第5章 二次函数压轴训练（单元复习 8类压轴）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第5章 二次函数压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　利用二次函数求单线段最小值问题 1 压轴题型二　利用二次函数求单线段最大值问题 4 压轴题型三　利用二次函数求面积最大值问题 8 压轴题型四　利用二次函数求面积最小值问题 12 压轴题型五　利用二次函数求周长最大值问题 15 压轴题型六　利用二次函数求周长最小值问题 20 压轴题型七　二次函数中的将军饮马型最值问题 25 压轴题型八　二次函数中的胡不归最值问题 30 02 压轴题型 压轴题型一　利用二次函数求单线段最小值问题 例题：（2023春·安徽·九年级专题练习）已知：抛物线与x轴交于点A、B（点B在x轴正半轴），顶点为C，且． (1)求a的值； (2)求的面积； (3)若点P为抛物线上一点，轴交直线于点M，求的最小值． 巩固训练 1．（2023春·安徽·九年级专题练习）直线经过点，抛物线经过点，其中和为实数．设抛物线的顶点为，过作轴的平行线交直线于点． (1)求和的值； (2)当抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求线段的值； (3)求线段的最小值． 压轴题型二　利用二次函数求单线段最大值问题 例题：（23·24上·西青·期中）如图，抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为点坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交拋物线于点，求线段长度的最大值． 巩固训练 1．（23·24上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图像经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 压轴题型三　利用二次函数求面积最大值问题 例题：（23·24上·淮南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值． 巩固训练 1．（23·24上·大同·阶段练习）综合与探究 如图二次函数与直线交于、两点，已知：、，二次函数的图象与轴的另一个交点为点，点在直线上方的抛物线上运动，过点作轴的平行线交于点．    (1)求直线与抛物线的解析式； (2)设四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 2．（23·24上·中山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点P为第二象限内抛物线上一动点，过点P作轴，交于点Q，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于的函数关系式，并求出S的最大值． 压轴题型四　利用二次函数求面积最小值问题 例题：（2024·福建福州·三模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)若，求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)已知该抛物线过点，且当时，函数有最大值． ①求该抛物线的解析式； ②若过点的直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点，直线与抛物线交于，两点，连接，，求当为何值时，的面积最小，并求出面积的最小值． 巩固训练 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 压轴题型五　利用二次函数求周长最大值问题 例题：（2024·陕西西安·三模）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积，求抛物线平移的距离． 巩固训练 1．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 压轴题型六　利用二次函数求周长最小值问题 例题：（2024·广东汕头·二模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)点P是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点P的坐标． 巩固训练 1．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． (1)求出二次函数解析式； (2)连接，求证：是直角三角形； (3)在对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标和的周长；若不存在，请说明理由． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x轴于点，交y轴于点    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积 (3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴题型七　二次函数中的将军饮马型最值问题 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 巩固训练 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 2．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图②，连接是线段上的两个动点，且，连接，求的最小值． 压轴题型八　二次函数中的胡不归最值问题 例题：（23-24九年级下·山东滨州·阶段练习）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点为轴上的一个动点，连接，求的最小值． 巩固训练 1．（2024·江苏淮安·三模）二次函数 的图像与x轴交于A，C两点，点，与y轴交于点． (1) ， ； (2)如图，P 是x轴上一动点，点在y轴上，连接PD，求 的最小值．并求出此时点 P的坐标． (3)在（2）成立的前提下，在抛物线 是否存在点Q，使得 存在，请直接写出点Q的坐标，不存在请说明理由． 2．（2024·宁夏银川·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值； (3)如图2，若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 二次函数压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　利用二次函数求单线段最小值问题 1 压轴题型二　利用二次函数求单线段最大值问题 4 压轴题型三　利用二次函数求面积最大值问题 8 压轴题型四　利用二次函数求面积最小值问题 12 压轴题型五　利用二次函数求周长最大值问题 15 压轴题型六　利用二次函数求周长最小值问题 20 压轴题型七　二次函数中的将军饮马型最值问题 25 压轴题型八　二次函数中的胡不归最值问题 30 02 压轴题型 压轴题型一　利用二次函数求单线段最小值问题 例题：（2023春·安徽·九年级专题练习）已知：抛物线与x轴交于点A、B（点B在x轴正半轴），顶点为C，且． (1)求a的值； (2)求的面积； (3)若点P为抛物线上一点，轴交直线于点M，求的最小值． 【答案】(1)2 (2)8 (3) 【分析】（1）令，解方程求出A，B坐标，根据B在x轴正半轴得出，然后求出a的值； （2）根据（1）解析式求出顶点坐标，然后由三角形的面积公式求出面积； （3）设，则， ，然后由二次函数的性质求出最小值． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∵点B在x轴正半轴， ，， ∵， ∴， 解得； （2）解：由（1）知，， ∴， ∴； （3）解：设，则，如图所示： 则 ∵， ∴抛物线开口向上，当时，取最小值． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值等，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 巩固训练 1．（2023春·安徽·九年级专题练习）直线经过点，抛物线经过点，其中和为实数．设抛物线的顶点为，过作轴的平行线交直线于点． (1)求和的值； (2)当抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求线段的值； (3)求线段的最小值． 【答案】(1)，； (2)3； (3)． 【分析】（1）将、的坐标分别代入直线和抛物线即可求解； （2）利用二次函数的性质求得，即可求解； （3）由抛物线的顶点，过作轴的平行线交直线于点，求得，从而求得，于是即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∵抛物线经过点， ∴； （2）解：∵， ∴顶点， ∵顶点的纵坐标取得最大值，， ∴当时，顶点的纵坐标取得最大值，此时，， ∴， ∵， ∴直线， 当时，， ∴， ∴； （3）解：∵抛物线的顶点，过作轴的平行线交直线于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 压轴题型二　利用二次函数求单线段最大值问题 例题：（23·24上·西青·期中）如图，抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为点坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交拋物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）因为抛物线地两点，设解析式为，点在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标；②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，， ∴设解析式为， 将代入中，得， 解得：， 所以抛物线的解析式为：． （2）①二次函数的解析式为， 抛物线与轴的交点的坐标为，． 设点坐标为， ， ， ，． 当时，； 当时，． 点的坐标为或； ②设直线的解析式为，将，代入， 得， 解得：． 即直线的解析式为． 设点坐标为，，则点坐标为， ， 当时，有最大值． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想． 巩固训练 1．（23·24上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图像经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据点B的坐标得出，则，即可得出点B和点C的坐标； （2）设该抛物线的表达式为，将点代入得，再将点代入，求出a的值即可； （3）先求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线交于点H，设点，则点，利用解直角三角形，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，； （2）解：设该抛物线的表达式为， 把点代入得：， 把点代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， （3）解：设直线函数表达式为：， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H， ∵， ∴， ∵轴， ∴， 设点，则点， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，其最大值为， 此时点． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，用二次函数关系表示是解题的关键． 压轴题型三　利用二次函数求面积最大值问题 例题：（23·24上·淮南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值． 【答案】(1)； (2)点，的面积的最大值为． 【分析】（）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式； （）设点的坐标，然后作轴交于点，然后用面积和差求出关于的二次函数，转化为二次函数的最值问题． 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入解析式，得： 解得： ， ∴二次函数的表达式为； （2）如图，过点作轴的平行线与交于点，      设直线解析式为，且过点，点， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ， 当时，面积最大， 此时，点，的面积的最大值为． 【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，添加辅助线使其转化为求二次函数最值． 巩固训练 1．（23·24上·大同·阶段练习）综合与探究 如图二次函数与直线交于、两点，已知：、，二次函数的图象与轴的另一个交点为点，点在直线上方的抛物线上运动，过点作轴的平行线交于点．    (1)求直线与抛物线的解析式； (2)设四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)的最大值为， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）求出点坐标，利用，转化为二次函数最值即可． 【详解】（1）解：二次函数与直线交于、两点， ∴，解得：；，解得， ∴，； （2）∵，当时，，解得：， ∴， ∵、， ∴， ∴， 设：，则：， ∴， ∴， 即：， ∴当时，取得最大值为，此时：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 2．（23·24上·中山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点P为第二象限内抛物线上一动点，过点P作轴，交于点Q，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于的函数关系式，并求出S的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)，4． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）求得，利用得到S关于的函数关系式，并利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 代入得，解得， ∴直线的解析式为：； （3）解：依题意得：， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为4． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，用待定系数法求出二次函数的关系式是解决问题的关键． 压轴题型四　利用二次函数求面积最小值问题 例题：（2024·福建福州·三模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)若，求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)已知该抛物线过点，且当时，函数有最大值． ①求该抛物线的解析式； ②若过点的直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点，直线与抛物线交于，两点，连接，，求当为何值时，的面积最小，并求出面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，二次函数与一元二次方程的关系等，解题的关键是用含的代数式表示； （1）当时，，故抛物线的顶点坐标为； （2）①由当 时，函数有最大值，知抛物线的对称轴为直线，且，故，即，得，而该抛物线过点，有，得，从而抛物线解析式为； ②求出，，设直线的解析式为，由直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个 交点，可得，故，即可解得点坐标为，与点重合，由直线，值直线恒过点，，联立，得，可得，故，从而得当时， 有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：①当 时，函数有最大值， 抛物线的对称轴为直线，且， ，即， 该抛物线的解析式为， 该抛物线过点， ， 解得， ， 抛物线解析式为； ②如图， 在中，令得， 解得，， ，， 设直线的解析式为， 联立得， 直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个 交点， ， 解得 （舍去），， ， 解得， 点坐标为，与点重合， 直线， 直线恒过点， ， 联立，得， ， ，， ， ， 当时，有最小值，最小值为． 巩固训练 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面积公式，求出函数解析式． （1）根据，得出，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得出答案； （2）通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形， 在中，，，， ∴ ； （2）解：正方形的面积为：， ∴当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 压轴题型五　利用二次函数求周长最大值问题 例题：（2024·陕西西安·三模）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积，求抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 (3)抛物线向右平移的距离是4个单位 【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得； （3）①根据，结合四边形是矩形，可得A、C坐标，连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据直线平分矩形的面积，得到直线过点P，由平移的性质可知，四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到点P是的中点，求出P、Q坐标，进而证明四边形是平行四边形，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点B的坐标为， ∵四边形是矩形， ∴点C的坐标为， ∴将点C坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，点C的纵坐标为， ∴矩形的周长 ， ∵ ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为； （3）解：∵当时，， ∴点B的坐标为， ∴点C的坐标为，点A的坐标为， 连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，如图：    ∵直线平分矩形的面积， ∴直线过点P， 由平移的性质可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点P是的中点，Q是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴抛物线向右平移的距离是4个单位． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，矩形的性质，勾股定理，平移的性质等等，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点． 巩固训练 1．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 (3)抛物线向右平移的距离是4个单位 【分析】（1）将和代入，利用待定系数法求解； （2）由抛物线的对称性可得，进而可得，再由，用含t的式子表示出矩形的周长，最后根据二次函数的性质求解； （3）由得出点A，B，C，D及矩形对角线交点P的坐标，由直线平分矩形的面积，知直线必过点P，根据知线段平移后得到的线段是，由线段的中点Q平移后的对应点是P，结合是的中位线，即可求出抛物线平移的距离． 【详解】（1）解：当时，， ， 将和代入，得：， 解得， ； （2）解：由抛物线的对称性可得， ， ， ， 矩形的周长为， ， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为； （3）解：如图， 当时，点A，B，C，D的坐标分别为，，，， ∴矩形对角线的交点P的坐标为， ∵直线平分矩形的面积， ∴点P是和的中点， ∴， ∵， ∴线段平移后得到的线段是，线段的中点Q平移后的对应点是P， 由平移知，， ∴是的中位线， ∴， 即抛物线向右平移的距离是4个单位． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点． 压轴题型六　利用二次函数求周长最小值问题 例题：（2024·广东汕头·二模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)点P是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，一次函数的图象与性质，轴对称的性质等知识点，依据轴对称路径最短问题确定出点P的位置是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得； （2）连接交抛物线的对称轴于点P，连接，依据轴对称图形的性质可得到，则的周长，故当点在一条直线上时，的周长最小值，然后求得直线的解析式，从而可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵当时，， ∴， ∵点P是抛物线对称轴上一点， ∴， ∴． ∴当点在一条直线上时，有最小值，即的长度． 如图，连接交抛物线的对称轴于点P， 又∵为定值， ∴此时，的周长最小． 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入得：， ∴点P的坐标为， 即当的周长最小时，点P的坐标为． 巩固训练 1．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． (1)求出二次函数解析式； (2)连接，求证：是直角三角形； (3)在对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标和的周长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，的周长最小值为． 【分析】（1）把、代入，求出a和b的值，即可得出函数解析式； （2）先求出点D和点B的坐标，根据两点之间的距离公式，求出，再根据勾股定理逆定理，得出为直角三角形即可； （3）连接交抛物线对称轴于，连接，由，，知，由得抛物线对称轴是直线，而，关于抛物线对称轴对称，可知当、、共线时，最小，此时也最小，故此时的周长最小，设直线为，将，代入得直线为，令得，故． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得：， ∴此二次函数解析式为； （2）解：∵， ∴，此二次函数对称轴为直线， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形； （3）解：存在点，使的周长最小， 连接交抛物线对称轴于，连接，如图： ，， ， 由得抛物线对称轴是直线， ，关于抛物线对称轴对称， ， ， 而当、、共线时，最小，此时也最小，因，故此时的周长最小， 设直线为，将，代入得： ，解得， 直线为， 令得， ； ，， ∴的周长最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，勾股定理逆定理，以及轴对称的性质． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x轴于点，交y轴于点    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积 (3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，点Q坐标为： 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）先确定顶点坐标，然后根据三角形面积即可求解； （3）根据抛物线的对称性可得当点Q与点A、C共线时，的周长最小，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）由（1）得， ∴顶点坐标， ∵， ∴的面积为：； （3）解：连接与直线交于点Q，    ∵点A与点B关于对称， ∴， ∴的周长为， ∴当点Q与点B，C共线时，的周长最小，为， ∵ 设直线的解析式为：，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴点Q坐标为： ． 压轴题型七　二次函数中的将军饮马型最值问题 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，，最小值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． 本题中，点与点关于抛物线的对称轴对称，根据“两点之间，线段最短”可知，抛物线的对称轴与直线的交点就是的值最小时点的位置，先求出直线的解析式，再求出点的坐标． 【详解】假设存在点，使得的值最小． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 令，则，解得，，∴，， 令可得，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为． 巩固训练 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等： （1）设点P的坐标为，根据两点间距离公式求出，可证； （2）由可得，当E，P，N共线时，等号成立． 【详解】（1）证明：点是在该抛物线上的动点， 设点P的坐标为， ， ； ，直线的解析式是， ， ； （2）解：， 点在抛物线的上方， 由（1）知， ，当E，P，N共线时，等号成立，如图： ，当时，， 的最小值为，此时点的坐标为． 2．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图②，连接是线段上的两个动点，且，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设点，，结合点为第四象限内抛物线上一动点， ，可得，再解方程并检验即可； （3）过点C作且，连接、， 证明， 则， 当O、N、D共线时，取等号， 再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知， ，则，， ∴点，则， 设点，， ∵点为第四象限内抛物线上一动点， ， 则， 整理得， 解得：， （不符合题意舍去） ∴， 则点； （3）解：过点C作且，连接、， 则，点， ∵， 则， 则， 则， 当O、N、D共线时，取等号， 即的最小值． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算、求函数表达式等，确定三角形全等是解题的关键． 压轴题型八　二次函数中的胡不归最值问题 例题：（23-24九年级下·山东滨州·阶段练习）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点为轴上的一个动点，连接，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数解析式及顶点坐标，一次函数解析式，二次函数的性质，解直角三角形等知识； （1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入解析式即可求解； （2）设直线为，把，分别代入解析式即可求得直线解析式，即可求解； （3）以为斜边作（点在轴右侧），使得得，过点作，交轴于，交于点，则，根据，得，当、、三点共线且时，的值最小，最小值为的长，在中，，，可得，，进而可求得，即可求解 【详解】（1）解：根据题意可设抛物线的解析式为， 抛物线经过点， 将点代入，解得， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为， （2）解：设直线为， 把，分别代入得， ． 直线为解析式为 令得， ． （3）解：如图，以为斜边作（点在轴右侧），使得， ， 过点作，交轴于，交于点，则， 根据，得 则，当、、三点共线且时，的值最小，最小值为的长， 在中，， ， ， 即的最小值为 巩固训练 1．（2024·江苏淮安·三模）二次函数 的图像与x轴交于A，C两点，点，与y轴交于点． (1) ， ； (2)如图，P 是x轴上一动点，点在y轴上，连接PD，求 的最小值．并求出此时点 P的坐标． (3)在（2）成立的前提下，在抛物线 是否存在点Q，使得 存在，请直接写出点Q的坐标，不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)； (3)满足条件的点的坐标为：，，， 【分析】本题考查二次函数综合题、待定系数法、面积问题、线段最值问题； （1）将、分别代入得到二元一次方程组，解方程求得和即可； （2）如图1中，作于.先说明,然后在中,有，由垂线段最短可知，当、、共线时，最小，最后求得最小值即可； （3）如图2中，由，过点作的平行线交抛物线于、，根据，再求出直线的解析式，然后联立解方程组即；利用平移可求出、的坐标． 【详解】（1）解：把，代入， 得到，， 解得， 故答案为，． （2）如图1中，作于． ∵，， ∴， 在中，． ∵， 根据垂线段最短可知，当、、共线时最小，最小值为， 在中， ∵,，则， ∵， ∴， ∴的最小值为． ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ （3）解：如图所示，连接， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴过点作的平行线交抛物线于，，则，， 设直线的解析式为 ∵，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， ∵ ∴直线的解析式为， 由， 解得或， ∴，， 根据对称性可知，直线关于直线的对称的直线与抛物线的交点、也满足条件， ∵ ∴将向右平移个单位得到的解析式为 由， 解得或， ∴，， 综上所述，满足条件的点的坐标为：，，，． 2．（2024·宁夏银川·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值； (3)如图2，若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)最大值为，此时点的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式等等： （1）先把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）连接，由对称性可得，则，故当A，B，Q三点共线时，此时的值最小，即此时的值最小，最小值即为的长，由对称性求出，再求出点的坐标为，即可得到直线的表达式为，则点的坐标为，利用勾股定理得到，则的最小值为； （3）设，则，，可得，，进而得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接， 点与点关于对称轴对称， ， ， 当A，B，Q三点共线时，此时的值最小，即此时的值最小，最小值即为的长， 顶点坐标的横坐标为1， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 在中，当时， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将点，分别代入，得， 解得， 直线的表达式为， 将代入，得， 点的坐标为， ，， ， 的最小值为； （3）解：由（2）知抛物线的对称轴为直线，，直线的函数表达式为， 设， 令，得， ，， ，， ． ，， 当时，的值最大，最大值为，此时点的坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$