专题06 整式的加减-2024-2025学年上学期七年级数学重难点复习（人教版2024新教材）

专题06 整式的加减 题型一 单项式中的规律探究 例1．有一串代数式：，，，，…，，，…，求： (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律． (2)写出第2009个代数式． (3)写出第n个、第个代数式． 【分析】本题考查代数式． （1）根据各个单项式的系数及其正负号、次数，用语言叙述它们的规律即可； （2）根据这串代数式的规律解答即可； （3）根据这串代数式的规律解答即可． 【详解】（1）这组代数式的规律是：这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正． （2）根据这串代数式的规律，第2009个代数式是； （3）第n个代数式是，第个代数式是． 【1-1】按一定规律排列的单项式：第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【1-2】按一定规律排列的单项式： ，，，，，…，第 个单项式是（    ） A． B． C． D． 【1-3】观察下列关于 的单项式，探究其规律 按照上述规律，第2024个单项式是（   ） A． B． C． D． 【1-4】按一定规律排列的数依次为：，，，，…，其中，按此规律排列下去，第10个数是 ． 题型二 多项式系数、指数中字母的求值 例2．已知关于的多项式，． (1)若整式不含项和不含项，求、的值； (2)若整式是一个五次四项式，求出、满足的条件． 【分析】（1）根据多相似不含项、项，令五次项系数、三次项的系数为0，进而求出、的值． （2）根据是一个五次四项式（该多项式中，的最高次幂是五次，即，一共有四项），分类讨论得出结论． 【详解】（1）因为， 当不含项和不含项时有和， 因为，， 所以． 因为，， 所以或（不符合题意）． 所以． （2）①∵|a|+4≥4， ∴a=0，b+3=0时， 即a=0，b=-3， ②当|a|+4=5（a-1）x5+（b+3）x3是一项， ∴a-1≠0，b+3=0， ∴a=-1，b=3， ∴ 【2-1】若多项式是四次三项式，则 ． 【2-2】已知关于x的多项式不含项和项，则当时，这个多项式的值为 ． 【2-3】已知有理数a和有理数b满足多项式A，是关于x的二次三项式，则 ， ； 【2-4】已知多项式是关于x，y的七次五项式，求该多项式的三次项． 题型三 数字类规律探究 例3．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题， ． 经过研究，这个问题的一般结论是 其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题： ． 先观察下面三个特殊的等式： 将这三个等式的两边相加，可以得到 ． 读完这段材料， 请你计算： ． 【分析】本题考查数字的变化规律，运算规律探究，读懂题目信息，把算式拆写成两个算式的和是解题的关键． （1）由，再计算即可； （2）由题干提示的三个等式，总结可得出，再求和即可得到：： （3）把代入（2）中规律进行计算即可． 【详解】解：； ∵， ， ， ∴， ∴ ； 当时， ； 故答案为：，， 【3-1】观察下列算式：，，，，，，，，…，则 的末位数字足（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【3-2】观察下面一列数：，，，，，，，…将这列数排成下列形式： 按照上述规律排下去，那么第行从左边数第个数是 ；数是第 行从左边数第 个数． 【3-3】观察下列各式： ，而，； ，而，； ，而，； 猜想并填空： （1） ； 根据以上规律填空： （2） ； 【温馨提示：】 （3）求解：． 【3-4】问题：你能比较和这两个数的大小吗？ 为了解决这个问题，我们可以先写出它的一般形式，即比较与（n为正整数）的大小，然后，我们从分析，，…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论． (1)① ；② ；③ ；④ ；⑤ ； (2)从第（1）题的结果归纳，猜想和的大小关系； (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较和的大小． 题型四 图形类规律探究 例4．观察如图，解答下列问题 (1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈，如果要你继续画下去，那么第八层有_______个小圆圈，第层有_______个小圆圈； (2)某一层上有65个圆圈，这是第________层； (3)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法． 比如：前两层的圆圈个数和为或， 由此得，． 同样，由前三层的圆圈个数和得：； 由前四层的圆圈个数和得：； 由前五层的圆圈个数和得：； … 根据上述请你写出前层的圆圈个数和的表达式； (4)计算：的和； (5)计算：的和． 【分析】本题考查图形类规律探究、数字类规律探究、有理数的混合运算，找到变化规律是解答的关键． （1）根据前几层的圆圈个数得到规律，进而可求解； （2）由求解即可； （3）根据前几个等式的变化规律可得结论； （4）由（3）中规律，先求出n值，进而可求解； （5）由（4）中求法，利用已知数据求解即可． 【详解】（1）解：由题意，第一层有个小圆圈， 第二层有个圆圈， 第三层有个圆圈， …， 第六层有个圆圈， 依此类推， 第八层有个圆圈， 第n层有个圆圈， 故答案为：15，； （2）解：由得， 故第33层有65个圆圈， 故答案为：33； （3）解：前两层的圆圈个数和为或，即； 同样，由前三层的圆圈个数和得：； 由前四层的圆圈个数和得：； 由前五层的圆圈个数和得：； … 依此类推， 前层的圆圈个数和的表达式为； （4）解：由得， ∴ ； （5）解：由得， ∴ ． 【4-1】如图，下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，第1个图形中实心圆的个数为，第2个图形中实心圆的个数为，…第n个 图形中实心圆的个数为． (1)________（用含n的代数式表示），__________ (2)我们用“*"定义一种新运算∶对于任意有理数a和正整数n，规定，例如：．求：的值． (3)在（2）条件下比较与的大小． 【4-2】如图是一个三角形点阵，从上到下有无数多行，其中第一行、第二行、第三行、第四行、第五行分别有1，3，5，7，9个点，……，如此，按上述规律排列： (1)第10行有 个点；第行有 个点； (2)① 猜想三角形点阵前行的点数的和是多少？（用含的式子表示） ② 三角形点阵前行的点数的和能否为75？请简要说明理由． 【4-3】阅读以下材料，并解决问题： 欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边同时乘以3，得②， 由①得，代入②中，得， 解得， 所以，． 请解答下列问题： (1)计算：． (2)数形结合：如图，由图（1）到图（2）是一个正方形衍生出两个小正方形，图（3）是图（2）中每个新生小正方形再衍生出两个正方形，……，按照这个的规律，图（6）中共有正方形的个数是（ ） A．      B．       C．       D． (3)拓展运用：用上面学到的方法，将无限循环小数，写成分数形式（写出解答过程）． 【4-4】阅读理解 通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．例如，运用归纳法探求如下规律： 三角形有3个顶点，如果在它的内部再画个点，并以个点为顶点画三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形？ 为了解决这个问题，我们可以从、、等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律． 三角形内点的个数 图形 最多剪出的小三角形的个数 1 3 2 5 3 7 …… …… …… (1)通过观察、比较，可以发现： ，， 即三角形内的点每增加1个，最多可剪得的三角形增加______个； (2)猜想，当三角形内的点的个数为时，最多可以剪得_____个三角形． 请你尝试用归纳的方法探索：的和是多少？ 题型五 整式加减法的应用 例5．今有某登山队在一次登山活动中，以大本营为基地，开始向海拔距大本营300米的顶峰冲刺，规定他们向上走为正，他们的六次行程记录如下（行程单位：米）： (1)他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？ (2)登山时，登山队员在登山全程中都使用了氧气瓶，且每人向下行走每米要消耗氧气升，向上行走每米还要多消耗升，请你计算一下登山过程中每人消耗氧气多少升？（用含的代数式表示） 【分析】本题主要考查了有理数加法的应用、有理数混合运算的应用等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先将行程相加再结合题意即可解答； （2）将向上和向下消耗的氧气相加即可． 【详解】（1）解： （米） （米） ． 答：他们最终没有登上顶峰，他们离顶峰还差40米. （2）解： ． 答：登山过程中每人消耗氧气升． 【5-1】如图1，周长为16的长方形纸片剪成①，②，③，④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为40的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 ． 【5-2】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 【5-3】如图，一个长方形运动场被分隔成2个A，2个B，1个C共5个区，A区是边长为的正方形，C区是边长为的正方形． (1)列式表示B区长方形场地的周长，并将式子化简； (2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简； (3)如果，，求整个长方形运动场的面积． 【5-4】【课本再现】七年级下册教材中我们探究过《用求差法比较大小》：我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或代数式的大小．当不能直接比较大小时就要考虑进行一定的转化，其中“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过先求差、变形，然后利用差的符号来确定它们的大小． 两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数和比较大小，那么： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【类比应用】（1）用“>”或“<”填空． ①若时，___________； ②若时，_________； ③若，则_________； 【解决问题】（2）如图所示，在的正方形网格中，以为圆心为半径画扇形，以为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为，用“求差法”比较与的大小． 题型六 整体代换思想在整式的化简求值中的应用 例6．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)①已知，则__________； ②已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）①把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； ②把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ； 故答案为： （2）解：①， ， 故答案为：； ②， ； 故答案为： （3）解：，， ． 【6-1】我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【6-2】【教材呈现】如图是苏科版七年级上册数学教材82页的部分内容． 议一议 求代数式的值，其中、． 把，代入后求值． 把看成一个字母，这个代数式可以简化为． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为_____． 【6-3】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如： 若 ，则   ； 我们将 作为一个整体代入，则原式 ． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若 ，则 ； (2)如果 ，求 的值； (3)若 ，求 的值． 【6-4】整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．仿照下面的解题方法，完成下面问题： 如果代数式的值为-4，那么代数式：的值是多少? 爱动脑筋的爱国同学这样来解:原式，我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得 ． 【简单应用】 （1）已知 ，则　　　； （2）已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知 ，求代数式 的值． 题型七 整式加减中的无关型问题 例7．已知 (1)化简A； (2)若，且A与B的差不含x的一次项，求a的值． 【分析】本题考查整式的加减运算，整式加减运算中的无关型问题，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）去括号，合并同类项，进行化简即可； （2）先求出A与B的差，根据结果不含x的一次项，得到含x的一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ， ∵A与B的差不含x的一次项， ∴， ∴． 【7-1】若代数式值与无关，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【7-2】已知代数式，，若的值与的取值无关，求的值． 【7-3】【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 【7-4】定义：若，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与是关于的平均数，7与13是关于10的平均数． (1)填空：2与_______是关于的平均数，______与是关于2的平均数； (2)现有与（k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，求n的值． 一、单选题 1．观察下列等式：，，，，，，…请思考的个位数字是（   ） A． B． C．0 D．1 2．如图，填在下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，c的值是（   ） 3 8 5 12 7 16 9 b 5 7 9 a c A． B． C． D． 3．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示哪个数字的点重合（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．如图1，数轴上方有1个方块，记图1共有个方块；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方的2个方块，记图2共有个方块，图3的数轴上方有4个方块，下方有2个方块，记图3共有个方块；同理，记图4共有个方块．故按照此规律第2024个图中共有方块（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．观察下面三行数： 2，，8，，32， 3，，9，，33， ，7，，31，，127 取每行数的第n个数，这三个数中任意两个数之差的最大值为6146，则（   ） A．11个 B．13个 C．15个 D．17个 6．等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2024次后，点B所对应的数是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 7．已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……依此类推，那么的值是（   ） A． B． C． D． 8．已知整数，满足下列条件：，…，依次类推，则的值为（   ） A．2024 B． C． D．1012 二、填空题 9．一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． 10．已知，，，，，，是一列数，，，任意三个相邻的数之和为，则 ． 11．如图，四边形是长方形，，，把这个长方形分割成标号为1，2，3，4的四个小长方形，其中标号为1， 4的两个长方形形状大小完全相同，则标号为2， 3的两个长方形的周长之和等于 ． 12．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个图形，图形①的面积是正方形纸片面积的．图形②的面积是图形①面积的2倍的．图形③的面积是图形②面积的2倍的．图形⑥的面积是图形⑤面积的2倍的．图形⑦的面积是图形⑥面积的2倍．则③的面积为 ，计算的值为 ． 13．已知，求 ； ． 14．将正整数从1开始按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第一个拐弯处，3在第二个拐弯处，5在第三个拐弯处，7在第四个拐弯处，…，则第2025个拐弯处的数是 ． 三、解答题 15．数学课上老师出了这样一道题目：“当时，求的值．”小王同学把错抄成了，但他的计算结果却是正确的，这是怎么回事？ (1)请你通过化简，说明小王计算结果正确的原因． (2)小红据此又改编了一道题，请你试一试：无论取何值，多项式的值都不变，求的值． 16．观察下列等式解答问题： ①； ②； ③； … (1)按此规律，第④个等式为 ；第n个等式为 ；（用含n的代数式表示，n为正整数） (2)按此规律，计算： ①； ②． 17．我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 18．观察下列数表： (1)根据数表反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为___________． (2)第n行与第n列的交叉点上的数应为___________．（用含正整数n的式子表示） (3)左上角的正方形虚线框内所有数字之和是___________． (4)在数表中任取几个的正方形，计算其中所有数字之和，归纳你得出的结论． 19．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减．例如： ①，我们将上述计算过程倒过来，得到； ②，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，分数裂项的本质其实是异分母加减法的逆运算． 请你观察： 以上方法称为“裂项相消求和法”． 类比上述方法，解决以下问题： (1)直接写出计算结果： ①________；②__________； (2)计算： (3)计算： 20．将正方形（如图）作如下划分，第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形；第次划分：将图左上角正方形再划分，得图，则图中共有个正方形． (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第次划分后，图中共有________个正方形； (2)继续划分下去，第次划分后图中共有________个正方形； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由； (4)如果设原正方形的边长为，通过不断地分割该面积为的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果________．（直接写出答案即可） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 整式的加减 题型一 单项式中的规律探究 例1．有一串代数式：，，，，…，，，…，求： (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律． (2)写出第2009个代数式． (3)写出第n个、第个代数式． 【分析】本题考查代数式． （1）根据各个单项式的系数及其正负号、次数，用语言叙述它们的规律即可； （2）根据这串代数式的规律解答即可； （3）根据这串代数式的规律解答即可． 【详解】（1）这组代数式的规律是：这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正． （2）根据这串代数式的规律，第2009个代数式是； （3）第n个代数式是，第个代数式是． 【1-1】按一定规律排列的单项式：第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律，通过观察发现，第个单项式为，由此可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ⋯⋯， ∴第个单项式为， 故选：C 【1-2】按一定规律排列的单项式： ，，，，，…，第 个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化规律，通过观察多项式中的系数和指数规律即可求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， …………， ∴第个单项式是， 故选：． 【1-3】观察下列关于 的单项式，探究其规律 按照上述规律，第2024个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了探究单项式规律问题，能找出第个单项式为是解题的关键． 通过分析单项式系数与次数，总结出规律：第个单项式为，把代入即可求解． 【详解】解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， 第5个单项式：， 第6个单项式：， …………， 第个单项式：； 第2024个单项式为：， 故选：B． 【1-4】按一定规律排列的数依次为：，，，，…，其中，按此规律排列下去，第10个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式中的规律探究，根据已有单项式，得到第个单项式为：，进而求出第10个数即可． 【详解】解：观察可得：第个单项式为：， ∴第10个数是； 故答案为：． 题型二 多项式系数、指数中字母的求值 例2．已知关于的多项式，． (1)若整式不含项和不含项，求、的值； (2)若整式是一个五次四项式，求出、满足的条件． 【分析】（1）根据多相似不含项、项，令五次项系数、三次项的系数为0，进而求出、的值． （2）根据是一个五次四项式（该多项式中，的最高次幂是五次，即，一共有四项），分类讨论得出结论． 【详解】（1）因为， 当不含项和不含项时有和， 因为，， 所以． 因为，， 所以或（不符合题意）． 所以． （2）①∵|a|+4≥4， ∴a=0，b+3=0时， 即a=0，b=-3， ②当|a|+4=5（a-1）x5+（b+3）x3是一项， ∴a-1≠0，b+3=0， ∴a=-1，b=3， ∴ 【2-1】若多项式是四次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的定义，根据多项式是四次三项式可知，，可得、的值，即可得解．掌握多项式的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【2-2】已知关于x的多项式不含项和项，则当时，这个多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式中不含某项的条件，求多项式的值；由多项式中不含某项的条件可得，求出、的值，化简出多项式，再代入求值即可；理解“多项式中不含某一项就是使得这一项的系数为零”是解题的关键． 【详解】解：多项式不含项和项， ， 解得：， 原多项式为， 当时， 原式 ； 故答案：． 【2-3】已知有理数a和有理数b满足多项式A，是关于x的二次三项式，则 ， ； 【答案】1 【分析】本题主要考查多项式， 根据多项式的定义解决此题． 【详解】解：由题意得，，． ，或 当时 ∵关于x的二次三项式，当时，，是二次二项式， ∴舍去 ，． 故答案为：1，． 【2-4】已知多项式是关于x，y的七次五项式，求该多项式的三次项． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数和项数，单项式的个数是多项式的项数，单项式的最高次项的次数是多项式的次数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的七次五项式， ∴， 即， 故该多项式为， ∴该多项式的三次项是． 题型三 数字类规律探究 例3．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题， ． 经过研究，这个问题的一般结论是 其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题： ． 先观察下面三个特殊的等式： 将这三个等式的两边相加，可以得到 ． 读完这段材料， 请你计算： ． 【分析】本题考查数字的变化规律，运算规律探究，读懂题目信息，把算式拆写成两个算式的和是解题的关键． （1）由，再计算即可； （2）由题干提示的三个等式，总结可得出，再求和即可得到：： （3）把代入（2）中规律进行计算即可． 【详解】解：； ∵， ， ， ∴， ∴ ； 当时， ； 故答案为：，， 【3-1】观察下列算式：，，，，，，，，…，则 的末位数字足（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】此题考查数字的变化规律；得到底数为2的幂的个位数字的循环规律是解决本题的关键．观察数字的变化可得底数为的幂的个位数字依次是2，，，循环，根据，即可得结果． 【详解】解：由已知得的末位数字为2，，，四个一循环，， ∵， ∵的末位数字是， ∴的末位数字是， 故选：A． 【3-2】观察下面一列数：，，，，，，，…将这列数排成下列形式： 按照上述规律排下去，那么第行从左边数第个数是 ；数是第 行从左边数第 个数． 【答案】90 15 5 【分析】本题考查数字的规律；能够通过观察发现奇偶数符号的关系，每行末尾数与下一行第一个数之间的关系是解题的关键． 通过观察奇数的符号是负，偶数的符号是正，每行数的个数是奇数，且每行最后一个数是，可求出第9行最后一个数的绝对值是81，根据规律即可确定结果；利用以上规律即可确定的位置． 【详解】通过观察奇数的符号是负，偶数的符号是正，每行数的个数是奇数为个数， ， ∴第9行最后一个数的绝对值是81， ∴第10行从左边数第9个数的绝对值是， ∵90是偶数， ∴第10行从左边数第9个数是正数，为90； ∵，， ∴数是第15行从左边数第5个数； 故答案为：①90；②15；③5． 【3-3】观察下列各式： ，而，； ，而，； ，而，； 猜想并填空： （1） ； 根据以上规律填空： （2） ； 【温馨提示：】 （3）求解：． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题考查了探究数字规律，找出规律是解答关键．观察题中一系列等式发现，从开始的连续正整数的立方和等于这几个连续正整数和的平方，根据此规律来求解． （1）根据上述规律填空即可求解； （2）根据上述规律填空，然后把变为个相乘来求解； （3）用到的立方和减去到的立方和，即可求解． 【详解】解：（1）， 故答案为：，； （2）， 故答案为：，； （3）， ， ， ， ． 【3-4】问题：你能比较和这两个数的大小吗？ 为了解决这个问题，我们可以先写出它的一般形式，即比较与（n为正整数）的大小，然后，我们从分析，，…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论． (1)① ；② ；③ ；④ ；⑤ ； (2)从第（1）题的结果归纳，猜想和的大小关系； (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较和的大小． 【答案】(1)，，，，． (2)当时，；当时，． (3) 【分析】本题考查的是列代数式和数字的变化规律，有理数的乘方运算，根据题意找出数字间的变化规律是解题的关键． （1）根据有理数的计算规则计算并比较即可； （2）根据（1）的结果经过归纳总结即可； （3）根据（2）的归纳总结，即当且为正整数时，，即可得出结果． 【详解】（1）解：①， ∴， ②， ∴， ③ ∴， ④ ∴， ⑤ ∴； 故答案为：，，，，． （2）解：从（1）的结果经过归纳， 可以猜想出和的大小关系是： 当且为正整数时，； 当且为正整数时，； 故答案为：当且为正整数时，； 当且为正整数时，． （3）解：根据（2）的结论可得： 当且为正整数时，； 当且为正整数时，， ∵， ∴． 题型四 图形类规律探究 例4．观察如图，解答下列问题 (1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈，如果要你继续画下去，那么第八层有_______个小圆圈，第层有_______个小圆圈； (2)某一层上有65个圆圈，这是第________层； (3)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法． 比如：前两层的圆圈个数和为或， 由此得，． 同样，由前三层的圆圈个数和得：； 由前四层的圆圈个数和得：； 由前五层的圆圈个数和得：； … 根据上述请你写出前层的圆圈个数和的表达式； (4)计算：的和； (5)计算：的和． 【分析】本题考查图形类规律探究、数字类规律探究、有理数的混合运算，找到变化规律是解答的关键． （1）根据前几层的圆圈个数得到规律，进而可求解； （2）由求解即可； （3）根据前几个等式的变化规律可得结论； （4）由（3）中规律，先求出n值，进而可求解； （5）由（4）中求法，利用已知数据求解即可． 【详解】（1）解：由题意，第一层有个小圆圈， 第二层有个圆圈， 第三层有个圆圈， …， 第六层有个圆圈， 依此类推， 第八层有个圆圈， 第n层有个圆圈， 故答案为：15，； （2）解：由得， 故第33层有65个圆圈， 故答案为：33； （3）解：前两层的圆圈个数和为或，即； 同样，由前三层的圆圈个数和得：； 由前四层的圆圈个数和得：； 由前五层的圆圈个数和得：； … 依此类推， 前层的圆圈个数和的表达式为； （4）解：由得， ∴ ； （5）解：由得， ∴ ． 【4-1】如图，下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，第1个图形中实心圆的个数为，第2个图形中实心圆的个数为，…第n个 图形中实心圆的个数为． (1)________（用含n的代数式表示），__________ (2)我们用“*"定义一种新运算∶对于任意有理数a和正整数n，规定，例如：．求：的值． (3)在（2）条件下比较与的大小． 【答案】(1)；202 (2) (3) 【分析】此题考查图形的变化规律，有理数的混合运算，找出图形的运算规律，理解规定的运算方法是解决问题的关键． （1）由图形可知：第1个图形中有4个实心圆，第2个图形中有6个实心圆，第3个图形中有8个实心圆，…由此得出第n个图形中有个实心圆，进一步代入求得答案即可； （2）根据规定的运算顺序与计算方法，转化为有理数的混合运算计算即可； （3）根据规定的运算顺序与计算方法分别计算得出结果比较得出结论即可． 【详解】（1）解：第1个图形中有4个实心圆，第2个图形中有6个实心圆，第3个图形中有8个实心圆， ；； （2）解： ； （3）解：是正整数， ， ∴ ， ， ∵， ∴． 【4-2】如图是一个三角形点阵，从上到下有无数多行，其中第一行、第二行、第三行、第四行、第五行分别有1，3，5，7，9个点，……，如此，按上述规律排列： (1)第10行有 个点；第行有 个点； (2)① 猜想三角形点阵前行的点数的和是多少？（用含的式子表示） ② 三角形点阵前行的点数的和能否为75？请简要说明理由． 【答案】(1)19， (2)①个；②不能，理由见解析 【分析】本题考查了图形的规律探究问题，列代数式，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）列出多组数据，找出规律，即可求解； （2）①列出多组数据，找出规律，即可求解；②根据①得出的点数之和，可得进而求解即可． 【详解】（1）解：第1行有：（个）； 第2行有：（个）； 第3行有：（个）； 第4行有：（个）； 第10行有：（个）； 第行有：（个）， 故答案为：19，； （2）解：①前1行和为：个； 前2行和为：个； 前3行和为：个； 前4行和为：个； 前行和为：个， ②三角形点阵前行的点数的和不能为75， 由于，没有符合题意的正整数, 故三角形点阵前行的点数的和不能为75． 【4-3】阅读以下材料，并解决问题： 欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边同时乘以3，得②， 由①得，代入②中，得， 解得， 所以，． 请解答下列问题： (1)计算：． (2)数形结合：如图，由图（1）到图（2）是一个正方形衍生出两个小正方形，图（3）是图（2）中每个新生小正方形再衍生出两个正方形，……，按照这个的规律，图（6）中共有正方形的个数是（ ） A．      B．       C．       D． (3)拓展运用：用上面学到的方法，将无限循环小数，写成分数形式（写出解答过程）． 【答案】(1) (2)D (3) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索和数字类的规律探索： （1）根据已知先求出，再相减，即可得出答案； （2）观察图形，可得规律第n个图形中正方形的个数为，代入计算即可； （3）设，则，可得，然后解方程即可 【详解】（1）解：令①， 等式两边同时乘以5，得②， 得，， 解得，， ； （2）解：第1 个图形有正方形个数为： 第2 个图形有正方形个数为：， 第3个图形有正方形个数为：， 第4个图形有正方形个数为：， ……， 以此类推，可知第n个图形有正方形个数为：， ∴图（6）中共有正方形的个数是， 故选：D； （3）解：设， 则， 即， ， 即， 解得， 即． 【4-4】阅读理解 通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．例如，运用归纳法探求如下规律： 三角形有3个顶点，如果在它的内部再画个点，并以个点为顶点画三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形？ 为了解决这个问题，我们可以从、、等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律． 三角形内点的个数 图形 最多剪出的小三角形的个数 1 3 2 5 3 7 …… …… …… (1)通过观察、比较，可以发现： ，， 即三角形内的点每增加1个，最多可剪得的三角形增加______个； (2)猜想，当三角形内的点的个数为时，最多可以剪得_____个三角形． 请你尝试用归纳的方法探索：的和是多少？ 【答案】(1)2 (2)，证明见详解 【分析】本题考查了根据图形规律列代数式，正确找出图形规律是解题的关键． （1）由图形规律即可求解； （2）列表归纳即可． 【详解】（1）解；∵， ∴三角形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加2个； 故答案为：2； （2）解：猜想：三角形内点的个数为时，最多剪出的小三角形个数个． 加数的个数 和 证明：令 则 ∴， ∴， ∴． 题型五 整式加减法的应用 例5．今有某登山队在一次登山活动中，以大本营为基地，开始向海拔距大本营300米的顶峰冲刺，规定他们向上走为正，他们的六次行程记录如下（行程单位：米）： (1)他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？ (2)登山时，登山队员在登山全程中都使用了氧气瓶，且每人向下行走每米要消耗氧气升，向上行走每米还要多消耗升，请你计算一下登山过程中每人消耗氧气多少升？（用含的代数式表示） 【分析】本题主要考查了有理数加法的应用、有理数混合运算的应用等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先将行程相加再结合题意即可解答； （2）将向上和向下消耗的氧气相加即可． 【详解】（1）解： （米） （米） ． 答：他们最终没有登上顶峰，他们离顶峰还差40米. （2）解： ． 答：登山过程中每人消耗氧气升． 【5-1】如图1，周长为16的长方形纸片剪成①，②，③，④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为40的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式加减法与几何图形的应用，巧妙设未知数，列出代数式表示各个图形的边长，利用整体思想求值是解答的关键． 在图1中，设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y，则③号正方形的边长为，④号正方形的边长为，根据图1的周长求得，再根据图2的周长求得，进而可由没有覆盖的阴影部分的周长为求解即可． 【详解】解：在图1中，设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y，则③号正方形的边长为，④号正方形的边长为， 由图1中长方形的周长为16得， 解得：， 如图2，    由图2中的长方形的周长为40得， ∴， 由图2得没有覆盖的阴影部分的周长为， 故答案为：36． 【5-2】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减的应用： （1）观察图形，可知，阴影部分的周长等于长方形的周长，计算即可； （2）设小卡片的宽为x，长为y，则有，再将两阴影部分的周长相加，通过合并同类项即可求解，根据，即可求m、n的关系式． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的周长等于长方形的周长， 故； （2）设小长形卡片的宽为x，长为y，则， ∴， 所以两个阴影部分图形的周长的和为： ， 即为 ∵， ∴ 整理得：． 【5-3】如图，一个长方形运动场被分隔成2个A，2个B，1个C共5个区，A区是边长为的正方形，C区是边长为的正方形． (1)列式表示B区长方形场地的周长，并将式子化简； (2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简； (3)如果，，求整个长方形运动场的面积． 【答案】(1)B区长方形场地的周长为 (2)整个长方形运动场的周长为 (3)整个长方形运动场的面积为 【分析】本题主要考查列代数式、去括号、合并同类项、求代数式的值等知识点，结合图形、理解每个正方形和长方形的边的表示方法是解题的关键． （1）由图形可知，B区长方形场地的长和宽分别可以由正方形A和正方形C的边长表示，列出代数式后再去括号、合并同类项即可解答； （2）整个长方形运动场的长为,宽为,列出代数式再去括号、合并同类项即可解答； （3）先列代数式，再将a、c的值代入所列的代数式求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，B区长方形场地的长为，宽为， ∴， ∴B区长方形场地的周长为． （2）解：由题意得，整个长方形运动场的长为，宽为， ∴， ∴整个长方形运动场的周长为． （3）解：∵整个长方形运动场的长为，宽为， ∴整个长方形运动场的面积为， 当，时，， ∴整个长方形运动场的面积为． 【5-4】【课本再现】七年级下册教材中我们探究过《用求差法比较大小》：我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或代数式的大小．当不能直接比较大小时就要考虑进行一定的转化，其中“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过先求差、变形，然后利用差的符号来确定它们的大小． 两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数和比较大小，那么： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【类比应用】（1）用“>”或“<”填空． ①若时，___________； ②若时，_________； ③若，则_________； 【解决问题】（2）如图所示，在的正方形网格中，以为圆心为半径画扇形，以为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为，用“求差法”比较与的大小． 【答案】（1）①>；②<；③>；（2） 【分析】本题考查了整式加减的应用，理解作差法是解答本题的关键． （1）①②根据作差法的意义解答即可； ③用作差法比较即可； （2）先表示出，再用作差法比较即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴． 故答案为：>； ②∵， ∴． 故答案为：<； ③， ∵， ∴， ∴． 故答案为：>； （2）设两扇形部分外的空白面积为d， 则， ∴， ∴． 题型六 整体代换思想在整式的化简求值中的应用 例6．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)①已知，则__________； ②已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）①把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； ②把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ； 故答案为： （2）解：①， ， 故答案为：； ②， ； 故答案为： （3）解：，， ． 【6-1】我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)21； (3)． 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则以及整体思想是解答本题的关键． （1）将原式合并即可解答； （2）原式变形后，把已知等式代入计算求值即可； （3）原式去括号整理后，把已知等式代入计算即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴ ． 【6-2】【教材呈现】如图是苏科版七年级上册数学教材82页的部分内容． 议一议 求代数式的值，其中、． 把，代入后求值． 把看成一个字母，这个代数式可以简化为． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为_____． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可； （2）先根据去括号法则和合并同类项法则把所求代数式进行化简，然后把的值整体代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）原式 ， 当时， 原式 ； （2）， ， 故答案为：． 【6-3】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如： 若 ，则   ； 我们将 作为一个整体代入，则原式 ． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若 ，则 ； (2)如果 ，求 的值； (3)若 ，求 的值． 【答案】(1) (2)15 (3)36 【分析】本题主要考查了整式的加减—化简求值，正确运用整体思想是解答的关键． （1）由可得，然后将作为一个整体代入计算即可； （2）将所求代数式化为，将作为一个整体代入计算即可． （3）先将所求代数式化为，然后将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解： ∵， ∴． （3）解：∵， ∴． 【6-4】整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．仿照下面的解题方法，完成下面问题： 如果代数式的值为-4，那么代数式：的值是多少? 爱动脑筋的爱国同学这样来解:原式，我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得 ． 【简单应用】 （1）已知 ，则　　　； （2）已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知 ，求代数式 的值． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则及整体代入的思想方法是解决本题的关键． （1）（2）先变形要求值的代数式，再整体代入； （3）先把已知中两个等式相加，再整体代入求值． 【详解】解：（1）， ． 故答案为：4； （2） ， 当， 时， 原式 ； （3）①，②， ①②，得． ． 题型七 整式加减中的无关型问题 例7．已知 (1)化简A； (2)若，且A与B的差不含x的一次项，求a的值． 【分析】本题考查整式的加减运算，整式加减运算中的无关型问题，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）去括号，合并同类项，进行化简即可； （2）先求出A与B的差，根据结果不含x的一次项，得到含x的一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ， ∵A与B的差不含x的一次项， ∴， ∴． 【7-1】若代数式值与无关，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先对代数式进行化简，根据题意求出的值，即可得到答案． 【详解】解： ， ， 由于代数式值与无关， 故且， 解得， 故， 故选D． 【7-2】已知代数式，，若的值与的取值无关，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用整式的加减的法则对所求的式子进行整理，结合条件进行分析即可． 【详解】解：，， ， 的值与的取值无关， ， 解得：． 【7-3】【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题主要考查了整式的混合运算及列代数式，读懂题意列出代数式是解决本题的关键． （1）根据题意，代数式，可化为，因为代数式的值与x无关，可得，即可得出答案； （2）设，算出阴影的面积分别为，即可得出面积的差为，因为S的取值与n无关，即． 【详解】解：（1）原式． 由题意得，含x项的系数为0，即． 所以． （2）设， 则，， 所以， 由题意得，含n项的系数为0，即． 【7-4】定义：若，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与是关于的平均数，7与13是关于10的平均数． (1)填空：2与_______是关于的平均数，______与是关于2的平均数； (2)现有与（k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，求n的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题： （1）根据所给的定义列式计算即可； （2）先根据整式的加减计算法则求出，再根据a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，得到，则，再由，即可求出答案． 【详解】（1）解：设2与m是关于的平均数， ∴， ∴； 设n与是关于2的平均数， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）解：∵与， ∴ ， ∵a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．观察下列等式：，，，，，，…请思考的个位数字是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的运算解题是关键． 由已知发现末尾数字每四个一组循环，又由于…1，则可求解． 【详解】解：∵，，，，，，… ∴末尾数字每四个数一循环， ∵，，，四个数的末尾数字之和是： ，则个位数字是0， 又∵…1， ∴的结果的个位数字是， 故选：D． 2．如图，填在下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，c的值是（   ） 3 8 5 12 7 16 9 b 5 7 9 a c A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数字，得到左上角和左下角的数字为连续的奇数，右上角的数字为4的倍数，右下角的数字为方格中左上数字的2倍与右上和左下数字的乘积的差值，进行计算即可． 【详解】解：观察可知：左上角和左下角的数字为连续的奇数，右上角的数字为4的倍数，右下角的数字为方格中左上数字的2倍与右上和左下数字的乘积的差值， ∴，， ∴； 故选C． 3．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示哪个数字的点重合（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键． 圆周上的点与重合，滚动到，圆滚动了个单位长度，用除以，余数对应的数即为重合点． 【详解】解：圆周上的点与重合， ， ， ∴圆周上的与数轴上的重合， 故选：B． 4．如图1，数轴上方有1个方块，记图1共有个方块；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方的2个方块，记图2共有个方块，图3的数轴上方有4个方块，下方有2个方块，记图3共有个方块；同理，记图4共有个方块．故按照此规律第2024个图中共有方块（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，：观察可知，数轴上方的方块数量是从1开始的连续的奇数之和，数轴下方的方块数为连续的偶数之和，且数轴上方的方块数用正数表示，数轴下方的方块数用负数表示，据此可得当为偶数时，第n个图的方块数为，代入求解即可． 【详解】解：观察可知，数轴上方的方块数量是从1开始的连续的奇数之和，数轴下方的方块数为连续的偶数之和，且数轴上方的方块数用正数表示，数轴下方的方块数用负数表示， ∴当（k为正整数）时，第n个图的方块数为， 当时，第n个图的方块数为， ∴第2024个图中共有方块为 ， 故选：C． 5．观察下面三行数： 2，，8，，32， 3，，9，，33， ，7，，31，，127 取每行数的第n个数，这三个数中任意两个数之差的最大值为6146，则（   ） A．11个 B．13个 C．15个 D．17个 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的运算规律的探究，数字类的规律探究，先分别探究第一行第n个数为：，第二行的第n个数为：，第三行的第n个数为：，再分两种情况讨论：当第三行的数为负数时，当第三行的数为正数时，再建立等式求解即可． 【详解】解：∵2，，8，，32，，… ∴第一行第n个数为：， ∵，，，…， ∴第二行的第n个数为：， ∵，，，…， ∴第三行的第n个数为： ， ∵这三个数中任意两个数之差的最大值为6146， ∴当第三行的数为负数时， ∴， ∴，即， 解得：， 当第三行的数为正数时， ∴， 整理得：， 此时不存在， 综上：， 故选：A 6．等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2024次后，点B所对应的数是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴上的规律题，关键是通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律求解即可．结合数轴发现根据翻折的次数，发现对应的数字依次是：1，1，2.5；4，4，5.5；7，7，8.5……即第一次和第二次对应的都是1，第四次和第五次对应的都是4，第七次和第八次对应的都是7，根据这一规律即可求解2024次后B对应的数字． 【详解】解：因为， 所以2024次翻折对应的数字和2023次翻折对应的数字相同，都是2023； 故选∶B． 7．已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……依此类推，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律，根据题意，求出这列数的前几项，从而可以发现数列以，，循环出现，通过规律即可求得所求式子的值，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ； ； ； ； ∴数列依次以，，循环出现， ∵，， ∴， 故选：． 8．已知整数，满足下列条件：，…，依次类推，则的值为（   ） A．2024 B． C． D．1012 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律；根据条件求出前几个数的值，再分是奇数时，结果等于 ；是偶数时，结果等于；然后把n的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， ……， 当，是奇数时，结果等于；是偶数时，结果等于； ∴， 故选：C． 二、填空题 9．一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． 【答案】1012 【分析】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点可以写出前几次落点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，从而可以得到当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数． 【详解】解：由题意可得， 第一次落在数轴上的点表示的数是， 第二次落在数轴上的点表示的数是， 第三次落在数轴上的点表示的数是， 第四次落在数轴上的点表示的数是， …． ∴次落在数轴上的点表示的数是，第次落在数轴上的点表示的数是n， ∴跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012， 故答案为∶1012． 10．已知，，，，，，是一列数，，，任意三个相邻的数之和为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类的问题．先根据题意得出，，，，进而由，求出的值，即可求得的值，继续得出规律，即可得出结论．求出的值是解题的关键，难点是判断出哪几个数在循环． 【详解】解：∵任意三个相邻的数之和为， ∴，，，， 得：， ∴， ∵，， ∴， 将，代入得：， ∵， ∴，，， ∴，，，，，，是，，三个数循环， ∵， ∴． 故答案为：． 11．如图，四边形是长方形，，，把这个长方形分割成标号为1，2，3，4的四个小长方形，其中标号为1， 4的两个长方形形状大小完全相同，则标号为2， 3的两个长方形的周长之和等于 ． 【答案】12 【分析】本题考查了整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键．设标号为1的长方形的长为x，求出标号2和标号3的长方形的长和宽，并列出两个长方形的周长之和，计算即得答案． 【详解】解：设标号为1的长方形的长为x，则标号为1的长方形的宽与标号为4的长方形的宽均为， 标号为3的长方形的宽为，标号为2的长方形的宽为， 标号为2， 3的两个长方形的周长之和． 故答案为：12． 12．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个图形，图形①的面积是正方形纸片面积的．图形②的面积是图形①面积的2倍的．图形③的面积是图形②面积的2倍的．图形⑥的面积是图形⑤面积的2倍的．图形⑦的面积是图形⑥面积的2倍．则③的面积为 ，计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形变化的规律，巧妙利用数形结合的思想是解题的关键． 利用数形结合的思想即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ； ； ； ， ； 又因为图形⑦面积是图形⑥面积的2倍， 所以； 又因为七部分的面积之和为1， 所以， 即． 故答案为：；． 13．已知，求 ； ． 【答案】 【分析】此题考查了求代数式的值， 令，求得；然后令求得，然后将其减去即可求得的值；令求得，将7与相减并计算即可求得的值． 【详解】解：令，则， 则； 令，则①， 那么； 令，则②， ①②得：， 那么； 故答案为：；． 14．将正整数从1开始按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第一个拐弯处，3在第二个拐弯处，5在第三个拐弯处，7在第四个拐弯处，…，则第2025个拐弯处的数是 ． 【答案】 【详解】本题考查数字的变化规律，观察图表中每个拐弯处的数字，依次得到每个拐弯处的数与第n个拐弯的关系；将每个拐弯处的数字分别表示为第1个拐弯：，第2个拐弯：，第3个拐弯：；结合，即可求出在第2025个拐弯处的数． 解：观察图表，可知 第1个拐弯：， 第2个拐弯：， 第3个拐弯：； 第4个拐弯：； 第5个拐弯：； 第6个拐弯：； 第7个拐弯：； … ∵， ∴第2025个拐弯处的数是． 故答案为：． 三、解答题 15．数学课上老师出了这样一道题目：“当时，求的值．”小王同学把错抄成了，但他的计算结果却是正确的，这是怎么回事？ (1)请你通过化简，说明小王计算结果正确的原因． (2)小红据此又改编了一道题，请你试一试：无论取何值，多项式的值都不变，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了整式的加减中的无关题型、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可化简，再根据化简的结果做出判断即可； （2）将原式化为，根据无论取何值，多项式的值都不变，求出的值，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 原式的化简结果与无关， 无论取何值，都不会影响结果； （2）解： 无论取何值，多项式的值都不变， ，，即，， ． 16．观察下列等式解答问题： ①； ②； ③； … (1)按此规律，第④个等式为 ；第n个等式为 ；（用含n的代数式表示，n为正整数） (2)按此规律，计算： ①； ②． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题主要考查了数字规律、整式的化简求值等知识点，归纳出数字的变化规律并灵活运用规律成为解题的关键． （1）根据已有等式，类比、归纳即可解答； （2）①逆用（1）所得的规律即可解答；②逆用（1）所得的规律即可解答． 【详解】（1）解：①； ②； ③． …… ④； …… 第n个等式为． 故答案为，． （2）解：① ； ② ． 17．我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据阅读提供的解法解答即可． （2）把看成整体，利用整体代入计算，求代数式的值即可． （3）根据题意，，，先求出的值，后整体代入计算代数式的值即可． 本题考查了合并同类项，整体思想应用，根据式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体思想，求代数式的值是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴ ． （3）解：，，， ，， ． 18．观察下列数表： (1)根据数表反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为___________． (2)第n行与第n列的交叉点上的数应为___________．（用含正整数n的式子表示） (3)左上角的正方形虚线框内所有数字之和是___________． (4)在数表中任取几个的正方形，计算其中所有数字之和，归纳你得出的结论． 【答案】(1)11 (2) (3)0 (4)任取的正方形上的四个数字的和都是0 【分析】（1）观察所给四行可知，第1行与第1列的交叉点上的数是1，第2行与第2列的交叉点上的数是，第3行与第3列的交叉点上的数是，第4行与第4列的交叉点上的数是，据此可求出，第6行与第6列的交叉点上的数； （2）根据前面观察出的规律，可写出第n行与第n列的交叉点上的数； （3）利用有理数加法计算即可； （4）根据所得规律，表示出四个数相加即可求出结论． 【详解】（1）解：第1行与第1列的交叉点上的数是1， 第2行与第2列的交叉点上的数是， 第3行与第3列的交叉点上的数是， 第4行与第4列的交叉点上的数是， 所以，第6行与第6列的交叉点上的数是， 故答案为：11； （2）解：由（1）中规律可知：第n行与第n列的交叉点上的数应为， 故答案为：； （3）解：， 故答案为：0； （4）解：设的正方形左上角的数是，则左下角的数是，右上角的数是，右下角的数是， 所以，四个数的和是， 设的正方形左上角的数是，则左下角的数是，右上角的数是，右下角的数是， 所以，四个数的和是， 结论：任取的正方形上的四个数字的和都是0． 19．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减．例如： ①，我们将上述计算过程倒过来，得到； ②，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，分数裂项的本质其实是异分母加减法的逆运算． 请你观察： 以上方法称为“裂项相消求和法”． 类比上述方法，解决以下问题： (1)直接写出计算结果： ①________；②__________； (2)计算： (3)计算： 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）①根据题意把所求式子裂项得到，据此计算求解即可；②根据题意把所求式子裂项得到，据此计算求解即可； （2）根据题意把所求式子裂项得到，据此计算求解即可； （3）根据题意把所求式子裂项得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 20．将正方形（如图）作如下划分，第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形；第次划分：将图左上角正方形再划分，得图，则图中共有个正方形． (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第次划分后，图中共有________个正方形； (2)继续划分下去，第次划分后图中共有________个正方形； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由； (4)如果设原正方形的边长为，通过不断地分割该面积为的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果________．（直接写出答案即可） 【答案】(1)； (2)； (3)不能，理由见解析； (4)． 【分析】（）探究规律，利用规律即可解决问题； （）探究规律，利用规律即可解决问题； （）构建方程即可解决问题； （）利用数形结合思想解决问题，根据进行计算即可求解； 本题考查了图形的规律，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律方法，找到图形的变化规律． 【详解】（1）解：∵第一次可得个正方形，第二次可得个正方形，第三次可得个正方形， ∴第次可得个正方形， ∴第次可得， 故答案为：； （2）解：由()得：第次可得个正方形， 故答案为：； （3）解：不能． 理由：由， 解得 ， ∵不是整数， ∴不能将正方形划分成个正方形的图形； （4）解：由题意得，， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$