第5章 二次函数知识归纳与题型突破（单元复习 16类题型清单）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第5章 二次函数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、二次函数的概念 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 2.二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 二、二次函数的图象 1.二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点.当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 2. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，0） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 3. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，k） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 4. 二次函数（）的图象是一条抛物线，它de 对称轴是直线，顶点坐标是 ，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点. 三、二次函数的图象与系数的关系 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，； （2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号； （3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交 四、二次函数的图象与几何变换 1.二次函数的平移 （1） 平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2） 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 2.二次函数图象的对称 （1）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （2）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是； 关于顶点对称后，得到的解析式是． 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 五、 二次函数的解析式 1.二次函数解析式的表示方法 （1） 一般式：（，，为常数，）； （2） 顶点式：（，，为常数，）； （3） 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2.二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法． 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便． 一般来说，有如下几种情况： （1） 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2） 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 六、二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 七、二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 八、二次函数与一元二次方程 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=. 九、二次函数与轴交点情况 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数： ①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； ②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； ③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 03 题型归纳 题型一　二次函数的识别 例题：（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）下列函数中是二次函数的有（  ） ①；②；③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 巩固训练 1．（2024九年级上·全国·专题练习）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．是二次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024九年级上·全国·专题练习）在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号） 题型二　利用二次函数的定义求参数 例题：（23-24八年级下·云南·期末）若函数是关于的二次函数．则常数的值是 ． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知函数，当 时，它是二次函数． 2．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值是 ． 3．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知函数的图象是抛物线，则 ． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）若函数是二次函数． (1)求的值． (2)当时，求的值． 题型三　二次函数中各项的系数 例题：（23-24九年级下·全国·课后作业）若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ． 巩固训练 1．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 2．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数，则二次项系数 ，一次项系数 ． 题型四　把y=ax²+bx+c化成顶点式 例题：（23-24九年级上·浙江温州·期末）将二次函数的解析式化成的形式为 . 巩固训练 1．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）将二次函数转化为的形式为 ． 2．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）用配方法把二次函数写成的形式为 ． 3．（23-24九年级上·北京东城·期末）用配方法将二次函数化为的形式为 ． 题型五　已知二次函数上一点，求字母或代数式的值 例题：（2023·四川南充·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 巩固训练 1．抛物线过点（2，4），则代数式的值为（    ） A．14 B．2 C．－2 D．－14 2．若抛物线经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象经过点，则代数式的值为 ． 题型六　二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 例题：（2024·四川绵阳·模拟预测）关于二次函数的性质说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．函数最小值为2 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小 巩固训练 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）对抛物线而言，下列结论正确的是（   ） A．开口向上 B．与轴的交点坐标是 C．与两坐标轴有两个交点 D．当时，有最大值 2．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．一元二次方程的两个根分别是1和3 D．当时， 3．（2024九年级上·全国·专题练习）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x …           0 3 5 … y …           0           … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 4．（2024·河北·模拟预测）若二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A，B两点．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点； ④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是．其中正确的结论是（ ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 题型七　画二次函数y=ax²+bx+c的图象 例题：（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）已知二次函数，完成下列各题： (1)将函数关系式用配方法化为的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴． (2)求出它的图象与x轴的交点坐标． (3)在直角坐标系中，画出它的图象． (4)当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？ (5)根据图象说明：当x为何值时， 巩固训练 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的顶点坐标和对称轴； (2)画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是______． 2．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示∶ x … 0 1 … y … 0 0 … (1)这个二次函数的解析式是______________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，y的取值范围为______________． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，函数的图象经过点A，B，C． (1)求b，c的值； (2)画出这个函数的图象； (3)结合函数图象，当时，y的取值范围为______． 题型八　利用二次函数的性质比较大小 例题：（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知、、是抛物线上的三点，则、、的大小关系是 ．（用“>”符号连接） 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系为 （用“”号连接） 2．（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）已知，，三点在二次函数图象上，则将，，按照从小到大的顺序排列为 ． 3．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）已知抛物线（，为常数），，，是抛物线上三点，则由小到大依次排列为 ． 题型九　已知二次函数上对称的两点求对称轴 例题：（23-24九年级上·湖南湘西·期末）某二次函数的图象过点，利，则此二次函数的图象的对称轴为 ． 巩固训练 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若二次函数的图象经过、两点，则这个函数图象的对称轴为 ． 2．（23-24九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数的的部分对应值如下表： … … … … 则该二次函数图象的对称轴为直线 ． 3．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ． 题型十　根据二次函数的增减性求最值 例题：（2024·广西·三模）已知二次函数，当时，此时函数的最小值是 ． 巩固训练 1．（2024·山东泰安·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 2．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数，当时，y的最大值为4，则k的值为 ． 3．（2023九年级·安徽·专题练习）（1）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ． （2）将二次函数配方后变成 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ；当时，函数的取值范围是 ． （3）二次函数的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ． （4）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 当a 0时，二次函数有最小值，最小值为 ． 4．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 题型十一　二次函数的平移 例题：（23-24九年级上·山东济南·期末）要将函数的图象向右平移个单位长度．再向上平移个单位长度得到的二次函数为，那么 ． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东东莞·期中）把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得的抛物线的解析式是 ． 2．（23-24九年级下·北京顺义·阶段练习）将二次函数向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的函数表达式是 ． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）抛物线是由抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为 ． 题型十二　求二次函数与x轴、y轴的交点坐标 例题：（23-24九年级上·海南海口·期中）抛物线与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 和 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·福建厦门·期末）二次函数图像与轴交点坐标为 ． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是 ． 3．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为 ． 题型十三　图象法确定一元二次方程的近似根与一元二次不等式的解集 例题1：（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数中x和y的值如下表所示，根据表格估计一元二次方程的一个解的范围是（ ） x A． B． C． D． 例题2：（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）下表给出了二次函数中，的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解（精确到）为（   ） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y … 0.25 0.76 … A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知抛物线 上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x y 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 4．（2024·四川成都·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（    ） A．， B．不等式的解集是 C． D．方程的解是， 题型十四　求二次函数的表达式 例题：（23-24九年级上·上海·阶段练习）二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 巩固训练 1．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求函数表达式． (2)判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 2.（23-24九年级上·上海·阶段练习）二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 3．（2024·浙江嘉兴·二模）已知二次函数（a为常数）． (1)若该二次函数的图象经过点； ①求a的值． ②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ (2)若点均在该二次函数的图象上，求证：． 4．（2023·青海海东·统考二模）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 题型十五　二次函数与x轴的截线长 例题：（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知二次函数的图象与轴只有一个交点． (1)若，请求出函数解析式； (2)设直线与该抛物线的交点为，求的长． 巩固训练 1．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）  如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．    (1)若为二次函数的图象上一点，求的值； (2)求的长． 2．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知抛物线过点A与，与y轴交于点，点D在抛物线上，且直线轴．    (1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标； (2)求的长． 3．（2023·安徽宿州·三模）已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线． (1)求b和c的值． (2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由． (3)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，求线段与线段的长度之比． 题型十六　用二次函数解决实际问题 例题：（2024·江苏连云港·模拟预测）为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送电脑下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台电脑，政府补贴若干元，经调查某商场销售电脑台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台电脑的收益p（元）会相应降低且满足：． (1)在政府补贴政策实施后，求出该商场销售电脑台数y与政府补贴款额x之间的函数关系式； (2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售电脑的总收益额为多少元？ (3)要使该商场销售电脑的总收益最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益的最大值． 巩固训练 1．（2024·河南信阳·模拟预测）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米如图，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图①，是一座抛物线型拱桥，小明学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴与水平线垂直，，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离，，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是2． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，为更加稳固，小明想在上找一点P，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小明找到点P的位置并求出坐标； (3)为了造型更加美观，小明重新设计抛物线，其表达式为当，函数y的值总大于等于9，求b的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 二次函数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、二次函数的概念 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 2.二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 二、二次函数的图象 1.二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点.当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 2. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，0） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 3. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，k） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 4. 二次函数（）的图象是一条抛物线，它de 对称轴是直线，顶点坐标是 ，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点. 三、二次函数的图象与系数的关系 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，； （2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号； （3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交 四、二次函数的图象与几何变换 1.二次函数的平移 （1） 平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2） 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 2.二次函数图象的对称 （1）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （2）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是； 关于顶点对称后，得到的解析式是． 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 五、 二次函数的解析式 1.二次函数解析式的表示方法 （1） 一般式：（，，为常数，）； （2） 顶点式：（，，为常数，）； （3） 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2.二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法． 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便． 一般来说，有如下几种情况： （1） 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2） 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 六、二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 七、二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 八、二次函数与一元二次方程 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=. 九、二次函数与轴交点情况 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数： ①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； ②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； ③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 03 题型归纳 题型一　二次函数的识别 例题：（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）下列函数中是二次函数的有（  ） ①；②；③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答． 【详解】①，是二次函数； ②，分母中含有字母，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数. 则二次函数共2个， 故选：B 巩固训练 1．（2024九年级上·全国·专题练习）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的识别，根据二次函数的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，是二次函数，故A不符合题意； B、，不是二次函数，故B不符合题意； C、，是一次函数，故C不符合题意； D、，是二次函数，故D符合题意； 故选：D． 2．（2024九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如为常数，的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项)后，能写成为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：（1）是二次函数，故符合题意； （2），不是二次函数，故不符合题意； （3）是二次函数，故符合题意； （4）不是二次函数，故不符合题意； （5）不是二次函数，故不符合题意； （6），不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意； 综上所述，二次函数有2个． 故选：B． 3．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．是二次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义逐项分析即可． 【详解】解：（1）是一次函数，故不符合题意； （2）是二次函数，故符合题意； （3）的分母含自变量，不是二次函数，故不符合题意； （4）当时，不是二次函数，故不符合题意； （5）是一次函数，故不符合题意； （6）是二次函数，故符合题意； （7）当时，不是二次函数，故不符合题意． 故选B． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号） 【答案】④ 【分析】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】解：①时是一次函数， ②是一次函数； ③不是整式，不是二次函数； ④是二次函数， 故答案为：④． 题型二　利用二次函数的定义求参数 例题：（23-24八年级下·云南·期末）若函数是关于的二次函数．则常数的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式，是解题的关键． 根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得：． 故答案为： 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知函数，当 时，它是二次函数． 【答案】1 【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， 解得或，且， ∴． 故答案为：1． 2．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数定义，根据二次函数定义，得到，，即可得到答案，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的二次函数， ，，即， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知函数的图象是抛物线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如是二次函数，注意二次项的系数不等于零是解题关键．根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，可得答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）若函数是二次函数． (1)求的值． (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据二次函数的定义解答即可求解； （）把代入（）中所得的函数解析式计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，求函数值，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，且， 解得； （2）解：把代入得，， ∴当时，． 题型三　二次函数中各项的系数 例题：（23-24九年级下·全国·课后作业）若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了二次函数有关概念．熟练掌握二次函数各项系数的概念，是解决问题的关键． 根据二次函数各项的系数填空． 【详解】∵二次函数为， ∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为， ∴，，． 故答案为：，0，． 巩固训练 1．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：， ∴该函数是二次函数，其二次项系数是，一次项系数是9，常数项是10， 则A、C、D说法错误，B说法正确， 故选：B． 2．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 5 【分析】根据二次函数的定义判断即可。 【详解】解：二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是， 故答案为：①，② ，③ ， 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数，则二次项系数 ，一次项系数 ． 【答案】 3 -5 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数，一次项系数， 故答案为：3；-5． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 题型四　把y=ax²+bx+c化成顶点式 例题：（23-24九年级上·浙江温州·期末）将二次函数的解析式化成的形式为 . 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数解析式化为顶点式，直接利用配方法将原式变形进而得出答案，正确配方是解此题的关键． 【详解】解：， 将二次函数的解析式化成的形式为， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）将二次函数转化为的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，解题的关键是掌握配方法．根据题意利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）用配方法把二次函数写成的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数表达式化为顶点式，先将二次项系数提取因式，再根据完全平方公式进行配方，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·北京东城·期末）用配方法将二次函数化为的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键．根据配方法求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型五　已知二次函数上一点，求字母或代数式的值 例题：（2023·四川南充·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 【答案】3 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：点在函数的图象上， ， ， 则代数式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 巩固训练 1．抛物线过点（2，4），则代数式的值为（    ） A．14 B．2 C．－2 D．－14 【答案】A 【分析】将点（2，4）的坐标代入抛物线y=ax2+bx-3关系式，再整体扩大2倍，即可求出代数式的值． 【详解】解：将点（2，4）代入抛物线y=ax2+bx-3得 4a+2b-3=4， 整理得8a+4b=14. 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉整体思想是解题的关键． 2．若抛物线经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把点代入解析式，得到，然后化简，整体代入即可得到答案. 【详解】解：把点代入， 得：， ∵ ； 故选择：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是灵活运用整体代入法解题. 3．二次函数的图象经过点，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】把代入函数解析式，即可求解． 【详解】解：把代入函数解析式，得 ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，代数式求值问题，熟练掌握和运用坐标与图形的关系是解决本题的关键． 题型六　二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 例题：（2024·四川绵阳·模拟预测）关于二次函数的性质说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．函数最小值为2 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，函数的最小值为2；故A选项错误，B选项正确； ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；故C，D选项错误； 故选B． 巩固训练 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）对抛物线而言，下列结论正确的是（   ） A．开口向上 B．与轴的交点坐标是 C．与两坐标轴有两个交点 D．当时，有最大值 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式求解，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：、∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下，故此选项错误，不符合题意； 、当时，， ∴抛物线与轴交点坐标为，故此选项错误，不符合题意； 、∵， ∴抛物线与轴有个交点， 又∵抛物线与轴交点坐标为， ∴与两坐标轴有三个交点，故此选项错误，不符合题意； 、∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，为函数最大值，故此选项正确，符合题意； 故选：． 2．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．一元二次方程的两个根分别是1和3 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息，利用对称性，增减性和二次函数与一元二次方程的关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线交轴于，， ∴抛物线的对称轴是直线，故A选项正确； 一元二次方程的两个根分别是1和3，故C选项正确； 由图象可知：当时，随的增大而减小，故B选项正确； 当时，或，故D选项错误； 故选D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x …           0 3 5 … y …           0           … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】此题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质． 根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题． 【详解】解：由题知， ， 解得， 所以二次函数的解析式为． 因为， 所以抛物线的开口向下．故A选项不符合题意． 因为， 所以当时，y随x的增大而减小．故B选项不符合题意． 令得，， 解得， 所以抛物线与x轴的交点坐标为和． 又因为抛物线的顶点坐标为， 所以抛物线经过第一、三、四象限．故C选项不符合题意． 因为二次函数解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线．故D选项符合题意． 故选：D． 4．（2024·河北·模拟预测）若二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A，B两点．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点； ④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是．其中正确的结论是（ ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，根与系数的基本关系．根据求出的范围即可判断①；求出对称轴即可判断②；把函数表达式整理成为，即可判断③，根据，利用根与系数的关系即可求出的的范围，从而可以判断④． 【详解】解：二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A，B两点， ， 整理得：， ，故①正确； ， 函数图象关于对称， ，开口向上， 当时，y随x的增大而增大；故②错误； ， 当时，，则恒过定点，故③正确； 若线段上有且只有5个横坐标为整数的点，根据二次函数的对称轴是， 则， ， 即：， 解得：，故④错误， 故选：C． 题型七　画二次函数y=ax²+bx+c的图象 例题：（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）已知二次函数，完成下列各题： (1)将函数关系式用配方法化为的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴． (2)求出它的图象与x轴的交点坐标． (3)在直角坐标系中，画出它的图象． (4)当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？ (5)根据图象说明：当x为何值时， 【答案】(1)，顶点坐标为，对称轴为直线 (2)图象与x轴的交点坐标为， (3)见解析 (4)时，y随着x的增大而增大 (5)时， 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，以及二次函数图象与不等式，熟练掌握配方法的操作，整理成顶点式形式，求出顶点坐标和对称轴更加简便． （1）利用配方法整理成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴即可； （2）令解关于x的一元二次方程，即可得到与x轴的交点坐标； （3）利用五点法作出函数图象即可； （4）根据函数图象利用二次函数的增减性解答； （5）写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】（1）解： ， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：当时，解得或， ∴二次函数与x轴的交点坐标为，； （3）解：函数图象如图所示； （4）解：由函数图象可知，时，y随着x的增大而增大； （5）解：由函数图象可知，当时，． 巩固训练 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的顶点坐标和对称轴； (2)画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是______． 【答案】(1)图象的顶点坐标为，对称轴为直线 (2)图象见解析， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）解析式化成顶点式，即可得到结论； （2）画函数图象，应该明确抛物线的顶点坐标，对称轴，与x轴，y轴的交点，再根据图象求当时，y的取值范围． 【详解】（1）解：， 二次函数的图象的，对称轴为直线； （2）解：二次函数图象如下图： 当时，则y的取值范围是， 故答案为：． 2．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示∶ x … 0 1 … y … 0 0 … (1)这个二次函数的解析式是______________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，y的取值范围为______________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质： （1）设这个二次函数的解析式是，然后利用待定系数法解答即可； （2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可； （3）根据当时，y取得最小值，最小值为，当时，，当时，，即可写出y的取值范围． 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式是， 把点代入得： ，解得：， ∴这个二次函数的解析式是； （2）解：如图，画出这个二次函数的图象如下： （3）解：根据题意得：， ∴当时，y取得最小值，最小值为， 当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围为． 故答案为： 3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，函数的图象经过点A，B，C． (1)求b，c的值； (2)画出这个函数的图象； (3)结合函数图象，当时，y的取值范围为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据函数图象，可以写出A、B、C的坐标，从而可以求得b、c的值； （2）根据（1）中b、c的值可以写出函数解析式，从而可以画出函数图象； （3）根据函数图象，可以写出当时，y的取值范围． 本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】（1）解：由图象可得， 点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， 则， 解得， 即b、c的值分别是2，3； （2）由（1）知，，， ， 该函数的顶点坐标为，对称轴为直线，图象开口向下， 由对称性可知，图象过点， 所画的函数图象如图所示； （3）由图象可得， 当时，y的取值范围为， 故答案为：． 题型八　利用二次函数的性质比较大小 例题：（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知、、是抛物线上的三点，则、、的大小关系是 ．（用“>”符号连接） 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线2， ∴关于对称轴的对称点为 ∵， ∴时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系为 （用“”号连接） 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小关系，根据二次函数的图象和性质，当时，函数图象上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴函数图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； 故答案为：． 2．（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）已知，，三点在二次函数图象上，则将，，按照从小到大的顺序排列为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出，，的值，比较后即可得出结论． 【详解】解:∵.点，，三点在二次函数的图象上， ∴；；， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）已知抛物线（，为常数），，，是抛物线上三点，则由小到大依次排列为 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，理解二次函数图像的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．求出该抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数图像的增减性和对称性解答即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，随的增大而增大， ∵关于直线的对称点是，且， ∴． 故答案为：． 题型九　已知二次函数上对称的两点求对称轴 例题：（23-24九年级上·湖南湘西·期末）某二次函数的图象过点，利，则此二次函数的图象的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的图象过点利，可以求得该函数的对称轴，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数的图象过点利， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， 故答案为直线． 故答案为：直线． 巩固训练 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若二次函数的图象经过、两点，则这个函数图象的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数与轴的两交点坐标关于对称轴对称是解题关键．由抛物线的对称性得到点A与点B是抛物线上的对称点，即可求出对称轴． 【详解】解： 、两点为二次函数与轴的两交点坐标， 点A与点B是抛物线上的对称点， 又、关于直线对称， 对称轴为直线， 故答案为：直线． 2．（23-24九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数的的部分对应值如下表： … … … … 则该二次函数图象的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，由于时的函数值相等，根据二次函数的对称性列式计算即可得解． 【详解】二次函数在时，函数值均为． 对称轴为直线： 即： 故答案为：． 3．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意得出，从而得出抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，根据对称性得出，求解即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即， 点的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，则， 解得：， 点的横坐标是， 故答案为：． 题型十　根据二次函数的增减性求最值 例题：（2024·广西·三模）已知二次函数，当时，此时函数的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意和二次函数的性质得到当时，y随x的增大而减小，进而求得当时，函数的最小值． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，开口向上 ∴当时，y随x的增大而减小 ∴当时， ∴当时，y取得最小值，此时． 故答案为：3． 巩固训练 1．（2024·山东泰安·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．根据二次函数的图象，结合当时函数图象的增减情况，即可解决问题． 【详解】解：由二次函数的表达式为可知， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数取得最小值，且， 则当时，， 当时，， ∴在中，函数的最大值为， 故答案为：． 2．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数，当时，y的最大值为4，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最大值是解题的关键． 由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时；当时，结合题意利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，当时，y的最大值为4， ∵y的最大值为4，距离对称轴最远， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最大值， ∴， 解得； 综上所述：k的值为或． 故答案为：或． 3．（2023九年级·安徽·专题练习）（1）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ． （2）将二次函数配方后变成 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ；当时，函数的取值范围是 ． （3）二次函数的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ． （4）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 当a 0时，二次函数有最小值，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．把二次函数配成顶点式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1），对称轴是直线； 故答案为：，； （2），顶点坐标是． ∵，∴当时，函数的最大值为，当时，；当时，；∴当时，函数的最大值为，最小值为；当时，；当时，；∴当时，函数的取值范围是； 故答案为：，，，，； （3），则对称轴是直线，顶点坐标是．∵，∴当时，函数的最小值为，当时，；当时，；∴当时，函数的最大值为，最小值为． 故答案为：，，，； （4），对称轴是直线，顶点坐标是；当时，二次函数有最小值，最小值为． 故答案为：，，，，． 4．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【答案】 4 1或 【分析】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由题意可知此时二次函数为，再将其变为顶点式即得出答案； （2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线，再分类讨论当时和当时，结合二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，该二次函数为， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为． 故答案为：； （2）∵， ∴该二次函数的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ∵x轴上到的距离比到的距离大， ∴当时，y有最大值， ∴， 解得：； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴， 解得：． 综上可知a的值为或． 故答案为：1或． 题型十一　二次函数的平移 例题：（23-24九年级上·山东济南·期末）要将函数的图象向右平移个单位长度．再向上平移个单位长度得到的二次函数为，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，代数式求值，先把配方得到，根据题意反向平移，即把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为，于是可得到，，，代入代数式即可计算即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：， 把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到抛物线的解析式为， ∴，，， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东东莞·期中）把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象平移，掌握图形平移规律是解题的关键，根据函数图象平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”，由此即可求解． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位得，，再向上平移1个单位得，， 故答案为： ． 2．（23-24九年级下·北京顺义·阶段练习）将二次函数向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．先配成顶点式，再根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：， 由题意得，新图象函数的表达式为： ； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）抛物线是由抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为 ． 【答案】， 【分析】此题考查了二次函数的平移规律，由一般式转化为顶点式， 首先将化为，然后根据函数平移的规律求解即可． 【详解】∵抛物线， ∴把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为，即． ∴，． 故答案为：，． 题型十二　求二次函数与x轴、y轴的交点坐标 例题：（23-24九年级上·海南海口·期中）抛物线与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据题意，令，然后求出的值，即可以得到抛物线与轴的交点坐标；令，求出的值，即可求出抛物线与轴交点的坐标． 【详解】解：令， 得， 抛物线与轴的交点坐标是：， 令， 即， 解得，， 所以抛物线与轴交点的坐标是，． 故答案为：；，． 巩固训练 1．（23-24八年级下·福建厦门·期末）二次函数图像与轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解轴上点的坐标特征是解题关键．令，解得的值，即可获得答案． 【详解】解：对于二次函数， 令，可得， 所以，该函数的图像与轴交点坐标为． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，正确利用时求出的值是解题关键． 直接利用抛物线与轴交点求法：令，得到一元二次方程求解即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 解得：，， 故抛物线与轴的交点坐标分别为：，． 故答案为：，． 3．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数和x轴交点的问题．求出二次函数图象的对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵的图象与轴的一个交点为， ∴的图象与轴的另一个交点为． 故答案为： 题型十三　图象法确定一元二次方程的近似根与一元二次不等式的解集 例题1：（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数中x和y的值如下表所示，根据表格估计一元二次方程的一个解的范围是（ ） x A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算一元二次方程的解，是解本题的方法． 本题考查利用“夹逼”思想估算一元二次方程的解．利用夹逼思想求一元二次方程的近似解．根据表格当时，；当时，，即的一个根在2和3之间． 【详解】解：由可得：， 根据表内数据，可以发现： 的值随着x的增大而增大， 且：当时，；当时，； ∴一元二次方程的其中一个解x的范围是， 故选：D． 例题2：（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 巩固训练 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）下表给出了二次函数中，的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解（精确到）为（   ） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y … 0.25 0.76 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，求近似解．根据表格可知，方程的根，而当时，更接近于0，据此分析可得近似解． 【详解】解：， 整理得：， 当时，，当时，， 则方程的根， 而当时，更接近于0， ∴原方程的一个近似解为1.4． 故选：B 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知抛物线 上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x y 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系，根据表格中数据的变化情况进行估计即可． 【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根， ∴的一个解x的取值范围为． 故选：B． 3．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解集是． 故选：A． 4．（2024·四川成都·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（    ） A．， B．不等式的解集是 C． D．方程的解是， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键．由图象判断，，对称轴是，再判断出，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：由图象得：，，对称轴是， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵对称轴是，函数图象与x轴一个交点是， ∴另一个交点， ∴不等式的解集是，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故C正确，不符合题意； ∵函数图象与x轴的两个交点为和， ∴方程的解是，，故D正确，不符合题意； 故选：B． 题型十四　求二次函数的表达式 例题：（23-24九年级上·上海·阶段练习）二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质， （1）利用待定系数法求解即可； （2）将化为顶点式求解即可． 【详解】（1）解：将，，代入 得， 解得 ∴； （2）∵ ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线． 巩固训练 1．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求函数表达式． (2)判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点不在这个二次函数图象上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时对应的函数值，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数表达式为； （2）解：点不在这个二次函数图象上，理由如下： 当时，， ∴点不在这个二次函数图象上． 2.（23-24九年级上·上海·阶段练习）二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质， （1）利用待定系数法求解即可； （2）将化为顶点式求解即可． 【详解】（1）解：将，，代入 得， 解得 ∴； （2）∵ ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线． 3．（2024·浙江嘉兴·二模）已知二次函数（a为常数）． (1)若该二次函数的图象经过点； ①求a的值． ②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ (2)若点均在该二次函数的图象上，求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入，计算求解即可；②由题意知，，则图象开口向上，对称轴为直线，进而可得当时，y随x的增大而增大； （2）由点在二次函数的图象上，可得，将点代入得，进而可得． 【详解】（1）①解：将代入得，， 解得，， ∴a的值为； ②解：由题意知，， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大； （2）证明：∵点在二次函数的图象上， ∴， 将点代入得， ∴． 4．（2023·青海海东·统考二模）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的解析式得出，，从而求得三角形的面积，设点P的坐标为，根据即可求得的值，从而得出点P的坐标； （3）利用待定系数法可求得直线AC的解析式为，设点，再根据两点间的距离可表示，然后利用二次函数的最值即可得出答案． 【详解】（1）已知抛物线的对称轴为直线， 可设抛物线的表达式为， 将点，点代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）由（1）知抛物线表达式为， 令，解得或， ∴点B的坐标为， ∵点C坐标为， ∴，， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴设点P的坐标为， ∴ ∵， ∴， 解得或， ∴当时，， 当时，， ∴满足条件的点P有两个，分别为，； （3）如解图，设直线AC的解析式为，    将点，代入， 得， 解得， ∴直线AC的解析式为， 由于点Q在AC上，可设点， 则点，其中， ∴ ∴当时，DQ长度有最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质及最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型十五　二次函数与x轴的截线长 例题：（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知二次函数的图象与轴只有一个交点． (1)若，请求出函数解析式； (2)设直线与该抛物线的交点为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据题意可得，列方程，即可解答； （2）列方程，根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，结合，即可解答． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴只有一个交点， 方程有两个相同的解， 根据，可得， 可得， ， ， 二次函数解析式为； （2）解：根据题意可列方程， 设点的横坐标为， 可得，， 根据完全平方公式，可得， （1）中得到， ， ． 巩固训练 1．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）  如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．    (1)若为二次函数的图象上一点，求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数解析式，即可求解； （2）令，可求出，，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当时， ， 解得：，， ，， ． 【点睛】本题考查了函数图象上的点坐标，函数图象与坐标轴的交点，图象与x轴的截线长，理解函数图象上点的坐标意义及坐标求法是解题的关键． 2．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知抛物线过点A与，与y轴交于点，点D在抛物线上，且直线轴．    (1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标； (2)求的长． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）将，代入抛物线，利用待定系数法可求得解析式，配成顶点式为，进而可得顶点坐标； （2）根据直线轴，将代入，求得点的坐标为，进而可求解． 【详解】（1）解：抛物线过点，， 将代入，得 解得，则该抛物线的函数表达式为， 配成顶点式为， ∴顶点坐标为． （2）∵直线轴，则将代入， 得． 解得，． ∴点的坐标为． ∴． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与一元二次方程，利用待定系数法求得函数解析式是解决问题的关键． 3．（2023·安徽宿州·三模）已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线． (1)求b和c的值． (2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由． (3)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，求线段与线段的长度之比． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析； (3)2． 【分析】（1）根据抛物线过点以及对称轴公式可求得b和c的值； （2）根据二次函数的解析式可知，在的范围内，当时，二次函数取最小值，当时，取最大值，进而可得答案； （3）联立与抛物线，设点A，B的横坐标分别为，根据根与系数的关系求出，，则可得到，然后根据求得，即线段的长为，同理求出线段的长为，可得答案． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； （2）解：当时，函数值y的取值范围为：； 理由：由（1）可知抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴在的范围内，当时，二次函数取最小值，最小值为， ∵， ∴在的范围内，当时，二次函数取最大值，最大值为 ， ∴当时，函数值y的取值范围为：； （3）解：联立得：， 整理得：， 设点A，B的横坐标分别为， 则，， ∴， ∵， ∴，即线段的长为， 联立得：， 整理得：， 设点C，D的横坐标分别为， 则，， ∴， ∵， ∴，即线段的长为， ∴线段与线段的长度之比为：． 【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的对称轴公式，二次函数的图象和性质以及根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键． 题型十六　用二次函数解决实际问题 例题：（2024·江苏连云港·模拟预测）为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送电脑下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台电脑，政府补贴若干元，经调查某商场销售电脑台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台电脑的收益p（元）会相应降低且满足：． (1)在政府补贴政策实施后，求出该商场销售电脑台数y与政府补贴款额x之间的函数关系式； (2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售电脑的总收益额为多少元？ (3)要使该商场销售电脑的总收益最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益的最大值． 【答案】(1) (2)元 (3)元，元 【分析】（1）依题意设，待定系数法求解即可； （2）当时，，当时，，根据，计算求解即可； （3）设总收益为W元，则，由，可知当时，W有最大值，计算求解即可． 【详解】（1）解：依题意设， 将，代入得，， 解得， ∴． （2）解：当时，， 当时，， ∴； 答：在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为元． （3）解：设总收益为W元，则， ∵， ∴当时，W有最大值． 答：政府应将每台补贴款额定为元时，可获得最大利润元． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数解析式，一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 巩固训练 1．（2024·河南信阳·模拟预测）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方处 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据抛物线的顶点式设出解析式是解题的关键． （1）先确定抛物线的顶点坐标，再设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据抛物线平移规律，设出移动后抛物线的解析式，再将代入，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把的坐标代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 当时，， 球不能射进球门； （2）解：设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得或（不合题意，舍去）， 当小明带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处． 2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米如图，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 【答案】(1)，喷出水的最大射程为 (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标； （3）根据，求出点的坐标，利用灌溉车行驶时距离绿化带的增减性可得的最大值和最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ∴， ， 上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，舍去， 喷出水的最大射程为； （2）解：∵对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 点的坐标为； （3）解：∵， 点的纵坐标为， ， 解得， ， ， 当时，随的增大而减小， 当时，要使， 则， 当时，随的增大而增大，且时，， 当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为， 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图①，是一座抛物线型拱桥，小明学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴与水平线垂直，，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离，，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是2． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，为更加稳固，小明想在上找一点P，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小明找到点P的位置并求出坐标； (3)为了造型更加美观，小明重新设计抛物线，其表达式为当，函数y的值总大于等于9，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析， (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）根据题意，设抛物线的解析式为，待定系数法求解即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交于点，则点即为所求，据此求解即可； （3）分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得的取值范围即可． 【详解】（1）设抛物线的解析式为 把点代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）作A点关于y轴的对称点，连接交于点P，则P点即为所求； 把代入得，得：， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴P点的坐标为； （3） ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 当时，得： 解得： 当时， 由，得： ， 解得： ∴； 由，得： ， ∴； ∴当时，都成立； 当时，得： 解得： ∴都成立； 综上所述，b的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$