前两章新题型练习2024-2025学年鲁教版数学八年级上册

八上前两章新题型 1．已知对于正数x，我们规定：f（x）＝，例如：f（2）＝，则f（2023）+f（202）+f（202）+…+f（2）+f（1）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（）＝　 　． 2．对于正数x，规定f（x）＝，例如f（3）＝，f（1）＝，计算：＝　 　． 3．已知：，，，，⋯，，那么y2023的值为 　 　.（用含x的代数式表示） 4．已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：，，，⋯，，若a1＝2，则a2024的值是 　 　． 5．【问题提出】 计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 【问题探究】 为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母α代替，原算式化为： l+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法； ①1+a+a（1+a） ＝（1+a）+a（1+a） ＝（1+a）（1+a） ＝（1+a）2 ②由①知1+a+a（1+a）＝（1+a）2，所以， l+a+a（1+a）+a（1+a）2 ＝（1+a）2+a（1+a）2 ＝（l+a）2（1+a） ＝（1+a）3 （1）仿照②，写出将1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3进行因式分解的过程． 【发现规律】 （2）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝　 　． 【问题解决】 （3）计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6＝　 　（结果用乘方表示）． 6．杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家．杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式． 方法提取 数学学习活动，是在公式化体系的不断完善中进行的．我们已经学习了平方差公式，在平方差公式的基础上，可以对式子a3﹣b3进行如下推导： a3﹣b3， ＝a3﹣a2b+a2b﹣b3， ＝a2（a﹣b）+b（a2﹣b2）， ＝a2（a﹣b）+b（a+b）（a﹣b）， ＝（a﹣b）[a2+b（a+b）]， ＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． 对于a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），称为立方差公式． 公式推导 （1）请参考“立方差公式”的推导过程推导立方和公式：a3+b3． 学以致用 （2）请灵活运用公式进行因式分解： ①x3﹣27＝　 　； ②＝　 　． ③． 7．观察下列式子因式分解的方法： ①x2﹣1＝（x﹣1）（x+1） ②x3﹣1＝x3﹣x+x﹣1（第一步） x（x2﹣1）+x﹣1（第二步） ＝x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）（第三步） ＝（x﹣1）[x（x+1）+1]（第四步） ＝（x﹣1）（x2+x+1）（第五步） ③x4﹣1＝x4﹣x+x﹣1 ＝x（x3﹣1）+x﹣1 ＝x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1） ＝（x﹣1）[x（x2+x+1）+1] ＝（x﹣1）（x3+x2+x+1） （1）在②中，第三步到第四步用到的因式分解的方法是 　 　； （2）模仿以上方法，尝试对x5﹣1进行因式分解； （3）观察以上结果，直接写出xn﹣1因式分解后的结果； （4）根据以上结论，试求25+24+23+22+2+1的值． 8．若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 9．已知x2+x＝6，则代数式x3+x2﹣6x+2023的值为 　 　． 10．若非零实数m，n（m≠n）满足m2＝n+2023，n2＝m+2023，则m3﹣mn+n3的值等于 　 　． 11．小明同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且m＞n． （1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 　 　； （2）小明想要拼一个长为（m+2n），宽为（m+n）的大长方形，则需要边长为m的大正方形 　 　个，边长为n的小正方形 　 　个，长为m、宽为n的小长方形 　 　个； （3）动手操作：数学活动小组准备了足够数量的与小明裁剪出的边长为m的大正方形、边长为n的小正方形、长为m、宽为n的小长方形相同的图片若干，请你也利用这些图片拼图分解因式：m2+5mn+6n2；（画出拼图的示意图，并在图中标出适量的与m，n有关的信息，完成因式分解） （4）拓展：若每块小长方形的面积为12，三个大正方形和三个小正方形的面积和为75，试求m+n的值． 12．【发现问题】现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式a2+2ab+b2＝（a+b）2． （1）【小试牛刀】请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）． （2）【自主探索】请利用图1的卡片，将多项式2a2+5ab+3b2因式分解，并画出图形． 13．若分式的值为0，则b的值为（　　） 14．下列结论：①无论a为何值，都有意义；②当a＝﹣1时，分式的值为0；③若的值为负，则x的取值范围是x＜1；④若有意义，则x的取值范围是x≠﹣2且x≠0．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15．若分式的值为负数，则x的取值范围是　 　． 16．若＝+，则A，B的值为（　　） A．A＝3，B＝﹣2 B．A＝2，B＝3 C．A＝3，B＝2 D．A＝﹣2，B＝3 17．设，，则m，n的关系是（　　） A．m＝n B．m＞n C．m＜n D．m+n＝0 18．设M＝，N＝，当x＞y＞0时，M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不能确定 19．已知﹣＝2，则的值为 　 　． 20．已知，则A+B＝　 　． 21．请阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． （1）将分式化为带分式； （2）在（1）问中，当x取哪些整数值时，分式的值也是整数； （3）当x的值变化时，分式的最大值为 　 　． 22．【材料阅读】我们知道a÷b可以写成的形式．类似的，对于，，也可以写成，的形式．我们把这样分子或分母中含有分式的分式，叫做繁分式． 【问题解决】 （1）化简：； （2）对于①，可得②，对繁分式②进行化简； （3）某快递公司有甲、乙、丙三个机器人进行快件分配任务．已知甲单独完成任务需要x小时，乙单独完成任务需要y小时，丙单独完成任务需要z小时．甲单独完成任务的时间是乙、丙合作完成任务的时间的几倍？ 23．若+＝，则﹣3的值是（　　） 24．阅读与理解 阅读下列材料，完成后面的任务． 在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：∵，∴，∴，∴． 任务：已知． （1）求的值． （2）求的值． 25．用数学的眼光观察： 同学们，在学习中，你会发现“”与“”有着紧密的联系，请你认真观察等式：，． 用数学的思维思考并解决如下问题： （1）填空：＝　 　； （2）计算： ①若，求的值； ②若a2+a﹣1＝0，求的值； ③已知，求的值． 26．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：　 　（填序号）； ①；②；③；④． （2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝　 　． （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 27．一项工作由甲单独做，需a天完成；若由甲、乙两人合作，则可提前2天完成，则乙单独完成该项工作需要的天数为（　　） A．天 B．天 C．天 D．无法判断 28．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的值为（　　） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 29．关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是 　 　． 30．观察下列方程的特征及其解的特点； ①x+＝﹣3的解为x1＝﹣1，x2＝﹣2． ②x+＝﹣5的解为x1＝﹣2，x2＝﹣3． ③x+＝﹣7的解为x1＝﹣3，x2＝﹣4； 解答下列问题； （1）请你写出一个符合上述特征的方程为 　 　，其解为 　 　． （2）根据这类方程特征，写出第n个方程为 　 　，其解为 　 　． （3）请利用（2）的结论，求关于x的方程x+＝﹣2（n+2）（其中n为正整数）的解． 31．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程﹣1的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．﹣15 B．﹣13 C．﹣7 D．﹣5 32．【特例观察】 ； ； ； … 【探索发现】 （1）＝　 　； （2）＝　 　． 【拓广应用】 （3）计算：； （4）解方程：． 33．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 八上前两章新题型 参考答案 一．有理数的混合运算（共2小题） 1．2022； 2．2016； 二．规律型：数字的变化类（共2小题） 3．； 4．； 三．因式分解-提公因式法（共1小题） 5．（1+a）n+1； 47； 四．因式分解-运用公式法（共1小题） 6．（x﹣3）（x2+3x+9）；； ； 五．因式分解-十字相乘法等（共1小题） 7．提公因式法； 六．因式分解的应用（共5小题） 8．B； 9．2023； 10．﹣； 11．（2m+n）（m+2n）； 1； 2； 3； 12．（1）a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）； （2）2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b），图见解析．； 七．分式的值为零的条件（共1小题） 13．A； 八．分式的值（共2小题） 14．B； 15．x＜3且x≠0； 九．分式的加减法（共6小题） 16．B； 17．D； 18．A； 19．﹣； 20．3； 21．； 一十．分式的混合运算（共1小题） 22．（1）； （2）； （3）．； 一十一．分式的化简求值（共4小题） 23．D； 24．（1）5； （2）．； 25．4； 26．①③④； x﹣7+； 一十二．列代数式（分式）（共1小题） 27．A； 一十三．分式方程的解（共3小题） 28．D； 29．﹣2； 30．x+＝﹣9； x1＝﹣4，x2＝﹣5； x+＝﹣2n﹣1； x1＝﹣n，x2＝﹣n﹣1； 一十四．分式方程的解（共1小题） 31．B； 一十五．解分式方程（共1小题） 32．﹣； ﹣； 一十六．分式方程的应用（共1小题） 33．　　　； 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/29 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