专题05 代数式-2024-2025学年上学期七年级数学重难点复习（人教版2024新教材）

专题05 代数式 题型一 代数式中的几何问题 例1．如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题： 分别计算剪拼后所得的长方形的C周长和面积S（用含a的方程表示）； 【分析】本题考查列代数式，根据拼图，用代数式表示出拼成的长方形的长，结合周长与面积公式求解即可求得答案； 【详解】解：由题意得， 剪拼后所得的长方形的长为：，宽为：， 因此周长为：， 即：， 面积为：， 即：． 【1-1】如图所示的正方形是由四个等腰直角三角形拼成的，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【1-2】如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的 ． 【1-3】如图，在直角三角形中，是直角，，，以直角边为直径画半圆， ．（用含有，的代数式表示，结果保留） 【1-4】赵叔叔准备买一套新房子，这套住房的建筑平面图（由四个长方形组成）如图所示： 用含的式子表示这套住房的总面积． 题型二 用代数式表示数的规律 例2． (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第个式子即可； （2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果； （3）①原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果； ②原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴第5个式子是：； 第个式子是； 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：① ． ② ． 【2-1】某学校楼阶梯教室，第一排有m个座位，后面每一排都比前面一排多2个座位，则第n排座位数是（    ） A． B． C． D． 【2-2】一组按规律排列的式子：，，，，…，第n个式子是（n为正整数）（　　） A． B． C． D． 【2-3】观察以下等式：第个等式：；第个等式；第个等式；第个等式；……；按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式 ； （2）写出你猜想的第个等式 （用含的等式表示）． 【2-4】如图数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为…，第n个数记为，则 ． 题型三 用代数式表示图形的规律 例3．【观察思考】 第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形； 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)请直接写出第个图形有___________个小三角形； (2)第1个图形共有长度为的线段（条）， 第2个图形共有长度为的线段（条） 第3个图形共有长度为的线段（条）， 第4个图形共有长度为的线段（条）， ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条； (3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数． 【分析】本题考查几何图形中的数字规律，由前面的几个图形，得到满足要求的数字规律，即可归纳概括出第个图形的结论，由特殊到一般发现规律是解决问题的关键． （1）根据题中所给图形，数出其中的小三角形个数，得出数字规律即可得到答案； （2）根据题中所给图形，数出其中的线段条数，得出数字规律即可得到答案； （3）根据题中所给图形，数出其中的交点个数，得出数字规律即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 第1个图形小三角形个数为：； 第2个图形小三角形个数为：； 第3个图形小三角形个数为：； 第4个图形小三角形个数为：； ……， 按此规律，第个图形中小三角形个数为， 故答案为：； （2）解：如图所示： 第1个图形共有长度为的线段为：（条）； 第2个图形共有长度为的线段为：（条）； 第3个图形共有长度为的线段为：（条）； 第4个图形共有长度为的线段为：（条）； ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段为：条； 故答案为：； （3）解：如图所示： 第1个图形共有交点：（个）； 第2个图形共有交点：（个）； 第3个图形共有交点：（个）； 第4个图形共有交点：（个）； ……， 按此规律，第个图形共有交点：． 【3-1】无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种证明方式被认为比严格的数学证明更优雅、更有条理．借助形的几何直观性来表示数之间的关系，这种证明方法被称为数形结合．如图，请利用数形结合思想猜测，的值最接近的有理数为（   ） A． B． C． D． 【3-2】如图所示：观察下列每一组图形中点的总个数，则第个图中共有 个点． 【3-3】根据下面四幅图的规律，第7幅图中有个 ●， 个△． 【3-4】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去： (1)照此规律，摆成第5个图案需要_____________个三角形； (2)照此规律，摆成第n个图案需要_____________个三角形（用含n的代数式表示）； (3)照此规律，摆成第2021个图案需要几个三角形？ 题型四 代数式中的动点问题 例4．如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，且与互为相反数． (1)____，_____； (2)若数轴上有一动点P，以每秒4个单位的速度从点A向点B匀速运动，设运动时间为t秒，请用含t的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，点P运动的同时有一动点Q从点B以每秒2个单位的速度从点B向点A匀速运动，且点P运动到B点后原速返回，当P，Q两点相距2个单位长度时，求t的值． 【分析】（1）由非负的性质得，，求解即可得出答案； （2）分当点P在点B左边时，当点P在点B右边时，两种情况，根据点两点间的距离即可表示出的长； （3）分四种情况，分别根据两点间的距离及路程时间速度之间的关系列式子计算即可得出答案． 【详解】（1）与互为相反数， ， ，， ，， ，； 故答案为：，； （2）①当点P在点B左边时，； ②当点P在点B右边时，． （3）①当点P到达B点前时，P，Q相遇前，； ②当点P到达B点前时，P，Q相遇后，； ③当点P到达B点后时，P，Q相遇前，； ④当点P到达B点后时，P，Q相遇后，． 综上所述，或或5或7，P，Q两点相距2个单位长度． 【4-1】是线段上一点，，，两点分别从，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)如图若， ①运动后，求的长； ②当在线段上运动时，试说明线段和线段的数量关系； (2)如果时，，试探索的值． 【4-2】如图，在一条数轴上，点为原点，点、、表示的数分别是，，． (1)求的长；（用含的代数式表示） (2)若，求的中点表示的数． 【4-3】七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半；当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的2倍；经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点B需要______秒； (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，则点P表示的数______（用含t的式子表示）； 【4-4】根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)已知点A，B，C表示的数分别为1，，．观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是__________，A，B两点之间的距离为__________． (2)数轴上，点A关于点B的对称点表示的数是__________． (3)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是__________；若此数轴上M，N两点之间的距离为2024（M在N的左侧），且当 A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则点M表示的数是__________，点N表示的数是__________； (4)若数轴上P，Q两点间的距离为a（P在Q左侧），表示数b的点到P，Q 两点的距离相等，将数轴折叠，当P点与Q点重合时，点P表示的数是__________，点Q表示的数是__________（用含a、b的式子表示这两个数）． 题型五 分类讨论思想在代数式求值中的应用 例5．已知，，，且，，求的值． 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，涉及绝对值，代数式的求值，解题的关键是分类讨论思想的应用．由，，，得，，，又，，可得，，，分两种情况可得的值为24或16． 【详解】解：，，， ，，， ，， ∴， ，，， 当，，时，， 当，，时，， 的值为24或16． 【5-1】若，，且，则的值为（  ） A．或10 B．或7 C．或 D．7或10 【5-2】已知，，且，则 ． 【5-3】已知，， 且， 则 ． 【5-4】已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 题型六 整体代换思想在代数式求值中的应用 例6．已知 ，则 的值为 ． 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，再利用整体代入法进行求值即可． 【详解】解： ∴ ； 故答案为：2020． 【6-1】当代数式的值为时，代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【6-2】如果，那么的值为（） A．9 B．12 C．18 D．24 【6-3】已知，则 ． 【6-4】已知，那么的值为 ． 一、单选题 1．下列代数式中，符合代数式书写要求的有（） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若，，且，则的值是（   ） A．1或7 B．1或 C．或7 D．或 3．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值为（   ） A． B．1013 C．1012 D． 5．已知的值为（   ） A．19 B． C． D．17 6．已知，且，则的值为（   ） A．0 B．或1 C．2或 D．0或 7．用长的铝合金做成一个如图所示的长方形窗框，设长方形窗框的横条长度为，则长方形窗框的面积为（    ） A． B． C． D． 8．实数x满足，则的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 9．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（　　） A．15 B．17 C．19 D．24 10．如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（　　） A．2024 B．2022 C．6069 D．6070 二、填空题 11．若，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为3，则 ． 12．已知三数的和为，其中是的倍，是的倍，则 ． 13．按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是 ． 14．若代数式，则的最小值是 ． 三、解答题 15．若， (1)若，求的值； (2)若，求的值． 16．如图，已知长方形的宽，两个空白处圆的半径分别为、． (1)用含字母的式子表示阴影部分的面积；（用含有 a，b，π的式子表示） (2)当，时，取3.14时，阴影部分的面积是多少？ 17．如图，长方形 (1)根据图中数据，用含的代数式表示阴影部分的面积______． (2)当时，求的值______． 18．在数轴上有5个点，每相邻两个点之间的距离（均为单位长度）如图所示，这五个点所对应的数分别用表示， (1)若点与点到原点的距离相等，则 ①原点为点______； ②； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，且，求的值． 19．在数学活动中，小明遇到了求式子的值的问题．他和同伴讨论设计了如图所示的几何图形来求式子的值．已知图中大正方形的面积为1 (1)图中阴影部分的面积为 ；（用乘方的形式表示） (2)利用图示，求的值； (3)直接写出的值．（结果用含n的式子表示） 20．某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；… 【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 代数式 题型一 代数式中的几何问题 例1．如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题： 分别计算剪拼后所得的长方形的C周长和面积S（用含a的方程表示）； 【分析】本题考查列代数式，根据拼图，用代数式表示出拼成的长方形的长，结合周长与面积公式求解即可求得答案； 【详解】解：由题意得， 剪拼后所得的长方形的长为：，宽为：， 因此周长为：， 即：， 面积为：， 即：． 【1-1】如图所示的正方形是由四个等腰直角三角形拼成的，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是列代数式，根据题意可知：阴影部分的面积=大正方形的面积-四个等腰直角三角形的面积 ，计算即可． 【详解】解：根据题意可知：阴影部分的面积=大正方形的面积-四个等腰直角三角形的面积 故选：C． 【1-2】如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，第一个图形中下底面积为未知数，利用第一个图可得墨水的体积，利用第二个图可得空余部分的体积，进而可得玻璃瓶的容积，让求得的墨水的体积除以玻璃瓶容积即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设第一个图形中下底面积为． 倒立放置时，空余部分的体积为， 正立放置时，有墨水部分的体积是， 因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的， 故答案为：． 【1-3】如图，在直角三角形中，是直角，，，以直角边为直径画半圆， ．（用含有，的代数式表示，结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意得半圆的面积为及，进而可得及，进而可求解，根据数量关系列出代数式是解题的关键． 【详解】解：设空白部分的面积为 根据已知得半圆的面积为：， ， 在直角三角形中，是直角， ，， ， ， ， 故答案为：． 【1-4】赵叔叔准备买一套新房子，这套住房的建筑平面图（由四个长方形组成）如图所示： 用含的式子表示这套住房的总面积． 【答案】平方米 【分析】本题考查列代数式的应用，根据图形列代数式即可． 【详解】解：住房的总面积为：（平方米）， ∴住房的总面积为：平方米． 题型二 用代数式表示数的规律 例2． (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第个式子即可； （2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果； （3）①原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果； ②原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴第5个式子是：； 第个式子是； 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：① ． ② ． 【2-1】某学校楼阶梯教室，第一排有m个座位，后面每一排都比前面一排多2个座位，则第n排座位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，理解题意是解题的关键．根据题意列出代数式即可． 【详解】解：由题意可知，第一排有m个座位， 第二排有个座位， 第三排有个座位， 第四排有个座位， 故第n排座位数是， 故选B． 【2-2】一组按规律排列的式子：，，，，…，第n个式子是（n为正整数）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字规律问题，通过观察已有代数式得到规律是解题的关键． 观察各式子可以得到符号为奇数位负，偶数为正，分子满足，分母为，据此归纳规律即可解答． 【详解】解：∵第奇数个式子的符号为“负”， 第偶数个式子的符号为“正”， ∴第n个式子的符号可用表示． ∵分母中单项式的系数分别为1，2，3...n，字母a的指数分别是1，3，5...7... ， ∴第n个式子的分母可表示为：． ∵分子分别是2，5，8，11...， ∴第n个式子的分子可表示为：． ∴第n个式子为：． 故选：D． 【2-3】观察以下等式：第个等式：；第个等式；第个等式；第个等式；……；按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式 ； （2）写出你猜想的第个等式 （用含的等式表示）． 【答案】 【分析】本题考查有理数和整式的知识，解题的关键是观察等式，得到规律，进行解答． （ 1）根据上述等式可知，减数的分母是被减数分母分子的乘积，分子是被减数分子分母的和，即可得到第六个等式； （ 2）根据上述等式的规律，求解等式的左边等于等式的右边，即可． 【详解】解：（1）∵第个等式：， 第个等式， 第个等式， 第个等式， ∴第个等式为：． 故答案为：． （2）由（ 1）得，第个等式：， 故答案为：． 【2-4】如图数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为…，第n个数记为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字变化规律问题，通过归纳出第n个数记为，再进行求解即可． 【详解】解：根据题意知 ， ， ， 则， ， 故答案为：210． 题型三 用代数式表示图形的规律 例3．【观察思考】 第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形； 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)请直接写出第个图形有___________个小三角形； (2)第1个图形共有长度为的线段（条）， 第2个图形共有长度为的线段（条） 第3个图形共有长度为的线段（条）， 第4个图形共有长度为的线段（条）， ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条； (3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数． 【分析】本题考查几何图形中的数字规律，由前面的几个图形，得到满足要求的数字规律，即可归纳概括出第个图形的结论，由特殊到一般发现规律是解决问题的关键． （1）根据题中所给图形，数出其中的小三角形个数，得出数字规律即可得到答案； （2）根据题中所给图形，数出其中的线段条数，得出数字规律即可得到答案； （3）根据题中所给图形，数出其中的交点个数，得出数字规律即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 第1个图形小三角形个数为：； 第2个图形小三角形个数为：； 第3个图形小三角形个数为：； 第4个图形小三角形个数为：； ……， 按此规律，第个图形中小三角形个数为， 故答案为：； （2）解：如图所示： 第1个图形共有长度为的线段为：（条）； 第2个图形共有长度为的线段为：（条）； 第3个图形共有长度为的线段为：（条）； 第4个图形共有长度为的线段为：（条）； ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段为：条； 故答案为：； （3）解：如图所示： 第1个图形共有交点：（个）； 第2个图形共有交点：（个）； 第3个图形共有交点：（个）； 第4个图形共有交点：（个）； ……， 按此规律，第个图形共有交点：． 【3-1】无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种证明方式被认为比严格的数学证明更优雅、更有条理．借助形的几何直观性来表示数之间的关系，这种证明方法被称为数形结合．如图，请利用数形结合思想猜测，的值最接近的有理数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现阴影部分面积变化的规律是解题的关键．根据所给图形，发现阴影部分面积变化的规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 当n越来越大时，阴影部分的面积越来越接近正方形面积的， 所以当n无穷大时，的值最接近． 故选：A． 【3-2】如图所示：观察下列每一组图形中点的总个数，则第个图中共有 个点． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律题，根据图形变化找出规律是解题的关键． 根据点的个数变化得到第个图点的个数表达式，即可解答． 【详解】解：第一个图，共有个点； 第二个图，共有个点； 第三个图，共有个点； ∴每次变化都加多个点； ∴第个图点的个数为：； ∴个图点的个数为： 故答案为：． 【3-3】根据下面四幅图的规律，第7幅图中有个 ●， 个△． 【答案】 36 13 【分析】本题考查图形和数字类规律探究，根据前几个图形中●的个数，得到变化规律：第n幅图中有个●；同理，根据前几个图形中△的个数，得到变化规律：第n幅图中有个△；进而可求解． 【详解】解：根据题意得： 第1幅图中有0个●， 第2幅图中有1个●， 第3幅图中有4个●， 第4幅图中有9个●， ………… 第n幅图中有个●； 第1幅图中有1个△， 第2幅图中有3个△， 第3幅图中有5个△， 第4幅图中有7个△， 第n幅图中有个△； 第7幅图中有个●，个△． 故答案为：36，13． 【3-4】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去： (1)照此规律，摆成第5个图案需要_____________个三角形； (2)照此规律，摆成第n个图案需要_____________个三角形（用含n的代数式表示）； (3)照此规律，摆成第2021个图案需要几个三角形？ 【答案】(1)16 (2) (3) 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化规律“”是解题的关键． （1）根据前4个图案所需三角形的个数，可得出每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个，再结合的值即可求出的值； （2）由（1）的结论“每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个”，可得出； （3）代入即可求出结论． 【详解】（1）解：设摆成第n（n为正整数）个图案需要个三角形． ∵， ∴， ∴． 故答案为：16； （2）解：由（1）可知：． 故答案为：； （3）解：当时，， ∴摆成第2021个图案需要个三角形． 题型四 代数式中的动点问题 例4．如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，且与互为相反数． (1)____，_____； (2)若数轴上有一动点P，以每秒4个单位的速度从点A向点B匀速运动，设运动时间为t秒，请用含t的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，点P运动的同时有一动点Q从点B以每秒2个单位的速度从点B向点A匀速运动，且点P运动到B点后原速返回，当P，Q两点相距2个单位长度时，求t的值． 【分析】（1）由非负的性质得，，求解即可得出答案； （2）分当点P在点B左边时，当点P在点B右边时，两种情况，根据点两点间的距离即可表示出的长； （3）分四种情况，分别根据两点间的距离及路程时间速度之间的关系列式子计算即可得出答案． 【详解】（1）与互为相反数， ， ，， ，， ，； 故答案为：，； （2）①当点P在点B左边时，； ②当点P在点B右边时，． （3）①当点P到达B点前时，P，Q相遇前，； ②当点P到达B点前时，P，Q相遇后，； ③当点P到达B点后时，P，Q相遇前，； ④当点P到达B点后时，P，Q相遇后，． 综上所述，或或5或7，P，Q两点相距2个单位长度． 【4-1】是线段上一点，，，两点分别从，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)如图若， ①运动后，求的长； ②当在线段上运动时，试说明线段和线段的数量关系； (2)如果时，，试探索的值． 【答案】(1)①；②线段是线段的二倍； (2)或 【分析】本题考查两点间的距离，涉及列代数式，分类讨论的思想，属于中等题型． （1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案．②用表示出、、的长度即可证明； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明点在点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）解：①由题意可知：，． 因为，， 所以． 所以． ②因为，， 所以，． 所以． 所以． 所以线段是线段的二倍． （2）解：当时，，， 当点在点的右边时，如图所示， 因为， 所以． 所以． 所以． 当点在点的左边时，如图所示， 所以． 所以． 综上所述：或． 【4-2】如图，在一条数轴上，点为原点，点、、表示的数分别是，，． (1)求的长；（用含的代数式表示） (2)若，求的中点表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴的知识，代数式，正确认识数轴并理解数轴，能够表示数轴上两点的距离是解题的关键． （1）根据数轴上的两点间的距离公式求解即可； （2）首先由建立方程求解，再求解、、对应的数即可得到答案． 【详解】（1）解：点、表示的数分别是，， ； （2）， ， 解得：， ，， 当时，点表示的数是，点表示的数是， 的中点表示的数是． 【4-3】七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半；当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的2倍；经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点B需要______秒； (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，则点P表示的数______（用含t的式子表示）； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据时间路程速度，即可求解； （2）由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解． 【详解】（1）解：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：． 【4-4】根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)已知点A，B，C表示的数分别为1，，．观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是__________，A，B两点之间的距离为__________． (2)数轴上，点A关于点B的对称点表示的数是__________． (3)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是__________；若此数轴上M，N两点之间的距离为2024（M在N的左侧），且当 A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则点M表示的数是__________，点N表示的数是__________； (4)若数轴上P，Q两点间的距离为a（P在Q左侧），表示数b的点到P，Q 两点的距离相等，将数轴折叠，当P点与Q点重合时，点P表示的数是__________，点Q表示的数是__________（用含a、b的式子表示这两个数）． 【答案】(1)4或， (2) (3)，， (4)， 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，折叠的性质，列代数式等知识，解决本题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）根据对称的性质可得对称点的坐标； （3）根据A与C重合表示对称点，可得与B点重合的点表示的数；同理根据折叠后点A与点C重合，点M与点N也重合，即可求解； （4）根据数轴上的点左减，右加，即可求表示数b的点到P、Q两点的距离相等的算式． 【详解】（1）解：观察数轴可知： 与点A的距离为3的点表示的数是或， A、B两点之间的距离为． 故答案为：4或，； （2）解：点A关于点B的对称点表示的数是：， 故答案为：； （3）解：∵将数轴折叠，使得A点与C点重合， ∴对称点表示的数为：； ∴与点B重合的点表示的数是：； M表示的数是：， N表示的数是：， 故答案为：，，； （4）解：根据题意，得 P表示的数为：，Q表示的数为：． 故答案为：，． 题型五 分类讨论思想在代数式求值中的应用 例5．已知，，，且，，求的值． 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，涉及绝对值，代数式的求值，解题的关键是分类讨论思想的应用．由，，，得，，，又，，可得，，，分两种情况可得的值为24或16． 【详解】解：，，， ，，， ，， ∴， ，，， 当，，时，， 当，，时，， 的值为24或16． 【5-1】若，，且，则的值为（  ） A．或10 B．或7 C．或 D．7或10 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的意义、有理数乘方的意义，依据题意，根据绝对值的意义、平方的概念进行计算可以得解． 【详解】解：由题意得，，， ，． 又∵， 当时，；当时，． 或． 故选：A． 【5-2】已知，，且，则 ． 【答案】或4或12 【分析】此题考查了代数式求值，利用绝对值的代数意义得出，的值，进而解答即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ，或，或，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 或4或12； 故答案为：或4或12． 【5-3】已知，， 且， 则 ． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值，代数式求值，求出a、b的值是关键． 根据绝对值的意义求得，，再根据则，得出，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 当，时，， 当，时，． 故答案为：或． 【5-4】已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查绝对值的性质，代数式求值，涉及代入求值，分类讨论的思想，属于基础题型． （1）由于，时，有，，代入即可求出答案； （2）由于，，或，，代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵； ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴． 题型六 整体代换思想在代数式求值中的应用 例6．已知 ，则 的值为 ． 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，再利用整体代入法进行求值即可． 【详解】解： ∴ ； 故答案为：2020． 【6-1】当代数式的值为时，代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求代数式的值，由代数式的值为，求出，再把变形为，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵代数式的值为， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【6-2】如果，那么的值为（） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的求值，根据已知条件得到，再把代数式变形得到，然后利用整体代入的方法计算即可求解，利用整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【6-3】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，由可得，再代入代数式计算即可求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式， 故答案为：． 【6-4】已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，先把代数式转化为，代入得，再把代入计算即可求解，正确对代数式进行变形是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 一、单选题 1．下列代数式中，符合代数式书写要求的有（） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中如果出现乘号“”，通常将乘号写作“”或省略不写，解题的关键是正确理解代数式的书写要求，数字与字母相乘时，数字写在字母前． 【详解】解：（1）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （2）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （3）书写形式规范，符合题意； （4）书写形式规范，符合题意； （5）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； ∴符合书写要求的有2个， 故选：． 2．若，，且，则的值是（   ） A．1或7 B．1或 C．或7 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数加法法则，代数式求值，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和有理数的加法法则．先根据已知条件和绝对值的性质，求出的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：，， ， ， 时，，即或， 或， 故选：A． 3．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求代数式的值，先把变形为，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 4．已知，，则的值为（   ） A． B．1013 C．1012 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查已知字母的值，求代数式的值，根据已知得出，再进一步计算可得． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：D． 5．已知的值为（   ） A．19 B． C． D．17 【答案】C 【分析】此题主要考查了绝对值，以及有理数的乘法，关键是掌握有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 根据绝对值的非负性可得，再解可得a、b、c的值，然后再代入代数式可得答案． 【详解】解： 解得 ∴ 故答案为：C． 6．已知，且，则的值为（   ） A．0 B．或1 C．2或 D．0或 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的化简，有理数加法法则，根据是非零实数，且，可知，再由中有两正一负或一正两负，按两种情况分别讨论代数式的可能的取值，再求所有可能的值即可 【详解】解：∵，且， ∴， 当中有两正一负时，； 当中有一正两负时，； 故选：B 7．用长的铝合金做成一个如图所示的长方形窗框，设长方形窗框的横条长度为，则长方形窗框的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，要注意长方形窗框的横条有3条，观察图形求出长方形窗框的竖条长度是解答本题的关键．根据长方形窗框的横条长度求出长方形窗框的竖条长度，再根据长方形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：∵长方形窗框的横条长度为， ∴长方形窗框的竖条长度为， ∴长方形窗框的面积为：， 故选∶C． 8．实数x满足，则的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 故选D． 9．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（　　） A．15 B．17 C．19 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出是解题的关键．由图可知：第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形个，第③个图案有三角形个，第④个图案有三角形，…第n个图案有三角形个（时），由此得出规律解决问题． 【详解】解：∵第①个图案有三角形1个， 第②图案有三角形个， 第③个图案有三角形个， … ∴第n个图案有三角形个（时）， 则第⑦个图中三角形的个数是个， 故选：D． 10．如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（　　） A．2024 B．2022 C．6069 D．6070 【答案】D 【分析】本题主要考查图形规律，由前4个图形总结得到第n的图形的规律，即可得到第2024个图形含有的正方形数量． 【详解】解：第1个图中有正方形1个， 第2个图中有正方形个， 第3个图中有正方形个， 第4个图中有正方形个， 所以第n个图中有正方形个． 当时，图中有个正方形． 故选：D． 二、填空题 11．若，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为3，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，倒数的定义，相反数的性质，绝对值的意义；根据倒数的定义得出，根据相反数的性质可得，根据绝对值的定义可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为3， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 12．已知三数的和为，其中是的倍，是的倍，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，列代数式，由题意可得，，，即得，得到，即可求出，进而求出，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是 ． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，将代入，求值后进行判断，直至结果，即可． 【详解】解：当时，，输入， 当时，，输出， 故答案为：． 14．若代数式，则的最小值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离以及求代数式的最值．相当于就是x轴上的一点到这个点和3这个点距离之和，x在和3之间距离是最短的，就是4，可以得到，同理，求出x，y的取值范围，再代入求值即可． 【详解】解：∵由绝对值的几何意义可得： ， ， ∵， ∴， ， ∴当，时代数式的最小值为， 故答案为：0． 三、解答题 15．若， (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)的值 (2)或 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，理解绝对值的定义是解答此题的关键． （1）首先利用绝对值的定义解得，，根据，确定，代入即可求解； （2）根据，确定，代入即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， ， ，或，， 当，时，； 当，时，； （2）解：，， ，， ， ，或，； 当，时，； 当，时，； 或， 16．如图，已知长方形的宽，两个空白处圆的半径分别为、． (1)用含字母的式子表示阴影部分的面积；（用含有 a，b，π的式子表示） (2)当，时，取3.14时，阴影部分的面积是多少？ 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 13.31 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，扇形的面积，利用长方形与扇形的面积之差表示出阴影部分的面积是解题的关键． （1）利用长方形的面积减去两个扇形的面积即可得出结论． （2）将字母的取值代入（1）中的代数式计算即可． 【详解】（1）阴影部分的面积为： ； （2）当，时，取3.14时， 阴影部分的面积为： ． 答：阴影部分的面积为13.31． 17．如图，长方形 (1)根据图中数据，用含的代数式表示阴影部分的面积______． (2)当时，求的值______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值； （1）根据长方形的一半减去右上角的小三角形的面积，即可求解． （2）将代入（1）中代数式，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解：当时， 故答案为：． 18．在数轴上有5个点，每相邻两个点之间的距离（均为单位长度）如图所示，这五个点所对应的数分别用表示， (1)若点与点到原点的距离相等，则 ①原点为点______； ②； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，且，求的值． 【答案】(1)①C；②，0 (2)6 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间的距离求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①由题意可知C是的中点，由此求解即可；②由，可得，又由C是的中点，可得； （2）先确定B点表示的数，根据两点间距离得到所表示的数，代入计算即可． 【详解】（1）解：①点与点到原点的距离相等， ， 点与点到原点的距离都为3， ， 点C是原点； ②点C是原点， 由， ，； （2）解：点到原点的距离是5个单位长度， B点表示的数为5或， ， B点表示的数为， ， ． 19．在数学活动中，小明遇到了求式子的值的问题．他和同伴讨论设计了如图所示的几何图形来求式子的值．已知图中大正方形的面积为1 (1)图中阴影部分的面积为 ；（用乘方的形式表示） (2)利用图示，求的值； (3)直接写出的值．（结果用含n的式子表示） 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． （1）根据所给图形可知，阴影部分的面积为的一半，据此可解决问题． （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题． （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给图形可知，图中阴影部分的面积为的一半， 所以图中阴影部分的面积为：． 故答案为：． （2）解：由所给图形可知，， 所以； （3）解：由所给图形可知， ， 所以． 20．某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；… 【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【答案】(1)60，5 (2)，n (3)当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元 【分析】本题主要考查图形的规律，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据一直推行进行推理即可得到答案； （2）设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，即可求出当地砖铺设了n圈时，地砖的总数；根据铺设了多少圈即可得出围成了多少的封闭图形； （3）根据曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，进行就算即可． 【详解】（1）解：当地砖铺设了1圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个； 当地砖铺设了2圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个； 当地砖铺设了3圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…， 当地砖铺设了5圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有5个． （2）解：，n； 设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y， 铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有1个； 铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有2个； 铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有3个； 当地砖铺设了n圈时，地砖的总数． 曲线围成的封闭图形有个； （3）解：曲线围成的封闭图形有25个， 地砖铺设了25圈， 当时，（块）． 每块地砖的价钱为18元， 共需花费的费用为（元）． 答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$