苏科版九年级数学下册 例析与抛物线折叠有关的问题 讲义

例析与抛物线折叠有关的问题 近年来，图形的运动变换问题已经成为各地中考试卷中的热点。尤其是将抛物线进行平移、翻折、旋转，让抛物线在“叠加”中成对呈现，设置富有创新意识的问题，能较好地考查学生的逻辑思维和学科素养.本文仅以抛物线的轴对称变换为例加以阐述，供读者参考. 一、抛物线沿 轴翻折，融入平移与存在性探究 例1 (2018年邵阳中考题)如图1所示，将二次函数 的图象沿 轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数 的图象.函数 的图象的顶点为点 .函数 的图象的顶点为点 ，和 轴的交点为点 (点 位于点 的左侧). (1)求函数 的解析式; (2)从 三个点中任取两个点和点 构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率; (3)若点 是线段 上的动点，点 是 三边上一的动点，是否存在以 为斜边的 ，使 的面积为 面积的 ?若存在，求 的值;若不存在，请说明理由. 解析 (1 )将抛物线 沿 轴翻折，得 ，将 向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得 . ∴函数 的解析式为 . (2)易得，从 三个点中任选两点和点 构造三角形中只有 为等腰三角形， ∴能构造等腰三角形的概率是 . (3)存在. 易得直线 ： ， . 设点 ( ). ①当 点在 上，如图2， ∵ 的面积为 面积的 ， ∴ ， 解得 ， . 当 时，得 点 ， ， ， ， ∴ ； 当 时，得 点 ， ， ， ， ∴ . ②当 点在 上，如图3， ∵ ， ∴ ， ∴ . 由 ， 得 . ∴ . ③当 点在 上，如图4，作 于 . 设 ，则 . 由②，得 ，则 . 易证 ， ∴ ， 即 ， ∴ . ∵ ， ∴ ， 化简，得 ， ∵ ， ∴此方程没有实数解， ∴点 在 上的情形不存在. 综上，当 点在 上时， 或4， 点在B 上时， . 点评题(1)利用轴对称性质和平移的规律，可得变换后的抛物线;题(3)①中利用面积关系构建方程来化解间题，题(3)②运用面积关系进行线段转化解决问题，本题综合运用数形结合、分类讨论、转化等思想方法，特别是题(3)③，通过构造相似三角形，利用相似比进行线段转化. 二、抛物线沿 轴翻折，融入最值与存在性探究 例2 (2016年岳阳中考题)如图5，直线