第01讲： 空间向量的线性运算【10大题型】-2024-2025学年高二数学上学期期期中《考点·题型·密卷》复习讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲： 空间向量的线性运算 【考点梳理】 · 考点一：空间向量的概念 · 考点二：空间向量的加减法运算 · 考点三：空间向量的共线定律 · 考点四：空间向量定理 · 考点五：空间向量的数乘运算 · 考点六：空间向量的数量积运算 · 考点七：空间向量基底 · 考点八：空间向量的垂直与平行坐标表示 · 考点九：空间向量坐标模与夹角表示 · 考点十：空间向量的线性运算综合问题 【知识梳理】 知识点一．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点二.向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 知识点三.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影 |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 知识点四.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 知识点五.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 知识点六．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2， 使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 知识点七：．平面向量的坐标表示 (1)向量及向量的模的坐标表示 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (2)平面向量的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)． 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0. 【题型归纳】 题型一：空间向量的概念 1．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若，则与一定共线 C．若，则AB与CD为同一线段 D．非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面 2．（23-24高二上·四川成都·期中）给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中说法正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（21-22高二上·福建南平·期中）给出下列命题 ①空间中所有的单位向量都相等； ②方向相反的两个向量是相反向量； ③若满足，且同向，则； ④零向量的方向是任意的； ⑤对于任意向量，必有． 其中正确命题的序号为（    ） A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤ 题型二：空间向量的加减法运算 4．（23-24高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·山西晋中·期末）在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：空间向量的共线定律 7．（23-24高二上·青海海南·期中）已知是空间的一个基底，，，若，则 （    ） A． B． C．6 D．5 8．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 题型四：空间向量定理 10．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 11．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则函数的最小值是（    ） A．2 B．1 C． D． 12．（22-23高二上·山东淄博·阶段练习）已知为空间中不共面的四点，且，若四点共面，则实数t的值是（    ） A． B． C． D． 题型五：空间向量的数乘运算 13．（23-24高二上·山西运城·期末）如图，空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别是，的中点，，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·四川宜宾·期中）在三棱柱中，，，.点在棱上，且，为的中点，若以为基底，则（    ） A． B． C． D． 题型六：空间向量的数量积运算 16．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在平行六面体中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 18．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在三棱锥中，，，，，，，分别是，的中点，点在上，且，记，，．    (1)试用基底表示向量，，； (2)求和的值． 题型七：空间向量基底 19．（23-24高二上·广东广州·期中）若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·北京·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D．. 21．（22-23高二下·浙江杭州·期末）若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 题型八：空间向量的垂直与平行坐标表示 22．（23-24高二下·江苏连云港·期中）设，向量 且，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．2 D．3 23．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知空间向量，若，则（    ） A．6 B． C．9 D． 24．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型九：空间向量坐标模与夹角表示 25．（23-24高二上·天津·期中）向量，，，则（    ） A．9 B．3 C．1 D． 26．（23-24高二上·河南驻马店·期中）已知空间向量，，下列结论不正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 B．，夹角的余弦值为 C． D．在上的投影向量为 27．（23-24高二上·北京通州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量 . 题型十：空间向量的线性运算综合问题 28．（23-24高二下·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 29．（23-24高二上·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，E，F分别在侧棱和上，且，． (1)若，求； (2)求直线EF与AB所成角的余弦值． 30．（23-24高二上·江苏无锡·期中）如图，在矩形和中，，，，，，，记. (1)将用，，表示出来； (2)当时求与夹角的余弦值； (3)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【高分达标】 一、单选题 31．（24-25高二上·辽宁·期中）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·辽宁·期中）在空间直角坐标系中，已知，，为整数，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 33．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 36．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 37．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 38．（23-24高二上·广东江门·期末）已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 39．（24-25高二上·河南漯河·期中）设，，是空间的一个基底，则下列说法不正确的是（    ） A．则，，两两共面，但，，不可能共面 B．若，，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．，，不一定能构成空间的一个基底 40．（23-24高二下·江苏常州·期中）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（ ） A． B． C． D． 41．（23-24高二下·江苏徐州·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若向量满足，则向量的夹角是钝角 B．若是空间的一组基底，且，则四点共面 C．若向量是空间的一个基底，若向量，则也是空间的一个基底 D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 42．（22-23高二下·甘肃庆阳·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）    A．CC1⊥BD B． C．夹角是60° D．直线与直线的距离是 三、填空题 43．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 44．（23-24高二上·北京·期中）如图所示，空间四边形中，点为的中点，为的中点. 设，，.若以向量为一组基底，则 .    45．（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 46．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知棱长为1的正方体内一点P满足，其中，则的最小值为 ． 四、解答题 47．（24-25高二上·河北保定·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点．设，，. (1)用，，表示向量，； (2)若求的值． 48．（23-24高二上·贵州·期中）如图，在三棱柱中，D，E分别为和AB的中点，设，，. (1)用表示向量； (2)若，，，求. 49．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知空间中三点，，.设，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数的值. 50．（23-24高二上·河南信阳·期中）在三棱锥中，，，，M，N分别为，的中点，设，，. (1)用，，表示，并求； (2)求与所成角的余弦值. 51．（23-24高二上·安徽黄山·期中）如图，三棱锥中，点D、E分别为和的中点，设，，．    (1)试用，，表示向量； (2)若，，求异面直线AE与CD所成角的余弦值． 52．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，在平行六面体中，，，分别在，，上，且，，． (1)求证：； (2)若底面，侧面都是正方形，且二面角的大小为120°，，若是的中点，求的长度． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲： 空间向量的线性运算 【考点梳理】 · 考点一：空间向量的概念 · 考点二：空间向量的加减法运算 · 考点三：空间向量的共线定律 · 考点四：空间向量定理 · 考点五：空间向量的数乘运算 · 考点六：空间向量的数量积运算 · 考点七：空间向量基底 · 考点八：空间向量的垂直与平行坐标表示 · 考点九：空间向量坐标模与夹角表示 · 考点十：空间向量的线性运算综合问题 【知识梳理】 知识点一．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点二.向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 知识点三.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影 |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 知识点四.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 知识点五.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 知识点六．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2， 使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 知识点七：．平面向量的坐标表示 (1)向量及向量的模的坐标表示 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (2)平面向量的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)． 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0. 【题型归纳】 题型一：空间向量的概念 1．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若，则与一定共线 C．若，则AB与CD为同一线段 D．非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面 【答案】B 【分析】A，由判断即可；BC，利用共线向量的定义判断即可；D，举例判断即可. 【详解】A.当时，满足，但不是钝角，故A错误； B.当时，，所以与一定共线，故B正确； C.当时，则与共线，但线段与可能只是平行关系，故C错误； D.如图所示： 设， 显然满足与，与，与都是共面向量，但､､不共面，故D错误； 故选：B. 2．（23-24高二上·四川成都·期中）给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中说法正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于①，当与的夹角为，满足，所以①错误； 对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误； 对于③，由，得到，所以或与垂直，所以③错误； 对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确. 故选：B. 3．（21-22高二上·福建南平·期中）给出下列命题 ①空间中所有的单位向量都相等； ②方向相反的两个向量是相反向量； ③若满足，且同向，则； ④零向量的方向是任意的； ⑤对于任意向量，必有． 其中正确命题的序号为（    ） A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤ 【答案】C 【分析】根据向量相等的条件否定①；根据相反向量的定义否定②；根据向量不能比较大小否定③；根据零向量的定义和规定判定④；根据向量的加法的几何意义结合向量的模的概念判定⑤正确. 【详解】对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误； 对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误； 对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度(模)能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误； 对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，为任意的，故④正确； 对于⑤，为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确． 综上，正确的命题序号为④⑤， 故选：C. 题型二：空间向量的加减法运算 4．（23-24高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助空间向量的线性运算计算即可得. 【详解】 ，故A、B错误； ，故C错误、D正确. 故选：D. 5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】 . 故选：B. 6．（22-23高二上·山西晋中·期末）在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行六面体的性质结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为平行六面体中，点是线段上的一点，且， 所以 ． 故选：C． 题型三：空间向量的共线定律 7．（23-24高二上·青海海南·期中）已知是空间的一个基底，，，若，则 （    ） A． B． C．6 D．5 【答案】C 【分析】化简，结合，列出方程组，即可求解. 【详解】因为向量， 又因为，且， 可得，则，解得， 所以. 故选：C. 8．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故选：A. 9．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 题型四：空间向量定理 10．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据空间四点共面及二次函数的最值求解. 【详解】因为，且四点共面， 由空间四点共面的性质可知，即， 所以， 所以当时，有最小值. 故选：D 11．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则函数的最小值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据点共面可得系数和为1，即可结合二次函数的性质求解最值. 【详解】因为，，，四点共面，所以存在，使得， 故,整理得 ，又， 所以，所以， 所以，当时，函数取最小值，且最小值为. 故选:D. 12．（22-23高二上·山东淄博·阶段练习）已知为空间中不共面的四点，且，若四点共面，则实数t的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理得到，进而得2，根据待定系数法即可. 【详解】∵四点共面 ∴必存在唯一一组有序实数对使得， ∴，即 ∵四点不共面 ∴，否则三点共线，即四点共面，与题意不符， ∴，则有 ， 故而， ∴. 故选：C. 题型五：空间向量的数乘运算 13．（23-24高二上·山西运城·期末）如图，空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】点M在线段OA上，且， 又， ∵N为BC的中点， . 故选：D. 14．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别是，的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的数乘及加、减运算求解即可. 【详解】由题意， . 故选：A. 15．（23-24高二上·四川宜宾·期中）在三棱柱中，，，.点在棱上，且，为的中点，若以为基底，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点及向量加减法的运算求解即可. 【详解】如图，    因为， 所以， 因为为的中点，所以， 所以. 故选：D 题型六：空间向量的数量积运算 16．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在平行六面体中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由平行六面体求出，接着由已知结合向量的数量积及其运算律求出即可求出. 【详解】平行六面体中，， 因为，，，， 所以 ， 所以，即的长为. 故选：A. 17．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用空间向量的运算法则即可表示出结果，再将平方可求得模长为； （2）易知，求出，再由向量夹角计算公式可求得余弦值为. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以， ， 则. 则与所成的角的余弦值为. 18．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在三棱锥中，，，，，，，分别是，的中点，点在上，且，记，，．    (1)试用基底表示向量，，； (2)求和的值． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】（1）因为，分别是，的中点， 所以， ， ， 又，所以， 则. （2）因为，，，，， 所以， 又， 所以 . 题型七：空间向量基底 19．（23-24高二上·广东广州·期中）若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，B，D，判断每个选项中的向量是否共面，根据空间向量基底的含义，即可判断其正误，对于C，采用反证的思想，假设共面，得出矛盾，即可判断其对错，即得答案. 【详解】对于A，，即共面， 故不能作为空间向量的一组基底，A错误； 对于B，，即共面， 故不能作为空间向量的一组基底，B错误； 对于C，假设共面，则存在实数，使， 则，则共面，这与为空间向量的一组基底矛盾， 故不共面，可构成空间向量的一组基底，C正确； 对于D，，故共面， 故不能作为空间向量的一组基底，D错误； 故选：C 20．（23-24高二上·北京·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D．. 【答案】C 【分析】推导出共面，故不能构成空间的一个基底，C正确，ABD选项向量均不共面，可构成空间的一个基底. 【详解】是空间的一个基底，故不共面， A选项，显然不共面，故可构成空间的一个基底，A错误； B选项，设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底，B错误； C选项，设， 则，解得， 故共面，故不能构成空间的一个基底，C正确； D选项，设，无解，故可构成空间的一个基底，D错误. 故选：C 21．（22-23高二下·浙江杭州·期末）若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可. 【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于D项，易知，则D项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，即C正确. 故选：C 题型八：空间向量的垂直与平行坐标表示 22．（23-24高二下·江苏连云港·期中）设，向量 且，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由空间向量垂直和平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为， 所以， 又， 所以设，即， 所以， 故选：B. 23．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知空间向量，若，则（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】先求出的坐标，然后通过求解的值. 【详解】， ，， ， ，解得. 故选：C. 24．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示判断． 【详解】∵，∴ ， 又，∴， 故选：C． 题型九：空间向量坐标模与夹角表示 25．（23-24高二上·天津·期中）向量，，，则（    ） A．9 B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据先求解出的值，然后表示出的坐标，结合坐标下的模长计算公式求解出结果. 【详解】因为，所以，解得， 则，所以. 故选：A. 26．（23-24高二上·河南驻马店·期中）已知空间向量，，下列结论不正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 B．，夹角的余弦值为 C． D．在上的投影向量为 【答案】C 【分析】对于A，利用的方向向量为平面的法向量共线,即可判断；对于B，利用向量的数量积公式计算即可；对于C，计算出，利用模长公式计算；对于D ，利用在上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，所以，则，解得，故A正确； 对于B，因为，， 所以，，设与的夹角为， 则，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，在上的投影向量为， 故D正确． 故选：C． 27．（23-24高二上·北京通州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量 . 【答案】 /0.5 【分析】先根据空间向量的坐标运算求出与的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计算公式即可求出结果. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 在的投影向量为. 故答案为：；. 题型十：空间向量的线性运算综合问题 28．（23-24高二下·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量夹角的坐标表示计算即可； （2）利用三点共线的坐标表示设，利用空间向量的数量积的坐标表示结合二次函数性质求最值即可. 【详解】（1）由题意可知， 所以， 则； （2）由题意可设，则， 易知， 所以 ， 当时，取得最小值. 29．（23-24高二上·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，E，F分别在侧棱和上，且，． (1)若，求； (2)求直线EF与AB所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可求得的值； （2）利用空间向量夹角公式即可求得直线EF与AB所成角的余弦值． 【详解】（1） ． ，，， （2）设，，， 由（1）知，， ． 又， 又． ． 直线EF与AB所成角的余弦值为． 30．（23-24高二上·江苏无锡·期中）如图，在矩形和中，，，，，，，记. (1)将用，，表示出来； (2)当时求与夹角的余弦值； (3)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，使得平面. 【分析】（1）利用空间向量的加减运算法则化简即可得； （2）分别可得，求出以及代入夹角计算公式即可得出结果； （3）假设存在使得平面，利用向量数量积为0即可解得. 【详解】（1）因为，，， 记，所以，且，， 由空间向量的线性运算法则， 可得 . （2）当时，； 所以可得，易知 又可知 . （3）假设存在使得平面，又平面， 可知，， 由（1）知，, 可得. 且 化简得，解得，满足条件. 故存在，使得平面. 【高分达标】 一、单选题 31．（24-25高二上·辽宁·期中）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，然后两边平方，结合向量数量积的运算求向量的夹角. 【详解】设与的夹角为，由，得， 两边同时平方得， 所以1，解得， 又，所以. 故选：D 32．（24-25高二上·辽宁·期中）在空间直角坐标系中，已知，，为整数，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据点的坐标得到向量的坐标，根据向量的模求得最值即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 当时，为增函数， ∴， ∵为整数， ∴的最小值为， 故选：C. 33．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用空间向量的基底概念判断选项即可. 【详解】，A错误. 设，不共面，所以不存在使其成立，故三个向量不共面，B正确. 错误. 错误. 故选:B 34．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量投影的概念，结合向量的数量积计算得出结果. 【详解】根据题意，， ，， 在上的投影向量可为 故选：A. 35．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连，，根据空间向量的线性运算分析求解. 【详解】连，，    可得 . 故选：A. 36．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 【答案】A 【分析】根据题意，由已知条件结合空间向量共面定理，以及向量共线的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由空间向量的加法运算可知，故A正确； 空间中任意两个向量都共面，故B错误； 若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行或重合，故C错误； 若，且，则、、、四点共面，故D错误； 故选：A 37．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由四点共面可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解. 【详解】由四点共面，可知，即， 由， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 38．（23-24高二上·广东江门·期末）已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二面角的概念，结合空间向量的数量积运算即可求得结果. 【详解】如图所示，易知，所以结合已知有， 易知， 设正方形边长为2，所以， , 故选：A. 二、多选题 39．（24-25高二上·河南漯河·期中）设，，是空间的一个基底，则下列说法不正确的是（    ） A．则，，两两共面，但，，不可能共面 B．若，，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．，，不一定能构成空间的一个基底 【答案】BD 【分析】利用空间向量基底的定义可判断AB，根据空间向量基本定理可判断CD. 【详解】对于A，显然，，两两共面，但，，不可能共面，否则不能构成空间的一个基底，故A正确； 对于B，由空间向量基底的定义可知，当，时，所成角不一定为，故B错误； 对于C，根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组，使，故C正确； 对于D，假设向量，，共面， 则，化简得， 因为，，不共面，所以，无解， 所以，，不共面，一定能构成空间的一个基底，故D错误． 故选：BD. 40．（23-24高二下·江苏常州·期中）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先根据为单位向量得到，再利用与的夹角等于，得.联立方程求解出与的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可. 【详解】空间两个单位向量，与向量的夹角都等于， ，， ， 又，， 又为单位向量，， 联立，得或， ，， . 故选：AC. 41．（23-24高二下·江苏徐州·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若向量满足，则向量的夹角是钝角 B．若是空间的一组基底，且，则四点共面 C．若向量是空间的一个基底，若向量，则也是空间的一个基底 D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 【答案】BC 【分析】对A：借助向量数量积的正负与夹角的关系即可得；对B：借助空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可得；对C：借助基底定义结合反证法即可得；对D：借助空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】对A：若，则向量的夹角是钝角或向量反向共线，故A错误； 对B：， 即有，故四点共面，故B正确； 对C：假设不是空间中的一个基底，则存在实数，使， 即，由向量是空间的一个基底，则向量不共面， 故不存在这样的实数，即是空间的一个基底，故C正确； 对D：设直线与平面所成角为，则， 由题意可得，， 则，故D错误. 故选：BC. 42．（22-23高二下·甘肃庆阳·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）    A．CC1⊥BD B． C．夹角是60° D．直线与直线的距离是 【答案】ABD 【分析】设，依题得运用向量数量积的运算律计算即可判断A,B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项. 【详解】    如图，设， 则 对于A，因， 则，故A正确； 对于B，因，， 则，故B正确； 对于C，，则， 且 设夹角为，则，因，则，即C错误； 对于D,在平行六面体中，易得, 则得,故,故点到直线的距离即直线与直线的距离. 因， 且， 则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 43．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量的坐标运算公式计算即可. 【详解】易知向量在向量上的投影向量为 . 故答案为： 44．（23-24高二上·北京·期中）如图所示，空间四边形中，点为的中点，为的中点. 设，，.若以向量为一组基底，则 .    【答案】 【分析】根据题意，利用空间向量的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】在空间四边形中，点为的中点，为的中点， 连接，根据空间向量的运算法则，可得 所以. 故答案为：.    45．（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用向量数量积运算求解. 【详解】因为，，的模均为1，他们之间的夹角均为，所以：，. 又 所以：或. 故答案为： 46．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知棱长为1的正方体内一点P满足，其中，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的坐标表示以及数量积与向量的模的关系求解. 【详解】 如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， ,设， 所以， 因为， 所以，所以， 所以，又因为，所以， 此时 所以， 所以当时，有最小值为, 此时在正方体内，满足题意， 故答案为:. 四、解答题 47．（24-25高二上·河北保定·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点．设，，. (1)用，，表示向量，； (2)若求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量； （2）利用转化法可得向量数量积. 【详解】（1）， ； （2）由题意易知， 则，， 则 ． 48．（23-24高二上·贵州·期中）如图，在三棱柱中，D，E分别为和AB的中点，设，，. (1)用表示向量； (2)若，，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合已知条件，利用空间向量的运算法则即可求解； （2）由空间向量数量积的运算律计算可得结果. 【详解】（1）根据题意可得； （2）易知，且， 显然，； 所以. 49．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知空间中三点，，.设，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量的坐标，然后利用向量模的计算公式求解即可； （2）先求出两向量的坐标，再利用垂直的坐标形式列式求解即可. 【详解】（1），，，，， ，， 于是， . （2）， ， 又与互相垂直，， 即， ，解得. 50．（23-24高二上·河南信阳·期中）在三棱锥中，，，，M，N分别为，的中点，设，，. (1)用，，表示，并求； (2)求与所成角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用基底法表示出，再利用空间向量数量积的定义与运算法则即可得解； （2）分别利用基底法求得，，从而利用夹角余弦的向量表示即可得解. 【详解】（1）依题意，得 ， ，，， ，，， . （2）因为， ， 所以 ， ， ， 故. 所以与所成角的余弦值为. 51．（23-24高二上·安徽黄山·期中）如图，三棱锥中，点D、E分别为和的中点，设，，．    (1)试用，，表示向量； (2)若，，求异面直线AE与CD所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据空间向量的运算即可求得答案； （2）根据空间向量的数量积的运算律求出，的模，以及二者的数量积，根据向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】（1） ； （2）由题意可知：，， 故， ， 故， ， ， 则 ， ， 由于异面直线和所成角范围大于小于等于， ∴异面直线和所成角的余弦值为． 52．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，在平行六面体中，，，分别在，，上，且，，． (1)求证：； (2)若底面，侧面都是正方形，且二面角的大小为120°，，若是的中点，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意利用空间向量的线性运算，可得出，从而可得出； （2）根据平行六面体的结构特征及向量对应的线性位置关系，结合向量的加法、数乘的几何意义，用、、表示出，再应用向量数量积的运算律，即可求得，从而得出的长度. 【详解】（1）证明：在平行六面体中， ∵，， ， ∴，，，， ∴ ， ∴. （2）由题意可知：，，面面 ∴为二面角的平面角，即 在平行六面体中有： ，，， ∵是的中点 ∴ 即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$