第四章第06讲 易错易混淆集训：一次函数四大易错强化训练（4类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第06讲 易错易混淆集训：一次函数四大易错强化训练 (4类热点题型讲练) 目录 【考点一 利用一次函数的定义忽略“k≠0”致错】 1 【考点二 对正比例函数的定义了解不透彻致错】 3 【考点三 实际问题中忽略自变量的取值范围致错】 6 【考点四 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忽略分类讨论致错】 14 【考点一 利用一次函数的定义忽略“k≠0”致错】 例题：（23-24八年级下·重庆巴南·期末）若是关于x的一次函数，则实数 ． 【答案】2 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的概念，形如，其中k，b是常数的函数是一次函数的一般形式；由概念知，，且，求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：； 故答案为：2． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川内江·期中）当 时，函数是一次函数． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了学生对一次函数的定义的理解及掌握情况，一次函数就是未知数的次数是1，同时系数不能为0，据此求解即可． 【详解】由题意得：，解得：或4 ∵，解得： ∴ 故答案为：． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知函数 是一次函数，则 ． 【答案】5 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系数不等于0即可求解，掌握一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1，是解题关键． 【详解】解：根据题意得：且 解得：． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·山西晋中·期中）若函数是一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义可列一元一次不等式组，解不等式组即可求解，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意得： ，解得， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）已知是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】此题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义得出，代入代数式求解即可，形如的函数为一次函数． 【详解】解：函数是关于x的一次函数 则， 解得 ∴， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）当 时，函数是一次函数，且不是正比例函数． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数、利用平方根解方程 【分析】根据一次函数的解析式为：，则；根据题意，，则，即可． 【详解】∵函数是一次函数，且不是正比例函数， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数的定义． 【考点二 对正比例函数的定义了解不透彻致错】 例题：（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）已知：y与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)点在这个函数的图像上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数解析式，求自变量的值等知识．熟练掌握正比例函数解析式，求自变量的值是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，将，代入得，，可求，进而可得y与x之间的函数关系式； （2）将代入得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入得，， 解得，， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：将代入得，， 解得，． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与的函数解析式； (2)如果x的取值范围是，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求一次函数值的取值范围： （1）设 ，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质得到y随x增大而减小，再分别求出当时，当时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵在中，， ∴y随x增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若点关于轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、坐标与图形变化——轴对称、正比例函数的定义 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，关于y轴对称点的坐标特征等知识，解题的关键是： （1）设，把，代入求解即可； （2）利用轴对称性求出对称点的坐标，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：设， 把，代入，得， 解得， ∴ （2）解：点关于轴的对称点为， ∵在的图象上， ∴． 3．（23-24九年级上·河北承德·期末）已知y是的正比例函数，并且当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)求时x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的定义、用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，正比例函数的定义，求自变量的值： （1）设，再根据当时，进行求解即可 （2）把代入（1）所求中进行求解即可． 【详解】（1）解：设， 把时，代入得，解得， ∴y与x之间的函数关系式为 （2）解：当时，， 解得． 4．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】正比例函数的定义、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握求解的方法是解本题的关键； （1）根据题意设设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把点代入（1）中的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 当时， ， 解得：， 与x的函数关系式为， 即； （2）把代入得， ∴． 5．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a的值． (3)试判断点是否在此函数图像上，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点不在此函数的图象上，理由见解析 【知识点】求一次函数自变量或函数值、正比例函数的定义 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上的点的坐标特征、解一元一次方程，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键． （1）设，将x、y值代入求出k值即可求解； （2）将点代入（1）中函数关系式中求解即可； （3）将代入（1）中函数关系式中求解判断即可． 【详解】（1）根据题意，设， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴，即， ∴y与x的函数关系式为； （2）将点代入得：， 解得：； （3）当时，， 则点不在此函数的图象上． 【考点三 实际问题中忽略自变量的取值范围致错】 例题：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写） 【结论应用】 （2）应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 【答案】（1）①图见解析，②一次函数，；（2）①供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米，②当箭尺读数为厘米时是点钟． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值，掌握相关知识是解题的关键． （1）①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可； ②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数，设这条直线所对应的函数表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）①利用前面求得的函数表达式求出时，的值即可得出箭尺的读数； ②利用前面求得的函数表达式求出时，的值，由本次实验记录的开始时间是上午，即可求解． 【详解】解：（1）①根据题意，建立平面直角坐标系描点，如图， ②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数， 设这条直线所对应的函数表达式为：，把点，代入得： ， 解得：， ∴一次函数表达式为：， 故答案为：一次函数，； （2）当时，， ∴供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米； 当时，则， 解得：， ∴供水时间为15小时， ∵本次实验记录的开始时间是上午8：00， ， ∴当箭尺读数为厘米时是点钟． 【变式训练】 1．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm燃烧时剩下的高度h（cm）与时间t（小时）的关系图象表示是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】先根据题意求出与的函数关系式，再根据一次函数的图象特征即可得． 【详解】由题意得：， ， ， 解得， 即与的关系式为，是一次函数图象的一部分，且随的增大而减小， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，依据题意，正确求出一次函数的解析式是解题关键． 2．拖拉机开始工作时，油箱中有油24L，若每小时耗油4L．则油箱中的剩油量y （L）与工作时间x（小时）之间的函数关系式的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据剩余油量=邮箱里原有的油量-消耗的油量就可以表示出y与x之间的函数关系式． 【详解】解：由题意，得 y=24-4x（0≤x≤6）． ∴k=-4＜0， ∴函数是降函数，函数图象是线段． 当x=0时，y=24，当y=0时，x=6． ∴函数图象是经过（0，24）和（6，0）的线段． 故选D． 【点睛】本题考查了运用剩余油量=邮箱里原有的油量-消耗的油量的关系的运用，一次函数的解析式的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 3．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）有一个水箱，它的容积，水箱内原有水，现往水箱注水，已知每分钟注入水． (1)写出水箱内水量与时间的函数关系式； (2)求自变量t的取值范围； (3)求注水时水箱内的水量？ 【答案】(1) (2) (3)注水时水箱内的水量是320升 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了求一次函数的应用，利用解析式求自变量和函数的值．解答本题的关键是求出函数的解析式． （1）根据等量关系“箱内水量=每分钟注入的量×时间+原有的水量”列出函数关系式； （2）根据水箱内水量应在200和500之间，且包含边界点，即，求出自变量t的取值范围； （3）把代入解析式就可以求出池中的水量． 【详解】（1）解：根据题意，得：； （2）解：令 则； （3）解：当时，． 答：注水时水箱内的水量是320升． 4．春节是中国民间最隆重盛大的传统节日，是集祈福禳灾，欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．人们在除夕点燃红红的蜡烛，以表除旧布新．已知一根蜡烛的长为30cm，点燃后蜡烛每小时燃烧4cm，设蜡烛燃烧的时间为，蜡烛燃烧时剩下的长度为． (1)直接写出y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)求当时，x的值． (3)在平面直角坐标系中画出y与x之间的函数图像，从图像中你还能得到哪些信息？写出一条即可． 【答案】(1) (2)6 (3)见解析 【分析】（1）根据燃烧速度与总长度即可直接写出关系式，当总长烧完时对应的时间即为时间上限； （2）将代入求出的解析式即可求解． （3）根据（1）中求出的解析式，令x=0得出图像与y轴的交点，令y=0得出图像与x轴的交点，再连接并延长即可，再根据图像作答即可． （1） 由题意得，y与x之间的函数关系式为， ∵， ∴， ∴自变量的取值范围是； （2） 当时，， 解得； （3） 当时，， 当时，， 解得， ∴画出的大致函数图像如图所示， 由图像可知，蜡烛7.5小时就燃烧完． 【点睛】本题考查一次函数与实际问题的应用、一次函数图像的画法，根据题意找出函数关系式，找到图像与坐标轴的交点是关键． 5．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶，甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变，甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图． (1)求y关于x的表达式； (2)已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设在相遇前的行驶过程中，两车相距的路程为（千米）．请直接写出关于x的表达式； (3)当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题以行程问题为背景，考查由一次函数图象求解析式．分析相遇问题，求相遇时间及速度，重点考查学生的观察、理解及分析解决问题的能力． （1）由图知是的一次函数，设．把图象经过的坐标代入求出与的值． （2）根据路程与速度的关系列出方程可解． （3）由（2）得：甲乙两车经过2小时相遇．再由，设时，求出的值可知乙车到达终点所用的时间，根据时间和距离即可得值． 【详解】（1）解：当时，；时，， 设，则， 解得， 关于的表达式为； （2）解：由（1）得：甲车的速度为90千米时，甲乙相距300千米， 甲乙相遇用时为：， 当时，函数解析式为； （3）解：由（2）得：甲乙两车经过2小时相遇， 因为乙车比甲车晚40分钟到达，40分钟小时， 所以在中，当，， 所以，相遇后乙车到达终点所用的时间为（小时）， 乙车与甲车相遇后的速度（千米时）， （千米时）． 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，，，动点E从点B出发，沿着匀速运动到点D时停止运动，设点E的运动路程为x，的面积为y．    (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象； (2)请写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，在点E的运动过程中，当的面积为时，则自变量x的取值范围为______． 【答案】(1)；图见解析 (2)当时，y随x增大而不变，当时，y随x增大而减小 (3) 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了矩形的性质，函数图象与性质，利用分类讨论解决问题是解题的关键： （1）分两种情况讨论，由三角形面积公式可求解； （2）由图象可直接求解； （3）分两种情况讨论，列出不等式可求解 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴， 当点E在上时，， 当点E在上时，， 综上所述，； 先画出线段的图象： 当时；当时； 描点，连线，所作图形如图：   ； （2）解∶ 当时，y随x增大而不变，当时，y随x增大而减小； （3）解：当点E在上时，即时，， 解得，； 当点E在上时，即时，， 解得： 综上，的面积时，自变量x的取值范围是， 故答案为： 【考点四 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忽略分类讨论致错】 例题：（23-24八年级上·内蒙古·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点． (1)求的面积． (2)若轴上有一点，且，求直线的表达式． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合： （1）先求出，得到，再根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求结合三角形面积计算公式得到，则或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴或， 设直线的解析式为， 当时，则，解得， ∴直线的解析式为， 同理可得当时，直线的解析式为， 综上所述，直线的解析式为或． 【变式训练】 1．若直线与两坐标轴围成的三角形的面积是6个平方单位，则 ______． 【答案】 【分析】先令，求出的值；再令求出的值即可得出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：先令，则； 令，则， 直线与坐标轴的交点分别为，，， ，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 2．在平面直角坐标系中，一次函数为常数，且的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，若的面积为1，则b的值为______． 【答案】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出，的长，结合的面积为1，可得出关于b的方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴； 当时，， ∴点B的坐标为， ∴． 又∵的面积为1， ∴，即， 解得：， ∴b的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积，找出关于b的方程是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，过点的直线与轴交于点，且，则该直线的解析式为___________． 【答案】或 【分析】先表示出点坐标；再把代入得，则，然后根据三角形面积公式得到，即，然后解方程即可求得的值，进一步求得的值． 【详解】解：把代入得，解得， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即：， ∴， 解得：或， ∴当时，， 当时，， ∴该直线的解析式为或． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征：一次函数的图像上的点满足解析式． 4．（22-23七年级上·山东东营·期末）如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接． (1)求点和点的坐标； (2)若点是直线上一点，若的面积为，求点的坐标； 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)点的坐标为或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，熟知一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据坐标轴上的点的坐标特征即可解决问题． （2）由的面积为可求出点的横坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）将代入得， ， 解得， ∴点坐标为． 将代入得， ， ∴点坐标为． （2）由，得， ， 又∵的面积为， 则， 解得， 当时， ； 当时， ； ∴点的坐标为或． 5．如图，在直角坐标系中，已知直线与x轴相交于点A与y轴交于点B． (1)A、B两点坐标分别为________，________； (2)点在x轴上，若点P是直线上的一个动点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】（1）根据直线，令求出的值，令求出的值，即可得点、的坐标； （2）分类讨论：点在轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，． ∴， 当时，， ∴， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴； ①当点P在x轴下方时， ， ∴， ∵点P在x轴下方， ∴， 当时，代入得，， 解得． ∴； ②当点P在x轴上方时， ， ∴， ∵点P在x轴上方， ∴． 当时，代入得，， 解得． ∴， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积等知识，题中运用点的坐标与图形的知识求出相关线段的长度，注意分类讨论和“数形结合”数学思想的应用是解决问题的关键． 6．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值并直接写出正比例函数的解析式； (2)如图②，点在线段上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段于点，点的横坐标为4．若是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法求正比例函数解析式，掌握一次函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，三角形面积的计算是解题的关键． （1）将代入求解即可得到的值，再将代入求出的值即可； （2）先求出点、的坐标，然后即可求出的长，再求出的面积，然后可以得出的面积，设，根据，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）将代入得：， 解得：， ， ， ， 正比例函数的解析式为； （2）点在线段上，点的横坐标为4， 在中，当时，， ， 轴于点，交线段于点， 点的横坐标与点的横坐标相同为4， 在中，当时，， ， ， ，， ， 的面积为面积的3倍， ， 轴于点，点的横坐标为4， ， 直线上的一点， 设， ，即， 解得：或， 点的坐标为或． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 易错易混淆集训：一次函数四大易错强化训练 (4类热点题型讲练) 目录 【考点一 利用一次函数的定义忽略“k≠0”致错】 1 【考点二 对正比例函数的定义了解不透彻致错】 3 【考点三 实际问题中忽略自变量的取值范围致错】 6 【考点四 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忽略分类讨论致错】 14 【考点一 利用一次函数的定义忽略“k≠0”致错】 例题：（23-24八年级下·重庆巴南·期末）若是关于x的一次函数，则实数 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川内江·期中）当 时，函数是一次函数． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知函数 是一次函数，则 ． 3．（23-24八年级上·山西晋中·期中）若函数是一次函数，则 ． 4．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）已知是关于的一次函数，则 ． 5．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）当 时，函数是一次函数，且不是正比例函数． 【考点二 对正比例函数的定义了解不透彻致错】 例题：（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）已知：y与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)点在这个函数的图像上，求m的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与的函数解析式； (2)如果x的取值范围是，求y的取值范围． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若点关于轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求的值． 3．（23-24九年级上·河北承德·期末）已知y是的正比例函数，并且当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)求时x的值． 4．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值． 5．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a的值． (3)试判断点是否在此函数图像上，说明理由． 【考点三 实际问题中忽略自变量的取值范围致错】 例题：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写） 【结论应用】 （2）应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 【变式训练】 1．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm燃烧时剩下的高度h（cm）与时间t（小时）的关系图象表示是（　　） A．B．C．D． 2．拖拉机开始工作时，油箱中有油24L，若每小时耗油4L．则油箱中的剩油量y （L）与工作时间x（小时）之间的函数关系式的图象是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）有一个水箱，它的容积，水箱内原有水，现往水箱注水，已知每分钟注入水． (1)写出水箱内水量与时间的函数关系式； (2)求自变量t的取值范围； (3)求注水时水箱内的水量？ 4．春节是中国民间最隆重盛大的传统节日，是集祈福禳灾，欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．人们在除夕点燃红红的蜡烛，以表除旧布新．已知一根蜡烛的长为30cm，点燃后蜡烛每小时燃烧4cm，设蜡烛燃烧的时间为，蜡烛燃烧时剩下的长度为． (1)直接写出y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)求当时，x的值． (3)在平面直角坐标系中画出y与x之间的函数图像，从图像中你还能得到哪些信息？写出一条即可． 5．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶，甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变，甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图． (1)求y关于x的表达式； (2)已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设在相遇前的行驶过程中，两车相距的路程为（千米）．请直接写出关于x的表达式； (3)当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a． 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，，，动点E从点B出发，沿着匀速运动到点D时停止运动，设点E的运动路程为x，的面积为y．    (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象； (2)请写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，在点E的运动过程中，当的面积为时，则自变量x的取值范围为______． 【考点四 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忽略分类讨论致错】 例题：（23-24八年级上·内蒙古·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点． (1)求的面积． (2)若轴上有一点，且，求直线的表达式． 【变式训练】 1．若直线与两坐标轴围成的三角形的面积是6个平方单位，则 ______． 2．在平面直角坐标系中，一次函数为常数，且的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，若的面积为1，则b的值为______． 3．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，过点的直线与轴交于点，且，则该直线的解析式为___________． 4．（22-23七年级上·山东东营·期末）如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接． (1)求点和点的坐标； (2)若点是直线上一点，若的面积为，求点的坐标； 5．如图，在直角坐标系中，已知直线与x轴相交于点A与y轴交于点B． (1)A、B两点坐标分别为________，________； (2)点在x轴上，若点P是直线上的一个动点，当时，求点P的坐标． 6．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值并直接写出正比例函数的解析式； (2)如图②，点在线段上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段于点，点的横坐标为4．若是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$