上的位置如图所示，化简代数式． 12．计算： (1) (2) 13．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 14．“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 15．观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 实数和二次根式 11.5 二次根式及其性质（8大题型提分练） 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 题型一 求二次根式的值 1．当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 2．若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，先根据求出，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：A． 3．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的代入求值，解题的关键是注意二次根式的符号，此类题比较简单．把代入二次根式求值即可得结果． 【详解】解：当时，原式． 故答案是：． 4．（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 【答案】 1 2 【分析】本题主要考查二次根式的性质： （1）根据即可求出的值，以及所求式子的最小值； （2）根据即可求出的值，以及所求式子的最大值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的最小值为1， 此时，解得． 所以，当时，的值最小，为1． 故答案为：；1； （2）∵， ∴， ∴的最大值为2． 此时，解得． 所以，当时，的值最大，为2． 故答案为：，2 5．若实数x，y满足，求的值． 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数，可得，的值，根据代数式求值，可得答案． 【详解】解：由题意，得 ，， 解得， 当时，． 当，时，． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出，的值是解题关键． 题型二 根据二次根式有意义的条件求参 1．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】主要考查了二次根式的定义，，当是完全平方数时，是整数，即可求得答案． 【详解】解：， ∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数n为6， 故选：B. 2．如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据是一个正整数，得出，根据为整数，得出a的最小值为，最后代入验证是一个正整数符合题意，得出答案即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴， ∴， ∵为整数， ∴a的最小值为， 且时，符合题意，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出，是解题的关键． 3．已知是整数，则自然数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值． 【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 4．若是正整数，则整数可取的最小值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了二次根式的性质，整理，再结合“是正整数”以及“是整数”，进行作答． 【详解】解：依题意，得， ∵是正整数，且是整数， ∴整数可取的最小值为15， 故答案为：15． 5．已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 【答案】n的最小值是15 【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而得出n的最小值． 【详解】解：∵＝3，n是一个正整数， ∴n的最小值是15． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值 1.把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可． 【详解】∵被开方数，分母. ∴，∴. ∴原式． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 2．将根号外的因式移到根号内： 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，得，结合乘方的性质，推导得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘方、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 3．的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，求b2﹣2b＋2a的值； （2）若a，b为实数，且，求a＋b的值； （3）已知实数a，b满足，求a＋b的值． 【答案】（1）﹣9；（2）﹣1或3；（3）1 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b2-2b，计算即可； （2）根据非负数的性质求出b，进而求出a2，计算即可； （3）根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据非负数的性质计算，得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，a+6=0，b2-2b-3=0， 解得，a=-6，b2-2b=3， ∴b2-2b+2a=3+（-12）=-9； （2）由题意得，b-1≥0，1-b≥0， 解得，b=1， ∴a2=4， 解得，a=±2， ∴a＋b=﹣1或3； （3）∵|2a-4|+|b+2|++4=2a， ∴（a-3）b2≥0， 解得，a≥3， 原式变形为：2a-4+|b+2|＋=2a-4， ∴|b+2|+=0， 则b+2=0，a-3=0， 解得，b=-2，a=3， 则a+b=1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 题型四 根据二次根式是整数求字母的值 1．整数满足，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查无理数估算，涉及二次根式性质等知识，根据题意，利用二次根式性质及无理数估算即可得到答案，熟记二次根式性质是解决问题的关键． 【详解】解：，，整数满足， ，即，则整数的值为， 故选：C． 2．在进行实数的化简时，我们可以用“”的方式，如．利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式． （1）已知a为正整数，若是整数，则a的最小值为 ． （2）设b为正整数，若，m是大于1的整数，则m的最大值与m的最小值的积的平方根为 ． 【答案】 19 【分析】（1）根据题中化简方法可得，再根据是整数，即可求解； （2）根据题意可得当时，m取最大值720；当时，m取最小值1，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵是整数， ∴a的最小值为19， 故答案为：19； （2）∵b为正整数，m是大于1的整数， ∴当时，m取最大值720；当时，m取最小值1， m的最大值与m的最小值的积的平方根为， 故答案为：． 3．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为． (1)无理数的“美好区间”是______； (2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数，，满足如下关系式： ，求的算术平方根的“美好区间”． 【答案】(1) (2)37或161 (3) 【分析】本题主要考查无理数的估算，以及二次根式有意义的条件： （1）根据“美好区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“美好区间”； （2）根据“美好区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出的值； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相加得，得，，再根据“美好区间”的定义即可求解．． 【详解】（1）∵， ∴， ∴ ∴无理数的“美好区间”是， 故答案为： （2）∵为“美好区间” ∴，为连续的整数 又∵是关于，的二元一次方程的一组正整数解 ∴是一个平方数 又∵ ∴满足题意的，的值为或 当时， ∴ ∴， 当时，， ∴， ∴， 综上所述：的值为37或161． （3）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 两式相加得 ∴ ∴的算术平方根为 ∵ 的算术平方根的美好区间为． 题型五 利用二次根式的性质化简 1．已知，则的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式性质化简，不等式性质，根据题意先得出，再化简二次根式，计算乘方，最后合并同类项即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 2．已知点是平面直角坐标系中第二象限的点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了第二象限内点的坐标特点，化简二次根式，根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正得到，据此化简二次根式后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵点是平面直角坐标系中第二象限的点， ∴， ∴， 故选：A． 3若，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 4．若实数满足，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出的取值范围是解题关键．直接利用二次根式的性质得出的取值范围，进而化简得出答案． 【详解】解：， ， 解得：， 故 ． 故答案为： 5．观察下列等式，解答下面的问题： ①，②，③，…… (1)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； (2)利用（1）的结论计算． 【答案】(1)（n为正整数）；证明见解析 (2)1 【分析】本题考查了二次根式的化简，分式的加减运算， （1）找出前面等式中的数据与序号数的关系，则可猜想出第n个等式，然后根据二次函数的性质进行证明； （2）利用（2）中的规律得到原式，然后根据二次根式的乘法法则运算． 【详解】（1）（n为正整数） 证明：左边， ∵n为正整数， ∴左边右边， ∴猜想成立． （2）原式 ． 题型六 数轴与二次根式的化简问题 1．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（    ） A．4 B．2a C．2b D． 【答案】A 【分析】由在数轴上的位置可得：再根据化简计算即可． 【详解】解： 故选A 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键． 2．若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】1 【分析】根据数轴得，化简计算即可，本题考查了数轴上数的大小小，二次根式的化简，熟练掌握化简的基本原则是解题的关键． 【详解】根据题意，得， ∴ ． 故答案为：． 3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 【答案】 【分析】根据点在数轴上的位置判断和的正负，再化简绝对值即可． 【详解】解：由图可知，， ∴． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题的关键是利用点在数轴上的位置判断出式子的正负． 题型七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 1、若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 【答案】1≤x≤4 【分析】根据可以得到，然后根据x的取值范围去绝对值即可求解. 【详解】解：由题意可知： ∴ ∴， ∴当时 原式不合题意； ∴当时， 原式不合题意； ∴当时， 原式符合题意； ∴x的取值范围为：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 2、已知m是的小数部分，则式子___________． 【答案】 【分析】首先确定，再将其代入并化简计算即可． 【详解】解：∵m是的小数部分， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算以及二次根式的性质，解题的关键是求出． 3、已知ab＜0，化简______ 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，利用，得，，再根据二次根式的性质得原式，然后去绝对值即可． 【详解】解：， 而，， ，， 原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握． 题型八 复合二次根式的化简 1．下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键． 3．化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质和乘法法则化简即可 【详解】有意义， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和乘法法则，掌握以上知识是解题的关键． 4．化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 5．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵ ∴； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照例题，根据，即可求解； （2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． 1．若，则的结果是（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、代数式求值等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零成为解题的关键. 先根据二次根式的性质列方程组求得x的值，进而求得y的值，最后代入代数式计算即可. 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴，即， ∴. 故选A. 2．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，二次根式化简，解题的关键是掌握相关的知识．先根据数轴判断出、和的符号，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．已知，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，化简二次根式，先根据完全平方公式得到，，则，再由得到，则． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．已知实数m，n在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式和二次根式性质，推出，再结合数轴去掉式子绝对值，即可解题． 【详解】解： 由图知，，， 上式， 故选：C． 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式性质，根据数轴判断式子大小，以及绝对值化简，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 5．设，则不超过的最大整数为（ ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据把原式的对应项化简，然后计算求解即可． 【详解】解：对于正整数，有 ， ∴， ∴ ， ， ∴不超过的最大整数为2024． 故选：D． 6．使式子有意义的的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件．根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得且， 故答案为：且． 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质、去绝对值等知识，先由公式，再由绝对值定义及运算化简即可得到答案，熟记二次根式性质及去绝对值方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，利用二次根式的运算公式直接化简即可得出答案，掌握二次根式的运算性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意知：， ∴， 故答案为：． 9．等式成立的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式商的性质，掌握二次根式商的性质是解题的关键． 利用二次根式的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x的一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：∵， 要使有意义， 则， 解得：， 故答案为：． 10．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式有意义的条件，求出的值，再代入二次根式，利用二次根式的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 11．已知实数、、在数轴上的位置如图所示，化简代数式． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的概念，二次根式的化简，绝对值化简，根据数轴得到，得到，，根据二次根式的性质和绝对值化简即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，，则，， ∴ ． 12．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)π 【分析】本题考查开立方，绝对值化简，乘方，二次根式的性质，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． （1）先利用二次根式的性质，开立方，绝对值意义进行化简，再进行加减计算，即可解题； （2）先根据乘方，二次根式的性质，绝对值意义化简各项，再进行加减计算，即可解题． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)25 【分析】本题考查二次根式的性质，求一个数的平方个和立方根，熟练掌握知识点，是解题的关键： （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据算术平方根的定义，计算即可； （3）根据立方根的定义，计算即可； （4）根据算术平方根的定义，进行计算即可； （5）根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2） （3） （4） （5） 14．“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 【答案】(1)猜想，验证见详解 (2)，验证见详解 【分析】本题考查数字的变化类，理解题目所提供的等式的呈现规律是正确解答的关键． （1）根据题目中所提供的方法进行验证即可； （2）总结概括出一般的规律，用代数式表示出来，再利用题目所提供的方法进行验证即可． 【详解】（1）解：猜想， 验证：； （2）解：， 验证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$